第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标 理解并会计算离散型随机变量的方差与标准差;能利用方差的意义分析解决实际问题.
1.离散型随机变量的方差与标准差
设离散型随机变量X的均值为μ,其概率分布如表:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中,pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1.
(1)方差:D(X)=σ2= .
(2)方差的变形公式:D(X)= .
(3)标准差:σ= .
(4)意义:方差刻画了随机变量X与其均值μ的 .
2.离散型随机变量方差的性质
设a,b为常数,则D(aX+b)= .
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定. ( )
(2)若a是常数,则D(a)=0. ( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. ( )
(4)若a,b为常数,则 =a. ( )
2.已知随机变量ξ的概率分布如下表,且E(ξ)=1.1,则D(ξ)= ( )
ξ 0 1 x
P p
A.0.36 B.0.52
C.0.49 D.0.68
3.已知X的概率分布如下:
X 0 1 2
P
设Y=2X+3,则D(Y)= .
题型(一) 求离散型随机变量的方差
[例1] (1)设随机变量X的概率分布为
X 1 2 3 4
P
则D(X)等于 ( )
A. B.
C. D.
听课记录:
(2)某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为 .
听课记录:
[思维建模] 求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取各个值的概率,写出概率分布;
(3)根据概率分布,由均值的定义求出E(X);
(4)根据公式计算方差.
[针对训练]
1.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机抽取3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则D(X)等于 ( )
A.3.36 B.
C.7.8 D.3.6
2.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为 .
题型(二) 离散型随机变量方差的性质
[例2] 已知X的概率分布如下:
X -1 0 1
P a
(1)求X2的概率分布;
(2)计算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
听课记录:
[思维建模] 求随机变量Y=aX+b方差的方法
求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的概率分布,再求其均值,最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
[针对训练]
3.已知随机变量X的概率分布为
X 0 1 x
P p
若E(X)=.
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求的值.
题型(三) 离散型随机变量方差的实际应用
[例3] 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的概率分布;
(2)比较甲、乙的射击技术.
听课记录:
[思维建模]
均值仅体现了随机变量取值的平均水平,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的方差,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值比较集中.因此,在利用均值和方差的意义去分析解决问题时,两者都要分析.
[针对训练]
4.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如表所示.
甲公司 职位 A B C D
月薪/千元 5 6 7 8
获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1
乙公司 职位 A B C D
月薪/千元 4 6 8 10
获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1
(1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数和为η,求η的概率分布.
(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用,求小方月薪高于小芳月薪的概率.
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司 请说明理由.
第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
课前环节
1.(1)(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn (2)pi-μ2 (3) (4)平均偏离程度 2.a2D(X)
[基点训练]
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.选C 先由随机变量概率分布的性质解得p=.由E(ξ)=0×+1×+x=1.1,得x=2,所以D(ξ)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.
3.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)由题意知,E(X)=1×+2×+3×+4×=,
故D(X)=×+×+×+×=.
(2)依题意知,X服从两点分布,X的概率分布为
X 1 0
P 0.8 0.2
故E(X)=0.8,D(X)=(1-0.8)2×0.8+(0-0.8)2×0.2=0.16.
答案:(1)C (2)0.16
[针对训练]
1.选A 由题知X=6,9,12.
P(X=6)==,
P(X=9)==,
P(X=12)==.
∴X的概率分布为
X 6 9 12
P
∴E(X)=6×+9×+12×=7.8,D(X)=(6-7.8)2×+(9-7.8)2×+(12-7.8)2×=3.36.
2.解析:X的概率分布为
X 1 3 5
P
则E(X)=1×+3×+5×=,D(X)=.
答案:
[题型(二)]
[例2] 解:(1)由概率分布列的性质知++a=1,故a=.从而X2的概率分布为
X2 0 1
P
(2)法一 由(1)知a=,所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
故D(X)=×+×+×=.
法二 由(1)知a=,所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
E(X2)=0×+1×=,
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=.
(3)因为随机变量Y=4X+3,
所以E(Y)=4E(X)+3=2,
D(Y)=42D(X)=11.
[针对训练]
3.解:由概率分布的性质,得++p=1,
解得p=.
∵E(X)=0×+1×+x=,
∴x=2.
(1)D(X)=×+×+×==.
.
(2)∵Y=3X-2,
∴D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5,
∴=.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ的概率分布为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η的概率分布为
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)
[针对训练]
4.解:(1)根据题意可知,随机变量η的可能取值有0,1,2,
则P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=0.2×0.2=0.04,
所以随机变量η的概率分布为
η 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
(2)小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49.
(3)入职甲公司,月薪的均值为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6,
方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1.
入职乙公司,月薪的均值为E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6,
方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4,
乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,
即E(X)=E(Y),D(X)即两家公司月薪的均值相同,但甲公司月薪的波动性小,乙公司的月薪波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大,故选甲公司.
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离散型随机变量的方差与标准差(强基课——梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
理解并会计算离散型随机变量的方差与标准差;能利用方差的意义分析解决实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.离散型随机变量的方差与标准差
设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布如表:
其中，pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1.
(1)方差:D(X)=σ2= .
(2)方差的变形公式:D(X)= .
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn
(3)标准差:σ= .
(4)意义:方差刻画了随机变量X与其均值μ的 .
2.离散型随机变量方差的性质
设a，b为常数，则D(aX+b)= .
平均偏离程度
a2D(X)
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. ( )
(2)若a是常数，则D(a)=0. ( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. ( )
(4)若a，b为常数，则 =a . ( )
基点训练
×
√
√
×
2.已知随机变量ξ的概率分布如下表，且E(ξ)=1.1，则D(ξ)= ( )
A.0.36 B.0.52
C.0.49 D.0.68
ξ 0 1 x
P p
√
解析:先由随机变量概率分布的性质解得p=.
由E(ξ)=0×+1×+x=1.1，得x=2，
所以D(ξ)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.
3.已知X的概率分布如下:
设Y=2X+3，则D(Y)= .
X 0 1 2
P
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 求离散型随机变量的方差
[例1] (1)设随机变量X的概率分布为
则D(X)等于 ( )
A. B.
C. D.
√
X 1 2 3 4
P
解析:由题意知，
E(X)=1×+2×+3×+4×=，
故D(X)=×+×+×+×=.
(2)某运动员投篮命中率p=0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为 .
解析:依题意知，X服从两点分布，X的概率分布为
故E(X)=0.8，D(X)=(1-0.8)2×0.8+(0-0.8)2×0.2=0.16.
X 1 0
P 0.8 0.2
0.16
[思维建模]
求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值;
(2)求X取各个值的概率，写出概率分布;
(3)根据概率分布，由均值的定义求出E(X);
(4)根据公式计算方差.
针对训练
1.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则D(X)等于 ( )
A.3.36 B.
C.7.8 D.3.6
解析:由题知X=6，9，12.
P(X=6)==，P(X=9)==，
√
P(X=12)==.∴X的概率分布为
∴E(X)=6×+9×+12×=7.8，
D(X)=(6-7.8)2×+(9-7.8)2×+(12-7.8)2×=3.36.
X 6 9 12
P
2.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球
的编号之和，则X的方差为 .
解析:X的概率分布为
则E(X)=1×+3×+5×=，D(X)=.
X 1 3 5
P
题型(二) 离散型随机变量方差的性质
[例2] 已知X的概率分布如下:
(1)求X2的概率分布;
解:由概率分布列的性质知++a=1，故a=.从而X2的概率分布为
X -1 0 1
P a
X2 0 1
P
(2)计算X的方差;
解:法一 由(1)知a=，所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
故D(X)=×+×+×=.
法二 由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
E(X2)=0×+1×=，
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=.
(3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差.
解:因为随机变量Y=4X+3，
所以E(Y)=4E(X)+3=2，D(Y)=42D(X)=11.
[思维建模]
求随机变量Y=aX+b方差的方法
求随机变量Y=aX+b的方差，一种方法是先求Y的概率分布，再求其均值，最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
针对训练
3.已知随机变量X的概率分布为
若E(X)=.
(1)求D(X)的值;
X 0 1 x
P p
解:由概率分布的性质，得++p=1，
解得p=.
∵E(X)=0×+1×+x=， ∴x=2.
D(X)=×+×+×==.
.
(2)若Y=3X-2，求的值.
解:∵Y=3X-2，
∴D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5，
∴=.
题型(三) 离散型随机变量方差的实际应用
[例3] 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的概率分布;
解:由题意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ的概率分布为
η的概率分布为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)比较甲、乙的射击技术.
解:由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+
(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96，
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.
[思维建模]
均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析.
针对训练
4.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示.
甲公司 职位 A B C D
月薪/千元 5 6 7 8
获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1
乙公司 职位 A B C D
月薪/千元 4 6 8 10
获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1
(1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的概率分布.
解:根据题意可知，随机变量η的可能取值有0，1，2，
则P(η=0)=0.8×0.8=0.64，P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32，P(η=2)=0.2×0.2=0.04，
所以随机变量η的概率分布为
η 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率.
解:小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49.
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司 请说明理由.
解:入职甲公司，月薪的均值为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6，
方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1.
入职乙公司，月薪的均值为E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6，
方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4，
乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4，
即E(X)=E(Y)，D(X)即两家公司月薪的均值相同，但甲公司月薪的波动性小，
乙公司的月薪波动性更大，且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大，故选甲公司.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
A级——综合提能
1.已知随机变量X，Y满足Y=aX+b，且a，b为正数.若D(X)=2，D(Y)=8，则( )
A.b=2 B.a=4
C.a=2 D.b=4
解析:因为D(X)=2，D(Y)=8，所以8=2a2.又a为正数，所以a=2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D(X甲)=11，D(X乙)=3.4.由此可以估计( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
解析:∵E(X甲)=E(X乙)，且D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
3.若某随机事件的概率分布列满足P(X=i)=a×(i=1，2，3，4)，
则D(X)=( )
A.3 B.10
C.9 D.1
解析:法一 由题意得+++=1，解得a=1，
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=3，所以D(X)=(1-3)2×+
(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×=1.故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
法二 由题意得+++=1，解得a=1，
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=3，
所以E(X2)=1×+4×+9×+16×=10，
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=10-9=1.故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
4.[多选]若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=2 D.D(X)=
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
解析:∵随机变量X服从两点分布，P(X=0)=，
∴P(X=1)=1-P(X=0)=1-=，E(X)=0×+1×=，
故A中结论正确;E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4，
故B中结论正确;D(X)=×+×=，
则D(3X+2)=32D(X)=2，故C中结论正确，D中结论不正确.
1
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3
4
2
5.已知下表为离散型随机变量X的概率分布，则P(X≥D(X))等于 ( )
A. B.
C. D.
√
X 0 1 2 3
P
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
3
4
2
解析:由题意得E(X)=0×+1×+2×+3×=2，
D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1，
故P(X≥D(X))=P(X≥1)=1-P(X=0)=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
6.若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为 .
解析:在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)=p(1-p)，所以p(1-p)=0.25，解得p=0.5.
0.5
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
7.已知随机变量ξ的概率分布如表，且满足E(ξ)=1，则a= ;
又η=3ξ-1，则D(η)= .
ξ 0 1 2
P a b
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
解析:根据ξ的概率分布得+a+b=1，①
因为E(ξ)=1，所以0×+1×a+2×b=1，②
由①②联立得a=，b=，
所以D(ξ)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=.
因为η=3ξ-1，所以D(η)=32D(ξ)=.
1
5
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9
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12
13
3
4
2
8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为 ，
此时p= .
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
解析:随机变量X的所有可能的取值是0，1，
并且P(X=1)=p，P(X=0)=1-p.
从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p，
D(X)=(0-p)2·(1-p)+(1-p)2·p=p-p2=-+.因为0所以当p=时，D(X)取得最大值，最大值是.
1
5
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12
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3
4
2
9.数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合.把存在此种情况的数字的个数称为巧合数ξ.
(1)求巧合数ξ的概率分布;
解:ξ可能取值为0，1，2，3，5，
P(ξ=0)===，P(ξ=1)===，P(ξ=2)===，
1
5
6
7
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11
12
13
3
4
2
P(ξ=3)===，P(ξ=5)=.
则巧合数ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3 5
P
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
3
4
2
(2)求巧合数ξ的期望与方差.
解:E(ξ)=0×+1×+2×+3×+5×=1，D(ξ)=1×+0+1×+4×+16×=1.
1
5
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3
4
2
10.有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下:
XA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
XB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
1
5
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10
11
12
13
3
4
2
其中XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
解:E(XA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，
E(XB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，
D(XA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×
(130-125)2+0.2×(135-125)2=50，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
D(XB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由此可见E(XA)=E(XB)，D(XA)故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好.
1
5
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10
11
12
13
3
4
2
B级——应用创新
11.设10≤x1A.D(ξ1)>D(ξ2)
B.D(ξ1)=D(ξ2)
C.D(ξ1)D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
解析:由题意可知E(ξ1)=(x1+x2+x3+x4+x5)，E(ξ2)==(x1+x2+x3+x4+x5)，
期望相等，都设为m，所以D(ξ1)=[(x1-m)2+…+(x5-m)2]，D(ξ2)=，
因为10≤x1D(ξ2).
1
5
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11
12
13
3
4
2
12.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为 .
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误 天数Y 0 2 6 10
9.8
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
解析:由题意可知P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1，所以随机变量Y的概率分布为
所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
1
5
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12
13
3
4
2
13.为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下:
奖项 组别 单人赛 PK
赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率;
解:设事件A表示“抽到的学生获得一等奖”，事件B表示“抽到的学生来自中学组”，
则抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为P(B|A)=，由题表知，P(AB)=，P(A)=，则P(B|A)=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的概率分布列和数学期望;
解:由题意知，X可能取值为0，1，2，
则P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)==，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
所以X的概率分布为
所以E(X)=0×+1×+2×=.
X 0 1 2
P
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为ξ，来自小学组的人数为η，试判断D(ξ)与D(η)的大小关系.(结论不要求证明)
解:由题设知ξ+η=3，所以D(ξ)=D(3-η)=(-1)2·D(η)=D(η).课时跟踪检测(三十一) 离散型随机变量的方差与标准差
A级——综合提能
1.已知随机变量X,Y满足Y=aX+b,且a,b为正数.若D(X)=2,D(Y)=8,则 ( )
A.b=2 B.a=4
C.a=2 D.b=4
2.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值相等,方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 ( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
3.若某随机事件的概率分布列满足P(X=i)=a×(i=1,2,3,4),则D(X)= ( )
A.3 B.10
C.9 D.1
4.[多选]若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 ( )
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=2 D.D(X)=
5.已知下表为离散型随机变量X的概率分布,则P(X≥D(X))等于 ( )
X 0 1 2 3
P
A. B.
C. D.
6.若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为 .
7.已知随机变量ξ的概率分布如表,且满足E(ξ)=1,则a= ;又η=3ξ-1,则D(η)= .
ξ 0 1 2
P a b
8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(09.数字1,2,3,4,5任意排成一列,如果数字k恰好在第k个位置上,则称有一个巧合.把存在此种情况的数字的个数称为巧合数ξ.
(1)求巧合数ξ的概率分布;
(2)求巧合数ξ的期望与方差.
10.有甲、乙两种建筑材料,从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下:
XA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
XB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中XA,XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120,试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
B级——应用创新
11.设10≤x1A.D(ξ1)>D(ξ2)
B.D(ξ1)=D(ξ2)
C.D(ξ1)D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关
12.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X X<300 300≤X <700 700≤X <900 X≥900
工期延误 天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,则工期延误天数Y的方差为 .
13.为弘扬中华优秀传统文化,营造良好的文化氛围,增强文化自觉和文化自信,某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动,该活动有单人赛和PK赛,每人只能参加其中的一项.据统计,中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万,其中获奖学生情况统计如下:
奖项 组别 单人赛 PK 赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
(1)从获奖学生中随机抽取1人,若已知抽到的学生获得一等奖,求抽到的学生来自中学组的概率;
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人,以X表示这2人中PK赛获奖的人数,求X的概率分布列和数学期望;
(3)从获奖学生中随机抽取3人,设这3人中来自中学组的人数为ξ,来自小学组的人数为η,试判断D(ξ)与D(η)的大小关系.(结论不要求证明)
课时跟踪检测(三十一)
1.选C 因为D(X)=2,D(Y)=8,所以8=2a2.又a为正数,所以a=2.
2.选B ∵E(X甲)=E(X乙),且D(X甲)>D(X乙),∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
3.选D 法一 由题意得+++=1,解得a=1,
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=3,所以D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×=1.故选D.
法二 由题意得+++=1,解得a=1,所以E(X)=1×+2×+3×+4×=3,
所以E(X2)=1×+4×+9×+16×=10,所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=10-9=1.故选D.
4.选ABC ∵随机变量X服从两点分布,P(X=0)=,∴P(X=1)=1-P(X=0)=1-=,E(X)=0×+1×=,故A中结论正确;E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B中结论正确;D(X)=×+×=,则D(3X+2)=32D(X)=2,故C中结论正确,D中结论不正确.
5.选A 由题意得E(X)=0×+1×+2×+3×=2,D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,故P(X≥D(X))=P(X≥1)=1-P(X=0)=.
6.解析:在一次试验中发生次数记为ξ,则ξ服从两点分布,则D(ξ)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.
答案:0.5
7.解析:根据ξ的概率分布得+a+b=1,①
因为E(ξ)=1,所以0×+1×a+2×b=1,②
由①②联立得a=,b=,
所以D(ξ)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=.
因为η=3ξ-1,所以D(η)=32D(ξ)=.
答案:
8.解析:随机变量X的所有可能的取值是0,1,并且
P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.
从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,
D(X)=(0-p)2·(1-p)+(1-p)2·p=p-p2=-+.因为0答案:
9.解:(1)ξ可能取值为0,1,2,3,5,
P(ξ=0)===,
P(ξ=1)===,
P(ξ=2)===,
P(ξ=3)===,
P(ξ=5)=.
则巧合数ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3 5
P
(2)E(ξ)=0×+1×+2×+3×+5×=1,D(ξ)=1×+0+1×+4×+16×=1.
10.解:E(XA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
E(XB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
D(XA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,
D(XB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由此可见E(XA)=E(XB),D(XA)故两种材料的抗拉强度的平均值相等,其稳定程度材料乙明显不如材料甲,即甲的稳定性好.
11.选A 由题意可知E(ξ1)=(x1+x2+x3+x4+x5),E(ξ2)==(x1+x2+x3+x4+x5),期望相等,都设为m,所以D(ξ1)=[(x1-m)2+…+(x5-m)2],D(ξ2)=,因为10≤x1D(ξ2).
12.解析:由题意可知P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1,所以随机变量Y的概率分布为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
答案:9.8
13.解:(1)设事件A表示“抽到的学生获得一等奖”,事件B表示“抽到的学生来自中学组”,
则抽到的1个学生获得一等奖,学生来自中学组的概率为P(B|A)=,
由题表知,P(AB)=,P(A)=,
则P(B|A)=.
(2)由题意知,X可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=.
(3)由题设知ξ+η=3,所以D(ξ)=D(3-η)=(-1)2·D(η)=D(η).
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