8.2.3 二项分布(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握n重伯努利试验的概念,掌握二项分布及其数字特征.
2.理解n重伯努利试验的模型,能用二项分布解决简单的实际问题.
1.n重伯努利试验
定义 我们把只包含 可能结果的试验叫作伯努利试验.将一个伯努利试验 重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验
公式 在n重伯努利试验中,每次试验事件A发生的概率均为p(0
2.二项分布的定义及期望与方差
(1)二项分布的定义:若随机变量X的分布列为P(X=k)= ,其中0X 0 1 2 … n
P p0qn pqn-1 p2qn-2 … pnq0
(2)二项分布的期望与方差:一般地,当X~B(n,p)时,E(X)= ,D(X)= ,σ=.
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在n重伯努利试验中,各次试验结果之间没有影响. ( )
(2)在n重伯努利试验中,各次试验成功的概率可以不同. ( )
(3)在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样. ( )
(4)某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮命中的次数X是一个随机变量,且X~B(10,0.6). ( )
(5)若X~B(5,0.4),则E(X)=2,D(X)=3. ( )
2.若X~B(10,0.8),则P(X=8)等于 ( )
A.×0.88×0.22 B.×0.82×0.28
C.0.88×0.22 D.0.82×0.28
3.已知随机变量X服从二项分布B,则E(X)= ( )
A.4 B.
C.2 D.1
题型(一) n重伯努利试验
[例1] 某公园种植了4棵棕榈树,各棵棕榈树成活与否是相互独立的,且成活率均为,设ξ为成活棕榈树的棵数.
(1)求ξ的概率分布列;
(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活,则需要补种,求需要补种棕榈树的概率.
听课记录:
[思维建模] n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时,首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种(即要么发生,要么不发生),在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求概率.
[针对训练]
1.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了5次,求:
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率;
(2)其中恰有3次击中目标的概率;
(3)其中恰有3次连续击中目标,而其他两次没有击中目标的概率.
题型(二) 二项分布的均值与方差
[例2] 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设X为成活沙柳的株数,均值E(X)为3,标准差为.
(1)求n和p的值,并写出X的概率分布;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
听课记录:
[思维建模]
解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布,第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);若X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
[针对训练]
2.已知随机变量X~B(6,p),且E(X)+D(X)=,则p= ( )
A. B.
C. D.
3.某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心,且每人只拨打一次.
(1)求他们中成功咨询的人数X的概率分布;
(2)求E(X)与D(X)的值.
题型(三) 二项分布的实际应用
[例3] 春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖.活动如下:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,且顾客有放回地抽取3次.超市设计了两种抽奖方案.
方案一:若抽到红球则顾客获得60元的返金券,若抽到白球则获得20元的返金券.
方案二:若抽到红球则顾客获得80元的返金券,若抽到白球则未中奖.
(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;
(2)若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;
②为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动
听课记录:
[思维建模] 二项分布的实际应用问题的求解步骤
(1)根据题意设出随机变量.
(2)判断随机变量是否服从二项分布.
(3)求出参数n和p的值.
(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解.
[针对训练]
4.“绿水青山就是金山银山”是习近平总书记于2005年8月在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断.为提高学生环保意识,某校决定在高一,高二年级开展环保知识测试,已知高一,高二年级每个学生通过测试的概率分别为,.
(1)从高二年级随机抽取6人参加测试,求通过测试的人数不多于4人的概率;
(2)若两个年级各选派部分学生参加测试,高二年级通过测试人数的标准差为,则高一年级至少选派多少人参加测试,才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.
8.2.3 二项分布
课前环节
1.两个 独立地 pkqn-k k+1
2.(1)pkqn-k (2)np np(1-p)
[基点训练]
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.选A ∵X~B(10,0.8),∴P(X=8)=×0.88×0.22,故选A.
3.选C 由随机变量X服从二项分布B,可得E(X)=np=4×=2.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)易知ξ所有可能的取值为0,1,2,3,4,
且P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)记“需要补种棕榈树”为事件A,由(1)得,
P(A)=P(ξ≤2)=++=,
所以需要补种棕榈树的概率为.
[针对训练]
1.解:(1)该射手射击了5次,其中只在第一、三、五次击中目标,相当于射击了5次,在第一、三、五次击中目标,在第二、四次没有击中目标,所以只有一种情况,又因为各次射击的结果互不影响,故所求概率为P=××××=.
(2)因为各次射击的结果互不影响,所以符合n次独立重复试验的概率模型.该射手射击了5次,其中恰有3次击中目标的概率为P=××=.
(3)该射手射击了5次,其中恰有3次连续击中目标,而其他两次没有击中目标,把3次连续击中目标看成一个整体,可得共有种情况.故所求概率为P=××=.
[题型(二)]
[例2] 解:由题意知,X~B(n,p),P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.
(1)由E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=,得1-p=,从而n=6,p=.
X的概率分布为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)记A=“需要补种沙柳”,则P(A)=P(X≤3),得P(A)=+++=,所以需要补种沙柳的概率为.
[针对训练]
2.选C 因为随机变量X~B(6,p),所以E(X)=6p,D(X)=6p(1-p),因为E(X)+D(X)=,所以6p+6p(1-p)=,解得p=或p=(舍去).
3.解:(1)依题意知X~B,且P(X=k)=××,k=0,1,2,3.
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=×=.
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
(2)由X~B及二项分布的性质得,
E(X)=np=3×=,D(X)=np(1-p)=3××=.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)选择方案一,则每一次摸到红球的概率为p==,
设“每位顾客获得180元返金券”为事件A,则P(A)==,
所以两位顾客均获得180元返金券的概率P=P(A)·P(A)=×=.
(2)①若选择抽奖方案一,则每一次摸到红球的概率为,每一次摸到白球的概率为.
设获得返金券金额为X元,则可能的取值为60,100,140,180,
则P(X=60)==,
P(X=100)==,
P(X=140)==,
P(X=180)==,
所以该顾客获得返金券金额的数学期望为E(X)=60×+100×+140×+180×=100(元).
若选择抽奖方案二,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为Y,
最终获得返金券的金额为Z元,则Y~B,故E(Y)=3×=1,
所以该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(80Y)=80(元).
②由①得E(X)>E(Z),所以该超市应选择方案一.
[针对训练]
4.解:(1)设高二年级参加测试人数为n,通过测试人数为X,则X~B,由题意得,n=6,
∴P(X≤4)=1-P(X=5)-P(X=6)
=1--=.
(2)D(X)=n××=,
∵==,∴n=50,
∴E(X)=,
设高一年级参加测试人数为m,通过测试人数为Y,则Y~B,易知E(Y)=,
由题意,E(Y)≥E(X),即≥,
得m≥=55,
∴高一年级至少派56人参加测试,才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.
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8.2.3
二项分布
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握n重伯努利试验的概念，掌握二项分布及其数字特征.
2.理解n重伯努利试验的模型，能用二项分布解决简单的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.n重伯努利试验
定义 我们把只包含 可能结果的试验叫作伯努利试验.将一个伯努利试验 重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验
公式 在n重伯努利试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0两个
独立地
pkqn-k
k+1
2.二项分布的定义及期望与方差
(1)二项分布的定义:若随机变量X的分布列为P(X=k)= ，其中0(2)二项分布的期望与方差:一般地，当X~B(n，p)时，E(X)= ，D(X)= ，σ=.
X 0 1 2 … n
P p0qn pqn-1 p2qn-2 … pnq0
pkqn-k
np
np(1-p)
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在n重伯努利试验中，各次试验结果之间没有影响. ( )
(2)在n重伯努利试验中，各次试验成功的概率可以不同. ( )
(3)在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样. ( )
(4)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮命中的次数X是一个随机变量，且X~B(10，0.6). ( )
(5)若X~B(5，0.4)，则E(X)=2，D(X)=3. ( )
基点训练
√
×
√
√
×
2.若X~B(10，0.8)，则P(X=8)等于 ( )
A.×0.88×0.22 B.×0.82×0.28
C.0.88×0.22 D.0.82×0.28
解析:∵X~B(10，0.8)，∴P(X=8)=×0.88×0.22，故选A.
√
3.已知随机变量X服从二项分布B，则E(X)=( )
A.4 B.
C.2 D.1
解析:由随机变量X服从二项分布B，可得E(X)=np=4×=2.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) n重伯努利试验
[例1] 某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率均为，设ξ为成活棕榈树的棵数.
(1)求ξ的概率分布列;
解:易知ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，
且P(ξ=0)==，
P(ξ=1)==，
P(ξ=2)==，
P(ξ=3)==，
P(ξ=4)==，
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.
解:记“需要补种棕榈树”为事件A，由(1)得，
P(A)=P(ξ≤2)=++=，
所以需要补种棕榈树的概率为.
[思维建模]
n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率.
针对训练
1.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求:
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率;
解:该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P=××××=.
(2)其中恰有3次击中目标的概率;
解:因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验的概率模型.该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为P=××=.
(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.
解:该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况.
故所求概率为P=××=.
题型(二) 二项分布的均值与方差
[例2] 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出X的概率分布;
解:由题意知，X~B(n，p)，P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，…，n.
由E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=，得1-p=，从而n=6，p=.X的概率分布为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
解:记A=“需要补种沙柳”，则P(A)=P(X≤3)，
P(A)=+++=，
所以需要补种沙柳的概率为.
[思维建模]
解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p);若X服从二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p).
针对训练
2.已知随机变量X~B(6，p)，且E(X)+D(X)=，则p=( )
A. B.
C. D.
解析:因为随机变量X~B(6，p)，所以E(X)=6p，D(X)=6p(1-p)，
因为E(X)+D(X)=，所以6p+6p(1-p)=，解得p=或p=(舍去).
√
3.某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次.
(1)求他们中成功咨询的人数X的概率分布;
解:依题意知X~B，且P(X=k)=××，k=0，1，2，3.
P(X=0)=××=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
(2)求E(X)与D(X)的值.
解:由X~B及二项分布的性质得，
E(X)=np=3×=，
D(X)=np(1-p)=3××=.
题型(三) 二项分布的实际应用
[例3] 春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖.活动如下:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，且顾客有放回地抽取3次.超市设计了两种抽奖方案.
方案一:若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券.
方案二:若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖.
(1)现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;
解:选择方案一，则每一次摸到红球的概率为p==，
设“每位顾客获得180元返金券”为事件A，则P(A)==，
所以两位顾客均获得180元返金券的概率P=P(A)·P(A)=×=.
(2)若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动
解:①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设获得返金券金额为X元，则可能的取值为60，100，140，180，
则P(X=60)==，P(X=100)==，
P(X=140)==，P(X=180)==，
所以该顾客获得返金券金额的数学期望为E(X)=60×+100×+140×+180×=100(元).
若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，
最终获得返金券的金额为Z元，则Y~B，故E(Y)=3×=1，
所以该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(80Y)=80(元).
②由①得E(X)>E(Z)，
所以该超市应选择方案一.
[思维建模]
二项分布的实际应用问题的求解步骤
(1)根据题意设出随机变量.
(2)判断随机变量是否服从二项分布.
(3)求出参数n和p的值.
(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解.
针对训练
4.“绿水青山就是金山银山”是习近平总书记于2005年8月在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断.为提高学生环保意识，某校决定在高一，高二年级开展环保知识测试，已知高一，高二年级每个学生通过测试的概率分别为.
(1)从高二年级随机抽取6人参加测试，求通过测试的人数不多于4人的概率;
解:设高二年级参加测试人数为n，通过测试人数为X，则X~B，
由题意得，n=6，
∴P(X≤4)=1-P(X=5)-P(X=6)
=1--=.
(2)若两个年级各选派部分学生参加测试，高二年级通过测试人数的标准差为，则高一年级至少选派多少人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.
解:D(X)=n××=，
∵==，∴n=50，
∴E(X)=，
设高一年级参加测试人数为m，通过测试人数为Y，则Y~B，易知E(Y)=，
由题意，E(Y)≥E(X)，即，
得m≥=55，
∴高一年级至少派56人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——综合提能
1.在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:设事件A在一次试验中发生的概率为p，
由题意得1-p0(1-p)4=，所以1-p=，p=.
√
1
5
6
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2
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2.已知随机变量X~B(2，p)，P(X=1)=，则E=( )
A. B.
C. D.2
解析:依题意，P(X=1)=p(1-p)=2p(1-p)=，解得p=，
所以E(X)=2×=1，所以E=E(X)=×1=.
√
1
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2
3.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为( )
A. B.1
C. D.
解析:遇到红灯的次数X~B，∴E(X)=4×=，∴E(Y)=E(2X)=2×=.
√
1
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2
4.[多选]设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(3，p)，若P(ξ≥1)=，则( )
A.p= B.E(ξ)=
C.D(η)=1 D.P(η≥2)=
解析:由P(ξ=0)+P(ξ≥1)=1，则P(ξ=0)=p0(1-p)2=，可得p=，
所以E(ξ)=2×=，D(η)=3××=，
P(η≥2)=p2(1-p)1+p3(1-p)0=+=.
√
√
√
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4
2
5.已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中两次停止时，罚球次数恰为4的概率是 ( )
A. B.
C. D.
√
1
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解析:设运动员罚球一次“命中”记为事件A，则P(A)=0.4，P()=0.6.命中两次停止时，罚球次数恰为4，说明第4次命中，前3次命中1次，故所求概率为0.4×0.62×0.4=.
1
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6.如果随机变量ξ~B(n，p)，且E(ξ)=10，D(ξ)=8，则p等于 .
解析:由题意得，E(ξ)=np=10，D(ξ)=np(1-p)=8，解得p=0.2.
0.2
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2
7.小李上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率
为 .
解析:4次均不是绿灯的概率为××=，3次不是绿灯的概率为××=，∴至少遇到2次绿灯的概率为1--=.
1
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2
8.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球，现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)=1，则E(X)= .
解析:有放回地摸取4次，每次随机摸取一球是白球的概率相等，设为p，而摸取1次即为一次试验，只有两个不同结果，因此，X~B(4，p)，则D(X)=4(1-p)p=1，解得p=，所以E(X)=4p=2.
2
1
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8
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11
12
13
14
3
4
2
9.某运动员投篮命中率为p=0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值;
解:投篮1次，命中次数X的概率分布为
则E(X)=0.6.
X 0 1
P 0.4 0.6
1
5
6
7
8
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(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值.
解:由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，
即Y~B(5，0.6)，则E(Y)=np=5×0.6=3.
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10.小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次，击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲、乙、丙均没有重复的部分.这次射击比赛获奖规则是:若击中区域甲则获一等奖;若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖;若击中区域丙则获得三等奖;若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号.
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(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率;
解:记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A，“射击一次获得一等奖”为事件B，“射击一次获得二等奖”为事件C，所以有A=B∪C，所以P(B)=，P(C)=×=，所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=.
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(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X的概率分布列和数学期望.
解:获得三等奖的次数为X，X的可能取值为0，1，2，3，4;
记“获得三等奖”为事件D，所以P(D)=+×=，
所以P(X=0)==，P(X=1)===，
P(X=2)===，P(X=3)===，
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P(X=4)==，
所以X的概率分布为
显然X~B，E(X)=4×=1.
X 0 1 2 3 4
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B级——应用创新
11.A，B两组各有3人独立的破译某密码，A组每个人成功破译出该密码的概率为p1，B组每个人成功破译出该密码的概率为p2，记A，B两组中成功破译出该密码的人数分别为X，Y，若0A.E(X)>E(Y)，D(X)E(Y)，D(X)>D(Y)
C.E(X)D(Y)
√
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解析:由题意可知，X服从二项分布B(3，p1)，所以E(X)=3p1，D(X)=3p1(1-p1).同理，Y服从二项分布B(3，p2)，所以E(Y)=3p2，D(Y)=3p2(1-p2).因为0所以当01
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12.已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0A.a+b=1
B.p=时，a=b
C.0D.√
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解析:对于A，由概率的基本性质可知，a+b=1，故A正确;对于B，由p=时，离散型随机变量X服从二项分布B，
则P(X=k)=(k=0，1，2，3，…，n)，所以a=(+++…)=×2n-1=，b=(+++…)=×2n-1=，所以a=b，故B正确;对于C、D，a==，当01
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13.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫(1821.5~1894.12)在研究统计规律时发现的，其内容是:对于任一随机变量X，若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任意正实数ε，有P(|X-E(X)|<ε)≥1-.根据该不等式可以对事件|X-E(X)|<ε的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，
为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，
估计信号发射次数n的值至少为 .
1 250
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解析:由题意知X~B，所以E(X)=0.5n，D(X)=0.25n，
若0.4<<0.6，则0.4n即|X-0.5n|<0.1n，由切比雪夫不等式P(|X-0.5n|<0.1n)≥1-知，
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，
则1-≥0.98，解得n≥1 250，
所以估计信号发射次数n的最小值为1 250.
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14.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有两个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下:抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上两级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.规定:从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.
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(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，求X的概率分布列及数学期望E(X);
解:由题意可知，每次掷骰子上两级台阶的概率为=，上三级台阶的概率为=，
且X的可能取值为6，7，8，9，设Y=X-6，
则Y~B，
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则有P(X=6)=P(Y=0)==，
P(X=7)=P(Y=1)=××=，
P(X=8)=P(Y=2)=××=，
P(X=9)=P(Y=3)==，
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所以X的概率分布为
X的数学期望E(X)=6×+7×+8×+9×=7.
X 6 7 8 9
P
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(2)①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率;
②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率.
解:①因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，
结合题意可知，若学生位于第10级台阶，则投掷3次后，学生位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶，所以不能获得奖品的概率为P1=×××=.
②甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率P=××=.课时跟踪检测(三十二) 二项分布
A级——综合提能
1.在4重伯努利试验中,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为 ( )
A. B.
C. D.
2.已知随机变量X~B(2,p),P(X=1)=,则E= ( )
A. B.
C. D.2
3.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min,则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为 ( )
A. B.1
C. D.
4.[多选]设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=,则 ( )
A.p= B.E(ξ)=
C.D(η)=1 D.P(η≥2)=
5.已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4,该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响),则在罚球命中两次停止时,罚球次数恰为4的概率是 ( )
A. B.
C. D.
6.如果随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=10,D(ξ)=8,则p等于 .
7.小李上班的路上有4个红绿灯路口,假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为,则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为 .
8.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球,现从中有放回地摸取4次,每次都是随机摸取一球,设摸得白球个数为X,若D(X)=1,则E(X)= .
9.某运动员投篮命中率为p=0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.
10.小明参加社区组织的射击比赛活动,已知小明射击一次,击中区域甲的概率是,击中区域乙的概率是,击中区域丙的概率是,区域甲、乙、丙均没有重复的部分.这次射击比赛获奖规则是:若击中区域甲则获一等奖;若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖,有一半的机会获得三等奖;若击中区域丙则获得三等奖;若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号.
(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率;
(2)小明在比赛中射击4次,每次射击的结果相互独立,设获三等奖的次数为X,求X的概率分布列和数学期望.
B级——应用创新
11.A,B两组各有3人独立的破译某密码,A组每个人成功破译出该密码的概率为p1,B组每个人成功破译出该密码的概率为p2,记A,B两组中成功破译出该密码的人数分别为X,Y,若0A.E(X)>E(Y),D(X)B.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)
C.E(X)D.E(X)D(Y)
12.已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),其中n∈N*,0A.a+b=1
B.p=时,a=b
C.0D.13.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫(1821.5~1894.12)在研究统计规律时发现的,其内容是:对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在,则对任意正实数ε,有P(|X-E(X)|<ε)≥1-.根据该不等式可以对事件|X-E(X)|<ε的概率作出估计.在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列,现连续发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内,估计信号发射次数n的值至少为 .
14.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动,其中有两个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下:抛掷一枚质地均匀的骰子一次,出现3的倍数,则一次上三级台阶,否则上两级台阶,再重复以上步骤,当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.规定:从平地开始,结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物,位于第9级台阶可获得一套智力玩具,位于第10级台阶则认定游戏失败.
(1)某学生抛掷三次骰子后,按游戏规则位于第X级台阶,求X的概率分布列及数学期望E(X);
(2)①求一位同学参加游戏,他不能获得奖品的概率;
②若甲、乙两位学生参加游戏,求恰有一人获得奖品的概率.
课时跟踪检测(三十二)
1.选A 设事件A在一次试验中发生的概率为p,由题意得1-p0(1-p)4=,所以1-p=,p=.
2.选A 依题意,P(X=1)=p(1-p)=2p(1-p)=,解得p=,所以E(X)=2×=1,所以E=E(X)=×1=.
3.选D 遇到红灯的次数X~B,∴E(X)=4×=,∴E(Y)=E(2X)=2×=.
4.选ABD 由P(ξ=0)+P(ξ≥1)=1,则P(ξ=0)=p0(1-p)2=,可得p=,所以E(ξ)=2×=,D(η)=3××=,P(η≥2)=p2(1-p)1+p3(1-p)0=+=.
5.选C 设运动员罚球一次“命中”记为事件A,则P(A)=0.4,P()=0.6.命中两次停止时,罚球次数恰为4,说明第4次命中,前3次命中1次,故所求概率为0.4×0.62×0.4=.
6.解析:由题意得,E(ξ)=np=10,D(ξ)=np(1-p)=8,解得p=0.2.
答案:0.2
7.解析:4次均不是绿灯的概率为××=,3次不是绿灯的概率为××=,∴至少遇到2次绿灯的概率为1--=.
答案:
8.解析:有放回地摸取4次,每次随机摸取一球是白球的概率相等,设为p,而摸取1次即为一次试验,只有两个不同结果,因此,X~B(4,p),则D(X)=4(1-p)p=1,解得p=,所以E(X)=4p=2.
答案:2
9.解:(1)投篮1次,命中次数X的概率分布为
X 0 1
P 0.4 0.6
则E(X)=0.6.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=np=5×0.6=3.
10.解:(1)记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A,“射击一次获得一等奖”为事件B,“射击一次获得二等奖”为事件C,所以有A=B∪C,所以P(B)=,P(C)=×=,所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=.
(2)获得三等奖的次数为X,X的可能取值为0,1,2,3,4;
记“获得三等奖”为事件D,所以P(D)=+×=,
所以P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
P(X=4)==,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
显然X~B,E(X)=4×=1.
11.选C 由题意可知,X服从二项分布B(3,p1),所以E(X)=3p1,D(X)=3p1(1-p1).同理,Y服从二项分布B(3,p2),所以E(Y)=3p2,D(Y)=3p2(1-p2).因为012.选D 对于A,由概率的基本性质可知,a+b=1,故A正确;对于B,由p=时,离散型随机变量X服从二项分布B,则P(X=k)=·(k=0,1,2,3,…,n),所以a=(+++…)=×2n-1=,b=(+++…)=×2n-1=,所以a=b,故B正确;对于C、D,a==,当013.解析:由题意知X~B,所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25n,
若0.4<<0.6,则0.4n即-0.1n要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内,
则1-≥0.98,解得n≥1 250,
所以估计信号发射次数n的最小值为1 250.
答案:1 250
14.解:(1)由题意可知,每次掷骰子上两级台阶的概率为=,上三级台阶的概率为=,
且X的可能取值为6,7,8,9,设Y=X-6,则Y~B,
则有P(X=6)=P(Y=0)==,
P(X=7)=P(Y=1)=××=,P(X=8)=P(Y=2)=××=,
P(X=9)=P(Y=3)==,
所以X的概率分布为
X 6 7 8 9
P
X的数学期望E(X)=6×+7×+8×+9×=7.
(2)①因为位于第10级台阶则认定游戏失败,无法获得奖品,
结合题意可知,若学生位于第10级台阶,则投掷3次后,学生位于第7级台阶,投掷第4次上三级台阶,所以不能获得奖品的概率为P1=×××=.
②甲、乙两位学生参加游戏,恰有一人获得奖品的概率P=××=.
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