8.3 正态分布(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量,理解正态密度曲线的含义.
2.通过具体实例,借助频率直方图的几何直观了解正态分布的特征.
3.了解正态分布的均值、方差及其含义.
1.概率密度曲线
对于某一随机变量的频率直方图,若数据无限 且组距无限 ,那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线,我们将此曲线称为概率密度曲线.
2.正态密度曲线
函数 表达式 P(x)=,x∈R,其中实数μ(μ∈R)和σ(σ>0)为参数
图象 的特征 ①当x<μ时,曲线 ;当x>μ时,曲线 ;当曲线向左右两边无限延伸时,以 为渐近线. ②曲线关于直线 对称. ③σ越 ,曲线越扁平;σ越 ,曲线越尖陡. ④在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为
3.正态分布
设X是一个随机变量,若对任给区间(a,b],P(a
4.标准正态分布
正态分布 称为标准正态分布.
5.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
(1)落在区间(μ-σ,μ+σ)内的概率约为68.3%;
(2)落在区间(μ-2σ,μ+2σ)内的概率约为95.4%;
(3)落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率约为99.7%.
[基点训练]
1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=,则这个正态总体的均值与标准差分别是 ( )
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
2.函数f(x)=(其中μ<0)的图象可能为 ( )
3.在正态分布N中,数据落在[-2,2]内的概率为 .
题型(一) 正态密度曲线
[例1] 已知随机变量服从正态分布,其正态曲线如图所示,则总体的均值μ= ,方差σ2= .
听课记录:
[思维建模] 正态曲线中μ,σ的认识
利用图象求正态密度曲线的解析式,应抓住图象的实质,主要有两点:
一是对称轴x=μ,二是最值.这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,代入便可求出相应的解析式.
[针对训练]
1.[多选]某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩X(单位:分)服从正态分布,其正态密度函数f(x)=,则下列说法正确的是 ( )
A.这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.这次考试的数学成绩的标准差为10
2.若一个正态密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为,求该正态密度函数的解析式.
题型(二) 正态分布的概率计算
[例2] 设ξ~N(1,22),试求:
(1)P(-1<ξ<3);
(2)P(3≤ξ<5);
(3)P(ξ≥5).
听课记录:
[思维建模] 利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如:
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法:利用X落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解.
[针对训练]
3.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2A.0.11 B.0.39
C.0.5 D.0.61
4.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则 ( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
题型(三) 正态分布的实际应用
[例3] 有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个,试求:
(1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比;
(2)若规定尺寸在24~26 mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个
听课记录:
[思维建模] 正态分布的实际应用
解题时,应当注意零件尺寸应落在相应的概率区间内,否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,而一旦发生了,就可以认为这批产品不合格.
[针对训练]
5.某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路线较长不拥挤,到达时间X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线 若离点名时间还有6.5分钟,问他应选哪一条路线
8.3 正态分布
课前环节
1.增多 缩小 2.上升 下降 x轴
x=μ 大 小 1 3.正态密度曲线下方 x轴上(a,b]上方 X~N(μ,σ2)
4.N(0,1)
[基点训练]
1.B
2.选A 函数f(x)图象的对称轴为直线x=μ,因为μ<0,所以排除B、D;又正态曲线位于x轴上方,因此排除C,故选A.
3.解析:由题可得μ=0,σ=,P(-2≤X≤2)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
答案:0.997
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解析:从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以=,解得σ=,因此总体的均值μ=20,方差σ2=()2=2.
答案:20 2
[针对训练]
1.选ACD 由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分,标准差为10,故A、D正确.因为函数图象关于直线x=80对称,所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同,分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同,故B错误,C正确.
2.解:由于该正态密度函数是一个偶函数,
所以正态曲线关于y轴对称,即μ=0,
又该函数的最大值是,
所以=,解得σ=4.
故所求正态密度函数的解析式为f(x)=,x∈(-∞,+∞).
[题型(二)]
[例2] 解:(1)∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2,
∴P(-1<ξ<3)=P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.683.
(2)P(3≤ξ<5)=P(μ+σ≤ξ<μ+2σ)
=[P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)]≈×(0.954-0.683)=0.135 5.
(3)P(ξ≥5)=P(ξ≥μ+2σ)=[1-P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)]≈×(1-0.954)=0.023.
[针对训练]
3.选A 因为X服从正态分布N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(22.5)=0.11.
4.选BC 依题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正确,D错误;P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2,而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误.故选BC.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,∴μ-σ=18,μ+σ=22,于是尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴尺寸在14~26 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%,而尺寸在16~24 mm间的零件所占的百分比大约是95.4%,
∴尺寸在24~26 mm间的零件所占的百分比大约是=2.15%.
因此尺寸在24~26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个).
∴这批零件中不合格的零件大约有108个.
[针对训练]
5.解:当还有7分钟时:
若选第一条路线,即X~N(5,1),
能及时到达的概率P1=P(X≤7)=P(X≤5)+P(5若选第二条路线,即X~N(6,0.16),
能及时到达的概率P2=P(X≤7)=P(X≤6)+P(6所以P1当还有6.5分钟时:
若选第一条路线,即X~N(5,1),
能及时到达的概率P1=P(X≤6.5)=P(X≤5)+P(5若选第二条路线,即X~N(6,0.16),
能及时到达的概率P2=P(X≤6.5)=P(X≤6)+P(6因为P(μ-1.5σ≤X≤μ+1.5σ)>P(μ-1.25σ≤X≤μ+1.25σ),
所以P1>P2,所以应选第一条路线.
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8.3
正态分布
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，理解正态密度曲线的含义.
2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观了解正态分布的特征.
3.了解正态分布的均值、方差及其含义.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.概率密度曲线
对于某一随机变量的频率直方图，若数据无限 且组距无限 ，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，
我们将此曲线称为概率密度曲线.
增多
缩小
2.正态密度曲线
函数 表达式 P(x)=，x∈R，其中实数μ(μ∈R)和σ(σ>0)为参数
图象 的特征 ①当x<μ时，曲线 ;当x>μ时，曲线 ;当曲线向左右两边无限延伸时，以 为渐近线.
②曲线关于直线 对称.
③σ越 ，曲线越扁平;σ越 ，曲线越尖陡.
④在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为______.
上升
下降
x轴
x=μ
大
小
1
3.正态分布
设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，
P(a4.标准正态分布
正态分布 称为标准正态分布.
x轴上(a，b]上方
X~N(μ，σ2)
N(0，1)
正态密度曲线下方x轴上(a，b]上方
5.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
(1)落在区间(μ-σ，μ+σ)内的概率约为68.3%;
(2)落在区间(μ-2σ，μ+2σ)内的概率约为95.4%;
(3)落在区间(μ-3σ，μ+3σ)内的概率约为99.7%.
1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
基点训练
√
2.函数f(x)=(其中μ<0)的图象可能为( )
解析:函数f(x)图象的对称轴为直线x=μ，因为μ<0，所以排除B、D;
又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，故选A.
√
3.在正态分布N中，数据落在[-2，2]内的概率为 .
解析:由题可得μ=0，σ=，P(-2≤X≤2)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
0.997
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 正态密度曲线
[例1] 已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ= ，方差σ2= .
20
2
解析:从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2.
[思维建模]
正态曲线中μ，σ的认识
利用图象求正态密度曲线的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点:
一是对称轴x=μ，二是最值.这两点确定以后，相应参数μ，
σ便确定了，代入便可求出相应的解析式.
针对训练
1.[多选]某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位:分)服从正态分布，其正态密度函数f(x)=，则下列说法正确的是( )
A.这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.这次考试的数学成绩的标准差为10
√
√
√
解析:由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A、D正确.因为函数图象关于直线x=80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确.
2.若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，
求该正态密度函数的解析式.
解:由于该正态密度函数是一个偶函数，
所以正态曲线关于y轴对称，即μ=0，
又该函数的最大值是，
所以=，解得σ=4.
故所求正态密度函数的解析式为f(x)=，x∈(-∞，+∞).
题型(二) 正态分布的概率计算
[例2] 设ξ~N(1，22)，试求:
(1)P(-1<ξ<3);
解:∵ξ~N(1，22)，∴μ=1，σ=2，
∴P(-1<ξ<3)=P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.683.
(2)P(3≤ξ<5);
解:P(3≤ξ<5)=P(μ+σ≤ξ<μ+2σ)
=[P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)]≈×(0.954-0.683)=0.135 5.
(3)P(ξ≥5).
解:P(ξ≥5)=P(ξ≥μ+2σ)=[1-P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)]≈×(1-0.954)=0.023.
[思维建模]
利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，
故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如:
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法:利用X落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]内的概率分别是0.683，0.954，0.997求解.
针对训练
3.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2则P(X<1.5)= ( )
A.0.11 B.0.39
C.0.5 D.0.61
解析:因为X服从正态分布N(2，σ2)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5，
因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(22.5)=0.11.
√
4.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，
从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本
方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，
假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
√
√
解析:依题可知X~N(1.8，0.12)，Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，
D错误;P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)，因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2，B正确，A错误.
故选BC.
题型(三) 正态分布的实际应用
[例3] 有一种精密零件，其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20，4).若这批零件共有5 000个，试求:
(1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比;
解:∵X~N(20，4)，∴μ=20，σ=2，
∴μ-σ=18，μ+σ=22，于是尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
(2)若规定尺寸在24~26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个
解:∵μ-3σ=14，μ+3σ=26，μ-2σ=16，μ+2σ=24，
∴尺寸在14~26 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16~24 mm间的零件所占的百分比大约是95.4%，
∴尺寸在24~26 mm间的零件所占的百分比大约是=2.15%.
因此尺寸在24~26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个).
∴这批零件中不合格的零件大约有108个.
[思维建模]
正态分布的实际应用
解题时，应当注意零件尺寸应落在相应的概率区间内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
针对训练
5.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1);第二条路线较长不拥挤，到达时间X服从正态分布N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线 若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线
解:当还有7分钟时:
若选第一条路线，即X~N(5，1)，
能及时到达的概率P1=P(X≤7)=P(X≤5)+P(5+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ);
若选第二条路线，即X~N(6，0.16)，
能及时到达的概率P2=P(X≤7)=P(X≤6)+P(6因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)所以应选第二条路线.
当还有6.5分钟时:
若选第一条路线，即X~N(5，1)，能及时到达的概率P1=P(X≤6.5)=P(X≤5)+P(5若选第二条路线，即X~N(6，0.16)，
能及时到达的概率P2=P(X≤6.5)=P(X≤6)+P(6因为P(μ-1.5σ≤X≤μ+1.5σ)>P(μ-1.25σ≤X≤μ+1.25σ)，所以P1>P2，
所以应选第一条路线.
课时跟踪检测
1
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4
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6
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14
2
A级——综合提能
1.已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X≥4)=P(X≤-2)，
则μ=( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解析:∵X~N(μ，σ2)，P(X≥4)=P(X≤-2)，∴μ==1.
√
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2
3
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2.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法正确的是 ( )
A.甲科总体成绩的标准差最小
B.丙科总体成绩的平均数最小
C.乙科总体成绩的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙三科成绩的平均数不相同
√
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3
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2
3.随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2≤ξ≤6)=0.6，则μ等于 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:∵P(ξ<2)=0.2，P(2≤ξ≤6)=0.6，∴P(ξ>6)=1-0.2-0.6=0.2，
即P(ξ<2)=P(ξ>6)，∴μ==4.
√
1
5
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4
2
4.已知某社区居民每周运动总时长为随机变量X(单位:小时)，且X~N(5.5，σ2)，P(X>6)=0.2.现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时长为5至6小时的概率为 ( )
A.0.642 B.0.648
C.0.722 D.0.748
解析:由题意得P(X>5.5)=0.5，则P(5.5故P(55至6小时的概率为0.62×0.4+0.63=0.648.
√
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2
5. [多选]若随机变量X~N(μ1，)，Y~N(μ2，)，X，Y的正态密度曲线如图所示，则( )
A.μ1<μ2 B.σ1<σ2
C.P(X≤μ1+σ1)√
√
1
5
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3
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2
解析:观察图象知，X的均值比Y的均值小，X的标准差比Y的标准差大，即μ1<μ2，σ1>σ2，故A正确，B错误;
P(X≤μ1+σ1)=+P(μ1-σ1≤X≤μ1+σ1)，
P(Y≤μ2+σ2)=+P(μ2-σ2≤Y≤μ2+σ2)，而P(μ1-σ1≤X≤μ1+σ1)=
P(μ2-σ2≤Y≤μ2+σ2)，则P(X≤μ1+σ1)=P(Y≤μ2+σ2)，故C错误;由μ1<μ2，σ1>σ2，得μ1+σ2<μ1+σ1，μ2+σ2<μ2+σ1，
因此P(X≤μ1+σ2)故选AD.
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6.若随机变量X~N(2，4)，P(X≤0)=0.1，则P(2解析:由题意知，μ=2，σ=2，所以P(X≤0)=P(X≥4)=0.1，
P(00.4
1
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3
4
2
7.如果随机变量X~N(3，σ2)，且P(X<1)=0.1，那么P(1≤X<5)= .
解析:因为随机变量X~N(3，σ2)，所以正态曲线的对称轴是x=3，
所以P(X≥5)=P(X<1)=0.1，
所以P(1≤X<5)=1-P(X<1)-P(X≥5)=1-0.1-0.1=0.8.
0.8
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3
4
2
8.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的.如果某地成年男子的身高X~N(173，8)(单位:cm)，则车门应设计至少高 cm(结果精确到1 cm).
参考数据:若Z~N(0，1)，则P(Z≤2.33)=0.99，P(Z≤3.09)=0.999，≈1.4.
解析:设车门设计的高度为x cm，由题意需使P(X≤x)<99%，
因为Z~N(0，1)，P(Z≤2.33)=0.99，所以≥2.33，
解得x≥173+2.33×2≈173+2.33×2×1.4=179.524，所以车门应设计至少高180 cm.
180
1
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6
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13
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3
4
2
9.已知随机变量X~N(μ，σ2)，且其正态密度曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，且P(72(1)求参数μ，σ的值;
解:∵正态密度曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，∴μ=80，
又P(721
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(2)求P(64解:P(641
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10.某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10 000名，每人被赔付的概率均为0.25%，记10 000名客户中获得赔偿的人数为X.
(1)求E(X)，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望;
解:由题可知X~B(10 000，0.25%)，
则E(X)=10 000×0.002 5=25.
记该公司今年这一款保险产品利润为变量Y，则Y=200-5X，所以E(Y)=E(200-5X)=200-5E(X)=75万元.
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(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若X~B(n，p)，
则D(X)=np(1-p)，当n较大且p较小时，我们为了简化计算，常用E(X)的值估算D(X)的值.请根据上述信息，求:
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率;
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据:若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683，
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
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解:①因为X~B(n，p)，当n较大且p较小时，E(X)=25，则D(X)=25.
由于n较大，X~N(μ，σ2)，其中μ=E(X)=25，σ2=D(X)=25，
若该公司今年这一款保险产品利润Y=200-5X∈(50，100)，
则X∈(20，30)，
所以P(50②若该公司今年这一款保险产品利润Y=200-5X<0，则X>40，
所以P(Y<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)≈=0.001 5.
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B级——应用创新
11.某校高三学生的一次期中考试的数学成绩(单位:分)近似服从正态分布N(100，102)，从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩为800.68，P(μ-2σA. B.
C. D.
√
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解析:由题知，事件AB为“该同学的成绩X满足80因为μ-2σ=100-20=80，μ-σ=100-10=90，
所以P(AB)=P(μ-2σ=，又P(A)=P(μ-2σ所以P(B|A)==×=.
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12.[多选]数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布
B(n，p)，那么当n比较大时，X近似服从正态分布N(μ，σ2)，
其密度函数为φμ，σ(x)=，x∈R.任意正态分布
X~N(μ，σ2)，可通过变换Z=转化为标准正态分布Z~N(0，1).
当Z~N(0，1)时，对任意实数x，记Φ(x)=P(Z1
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A.Φ(x)+Φ(-x)=
B.当x>0时，P(-x≤ZC.随机变量X~N(μ，σ2)，当μ减小，σ增大时，概率P(|X-μ|<σ)保持不变
D.随机变量X~N(μ，σ2)，当μ，σ都增大时，概率P(|X-μ|<σ)增大
√
√
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解析:根据正态曲线的对称性可得Φ(-x)=P(Z<-x)=P(Z≥x)=1-P(Z1-Φ(x)，即Φ(x)+Φ(-x)=1，故A错误;
当x>0时，P(-x≤Z1-2[1-P(Zμ代表均值，x=μ即为图象的对称轴，又X分布在 (μ-σ，μ+σ)的概率是常数，故由P(|X-μ|<σ)=P(μ-σ1
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13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用.已知某批产品的质量指标X服从正态分布N(15，9)，其中X∈[6，18]的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .
参考数据:若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683，
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
0.84
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解析:由题意知，该产品X~N(15，9)，则μ=15，σ=3，
所以P(6≤X≤18)=P(15-3×3≤X≤15+3)=P(μ-3σ≤X≤μ+σ)=
[P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.997+0.683)=0.84.
所以抽到“可用产品”的概率约为0.84.
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14.已知某种机器的电源电压U(单位:V)服从正态分布N(220，202).其电压通常有3种状态:①不超过200 V;②在200~240 V之间;③超过240 V.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2.
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率;
解:记电压“不超过200 V”“在200~240 V之间”“超过240 V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D.
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因为U~N(220，202)，所以P(A)=P(U≤200)===0.16，
P(B)=P(200P(C)=P(U>240)===0.16.
所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.16×0.15+0.68×0.05+0.16×
0.2=0.09，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09.
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(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为pn，求pn取得最大值时n的值.
附:若Z~N(μ，σ2)，则P(μ-σ解:从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，
则X~B(n，0.09)，
所以pn=P(X=2)=·0.91n-2·0.092.
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由==×0.91>1，解得2≤n<.
所以当2≤n≤21时，pn当n≥22时，pn>pn+1，所以p22最大.
因此当n=22时，pn最大.课时跟踪检测(三十五) 正态分布
A级——综合提能
1.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X≥4)=P(X≤-2),则μ= ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
2.某市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.甲科总体成绩的标准差最小
B.丙科总体成绩的平均数最小
C.乙科总体成绩的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙三科成绩的平均数不相同
3.随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若P(ξ<2)=0.2,P(2≤ξ≤6)=0.6,则μ等于 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
4.已知某社区居民每周运动总时长为随机变量X(单位:小时),且X~N(5.5,σ2),P(X>6)=0.2.现从该社区中随机抽取3名居民,则至少有两名居民每周运动总时长为5至6小时的概率为 ( )
A.0.642 B.0.648
C.0.722 D.0.748
5.[多选]若随机变量X~N(μ1,),Y~N(μ2,),X,Y的正态密度曲线如图所示,则 ( )
A.μ1<μ2
B.σ1<σ2
C.P(X≤μ1+σ1)D.P(X≤μ1+σ2)6.若随机变量X~N(2,4),P(X≤0)=0.1,则P(27.如果随机变量X~N(3,σ2),且P(X<1)=0.1,那么P(1≤X<5)= .
8.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的.如果某地成年男子的身高X~N(173,8)(单位:cm),则车门应设计至少高 cm(结果精确到1 cm).
参考数据:若Z~N(0,1),则P(Z≤2.33)=0.99,P(Z≤3.09)=0.999,≈1.4.
9.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态密度曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,且P(72(1)求参数μ,σ的值;
(2)求P(6410.某保险公司有一款保险产品,该产品今年保费为200元/人,赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10 000名,每人被赔付的概率均为0.25%,记10 000名客户中获得赔偿的人数为X.
(1)求E(X),并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望;
(2)二项分布是离散型的,而正态分布是连续型的,它们是不同的概率分布,但是,随着二项分布的试验次数的增加,二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致,所以当试验次数较大时,可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题,我们知道若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p),当n较大且p较小时,我们为了简化计算,常用E(X)的值估算D(X)的值.请根据上述信息,求:
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率;
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
B级——应用创新
11.某校高三学生的一次期中考试的数学成绩(单位:分)近似服从正态分布N(100,102),从中抽取一个同学的数学成绩X,记该同学的成绩为80A. B.
C. D.
12.[多选]数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布B(n,p),那么当n比较大时,X近似服从正态分布N(μ,σ2),其密度函数为φμ,σ(x)=,x∈R.任意正态分布X~N(μ,σ2),可通过变换Z=转化为标准正态分布Z~N(0,1).当Z~N(0,1)时,对任意实数x,记Φ(x)=P(ZA.Φ(x)+Φ(-x)=
B.当x>0时,P(-x≤ZC.随机变量X~N(μ,σ2),当μ减小,σ增大时,概率P(|X-μ|<σ)保持不变
D.随机变量X~N(μ,σ2),当μ,σ都增大时,概率P(|X-μ|<σ)增大
13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测,以此来判定产品是否合格可用.已知某批产品的质量指标X服从正态分布N(15,9),其中X∈[6,18]的产品为“可用产品”,则在这批产品中任取1件,抽到“可用产品”的概率约为 .
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
14.已知某种机器的电源电压U(单位:V)服从正态分布N(220,202).其电压通常有3种状态:①不超过200 V;②在200~240 V之间;③超过240 V.在上述三种状态下,该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率;
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件,记其中恰有2件不合格品的概率为pn,求pn取得最大值时n的值.
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ课时跟踪检测(三十五)
1.选B ∵X~N(μ,σ2),P(X≥4)=P(X≤-2),∴μ==1.
2.A
3.选B ∵P(ξ<2)=0.2,P(2≤ξ≤6)=0.6,∴P(ξ>6)=1-0.2-0.6=0.2,即P(ξ<2)=P(ξ>6),∴μ==4.
4.选B 由题意得P(X>5.5)=0.5,则P(5.55.选AD 观察图象知,X的均值比Y的均值小,X的标准差比Y的标准差大,即μ1<μ2,σ1>σ2,故A正确,B错误;P(X≤μ1+σ1)=+P(μ1-σ1≤X≤μ1+σ1),P(Y≤μ2+σ2)=+P(μ2-σ2≤Y≤μ2+σ2),而P(μ1-σ1≤X≤μ1+σ1)=P(μ2-σ2≤Y≤μ2+σ2),则P(X≤μ1+σ1)=P(Y≤μ2+σ2),故C错误;由μ1<μ2,σ1>σ2,得μ1+σ2<μ1+σ1,μ2+σ2<μ2+σ1,因此P(X≤μ1+σ2)6.解析:由题意知,μ=2,σ=2,所以P(X≤0)=P(X≥4)=0.1,
P(0答案:0.4
7.解析:因为随机变量X~N(3,σ2),所以正态曲线的对称轴是x=3,所以P(X≥5)=P(X<1)=0.1,所以P(1≤X<5)=1-P(X<1)-P(X≥5)=1-0.1-0.1=0.8.
答案:0.8
8.解析:设车门设计的高度为x cm,由题意需使P(X≤x)<99%,因为Z~N(0,1),P(Z≤2.33)=0.99,所以≥2.33,解得x≥173+2.33×2≈173+2.33×2×1.4=179.524,所以车门应设计至少高180 cm.
答案:180
9.解:(1)∵正态密度曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,∴μ=80,又P(72∴解得σ=8.
(2)P(6410.解:(1)由题可知X~B(10 000,0.25%),
则E(X)=10 000×0.002 5=25.
记该公司今年这一款保险产品利润为变量Y,则Y=200-5X,
所以E(Y)=E(200-5X)=200-5E(X)=75万元.
(2)①因为X~B(n,p),当n较大且p较小时,E(X)=25,则D(X)=25.
由于n较大,X~N(μ,σ2),其中μ=E(X)=25,σ2=D(X)=25,
若该公司今年这一款保险产品利润Y=200-5X∈(50,100),则X∈(20,30),
所以P(50②若该公司今年这一款保险产品利润Y=200-5X<0,则X>40,
所以P(Y<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)≈=0.001 5.
11.选A 由题知,事件AB为“该同学的成绩X满足8012.选BC 根据正态曲线的对称性可得Φ(-x)=P(Z<-x)=P(Z≥x)=1-P(Z0时,P(-x≤Z13.解析:由题意知,该产品X~N(15,9),则μ=15,σ=3,所以P(6≤X≤18)=P(15-3×3≤X≤15+3)=P(μ-3σ≤X≤μ+σ)=[P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.997+0.683)=0.84.所以抽到“可用产品”的概率约为0.84.
答案:0.84
14.解:(1)记电压“不超过200 V”“在200~240 V之间”“超过240 V”分别为事件A,B,C,“该机器生产的零件为不合格品”为事件D.
因为U~N(220,202),所以P(A)=P(U≤200)===0.16,P(B)=P(200P(C)=P(U>240)===0.16.
所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.16×0.15+0.68×0.05+0.16×0.2=0.09,
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09.
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n件,设不合格品件数为X,则X~B(n,0.09),
所以pn=P(X=2)=·0.91n-2·0.092.
由==×0.91>1,解得2≤n<.
所以当2≤n≤21时,pn当n≥22时,pn>pn+1,所以p22最大.
因此当n=22时,pn最大.
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