第二章 一元二次方程 单元练习卷（含部分解析） 2025-2026学年湘教版九年级数学上册-普通用卷

第二章 一元二次方程 单元练习卷 2025-2026学年湘教版九年级数学上册
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.下列方程为一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.关于的方程的一个解是，则值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4.新定义运算：，例如，则方程的根的情况为( )
A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
5.在一次同学聚会时，大家相互握手问候如果每人都和其他人握手一次，一共握了次手，那么参加这次聚会的同学共有人．
A. B. C. D.
6.用配方法解一元二次方程时，配方后得到的方程是 ( )
A. B. C. D.
7.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可以列出的方程是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修建如图所示的道路图中的阴影部分余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为平方米，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
10.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．
11.设，分别为方程的两个实数根，则 ．
12.某农产品公司以元的成本收购了某种农产品吨，目前可以元吨的价格直接售出如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格将上涨元那么要获利元且尽早卖出，需要将这批农产品储藏 星期．
13.已知，是一元二次方程的两根，则 ．
14.如图，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为___米．
15.九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多尺寸，门对角线长度恰好为丈．问门高、宽各是多少？丈尺，尺寸如图，设门高为尺，根据题意，可列方程为 ．
16.某商场将进货价为元件的某种服装以元件的价格售出，平均每天可售件为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施调查发现：若每件降价元，则每天可多售件如果每天要盈利元，那么每件应降价 元
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.解下列方程：
；
．
18.解一元二次方程：
；
．
四、解答题：本题共5小题，共40分。
19.本小题分
某商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若降价元，则平均每天销售数量为______件；
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
20.本小题分
已知关于的方程有两个不相等的实数根、
求实数的取值范围；
若，求实数的值．
21.本小题分
商场出售某种商品，每件的进价为元，经市场调查发现，平均日销售量件与每件售价元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价元
日销售量件
求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
该商品日销售利润能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由．
22.本小题分
如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料．
若花圃的面积为，求花圃的一边的长；
花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
23.本小题分
随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽某电动汽车在今年第一季度销售了万辆，第三季度销售了万辆．
求前三季度销售量的平均增长率．
某厂家目前只有条生产线，经调查发现，条生产线最大产能是辆季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少辆季度．
现该厂家要保证每季度生产电动汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下生产线越多，投入成本越大，应该拥有几条生产线？
是否能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】
解：、时，属于一元一次方程，故本选项错误；
B、不是方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解，直接把代入方程得，然后解关于的一元二次方程即可．
【解答】
解：把代入方程得，
整理得，解得，，
即的值为或．
故选B
3.【答案】
【解析】解：根据题意，将代入方程，得：
，即，
左边因式分解得：，
，或，
解得：或，
故选：．
把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】
【解析】【分析】根据新定义，列出方程，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设有名同学参加聚会，每人与其他人各握手一次，但每两次握手被重复计算一次，故总握手次数为根据题意得：
，
，
解得舍去负根．
因此，参加聚会的同学共有人，选项A、、D错误，选项B正确．
故选：．
设这次聚会的同学共人，则每人与其他人各握手一次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解．
本题考查列一元二次方程解决实际问题，分析题意，找出相等关系并建立方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】，，，，故选D．
7.【答案】
【解析】设每盆应该多植株，由题意得，故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可．
【详解】解：根据题意得：；
故答案为：．
故选C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．根据直接开平方法定义即可求得的取值范围．
【解答】
解：关于的方程没有实数根，
，
解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】求出方程的解，分为两种情况：当等腰三角形的三边是，，时，当等腰三角形的三边是，，时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．
【解答】
解：，
，
解得，，，
当等腰三角形的三边是，，时，，
不符合三角形的三边关系定理，
此时不能组成三角形，
当等腰三角形的三边是，，时，
此时符合三角形的三边关系定理，周长是．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出，求出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：、分别为方程的两个实数根，
，
，
、分别为方程的两个实数根，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】设储藏星期出售这批农产品可获利元，则需要支付费用元，损失吨，价格为元，根据获利元，列方程求解．
【详解】设储藏星期出售这批农产品可获利元，
由题意得，
解得：．
即储藏星期出售这批农产品可获利元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
13.【答案】
【解析】，是一元二次方程的两根，，，
则．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为找到正确的等量关系并列出方程；设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可．
【解答】
解：设小道进出口的宽度为米，依题意得，
整理，得．
解得，，．
不合题意，舍去，
．
即小道进出口的宽度应为米．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关键．
设门高为尺，则门宽为尺，丈尺，依题意得故答案为．
16.【答案】
【解析】提示：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件．根据题意，得解得，因为要尽快减少库存，所以．
17.【答案】【小题】
解：
或
解得，；
【小题】
解：
或
解得，．

【解析】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
利用因式分解法解一元二次方程即可；

利用因式分解法解一元二次方程即可．
18.【答案】【小题】
解：，
在这里，
，
解得，．
【小题】
解：，
，
解得．

【解析】
利用公式法求解即可．

利用因式分解法求解即可．
本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：；
设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每件商品应降价元．
【解析】解：根据题意得：
件，
平均每天销售数量为件．
故答案为：；
见答案．
利用平均每天销售数量，即可求出结论；
设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每件盈利不少于元，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20.【答案】解：
由题意得：，
解得：，
即实数的取值范围是；
由根与系数的关系得：，
由题意，，
所以，，，
由根与系数的关系得：．
【解析】【试题解析】
本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
根据根与系数的关系得出，由题意，，求出，，再根据根与系数的关系求出即可．
21.【答案】；
元或元．
【解析】设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当每件的售价为元或元时，该商品日销售利润为元．
设与之间的函数关系式为，根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据表格中的数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】花圃的一边的长为；
花圃的面积不能达到，理由见解答．
【解析】设，则，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：花圃的一边的长为；
花圃的面积不能达到，理由如下：
假设花圃的面积能达到，设，则，
根据题意得：，
整理得：，
，
原方程无实数根，
假设不成立，即花圃的面积不能达到．
设，则，根据花圃的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长，即可确定结论；
假设花圃的面积能达到，设，则，根据花圃的面积为，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即花圃的面积不能达到．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：设该电动汽车销售量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该电动汽车销售量的平均增长率为．
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要节省投入成本，
．
故一共由条生产线．
答：有条生产线．
不能，理由如下：
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆．
【解析】设该电动汽车销售量的平均增长率为，利用第三季度的销售量第一季度的销售量前三季度销售量的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，根据每季度生产电动汽车万辆，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要节省投入成本，即可得出应该再增加条生产线；
不能，设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，根据每季度生产电动汽车万辆，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
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