第1章 推理与证明 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列语句不是命题的是( )
A.两直线平行,同位角相等 B.锐角都相等
C.画直线AB平行于CD D.所有质数都是奇数
2.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.两个负数之积为正数 B.两直线平行,同旁内角互补
C.如果a=b,那么|a|=|b| D.对顶角相等
3.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,错误的是( )
A.设这个角是45°,它的余角是45°,但45°=45°
B.设这个角是30°,它的余角是60°,但30°<60°
C.设这个角是60°,它的余角是30°,但30°<60°
D.设这个角是50°,它的余角是40°,但40°<50°
4.如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为( )
A.66° B.56° C.68° D.58°
5.如图,下列条件中,不能判定直线l1∥l2的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180°
C.∠2=∠3 D.∠4=∠5
6.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时,假设正确的是( )
A.假设三个外角都是钝角
B.假设三个外角中至少有一个钝角
C.假设三个外角中至多有两个钝角
D.假设三个外角中至多有一个钝角
7.阅读下列材料,其①～④步中数学依据错误的是( )
如图:已知直线b∥c,a⊥b,求证:a⊥c. 证明:①因为a⊥b(已知), 所以∠1=90°(垂直的定义). ②又因为b∥c(已知), 所以∠1=∠2(同位角相等,两直线平行), ③所以∠2=∠1=90°(等量代换), ④所以a⊥c(垂直的定义).
A.① B.② C.③ D.④
8.如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCED的外部时,测量得∠1=70°,∠2=140°,则∠A为( )
A.30° B.40° C.42° D.52°
9.小明把一副三角尺按如图所示摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β的度数为( )
A.210° B.235° C.180° D.200°
10.如图,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.有以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③DB平分∠ADC;④∠BDC=∠BAC.
其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.把“等角的补角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是 .
12.如图,已知DF⊥AB,∠ACD=50°,∠A=20°,则∠D的度数为
.
13.如图,已知AB∥CD∥EF,若∠1=60°,∠3=140°,则∠2= .
14.如图,已知点P为△ABC三条内角平分线AD,BE,CF的交点,作DG⊥PC于点G.若∠BAC=70°,∠ACB=60°,则∠PDG等于 .
15.“抖空竹”是我国一项传统体育活动,同时也是国家级非物质文化遗产之一.某同学在研究“抖空竹”时,把它抽象成数学问题:如图,已知AB∥CD,∠BAE=90°,∠DCE=120°,则∠E的度数是 .
16.如图,AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD,若∠B=30°,∠D=38°,则
∠M= °.
三、解答题(共72分)
17.(8分)阅读下面的推理过程,将空白部分补充完整.
如图,已知AB∥DC,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE=∠E.
求证:AD∥BC.
证明:因为AB∥DC(已知),
所以 =∠CFE( ).
因为AE平分∠BAD(已知),
所以∠1=∠2( ).
所以∠CFE=∠2( ).
因为∠CFE=∠E(已知),
所以∠2= (等量代换).
所以AD∥BC( ).
18.(8分)命题“两直线平行,内错角的平分线互相平行”是真命题吗 如果是,请给出证明;如果不是,请举出反例.
19.(8分)如图,BD平分∠ABC,F在AB上,G在AC上,FC与BD相交于点H,∠GFH+∠BHC=180°.求证:∠1=∠2.
20.(8分)如图,已知∠1=∠BDE,∠2+∠FED=180°.
(1)求证:AD∥EF.
(2)若EF⊥BF于点F,且∠FED=140°,求∠BAC的度数.
21.(10分)如图,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2)当点D在BC边(点B,C除外)上运动时,求证:∠BAD=2∠CDE.
22.(10分)我们知道,三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.请利用这条定理解决下列问题:如图,∠1=∠2=∠3.
(1)求证:∠BAC=∠DEF.
(2)若∠BAC=70°,∠DFE=50°,求∠ABC的度数.
23.(10分)如图,在△ABC中,点E是边AC上一点,∠AEB=∠ABC.
(1)如图①,作∠BAC的平分线交CB,BE于D,F两点.求证:∠EFD=
∠ADC.
(2)如图②,作△ABC的外角∠BAG的平分线,交CB的延长线于点D,延长BE,DA交于点F,试探究(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
① ②
24.(10分)综合与实践课上,老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动.
【初步探究】
在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°.作∠BAC的平分线AD交BC于点D.在图①中,作AE⊥BC于E,求∠DAE的度数;
【迁移探究】
在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,作∠BAC的平分线AD交BC于点D.如图②,在AD上任取点F,作FE⊥BC,垂足为点E,求出∠DFE的度数;
【拓展应用】
如图③,在△ABC中,∠C>∠B,AD平分∠BAC,点F在DA的延长线上,FE⊥BC于E,求出∠DFE与∠C,∠B之间的数量关系.
① ② ③第1章 推理与证明 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列语句不是命题的是(C)
A.两直线平行,同位角相等 B.锐角都相等
C.画直线AB平行于CD D.所有质数都是奇数
2.下列命题的逆命题是真命题的是(B)
A.两个负数之积为正数 B.两直线平行,同旁内角互补
C.如果a=b,那么|a|=|b| D.对顶角相等
3.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,错误的是(B)
A.设这个角是45°,它的余角是45°,但45°=45°
B.设这个角是30°,它的余角是60°,但30°<60°
C.设这个角是60°,它的余角是30°,但30°<60°
D.设这个角是50°,它的余角是40°,但40°<50°
4.如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为(D)
A.66° B.56° C.68° D.58°
5.如图,下列条件中,不能判定直线l1∥l2的是(C)
A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180°
C.∠2=∠3 D.∠4=∠5
6.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时,假设正确的是(D)
A.假设三个外角都是钝角
B.假设三个外角中至少有一个钝角
C.假设三个外角中至多有两个钝角
D.假设三个外角中至多有一个钝角
7.阅读下列材料,其①～④步中数学依据错误的是(B)
如图:已知直线b∥c,a⊥b,求证:a⊥c. 证明:①因为a⊥b(已知), 所以∠1=90°(垂直的定义). ②又因为b∥c(已知), 所以∠1=∠2(同位角相等,两直线平行), ③所以∠2=∠1=90°(等量代换), ④所以a⊥c(垂直的定义).
A.① B.② C.③ D.④
8.如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCED的外部时,测量得∠1=70°,∠2=140°,则∠A为(A)
A.30° B.40° C.42° D.52°
9.小明把一副三角尺按如图所示摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β的度数为(A)
A.210° B.235° C.180° D.200°
10.如图,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.有以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③DB平分∠ADC;④∠BDC=∠BAC.
其中正确的结论有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.把“等角的补角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是 如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等 .
12.如图,已知DF⊥AB,∠ACD=50°,∠A=20°,则∠D的度数为
60° .
13.如图,已知AB∥CD∥EF,若∠1=60°,∠3=140°,则∠2= 20° .
14.如图,已知点P为△ABC三条内角平分线AD,BE,CF的交点,作DG⊥PC于点G.若∠BAC=70°,∠ACB=60°,则∠PDG等于 25° .
15.“抖空竹”是我国一项传统体育活动,同时也是国家级非物质文化遗产之一.某同学在研究“抖空竹”时,把它抽象成数学问题:如图,已知AB∥CD,∠BAE=90°,∠DCE=120°,则∠E的度数是 30° .
16.如图,AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD,若∠B=30°,∠D=38°,则
∠M= 34 °.
三、解答题(共72分)
17.(8分)阅读下面的推理过程,将空白部分补充完整.
如图,已知AB∥DC,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE=∠E.
求证:AD∥BC.
证明:因为AB∥DC(已知),
所以 ∠1 =∠CFE( 两直线平行,同位角相等 ).
因为AE平分∠BAD(已知),
所以∠1=∠2( 角平分线的定义 ).
所以∠CFE=∠2( 等量代换 ).
因为∠CFE=∠E(已知),
所以∠2= ∠E (等量代换).
所以AD∥BC( 内错角相等,两直线平行 ).
18.(8分)命题“两直线平行,内错角的平分线互相平行”是真命题吗 如果是,请给出证明;如果不是,请举出反例.
解:是真命题.
已知:如图,AB∥CD,BE,CF分别平分∠ABC和∠BCD.
求证:BE∥CF.
证明:因为AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD.
因为BE,CF分别是∠ABC,∠BCD的平分线,
所以∠2=∠ABC,∠3=∠BCD.
所以∠2=∠3.所以BE∥CF.
19.(8分)如图,BD平分∠ABC,F在AB上,G在AC上,FC与BD相交于点H,∠GFH+∠BHC=180°.求证:∠1=∠2.
证明:因为∠BHC=∠FHD,∠GFH+∠BHC=180°,
所以∠GFH+∠FHD=180°,
所以FG∥BD,所以∠1=∠ABD.
因为BD平分∠ABC,
所以∠2=∠ABD,所以∠1=∠2.
20.(8分)如图,已知∠1=∠BDE,∠2+∠FED=180°.
(1)求证:AD∥EF.
(2)若EF⊥BF于点F,且∠FED=140°,求∠BAC的度数.
(1)证明:因为∠1=∠BDE,
所以AC∥DE,所以∠2=∠ADE.
因为∠2+∠FED=180°,
所以∠ADE+∠DEF=180°,
所以AD∥EF.
(2)解:因为EF⊥BF,
所以∠F=90°.
因为AD∥EF,
所以∠BAD=∠F=90°.
因为∠2+∠FED=180°,∠FED=140°,
所以∠2=40°,
所以∠BAC=∠BAD-∠2=90°-40°=50°.
21.(10分)如图,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2)当点D在BC边(点B,C除外)上运动时,求证:∠BAD=2∠CDE.
(1)解:因为∠B=∠C=45°,
所以∠BAC=90°,
所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°,
所以∠ADE=∠AED==75°,
所以∠CDE=∠AED-∠C=30°.
(2)证明:设∠CDE=x,则∠AED=∠CDE+∠C=x+45°,
所以∠ADE=∠AED=x+45°,
所以∠DAC=180°-∠AED-∠ADE=90°-2x.
因为∠BAC=180°-∠B-∠C=90°,
所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-(90°-2x)=2x,
所以∠BAD=2∠CDE.
22.(10分)我们知道,三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.请利用这条定理解决下列问题:如图,∠1=∠2=∠3.
(1)求证:∠BAC=∠DEF.
(2)若∠BAC=70°,∠DFE=50°,求∠ABC的度数.
(1)证明:因为∠DEF=∠3+∠CAE,∠1=∠3,
所以∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC,
即∠BAC=∠DEF.
(2)解:因为∠DFE=∠2+∠BCF,∠2=∠3,
所以∠DFE=∠3+∠BCF,
即∠DFE=∠ACB.
因为∠BAC=70°,∠DFE=50°,
所以在△ABC中,∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-50°=60°.
23.(10分)如图,在△ABC中,点E是边AC上一点,∠AEB=∠ABC.
(1)如图①,作∠BAC的平分线交CB,BE于D,F两点.求证:∠EFD=
∠ADC.
(2)如图②,作△ABC的外角∠BAG的平分线,交CB的延长线于点D,延长BE,DA交于点F,试探究(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
① ②
(1)证明:因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠DAC.
因为∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AEB=∠ABC,
所以∠EFD=∠ADC.
(2)解:(1)中结论仍然成立.理由如下:
因为AD平分∠BAG,
所以∠BAD=∠GAD.
因为∠FAE=∠GAD,
所以∠FAE=∠BAD.
因为∠EFD=∠AEB-∠FAE,∠ADC=∠ABC-∠BAD,∠AEB=∠ABC,
所以∠EFD=∠ADC.
24.(10分)综合与实践课上,老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动.
【初步探究】
在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°.作∠BAC的平分线AD交BC于点D.在图①中,作AE⊥BC于E,求∠DAE的度数;
【迁移探究】
在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,作∠BAC的平分线AD交BC于点D.如图②,在AD上任取点F,作FE⊥BC,垂足为点E,求出∠DFE的度数;
【拓展应用】
如图③,在△ABC中,∠C>∠B,AD平分∠BAC,点F在DA的延长线上,FE⊥BC于E,求出∠DFE与∠C,∠B之间的数量关系.
① ② ③
解:【初步探究】在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-70°=68°.
因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAC=×68°=34°.
因为AE⊥BC,所以∠AEC=90°.
因为∠C=70°,所以∠CAE=90°-70°=20°,
所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=34°-20°=14°.
【迁移探究】在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-70°=68°.
因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAC=×68°=34°.
在△ADC中,∠C=70°,所以∠ADC=180°-70°-34°=76°.
因为FE⊥BC,所以∠FED=90°,
所以∠DFE=90°-∠ADC=90°-76°=14°.
【拓展应用】在△ABC中,∠BAC=180°-(∠B+∠C).
因为AD平分∠BAC,
所以∠CAD=∠BAC=90°-(∠B+∠C).
在△ADC中,∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-∠C-90°+(∠B+∠C)
=90°+∠B-∠C.
因为FE⊥BC,所以∠FED=90°,
所以∠DFE=90°-∠ADC=90°-90°-∠B+∠C=(∠C-∠B).
