第2章 全等三角形 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组中的两个图形属于全等形的是(D)
A B C D
2.如图,△ABD≌△ECB,点E在BD上,若BC=11,DE=6,EC=7,则AD的长为(C)
A.3 B.4 C.5 D.7
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E.若BC=8,CD=3,
AD=BD,则AF的长为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.根据下列已知条件尺规作图,能画出唯一的△ABC的是(B)
A.AB=3,BC=4,AC=8 B.∠A=100°,∠B=45°,AB=5
C.AB=5,BC=4,∠A=75° D.∠C=90°,∠A=30°,∠B=60°
5.如图,要测量河岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使得BC=CD,再过点D作出BF的垂线DE,并使点A,C,E在同一条直线上,测得的DE的长就是AB的长.判定两个三角形全等的理论依据是(B)
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
6.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C
=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有(B)
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
7.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3等于(B)
A.90° B.135° C.150° D.180°
8.如图,AB⊥CD,且AB=CD,CE⊥AD于E,BF⊥AD于F.若CE=6,BF=3,EF
=2,则AD的长为(A)
A.7 B.6 C.5 D.4
9.如图,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则下列说法不一定正确的是(D)
A.△ABE≌△ACF B.△BDF≌△CDE
C.点D在∠BAC的平分线上 D.BD=DE
10.如图,在△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠ABC=∠AEF,∠EAB=
40°,AB交EF于点D,连接EB.有下列结论:①∠FAC=40°;②AF=AC;③∠EFB=40°;④AD=AC.其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠DAC,请补充一个条件 AD=AB
(答案不唯一) ,使△ABC≌△ADC.
12.如图,若∠α=31°,则根据尺规作图的痕迹,知∠AOB的度数为 62° .
13.如图,王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离为 20 cm.
14.如图,B,C都是直线l上的点,点A是直线l上方的一个动点,连接AB,AC得到△ABC,D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.则当AC ⊥ BC时,DE⊥AB.
15.如图,△ABC的面积为5 cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于P,则
△PBC的面积为 cm2.
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=7 cm,BC=3 cm,CD为AB边上的高,点E从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F,则当点E运动 2或5 s时,CF=AB.
三、解答题(共72分)
17.(8分)如图,在四边形ABCD中,点E是边BC上一点,且BE=CD,∠B=∠AED=∠C.
求证:∠EAD=∠EDA.
证明:因为∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,
∠B=∠AED=∠C,所以∠BAE=∠CED.
在△ABE和△ECD中,∠BAE=∠CED,∠B=∠C,BE=CD,
所以△ABE≌△ECD(AAS),所以AE=ED,
所以∠EAD=∠EDA.
18.(8分)小明在做数学作业时,遇到这样一个问题:如图,AB=CD,AC
=BD,请说明∠BAC=∠CDB.小明动手测量一下,发现确实相等,但不能说明道理,请你帮助说明其中的道理.
解:连接BC,如图.
因为在△ABC和△DCB中,AB=CD,AC=BD,BC=CB,
所以△ABC≌△DCB(SSS),
所以∠BAC=∠CDB.
19.(8分)如图,在四边形ABCD中,AB=AC,BE平分∠CBA,连接AE,AD=AE,∠DAE=∠CAB.
(1)求证:△DAC≌△EAB;
(2)若∠CAB=36°,求证:CD∥AB.
证明:(1)因为∠DAE=∠CAB,
所以∠DAE-∠CAE=∠CAB-∠CAE,
所以∠DAC=∠EAB.
在△DAC和△EAB中,
因为AD=AE,∠DAC=∠EAB,AC=AB,
所以△DAC≌△EAB(SAS).
(2)因为AB=AC,∠CAB=36°,
所以∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°.
因为BE平分∠CBA,
所以∠ABE=∠ABC=36°.
因为△DAC≌△EAB,
所以∠DCA=∠EBA=36°.
所以∠DCA=∠BAC=36°.
所以CD∥AB.
20.(8分)如图,要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离,作法如下:
(1)作一条线段AB,取中点O;
(2)连接DO并延长至C点,使DO=CO;
(3)连接BC;
(4)用仪器测量使E,O,F在一条直线上,并交CB于点F.
要测量AE,DE的长,只需测量BF,CF的长即可,请说明理由.
解:根据作法可知,OA=OB,OC=OD.
在△AOD和△BOC中,
所以△AOD≌△BOC(SAS).所以AD=BC,∠A=∠B.
在△AOE和△BOF中,
所以△AOE≌△BOF(ASA).
所以AE=BF,因而DE=CF.
因此只要测出BF,CF的长即可知AE,DE的长.
21.(10分)如图,已知∠MON,OP平分∠MON,点A是射线OM上一点.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作射线AB∥ON,交OP于点B;
②在ON上作一点C,使AC⊥OP,交OP于点D.
(2)求证:OD=BD.
(1)解:①射线AB如图.
②点C如图.
(2)证明:因为OP平分∠MON,所以∠AOD=∠COD.
因为AB∥ON,所以∠ABD=∠COD,所以∠AOD=∠ABD.
因为AC⊥OP,所以∠ADO=∠ADB=90°.
在△AOD与△ABD中,
所以△AOD≌△ABD(AAS),所以OD=BD.
22.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BE=DF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO.
证明:(1)因为BE=DF,所以BE-EF=DF-EF,即BF=DE.
因为AE⊥BD,CF⊥BD,所以∠AED=∠CFB=90°.
在Rt△ADE与Rt△CBF中,
所以Rt△ADE≌Rt△CBF(HL).
(2)如图.
因为Rt△ADE≌Rt△CBF,所以∠ADE=∠CBF.
在△AOD与△COB中,
所以△AOD≌△COB(AAS).所以AO=CO.
23.(10分)如图,已知△ABC和△DEF,点E,F在直线BC上,AB=DF,∠A=∠D,∠ABC=∠DFE.如图①,易得BC+BE=BF.请解答下列问题:
(1)如图②③,请猜想BC,BE,BF之间的数量关系,并直接写出猜想
结论;
(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明.
① ② ③
(1)解:图②:BC+BE=BF.
图③:BE-BC=BF.
(2)证明:图②:因为∠A=∠D,AB=DF,∠ABC=∠DFE,
所以△ABC≌△DFE(ASA),
所以BC=EF.
因为BE=BC+CE,
所以BC+BE=EF+BC+CE=BF.
图③:因为∠A=∠D,AB=DF,∠ABC=∠DFE,
所以△ABC≌△DFE(ASA),
所以BC=EF.
因为BE=BF+EF,
所以BE-BC=BF+EF-BC=BF+BC-BC=BF.
24.(10分)数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.
【发现问题】如图①,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF
=30°,连接BE,CF,延长BE交CF于点D.则△BAE≌ ,BE与CF的数量关系为 ,∠BDC= °;
【类比探究】如图②,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF
=120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数,并说明理由.
① ②
解:【发现问题】△CAF BE=CF 30
【类比探究】BE=CF,∠BDC=60°.理由如下;
因为∠BAC=∠EAF=120°,
所以∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,
即∠BAE=∠CAF.
在△BAE和△CAF中,
所以△BAE≌△CAF(SAS),
所以BE=CF,∠ABE=∠ACF,
所以∠BDC=∠ACB+∠ACF-∠CBD
=∠ACB+(∠ABE-∠CBD)
=180°-∠BAC
=60°,
所以BE=CF,∠BDC=60°.第2章 全等三角形 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组中的两个图形属于全等形的是( )
A B C D
2.如图,△ABD≌△ECB,点E在BD上,若BC=11,DE=6,EC=7,则AD的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.7
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E.若BC=8,CD=3,
AD=BD,则AF的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.根据下列已知条件尺规作图,能画出唯一的△ABC的是( )
A.AB=3,BC=4,AC=8 B.∠A=100°,∠B=45°,AB=5
C.AB=5,BC=4,∠A=75° D.∠C=90°,∠A=30°,∠B=60°
5.如图,要测量河岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使得BC=CD,再过点D作出BF的垂线DE,并使点A,C,E在同一条直线上,测得的DE的长就是AB的长.判定两个三角形全等的理论依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
6.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C
=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
7.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3等于( )
A.90° B.135° C.150° D.180°
8.如图,AB⊥CD,且AB=CD,CE⊥AD于E,BF⊥AD于F.若CE=6,BF=3,EF
=2,则AD的长为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
9.如图,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则下列说法不一定正确的是( )
A.△ABE≌△ACF B.△BDF≌△CDE
C.点D在∠BAC的平分线上 D.BD=DE
10.如图,在△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠ABC=∠AEF,∠EAB=
40°,AB交EF于点D,连接EB.有下列结论:①∠FAC=40°;②AF=AC;③∠EFB=40°;④AD=AC.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠DAC,请补充一个条件 ,使△ABC≌△ADC.
12.如图,若∠α=31°,则根据尺规作图的痕迹,知∠AOB的度数为 .
13.如图,王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离为 cm.
14.如图,B,C都是直线l上的点,点A是直线l上方的一个动点,连接AB,AC得到△ABC,D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.则当AC BC时,DE⊥AB.
15.如图,△ABC的面积为5 cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于P,则
△PBC的面积为 cm2.
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=7 cm,BC=3 cm,CD为AB边上的高,点E从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F,则当点E运动 s时,CF=AB.
三、解答题(共72分)
17.(8分)如图,在四边形ABCD中,点E是边BC上一点,且BE=CD,∠B=∠AED=∠C.
求证:∠EAD=∠EDA.
18.(8分)小明在做数学作业时,遇到这样一个问题:如图,AB=CD,AC
=BD,请说明∠BAC=∠CDB.小明动手测量一下,发现确实相等,但不能说明道理,请你帮助说明其中的道理.
19.(8分)如图,在四边形ABCD中,AB=AC,BE平分∠CBA,连接AE,AD=AE,∠DAE=∠CAB.
(1)求证:△DAC≌△EAB;
(2)若∠CAB=36°,求证:CD∥AB.
20.(8分)如图,要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离,作法如下:
(1)作一条线段AB,取中点O;
(2)连接DO并延长至C点,使DO=CO;
(3)连接BC;
(4)用仪器测量使E,O,F在一条直线上,并交CB于点F.
要测量AE,DE的长,只需测量BF,CF的长即可,请说明理由.
21.(10分)如图,已知∠MON,OP平分∠MON,点A是射线OM上一点.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作射线AB∥ON,交OP于点B;
②在ON上作一点C,使AC⊥OP,交OP于点D.
(2)求证:OD=BD.
22.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BE=DF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO.
23.(10分)如图,已知△ABC和△DEF,点E,F在直线BC上,AB=DF,∠A=∠D,∠ABC=∠DFE.如图①,易得BC+BE=BF.请解答下列问题:
(1)如图②③,请猜想BC,BE,BF之间的数量关系,并直接写出猜想
结论;
(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明.
① ② ③
24.(10分)数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.
【发现问题】如图①,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF
=30°,连接BE,CF,延长BE交CF于点D.则△BAE≌ ,BE与CF的数量关系为 ,∠BDC= °;
【类比探究】如图②,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF
=120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数,并说明理由.
① ②
