第4章 图形的轴对称 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.下列四个选项中,是轴对称图形的为( )
A B C D
2.如图,△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC,下列说法中不正确的是( )
A.∠DAO=∠CBO B.直线l垂直平分AB,CD
C.AD=BC D.AD=OD,BC=OC
3.下列命题正确的是( )
A.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B.在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.三角形三条边的垂直平分线的交点到三边的距离相等
4.如图,在△ABC中,点D,E是BC边上两点,AD=AE,BE=CD,∠1=110°,∠BAE=60°,则∠C的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
5.如图,在△ABC中,AB=AC=13,该三角形的面积为65,点D是边BC上任意一点,则点D到边AB,AC的距离之和DN+DM等于( )
A.5 B.6.5 C.9 D.10
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则以下推断错误的是( )
A.BD=BC B.AD=BD
C.∠ADB=108° D.CD=AD
7.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,DE⊥AC,垂足分别为D,E.若AE=6,则CE的长为( )
A.3 B.2 C.4 D.1
8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=10,DE=2,AB=4,则AC的长是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
9.如图,把一张长方形纸片沿对角线BD折叠,BC交AD于点O.给出下列结论:①BC平分∠ABD;②△ABO≌△CDO;③∠AOC=120°;④△BOD是等腰三角形.其中正确的结论是( )
A.①③ B.②④
C.①② D.③④
10.在△ABC中,CA=CB,过点A作△ABC的高AD.若∠ACD=30°,则这个三角形的底角与顶角的度数比为( )
A.2∶5或10∶1 B.1∶10
C.5∶2 D.5∶2或1∶10
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,AB左边是计算器上的数字“5”,若以直线AB为对称轴,那么与它成轴对称的图形是数字 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠C的度数是 .
13.如图,点P为∠AOB内一点,分别作出点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,P1P2=9 cm,则△PMN的周长为 cm.
14.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ABC的平分线与AC的垂直平分线交于点D,连接AD,CD.若AD∥BC,则∠BDC= °.
15. 数学文化 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是 .
16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,有下列四个结论:①AD上任意一点到C,B的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=
∠CDF.其中正确的结论有 .(填序号)
三、解答题(共72分)
17.(8分)已知:如图,AB=AE,BC=ED,AF是CD的垂直平分线.求证:∠B=∠E.
18.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
19.(8分)如图,正方形网格中的△ABC与△DEF关于直线l对称.
(1)利用网格线作出对称轴l;
(2)结合所画图形,在直线l上画出点P,使PA+PC最小;
(3)如果每一个小正方形的边长为1,请求出△ABC的面积.
20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)试说明:△DEF是等腰三角形.
(2)当∠A的度数为多少时,△DEF是等边三角形
21.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,两条角平分线BD,CE相交于点O.
(1)OB与OC相等吗 请说明理由.
(2)连接AO并延长交BC边于点F.请写出两条结论,并写出推理过程.
22.(10分)如图,已知点A,B以及直线l,AE⊥l,垂足为点E.
(1)过点B作BF⊥l,垂足为点F;
(2)在直线l上求作一点C,连接CA,CB,使CA=CB;
[要求:第(1)(2)小题用尺规作图,并在图中标明相应字母,保留作图痕迹,不写作法]
(3)在所作的图中,若∠ACB=90°,试说明:△AEC≌△CFB.
23.(10分)如图,已知△ABC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G.
(1)试说明:AD垂直平分EF;
(2)若AB+AC=10,DE=3,求△ABC的面积.
24.(10分)已知:等边三角形ABC.
【观察猜想】如图①,D为线段AB上一点,DE∥BC,交AC于点E.可知△ADE为 三角形.
① ② ③
【深入探究】D为线段AB上一点,F为线段CB延长线上一点,且DF=DC.
(1)特殊感知:如图②,已知等边三角形ABC的边长为2,当D为AB的中点时,求线段BF的长;
(2)拓展思考:如图③,当D为AB上任意一点时,其余条件不变,猜想线段AD与BF的数量关系,并说明理由.第4章 图形的轴对称 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.下列四个选项中,是轴对称图形的为(D)
A B C D
2.如图,△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC,下列说法中不正确的是(D)
A.∠DAO=∠CBO B.直线l垂直平分AB,CD
C.AD=BC D.AD=OD,BC=OC
3.下列命题正确的是(B)
A.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B.在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.三角形三条边的垂直平分线的交点到三边的距离相等
4.如图,在△ABC中,点D,E是BC边上两点,AD=AE,BE=CD,∠1=110°,∠BAE=60°,则∠C的度数为(A)
A.50° B.60° C.70° D.80°
5.如图,在△ABC中,AB=AC=13,该三角形的面积为65,点D是边BC上任意一点,则点D到边AB,AC的距离之和DN+DM等于(D)
A.5 B.6.5 C.9 D.10
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则以下推断错误的是(D)
A.BD=BC B.AD=BD
C.∠ADB=108° D.CD=AD
7.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,DE⊥AC,垂足分别为D,E.若AE=6,则CE的长为(B)
A.3 B.2 C.4 D.1
8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=10,DE=2,AB=4,则AC的长是(D)
A.9 B.8 C.7 D.6
9.如图,把一张长方形纸片沿对角线BD折叠,BC交AD于点O.给出下列结论:①BC平分∠ABD;②△ABO≌△CDO;③∠AOC=120°;④△BOD是等腰三角形.其中正确的结论是(B)
A.①③ B.②④
C.①② D.③④
10.在△ABC中,CA=CB,过点A作△ABC的高AD.若∠ACD=30°,则这个三角形的底角与顶角的度数比为(D)
A.2∶5或10∶1 B.1∶10
C.5∶2 D.5∶2或1∶10
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,AB左边是计算器上的数字“5”,若以直线AB为对称轴,那么与它成轴对称的图形是数字 2 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠C的度数是 40° .
13.如图,点P为∠AOB内一点,分别作出点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,P1P2=9 cm,则△PMN的周长为 9 cm.
14.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ABC的平分线与AC的垂直平分线交于点D,连接AD,CD.若AD∥BC,则∠BDC= 90 °.
15. 数学文化 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是 80° .
16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,有下列四个结论:①AD上任意一点到C,B的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=
∠CDF.其中正确的结论有 ①②③④ .(填序号)
三、解答题(共72分)
17.(8分)已知:如图,AB=AE,BC=ED,AF是CD的垂直平分线.求证:∠B=∠E.
证明:连接AC,AD,如图.
因为AF是CD的垂直平分线,
所以AC=AD.
在△ABC与△AED中,
所以△ABC≌△AED(SSS).
所以∠B=∠E.
18.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
(1)解:因为AB=AC,
所以∠ABC=∠C=42°.
因为D为BC的中点,AB=AC,
所以AD⊥BC,即∠ADB=90°,
所以∠BAD=90°-∠ABC=90°-42°=48°.
(2)证明:因为BE平分∠ABC.
所以∠EBF=∠EBC.
因为EF∥BC,
所以∠EBC=∠BEF,
所以∠EBF=∠FEB,
所以BF=EF.
19.(8分)如图,正方形网格中的△ABC与△DEF关于直线l对称.
(1)利用网格线作出对称轴l;
(2)结合所画图形,在直线l上画出点P,使PA+PC最小;
(3)如果每一个小正方形的边长为1,请求出△ABC的面积.
解:(1)如图,直线l即为所求.
(2)如图,点P即为所求.
(3)△ABC的面积=2×4-×1×2-×1×4-×2×2=3.
20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)试说明:△DEF是等腰三角形.
(2)当∠A的度数为多少时,△DEF是等边三角形
解:(1)连接AD,如图.
因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD平分∠BAC.
因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以DE=DF,
所以△DEF是等腰三角形.
(2)因为∠AED=∠AFD=90°,
所以∠BAC+∠EDF=180°.
因为△DEF是等腰三角形,
所以当∠EDF=60°时,△DEF为等边三角形,
此时∠BAC=120°,
即∠BAC的度数为120°时,△DEF是等边三角形.
21.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,两条角平分线BD,CE相交于点O.
(1)OB与OC相等吗 请说明理由.
(2)连接AO并延长交BC边于点F.请写出两条结论,并写出推理过程.
解:(1)OB=OC.
理由如下:
因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.
因为两条角平分线BD,CE相交于点O,
所以∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
所以∠OBC=∠OCB,所以OB=OC.
(2)(答案不唯一)AF是∠BAC的平分线,AF⊥BC.推理过程:
如图.因为OA=OA,OB=OC,AB=AC,
所以△ABO≌△ACO,
所以∠BAO=∠CAO,
即AF是∠BAC的平分线.
因为△ABC是等腰三角形,且AF是∠BAC的平分线,
所以AF⊥BC.
22.(10分)如图,已知点A,B以及直线l,AE⊥l,垂足为点E.
(1)过点B作BF⊥l,垂足为点F;
(2)在直线l上求作一点C,连接CA,CB,使CA=CB;
[要求:第(1)(2)小题用尺规作图,并在图中标明相应字母,保留作图痕迹,不写作法]
(3)在所作的图中,若∠ACB=90°,试说明:△AEC≌△CFB.
解:(1)如图,BF即为所求.
(2)如图,点C即为所求.
(3)如图.因为AE⊥l,BF⊥l,
所以∠AEC=∠CFB=90°,
所以∠1+∠2=90°.
因为∠ACB=90°,
所以∠3+∠2=90°.
所以∠1=∠3.
在△AEC和△CFB中,
因为∠AEC=∠CFB,∠1=∠3,AC=CB,
所以△AEC≌△CFB(AAS).
23.(10分)如图,已知△ABC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G.
(1)试说明:AD垂直平分EF;
(2)若AB+AC=10,DE=3,求△ABC的面积.
解:(1)因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以∠DEA=∠DFA=90°.
因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠EAD=∠FAD.
在△AED和△AFD中,∠DEA=∠DFA,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
所以△AED≌△AFD(AAS),
所以AE=AF.
因为AD是∠BAC的平分线,
所以AG⊥EF,EG=FG,
所以AD垂直平分EF.
(2)因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
所以DE=DF.
因为AB+AC=10,DE=3,
所以△ABC的面积=AB·DE+AC·DF=(AB+AC)·DE=15.
24.(10分)已知:等边三角形ABC.
【观察猜想】如图①,D为线段AB上一点,DE∥BC,交AC于点E.可知△ADE为 三角形.
① ② ③
【深入探究】D为线段AB上一点,F为线段CB延长线上一点,且DF=DC.
(1)特殊感知:如图②,已知等边三角形ABC的边长为2,当D为AB的中点时,求线段BF的长;
(2)拓展思考:如图③,当D为AB上任意一点时,其余条件不变,猜想线段AD与BF的数量关系,并说明理由.
解:【观察猜想】等边
【深入探究】(1)因为△ABC是等边三角形,
所以AC=BC=AB=2,∠ABC=∠ACB=60°.
因为D是AB的中点,
所以BD=AB=1,∠BCD=∠ACB=30°.
因为DF=DC,所以∠F=∠BCD=30°.
因为∠F+∠BDF=∠ABC,∠F=30°,∠ABC=60°,
所以∠BDF=30°.
所以∠F=∠BDF,
所以BF=BD=1.
(2)AD=BF.理由如下:
如图,在BC上截取BE=BD,连接DE.
因为AB=BC,BD=BE,
所以AB-BD=BC-BE,
所以AD=CE.
因为∠ABC=60°,BE=BD,
所以△BDE是等边三角形,
所以BD=ED,∠ABC=∠BED=60°.
因为DF=DC,
所以∠F=∠DCE.
因为∠ABC是△BDF的外角,∠DEB是△CDE的外角,
所以∠F+∠BDF=60°,∠DCE+∠CDE=60°,
所以∠BDF=∠EDC.
在△BDF和△EDC中,
所以△BDF≌△EDC(SAS),
所以BF=CE,所以AD=BF.
