第5章 勾股定理与实数 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列四个实数:0,,,2π.其中,无理数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.下列命题中正确的是( )
A.-9没有立方根 B.两个无理数之和一定是无理数
C.实数不是有理数就是无理数 D.无理数都是带根号的数
3.以下计算正确的是( )
A.=±2 B.=3
C.=-2 D.±=±4
4.下列各组长度的线段中,能够组成直角三角形的一组是( )
A.2,3,4 B.2,4,5 C.4,5,6 D.1,,
5.如图,正方形ABCD的面积为169 cm2,△ABP为直角三角形,∠P=
90°,PB=5 cm,则AP的长为( )
A.13 cm B.12 cm C.5 cm D. cm
6.已知x,y为实数,且+2|y+1|=0,则x-y的平方根为( )
A. B.2 C.± D.±2
7.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数且n<
A.43 B.44 C.45 D.46
8.如图,数轴上的点A表示的数是1,OB⊥OA,垂足为O,且BO=1,以点A为圆心,AB为半径画弧交数轴负半轴于点C,则点C表示的数为( )
A.-0.4 B.- C.1- D.-1
9. 新定义 对于实数a,b,定义min{a,b}:当ab时,min{a,b}=b,例如:min{1,-2}=-2.已知min{,x}=x,
min{,y}=,且x和y为两个连续正整数,则的算术平方根为( )
A.16 B.8 C.4 D.2
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线,若点P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是( )
A. B.4 C. D.5
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.实数a在数轴上的对应位置如图,则|a-|= .
12.如图是一个数值转换器,当输入x的值为625时,输出y的值为 .
13.一个直角三角形的两边长分别为1和2,则第三边长为 .
14.为了比较+1与的大小,可以构造如图的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上,且BD=AC=1.通过计算可得+1 .(填“>”“<”或“=”)
15.为迎接蔬菜博览会,要在会场周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化,经测量∠B=90°,AB=7 m,BC=24 m,CD=15 m,AD=20 m,则这块四边形空地ABCD的面积为 m2.
16.如图为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,向外作正方形②,…,以此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为 .
三、解答题(共72分)
17.(8分)已知正数x的两个平方根分别是3a-1和a+5,负数y的立方根与它本身相同.
(1)求a,x,y的值;
(2)求x-9y的算术平方根.
18.(8分)计算:
(1)×(π-3.14)0-|-1|+()2;
(2)-22++(π-)0+;
(3)(-)×(-2)2-+;
(4)--32-|1-|+.
19.(8分)如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
① ② ③
(1)在图①中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图②中,画一个三角形,使它的三边长分别为3,,;
(3)在图③中,画一个三角形,使它的三边长都是无理数,并且构成的三角形是直角三角形.
20.(8分)我们在学习有理数时,可以根据有理数的对应点在数轴上的位置关系比较有理数的大小.某数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小,请根据他们的探究过程,完成下列问题.
(1)借助网格,并用尺规画出与-1在数轴上的对应点位置;
(2)根据与-1在数轴上的对应点的位置,可得 -1;
(填“>”或“<”)
(3)若a为的小数部分,b为的整数部分,求a+b的相反数.
21.(10分)已知a是-27的立方根,=3,c=|1-|-(-).
(1)求a,b,c的值;
(2)求b-a-c的平方根;
(3)若在△ABC中,AC=b,AB=,BC=,判断△ABC的形状,并说明理由.
22.(10分)某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图,∠ACB=90°,AC=40米,BC=30米,线段CD是一条水渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为1 000元/米,则当水渠的造价最低时,CD的长为多少米 最低造价是多少元
23.(10分)如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥BC交AB于点E,且BE2-EA2=AC2.
(1)求证:∠A=90°;
(2)若AC=6,BD=5,求AE的长度.
24.(10分)我们已经学习了勾股定理:在直角三角形中,如果两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.还有勾股定理的逆定理:如果三角形三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
(1)小明发现证明勾股定理的新方法:如图①,在正方形ACDE的边CD上取点B,连接AB,得到Rt△ACB,三边长分别为a,b,c,剪下△ACB并把它拼接到△AEF的位置,如图②,请利用面积不变证明勾股定理.
(2)一个零件的形状如图③,按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角,小明测得这个零件各边尺寸(单位:cm)如图中所示,这个零件符合要求吗 请说明理由.
① ② ③第5章 勾股定理与实数 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列四个实数:0,,,2π.其中,无理数有(C)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.下列命题中正确的是(C)
A.-9没有立方根 B.两个无理数之和一定是无理数
C.实数不是有理数就是无理数 D.无理数都是带根号的数
3.以下计算正确的是(D)
A.=±2 B.=3
C.=-2 D.±=±4
4.下列各组长度的线段中,能够组成直角三角形的一组是(D)
A.2,3,4 B.2,4,5 C.4,5,6 D.1,,
5.如图,正方形ABCD的面积为169 cm2,△ABP为直角三角形,∠P=
90°,PB=5 cm,则AP的长为(B)
A.13 cm B.12 cm C.5 cm D. cm
6.已知x,y为实数,且+2|y+1|=0,则x-y的平方根为(D)
A. B.2 C.± D.±2
7.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数且n<
A.43 B.44 C.45 D.46
8.如图,数轴上的点A表示的数是1,OB⊥OA,垂足为O,且BO=1,以点A为圆心,AB为半径画弧交数轴负半轴于点C,则点C表示的数为(C)
A.-0.4 B.- C.1- D.-1
9. 新定义 对于实数a,b,定义min{a,b}:当ab时,min{a,b}=b,例如:min{1,-2}=-2.已知min{,x}=x,
min{,y}=,且x和y为两个连续正整数,则的算术平方根为(D)
A.16 B.8 C.4 D.2
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线,若点P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是(C)
A. B.4 C. D.5
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.实数a在数轴上的对应位置如图,则|a-|= -a .
12.如图是一个数值转换器,当输入x的值为625时,输出y的值为 .
13.一个直角三角形的两边长分别为1和2,则第三边长为 或 .
14.为了比较+1与的大小,可以构造如图的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上,且BD=AC=1.通过计算可得+1 >
.(填“>”“<”或“=”)
15.为迎接蔬菜博览会,要在会场周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化,经测量∠B=90°,AB=7 m,BC=24 m,CD=15 m,AD=20 m,则这块四边形空地ABCD的面积为 234 m2.
16.如图为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,向外作正方形②,…,以此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为 4 .
三、解答题(共72分)
17.(8分)已知正数x的两个平方根分别是3a-1和a+5,负数y的立方根与它本身相同.
(1)求a,x,y的值;
(2)求x-9y的算术平方根.
解:(1)依题意,得3a-1+a+5=0,
解得a=-1,
所以3a-1=-4,a+5=4,
所以x=42=16.
因为负数y的立方根与它本身相同,
所以y=-1.
(2)因为x=16,y=-1,
所以x-9y=16-9×(-1)=25,
所以x-9y的算术平方根为5.
18.(8分)计算:
(1)×(π-3.14)0-|-1|+()2;
(2)-22++(π-)0+;
(3)(-)×(-2)2-+;
(4)--32-|1-|+.
解:(1)原式=×1-(-1)+9
=-+1+9
=10.
(2)原式=-4+9+1-5=1.
(3)原式=-×4++
=-2+1
=-1.
(4)原式=3--9-(-1)+3
=3--9-+1+3
=--.
19.(8分)如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
① ② ③
(1)在图①中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图②中,画一个三角形,使它的三边长分别为3,,;
(3)在图③中,画一个三角形,使它的三边长都是无理数,并且构成的三角形是直角三角形.
解:答案不唯一.
(1)如图①.
①
(2)如图②.
②
(3)如图③.
③
20.(8分)我们在学习有理数时,可以根据有理数的对应点在数轴上的位置关系比较有理数的大小.某数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小,请根据他们的探究过程,完成下列问题.
(1)借助网格,并用尺规画出与-1在数轴上的对应点位置;
(2)根据与-1在数轴上的对应点的位置,可得 -1;
(填“>”或“<”)
(3)若a为的小数部分,b为的整数部分,求a+b的相反数.
解:(1)如图,点A表示,点B表示-1.
(2)<
(3)因为3<<4,2<<3,
所以的小数部分为-3,的整数部分为2,
所以a=-3,b=2,
所以a+b=-3+2=-1,a+b的相反数为1-.
21.(10分)已知a是-27的立方根,=3,c=|1-|-(-).
(1)求a,b,c的值;
(2)求b-a-c的平方根;
(3)若在△ABC中,AC=b,AB=,BC=,判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)由题意,得a==-3.
因为=3,
所以2b-1=9,解得b=5.
c=|1-|-(-)=-1-+2=1.
所以a,b,c的值分别为-3,5,1.
(2)因为a=-3,b=5,c=1,
所以b-a-c=5-(-3)-1=7,
所以b-a-c的平方根为±.
(3)△ABC是直角三角形.理由如下:
因为a=-3,b=5,c=1,
所以AC=5,AB==,BC=.
因为()2+()2=52,
所以AB2+BC2=AC2,
所以△ABC是直角三角形.
22.(10分)某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图,∠ACB=90°,AC=40米,BC=30米,线段CD是一条水渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为1 000元/米,则当水渠的造价最低时,CD的长为多少米 最低造价是多少元
解:当CD为斜边上的高时,CD最短,从而水渠造价最低.
因为∠ACB=90°,AC=40米,BC=30米,
所以AB===50(米).
因为CD·AB=AC·BC,
所以CD×50=40×30,所以CD=24米,
所以24×1 000=24 000(元).
所以当水渠的造价最低时,CD的长为24米,最低造价是24 000元.
23.(10分)如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥BC交AB于点E,且BE2-EA2=AC2.
(1)求证:∠A=90°;
(2)若AC=6,BD=5,求AE的长度.
(1)证明:如图,连接CE.
因为D是BC的中点,DE⊥BC,
所以CE=BE.
因为BE2-EA2=AC2,
所以CE2-EA2=AC2,
所以EA2+AC2=CE2,
所以△ACE是直角三角形,且∠A=90°.
(2)解:因为D是BC的中点,BD=5,
所以BC=2BD=10.
因为∠A=90°,AC=6,
所以AB===8.
在Rt△AEC中,EA2+AC2=CE2,
因为CE=BE,
所以62+AE2=(8-AE)2,解得AE=,
所以AE的长为.
24.(10分)我们已经学习了勾股定理:在直角三角形中,如果两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.还有勾股定理的逆定理:如果三角形三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
(1)小明发现证明勾股定理的新方法:如图①,在正方形ACDE的边CD上取点B,连接AB,得到Rt△ACB,三边长分别为a,b,c,剪下△ACB并把它拼接到△AEF的位置,如图②,请利用面积不变证明勾股定理.
(2)一个零件的形状如图③,按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角,小明测得这个零件各边尺寸(单位:cm)如图中所示,这个零件符合要求吗 请说明理由.
① ② ③
(1)证明:如图①,连接BF.
①
因为AC=b,所以正方形ACDE的面积为b2.
因为CD=DE=AC=b,EF=BC=a,
所以BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=b+a.
因为∠BAC=∠EAF,
所以∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAC+∠BAE=∠CAE=90°.
又因为AB=AF=c,
所以△BAF为等腰直角三角形,
所以四边形ABDF的面积为c2+(b-a)(b+a)=c2+(b2-a2).
因为正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等,
所以b2=c2+(b2-a2),整理,得a2+b2=c2,
所以a2+b2=c2.
(2)解:这个零件不符合要求.
理由如下:连接BD,如图②.
②
由勾股定理的逆定理,知只有当BC2+DC2=AB2+AD2=BD2时,∠A和∠C都是直角.
因为BC2+DC2=152+202=225+400=625,
AB2+AD2=232+82=529+64=593,
所以BC2+DC2与AB2+AD2不相等,
所以∠A和∠C不可能都是直角.
因此,这个零件不符合要求.
