期中综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.剪纸是我国古老的民间艺术.下列四个剪纸图案为轴对称图形的是(C)
A B C D
2.若分式有意义,则x的取值范围是(A)
A.x≠1 B.x≠-1 C.x=1 D.x=-1
3.如图,已知图中的两个三角形全等,则∠α等于(D)
A.72° B.60° C.58° D.48°
4.如果把分式中的m和n都扩大为原来的2倍,那么分式的值(C)
A.不变 B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来的 D.扩大为原来的4倍
5.下列各命题的逆命题是真命题的是(D)
A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等
C.若a>b,则a2>b2 D.等边三角形的三个内角都相等
6.如图,已知点A,D,C,F在同一直线上,AB=DE,AD=CF,添加下列条件后,仍不能判定△ABC≌△DEF的是(D)
A.BC=EF B.∠A=∠EDF
C.AB∥DE D.∠BCA=∠F
7.下列算式中,你认为错误的是(B)
A.+=1 B.1÷×=1
C.1-=- D.·=
8.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN分别交BC,AB于点D和点E.若∠B=50°,则∠CAD的度数是(A)
A.30° B.40° C.50° D.60°
9.如图,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,EC⊥BD于E,交BA的延长线于F.若BF=12,则△FBC的面积为(C)
A.40 B.46 C.48 D.50
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P为BC中点,∠EPF=90°,以下四个结论:①∠B=∠BAP;②AE=CF;③PE=PF;④S四边形AEPF=S△ABC,其中成立的有(A)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.已知=,则= .
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 15 .
13.如图,把一架长为10 m的梯子AB斜靠在墙上,测得AM=8 m,BM=6 m,梯子沿墙下滑到CD位置,测得∠ABM=∠DCM,则梯子下滑的高度是
2 m.
14.若关于x的分式方程+=3有增根,则m= -1 .
15.已知:=+,则A+B= 3 .
16.如图,等边三角形ABC中,BD⊥AC于D,AD=3.5 cm.点P,Q分别为AB,AD上的两个定点,且BP=AQ=2 cm.若在BD上有一动点E使PE+QE最短,则PE+QE的最小值为 5 cm.
三、解答题(共72分)
17.(8分)计算:
(1)÷(a+); (2)(+1)÷.
解:(1)原式=÷(+)
=÷
=·=.
(2)原式=÷
=·=·=.
18.(8分)解方程:
(1)=;(2)=1+.
解:(1)去分母,得2(x+2)=3x,
解这个整式方程,得x=4.
检验:当x=4时,x(x+2)≠0,
所以原分式方程的解为x=4.
(2)去分母,得x2-8=(x+2)(x-2)-(x+2),
整理,得-8=-4-x-2,
解这个整式方程,得x=2.
检验:当x=2时,(x+2)(x-2)=0,
所以x=2是增根,原分式方程无解.
19.(8分)先化简代数式(-)÷,再从0,1,2三个数中选择适当的数作为a的值代入求值.
解:原式=·
=·
=2a+8.
因为a+2≠0,a-2≠0,a≠0,所以a≠0且a≠±2,
所以当a=1时,原式=2+8=10.
20.(8分)如图,∠A=∠B,AE=BE,∠1=∠2,点D在AC边上.
(1)求证:△AEC≌△BED.
(2)若∠1=40°,求∠BDE的度数.
(1)证明:因为∠1=∠2,
所以∠1+∠AED=∠2+∠AED,所以∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
所以△AEC≌△BED(ASA).
(2)解:因为△AEC≌△BED,
所以ED=EC,∠ACE=∠BDE,所以∠ECD=∠EDC.
因为∠1=40°,
所以∠ECD=∠EDC=(180°-∠1)=70°,
所以∠BDE=70°.
21.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
(1)证明:如图,连接BE.
因为DE是AB的垂直平分线,
所以AE=BE,
所以∠ABE=∠A=30°.
因为∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°,
所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
在Rt△CBE中,∠CBE=30°,∠ACB=90°,
所以BE=2CE,
所以AE=2CE.
(2)解:△BCD是等边三角形.理由如下:
因为DE垂直平分AB,
所以AD=BD=AB.
因为∠ACB=90°,∠A=30°,
所以BC=AB=BD.
又因为∠ABC=60°,
所以△BCD是等边三角形.
22.(10分)某文化用品商店用2 000元采购一批书包,上市后发现供不应求,很快销售完了.商店又去采购第二批同样款式的书包,进货单价比第一次高4元,商店用了6 300元,所购数量是第一次的3倍.
(1)求第一批采购的书包的单价.
(2)若商店按售价为每个书包120元销售完这两批书包,总共获利多少元
解:(1)设第一批采购的书包的单价是x元,则第二批采购的书包的单价是(x+4)元.
根据题意,得=3×,
解得x=80,
经检验,x=80是所列分式方程的解,且符合题意.
答:第一批采购的书包的单价是80元.
(2)第一批购进书包的数量为2 000÷80=25(个),
第二批购进书包的数量为25×3=75(个).
120×(25+75)-2 000-6 300=3 700(元).
答:销售完这两批书包,总共获利3 700元.
23.(10分)【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:
①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;
②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出
∠B=∠C吗
基于此,社团成员小军进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并提供了一种证明方法.
证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得……
【问题解决】
(1)完成①的证明;
(2)把②中小军的证明过程补充完整.
备用图
证明:(1)因为AD⊥BC,
所以∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB和△ADC中,
所以△ADB≌△ADC(SAS),
所以∠B=∠C.
(2)分别延长DB,DC至E,F两点,使得BE=BA,CF=CA,如图.
因为AB+BD=AC+CD,
所以BE+BD=CF+CD,
所以DE=DF.
因为AD⊥BC,
所以∠ADE=∠ADF=90°.
在△ADE和△ADF中,
所以△ADE≌△ADF(SAS),
所以∠E=∠F.
因为BE=BA,CF=CA,
所以∠E=∠BAE,∠F=∠CAF.
因为∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF,
所以∠ABC=∠ACB.
24.(10分)已知:如图①,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点,BF⊥CE于点F,BF交CD于点G.
(1)若∠ACE=20°,则∠CBG= 度;
(2)求证:AE=CG;
(3)如图②,AH⊥CE,垂足为点H,AH的延长线交CD的延长线于点M,请找出图中与BE相等的线段,并证明.
① ②
(1)解:20
(2)证明:因为AC=BC,∠ACB=90°,
所以∠CAD=∠CBD=45°.
因为点D是AB中点,
所以CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,
所以∠CAE=∠BCG.
又因为BF⊥CE,
所以∠CBG+∠BCF=90°.
因为∠ACE+∠BCF=90°,
所以∠ACE=∠CBG.
在△AEC和△CGB中,
所以△AEC≌△CGB(ASA),
所以AE=CG.
(3)解:BE=CM.
证明:因为CH⊥HM,CD⊥ED,
所以∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,
所以∠CMA=∠BEC.
在△BCE和△CAM中,
所以△BCE≌△CAM(AAS),
所以BE=CM.期中综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.剪纸是我国古老的民间艺术.下列四个剪纸图案为轴对称图形的是( )
A B C D
2.若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x≠-1 C.x=1 D.x=-1
3.如图,已知图中的两个三角形全等,则∠α等于( )
A.72° B.60° C.58° D.48°
4.如果把分式中的m和n都扩大为原来的2倍,那么分式的值( )
A.不变 B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来的 D.扩大为原来的4倍
5.下列各命题的逆命题是真命题的是( )
A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等
C.若a>b,则a2>b2 D.等边三角形的三个内角都相等
6.如图,已知点A,D,C,F在同一直线上,AB=DE,AD=CF,添加下列条件后,仍不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.BC=EF B.∠A=∠EDF
C.AB∥DE D.∠BCA=∠F
7.下列算式中,你认为错误的是( )
A.+=1 B.1÷×=1
C.1-=- D.·=
8.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN分别交BC,AB于点D和点E.若∠B=50°,则∠CAD的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
9.如图,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,EC⊥BD于E,交BA的延长线于F.若BF=12,则△FBC的面积为( )
A.40 B.46 C.48 D.50
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P为BC中点,∠EPF=90°,以下四个结论:①∠B=∠BAP;②AE=CF;③PE=PF;④S四边形AEPF=S△ABC,其中成立的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.已知=,则= .
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 .
13.如图,把一架长为10 m的梯子AB斜靠在墙上,测得AM=8 m,BM=6 m,梯子沿墙下滑到CD位置,测得∠ABM=∠DCM,则梯子下滑的高度是
m.
14.若关于x的分式方程+=3有增根,则m= .
15.已知:=+,则A+B= .
16.如图,等边三角形ABC中,BD⊥AC于D,AD=3.5 cm.点P,Q分别为AB,AD上的两个定点,且BP=AQ=2 cm.若在BD上有一动点E使PE+QE最短,则PE+QE的最小值为 cm.
三、解答题(共72分)
17.(8分)计算:
(1)÷(a+); (2)(+1)÷.
18.(8分)解方程:
(1)=;(2)=1+.
19.(8分)先化简代数式(-)÷,再从0,1,2三个数中选择适当的数作为a的值代入求值.
20.(8分)如图,∠A=∠B,AE=BE,∠1=∠2,点D在AC边上.
(1)求证:△AEC≌△BED.
(2)若∠1=40°,求∠BDE的度数.
21.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
22.(10分)某文化用品商店用2 000元采购一批书包,上市后发现供不应求,很快销售完了.商店又去采购第二批同样款式的书包,进货单价比第一次高4元,商店用了6 300元,所购数量是第一次的3倍.
(1)求第一批采购的书包的单价.
(2)若商店按售价为每个书包120元销售完这两批书包,总共获利多少元
23.(10分)【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:
①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;
②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出
∠B=∠C吗
基于此,社团成员小军进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并提供了一种证明方法.
证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得……
【问题解决】
(1)完成①的证明;
(2)把②中小军的证明过程补充完整.
备用图
24.(10分)已知:如图①,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点,BF⊥CE于点F,BF交CD于点G.
(1)若∠ACE=20°,则∠CBG= 度;
(2)求证:AE=CG;
(3)如图②,AH⊥CE,垂足为点H,AH的延长线交CD的延长线于点M,请找出图中与BE相等的线段,并证明.
① ②
