2025届高考物理一轮复习专项练：双星多星问题（含解析）

双星多星问题
一、重点归纳
双星系统
基本条件：
两颗星体绕共同质心做圆周运动，角速度 相同。
万有引力提供向心力，两星间距为 。
核心公式：
质量与轨道半径关系：。
总质量与周期：
1.三星系统
常见模型：
等边三角形：三星质量相等，位于顶点，绕中心做圆周运动。
直线型：三星共线，外侧两颗绕中间星体运动。
向心力来源：
每个星体受其他两星的引力合力提供向心力。
2.四星系统
正方形模型：四星质量相等，位于顶点，绕中心做圆周运动。
稳定性条件：引力合力方向始终指向中心，合力大小为 。
二、难点解析
1.双星系统的质心位置
质心在两星连线上，满足 。
推导：
2.三星系统的引力合成
等边三角形模型中，每颗星受另两颗的引力夹角为 ，合力为 。
向心力公式：
3.多星系统的周期与稳定性
周期公式与双星类似，但需根据几何模型调整引力合力表达式。
非对称多星系统需通过矢量合成分析受力平衡。
三、典型例题
例题1：双星质量比计算
已知双星间距为 ，周期为 ，求两星质量比 。解：
由公式 ，得总质量 。
结合 ，设 ，则：
（需根据具体条件进一步求解）。
例题2：三星等边三角形模型
三颗质量均为 的星体构成等边三角形，边长为 ，求运动周期。解：
每颗星受另两颗的引力合力：
轨道半径 （几何中心到顶点的距离）。
向心力方程：
四、易错点提醒
双星轨道半径与间距关系：两星轨道半径之和等于间距 ，而非各自轨道半径等于 。
引力合成方向：多星系统中需通过几何关系分析合力方向，避免直接代数相加。
周期公式适用性：开普勒第三定律需修正为 ，其中 为系统总质量。
质心的作用：双星问题中，两星始终位于质心两侧，且质心静止或做匀速直线运动。
通过掌握以上内容，可系统分析双星与多星系统的运动规律，解决相关问题时注意几何建模与矢量合成！
经典例题
1．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗星体称为双星．若已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为L，引力常量为G，则由以上条件一定可以得出的物理量有(　　)
A．两颗恒星运行的轨道半径
B．两颗恒星绕该固定点做圆周运动的角速度
C．两颗恒星运行的线速度大小
D．两颗恒星各自的质量
【答案】B　
【详解】设两颗恒星质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，周期为T，根据万有引力提供向心力，有＝m1ω2r1＝m2ω2r2，其中角速度ω＝，L＝r1＋r2，解得r1＝L，r2＝L，m1＝r2，m2＝r1，m总＝m1＋m2＝，线速度v1＝ωr1，v2＝ωr2，所以不能求出两颗恒星运行的轨道半径，不能求出两颗恒星运行的线速度大小，也不能求出两颗恒星各自的质量，只能求出两颗恒星的总质量和两颗恒星绕该固定点做圆周运动的角速度，故A、C、D错误，B正确．
【方法总结】双星模型的特点
(1)两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同；
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供，即＝m1ω2r1，＝m2ω2r2；
(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比．
2．银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2间的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出(　　)
A．S1和S2的线速度之和为
B．S1和S2的加速度之和为
C．S2的质量为
D．S2的质量为
【答案】ABD　
【详解】双星做匀速圆周运动的角速度为ω＝，所以星体S1和S2的线速度之和为v1＋v2＝ωr1＋ω(r－r1)＝，加速度之和为a1＋a2＝ω2r1＋ω2(r－r1)＝，故A、B正确；星体S1做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，有＝m1r1，解得m2＝，故C错误，D正确．
3．如图甲所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．为研究方便简化为如图乙所示示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，L1L2，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径，引力常量为G.根据你所学知识，下列说法正确的是(　　)
A．两黑洞质量之间的关系一定是M1M2
B．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
C．黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度
D．人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度
【答案】B　
【详解】两黑洞绕O点旋转的角速度相等，设两黑洞之间距离为L，有G＝M1ω2L1＝M2ω2L2，因L1>L2，则有M14．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1，但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2，求T2与T1两者平方之比．
【答案】(1)2π ；　 (2)
【详解】(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等．且A、B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有F＝mω2r＝Mω2R ，半径关系为r＋R＝L，联立解得R＝L，r＝L，
对A星球，根据牛顿第二定律得G＝m··L，
解得T＝2π.
(2)将地月看成双星，由(1)求得T1＝2π，
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律得G＝mL，解得T2＝2π，所以T2与T1的平方之比为＝.
5．太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　)
A．直线三星系统中两边星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期为T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
【答案】BC
【详解】直线三星系统中两边星的线速度大小相同，方向相反，A错误；对直线三星系统，有G＋G＝MR，解得T＝4πR，B正确；对三角形三星系统，有2Gcos 30°＝M·，两种系统周期相同，即T＝4πR，联立解得L＝R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝·＝·，D错误．
【思路导引】多星问题的核心问题：稳定运行时星体间的距离不变，若万有引力不为零，那么星体围绕某一点做圆周运动，所受的万有引力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力，且星体做圆周运动的角速度相同(个别星体可能所受的万有引力的合力为零，如三星问题中的某一个星体静止)．　
6．天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位．如图所示，P、O、S三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．已知等边三角形边长为l，三颗星做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用．则(　　)
A．三颗星的质量可能不相等
B．三颗星的质量均为
C．三颗星的线速度大小均为
D．任意两颗星间的万有引力大小为
【答案】B　
【详解】根据几何关系可得，三颗星的轨道半径为r＝＝l，三颗星做匀速圆周运动，对于任意一颗星，由另外两颗星的万有引力的合力提供向心力，根据对称性可知，三颗星的质量一定相等，根据牛顿第二定律，有2Gcos 30°＝mr，解得三颗星的质量均为m＝，故A错误，B正确；三颗星的线速度大小均为v＝＝，故C错误；任意两颗星间的万有引力大小为F＝G＝，故D错误．
【关键点拨】三颗星若沿外接于等边三角形的圆形轨道做匀速圆周运动，对于任意一颗星，由另外两个星的万有引力的合力提供向心力．
7．宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统．若某四星系统中每颗星体的质量均为m，半径均为R，忽略其他星体对它们的引力作用和星体自转效应，则可能存在如下运动形式：四颗星分别位于边长为L的正方形的四个顶点上(L远大于R)，在相互之间的万有引力作用下绕某一共同的圆心做角速度相同的圆周运动．已知引力常量为G，求四颗星做圆周运动的角速度．
【答案】
【详解】任一星体在其他三颗星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均为r＝L，由万有引力定律可得四颗星体做圆周运动的向心力大小均为F向＝G＋2Gcos 45°＝，由牛顿第二定律得F向＝mω2·L，联立解得ω＝.
8．质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动．观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且＝k.于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为(　　)
A.m B.m
C.m D.m
【答案】A　
【详解】两星围绕连线的中点转动，则有G＝m··，解得T0＝2π，由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则G＋G＝m··，又＝k，联立解得M＝m，A正确．
9．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，将两星视为质点，不考虑其他天体的影响．A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′的表达式(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量mS的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v＝2.7×105 m/s，运行周期T＝4.7π×104 s，质量m1＝6mS，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，mS＝2.0×1030 kg)
【答案】(1)m′＝；　(2)＝　；(3)暗星B有可能是黑洞
【详解】(1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω.有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，FA＝FB，
设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，联立解得r＝r1，由万有引力定律，有FA＝G，可得FA＝G，令FA＝G，比较可得m′＝.
(2)由牛顿第二定律，有G＝m1，可见星A的轨道半径r1＝，联立解得＝.
(3)将m1＝6mS代入(2)中求得的结果得＝，
代入数据得＝6.9×1030 kg＝3.45mS.
设m2＝nmS(n>0)，则＝mS，
可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，
得mS＝0.125mS<3.5mS，
若使上式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2mS，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．
经典练习题
一、单选题（本大题共8小题）
1．厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的（　　）

A．角速度大于红矮星的角速度 B．线速度小于红矮星的线速度
C．轨道半径大于红矮星的轨道半径 D．向心力大小约为红矮星的2倍
2．天文学家预测，北冕座T恒星系统可能在2024年爆发，其亮度预计将和北极星相当，仅凭肉眼就可以观赏到这一不可错过的天文现象。图示是由一颗白矮星和一颗红巨星组成的北冕座T双星系统。其中，白矮星的质量约为太阳的1.4倍，红巨星的质量约为太阳的1.1倍，其半径约为太阳半径的75倍，白矮星与红巨星之间的距离约为地球与太阳之间距离的0.5倍，则北冕座T双星系统的周期约为（　　）
A．0.15年 B．0.22年 C．0.63年 D．2.2年
3．2023年10月26日消息，韦伯望远镜首次检测到恒星合并后啼（tellurium）等重元素的存在，可以帮助天文学家探究地球生命起源的奥秘。韦伯望远镜位于“拉格朗日点”上，跟随地球一起围绕太阳做圆周运动，图中的虚线圆周表示地球和韦伯望远镜绕太阳运动的轨道，韦伯望远镜和地球相对位置总是保持不变。已知太阳质量为、地球质量为，地球到太阳的距离为R，用l表示韦伯望远镜到地球的距离，把太阳、地球都看做是质点。由于的值很小，根据数学知识可以解出，你可能不知道这个解是用怎样的数学方法求出的，但根据物理知识你可以得出这个解对应的方程式为（　　）
A． B．
C． D．
4．在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成如图所示的双星模型，月球绕其轨道中心O点运行的周期记为。但在近似处理问题时，常常认为地球是静止的；月球绕地心做圆周运动的周期为。月球的质量为m，地球的质量为M，两种模型在进行估算时可认为月球和地球为的距离始终相同，则为（ ）
A． B． C． D．
5．游乐场中的“旋转飞椅”深受人们的喜爱，图甲为某游乐场内游客乘坐飞椅时的情景，其示意图如图乙所示，游客和椅子的转动可简化成角速度为的匀速圆周运动，长为的悬线与竖直方向的夹角为，已知重力加速度为，空气阻力可忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．飞椅匀速旋转的过程中，游客所受合力为零
B．飞椅匀速旋转的过程中，应满足
C．飞椅匀速旋转的过程中，游客的质量越大，角度就越小
D．飞椅匀速旋转的角速度越大，游客所受的合力就越大
6．“双星”是宇宙中普遍存在的一种天体系统，这种系统之所以稳定的原因之一是系统的总动量守恒且总动量为0，如图所示A、B两颗恒星构成双星系统，绕共同的圆心O互相环绕做匀速圆周运动，距离不变角速度相等，已知B的动量大小为p，A、B的总质量为M，轨道半径之比为，则B与A的动能之差为（　　）
A． B． C． D．
7．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2。则可知（　　）
A．m1做圆周运动的半径为
B．m2做圆周运动的半径为
C．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2：3
D．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3：2
8．所谓“双星”就是两颗相距较近的恒星，这两颗星各自以一定的速率绕某一中心转动才不致由于万有引力而吸在一起，已知它们的质量分别为M1和M2，相距为L，万有引力恒量为G，下列说法不正确的是（　　）
A．它们的轨道半径之比
B．线速度大小之比
C．转动中心O的位置距为
D．它们转动的角速度为
二、多选题（本大题共3小题）
9．冥王星是太阳系中离太阳最遥远的星星，几乎没有阳光能穿越59亿公里的旅程找到他。但有颗同样的矮行星距离冥王星只有地球和月球距离的十五分之一“，她一直陪着冥王星走着这一段冷清的旅程，她被命名为卡戎。冥王星与卡戎可视为双星系统，质量比约为，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕O点运动的（　　）
A．轨道半径约为卡戎的 B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍
10．某国产手机实现了卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，就可以实现通话。如图所示，赤道上空的三颗通信卫星恰好实现环赤道全球通信，已知三颗卫星离地高度相同，均绕地球做匀速圆周运动，且转动方向与地球自转方向相同。地球的半径为R，地球同步卫星离地球表面高度为6R，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．三颗通信卫星运行的周期相等
B．三颗卫星离地球表面高度为R
C．其中一颗质量为m的通信卫星的动能为
D．卫星运行的周期和地球自转周期之比为
11．我国发射的“悟空”探测卫星对暗物质的观测研究已处于世界领先地位，观测发现宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且 ，科学家认为在两星球之间存在暗物质。若对两星球运动有影响的暗物质均匀分布在以两星球连线为直径的球形空间内，已知质量分布均匀的球体对球外质点的作用力可等效为质量集中在球心处对质点的作用力，两星球质量均为m。下列说法正确的是（　　）
A．暗物质对星球的作用力表现为斥力
B．暗物质对星球的作用力表现为引力
C．球形空间内的暗物质的质量为
D．球形空间内的暗物质的质量为
双星多星问题参考答案
1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B
5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】C
9．【答案】AC 10．【答案】AB 11．【答案】BC
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