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7.1 图形的位置与坐标
第1课时 平面直角坐标系
过教材 要点概览
1.平面直角坐标系
在平面内,两条互相 且有公共 的数轴组成平面直角坐标系.通常两条数轴分别置于 位置与 位置,取向 与向
的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫作 轴或 轴,竖直的数轴叫作 轴或 轴.x轴和y轴统称坐标轴,它们的
公共原点O称为平面直角坐标系的原点.
垂直
第7章 图形与坐标
原点
水平
竖直
右
上
x
横
y
纵
2.点的坐标
如图,对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上所对应的数a,b分别叫作点P的 、 ,有序数对
叫作点P的坐标.有序实数对与平面直角坐标系中的点 .
.
横坐标
纵坐标
(a,b)
一一
对应
3.象限
建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分(如图),每个部分称为 ,四个部分分别叫作第一象限、第 象限、第 象限和第 象限. 上的点不属于任何象限.
象限
二
三
四
坐标轴
4.点的坐标特征
第一、二、三、四象限内点的横坐标、纵坐标的符号分别是(+,+),
, , .x轴上各点的 坐标都为0,y轴上各点的 坐标都为0.
(-,+)
(-,-)
(+,-)
纵
横
精讲练 新知探究
探究点一 用有序数对表示位置
[典例1]某个景区中景点的路线图如图,如果点A表示为(0,0),点D表示为(2,4),请用同样的方法表示其余各点.
解:B(2,0),C(2,2),E(4,4),F(7,4),G(7,7).
探究点二 平面直角坐标系
[典例2]如图,写出图中A,B,C,D,E,F,O各点的坐标.
解:A(2,3),B(3,2),C(-2,1),D(-1,-2),E(2.5,0),F(0,-2),O(0,0).
探究点三 平面直角坐标系中点的坐标特征
[典例3]设点M(a,b)为平面直角坐标系内的点.
(1)当a>0,b<0时,点M位于第几象限
(2)若点M位于第二象限,则a-b是正数还是负数
(3)若a=0,则点M的位置在哪里
解:(1)点M位于第四象限.
(2)因为点M位于第二象限,所以a<0,b>0,
所以a-b<0,即a-b是负数.
(3)点M在y轴上.
[变式]若点M(a,b)位于第二象限,点N(c,d)位于第四象限,则点P(ac,bd)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
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第2课时 平面直角坐标系中的图形
过教材 要点概览
1.坐标的特点
(1)简单图形的各顶点坐标确定后,它在直角坐标系中的位置也就确定了,可以用它的各个顶点的 刻画这个图形.
(2)平面内两点若在平行于x轴的直线上,则两点的纵坐标 ,横坐标为不相等的两个实数.
坐标
相等
(3)平面内两点若在平行于y轴的直线上,则两点的横坐标 ,纵坐标为不相等的两个实数.
2.构建坐标系的思路
(1)根据具体情境,选择适当的点作为坐标 .
(2)过原点作两条 的直线分别作为x轴和y轴.
(3)选择正方向和 .
相等
原点
互相垂直
单位长度
精讲练 新知探究
探究点一 建立平面直角坐标系确定点的坐标
[典例1]如图,长方形ABCD的边长AB=4,BC=2,根据下列条件建
立平面直角坐标系,求A,B,C,D各点的坐标.
(1)以点A为原点,AB所在直线为x轴;
解:(1)如图①,A,B,C,D四点的坐标分别是A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2).
①
(2)以DC的中点为原点,DC所在的直线为x轴.
解:(2)如图②,A,B,C,D四点的坐标分别是A(-2,-2),B(2,-2),C(2,0),
D(-2,0).
②
[变式1]如图,等边三角形OBC的边长为2,则点C的坐标是( )
C
探究点二 求直角坐标系中图形的面积
[典例2]如图,在直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为
A(-6,0),B(2,0),C(-1,8),求△ABC的面积.
[变式2]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,0),
B(0,3),C(0,-1),则△ABC的面积为 .
6
[变式3]如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A
(-2,-2),B(3,1),C(0,2),则△ABC的面积为 .
7
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7.2 图形的运动与坐标
过教材 要点概览
在平面直角坐标系中,点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是 ,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是 .
(-x,y)
(x,-y)
精讲练 新知探究
探究点一 关于坐标轴对称的点的坐标规律
[典例1]已知点A(a-1,1)和B(2,b+1).
(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值;
(2)若点A,B关于y轴对称,求a,b的值.
[变式1](1)分别写出下列各点关于x轴对称的点的坐标:
A(3,6),B(-7,9),C(6,-1).
(2)分别写出下列各点关于y轴对称的点的坐标:
D(-3,-5),E(0,10),F(8,0).
解:(1)(3,-6),(-7,-9),(6,1).
(2)(3,-5),(0,10),(-8,0).
探究点二 关于坐标轴对称的图形
[典例2]格点三角形ABC(顶点是网格线的交点的三角形)在平面直角坐标系中的位置如图.
(1)写出A,B,C三点的坐标;
解:(1)A(3,4),B(1,2),C(5,1).
(2)若△ABC各顶点的横坐标不变,纵坐标都乘-1,请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点A1,B1,C1,并依次连接这三个点,所得的△A1B1C1与原△ABC有怎样的位置关系
解:(2)如图,△A1B1C1与△ABC关于x轴对称.
点睛
在平面直角坐标系中画关于坐标轴对称图形的“四字诀”
(1)找:在平面直角坐标系中找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点).
(2)求:求出其对应点的坐标.
(3)描:根据所求坐标,描出对应点.
(4)连:连接这些点,就可以得到已知图形的对称图形.
[变式2]根据下图,直接写出A,B,C关于y轴对称的A′,B′,C′三点的坐标:A′( ),B′( ),C′( ).
2,3
3,1
-1,-2
7.2 图形的运动与坐标
基础巩固练
知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标规律
1.蝴蝶颜色炫丽,翩翩起舞时非常美丽,深受人们喜爱,它的图案具有对称美,如图,蝴蝶图案关于y轴对称,点M的对称点为点M1,若点M的坐标为(-1,-4),则点M1的坐标为( )
A.(1,-4) B.(-4,1)
C.(-1,4) D.(1,4)
A
2.在平面直角坐标系中,若点P(a-3,1)与点Q(2,b+1)关于x轴对称,则a+b的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知点P关于x轴的对称点为(a,-2),关于y轴的对称点为(1,b),那么点P的坐标为( )
A.(a,-b) B.(b,-a)
C.(-2,1) D.(-1,2)
C
D
知识点2 关于坐标轴对称的图形
4.(2024鄄城质检)已知图形A在y轴的右侧,如果将图形A上的所有点的横坐标都乘-1,纵坐标不变得到图形B,那么( )
A.两个图形关于x轴对称
B.两个图形关于y轴对称
C.两个图形重合
D.两个图形不关于任何一条直线对称
B
5.如图,x轴是△AOB的对称轴,y轴是△BOC的对称轴,点A的坐标为(1,2),则点C的坐标为( )
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(-2,-1)
A
6.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图,A,B,C三点都在格点(小正方形的顶点)上.
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标;
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2,并写出点A2,B2,C2的坐标;
(3)求出△ABC的面积.
解:(1)△A1B1C1如图,A1(2,-4),B1(1,-1),C1(3,-2).
(2)△A2B2C2如图,A2(-2,4),B2(-1,1),C2(-3,2).
能力提升练
7.如图,在3×3的正方形网格(小正方形边长为1)中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则点D关于x轴的对称点的坐标为( )
A.(2,1) B.(1,2)
C.(0,1) D.(0,0)
B
8.如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标为(1,2),则经过第2 025次变换后点A的坐标为( )
A.(1,-2) B.(-1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
A
9.已知△ABO关于x轴对称,点A的坐标为(1,-2),若在坐标轴上有一个点P,满足△BOP的面积等于2,则点P的坐标为 .
(-2,0),(2,0),(0,4)或(0,-4)
10.(2024肥城质检)如图,B,C两点关于y轴对称,点A的坐标是(0,b),点C的坐标为(-a,-a-b).
(1)直接写出点B的坐标: ;
(2)用尺规作图在x轴上作点P,使得AP+PB的值最小;
解:(1)(a,-a-b)
(2)(作图方法不唯一)如图,点P即为所求.
(3)求∠OAP的度数.
解:(3)如图,过点B作BD⊥y轴于点D,
则D(0,-a-b),BD=-a,OD=-a-b.
由(2),知点A与点A′关于x轴对称,
所以A′O=AO=b,
所以A′D=OD+A′O=-a=BD.
又∠A′DB=90°,所以∠BA′D=45°.
因为点A与点A′关于x轴对称,
所以∠OAP=∠DA′P=45°.
素养培优练
11.教材变式题 如图,在平面直角坐标系中,直线l是经过点(0,-1.5)且平行于x轴的直线.
(1)求点M(1,0)关于直线l的对称点的坐标;
(2)求点N(3,2)关于直线l的对称点的坐标;
解:(1)如图,作出点M关于直线l的对称点M1,则点M1的坐标为(1,-3).
(2)如图,作出点N关于直线l的对称点N1,则点N1的坐标为(3,-5).
(3)根据你得到的规律解答问题:若点A(a,-4)与点B(2,b)关于直线l对称,求ba的值.
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7.3 用方位角和距离描述两个物体的相对位置
过教材 要点概览
1.方位角
(1)在测量学中,被观测物体的方向除了用 、 、 、
描述之外,还可用地球 方向与观测者观测物体的视线方向的夹角α(称为方位角)来表示(0°<α< ).
(2)描述平面上A,B两点的相对方位时,如果由A观测B的方向是北(南)偏西(东)
n°,那么由B观测A的方向是 .
2.以一个点为参照点,通过描述被观测点与参照点之间的 以及
被观测点相对于参照点的 ,就能描述出被观测点的位置.
正南
正北
正东
正西
南北
90°
南(北)偏东(西)n°
距离
方位角
精讲练 新知探究
探究点一 方位角
[典例1]如图,这是一个公园的方位图,下列说法错误的是( )
A.大象馆在大门的北偏东60°方向
B.大门在海洋世界的正西方向
C.猴山在大门的正北方向
D.虎豹园在大门的南偏东25°方向
D
[变式1]从甲的位置看乙,乙处在北偏西30°方向,那么从乙的位置看甲,甲处在( )
A.南偏东60°方向
B.南偏西60°方向
C.南偏东30°方向
D.南偏西30°方向
C
探究点二 用方位角和距离描述两个物体的相对位置
[典例2]图书馆、超市、银行和餐馆的位置如图所示.以图书馆为参照点,请用方位角和图中所标示的距离分别表示超市、银行和餐馆的位置.
解:超市在图书馆南偏西70°方向,且距离图书馆2.8 km;银行在图
书馆北偏东30°方向,且距离图书馆3.2 km;餐馆在图书馆北偏
西50°方向,且距离图书馆1.8 km.
[变式2]如图.
(1)李亮家距学校1 000 m,如何用方位角和距离来描述李亮家相对于学校的位置
(2)反过来,学校相对于李亮家的位置怎样描述呢
解:(1)李亮家在学校的北偏西60°方向, 与学校的距离为1 000 m.
(2)学校在李亮家南偏东60°方向,与李亮家的距离为1 000 m.
点睛
(1)用方位角和距离表示平面内物体的位置时需要两个数据,缺一不可.
(2)方位角的表达一般先说南(或北),而不是先说东(或西),如南偏东50°,而不是东偏南40°.
7.3 用方位角和距离描述两个物体的相对位置
基础巩固练
知识点1 方位角
1.如图,下列说法错误的是( )
A.OA的方向是西北方向
B.OB的方向是南偏西60°
C.OC的方向是南偏东60°
D.OD的方向是北偏东50°
C
2.如图,书店、学校、食堂在同一个平面上,分别用点A,B,C来表示,书店在学校的北偏西30°方向上,食堂在学校的南偏东60°方向上,则∠ABC的度数是( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
D
知识点2 用方位角和距离描述两个物体的位置
3.如图,下列关于点A的位置的描述准确的是( )
A.在距点O 4 km处
B.在北偏东40°方向上4 km处
C.在点O北偏东50°方向上4 km处
D.在点O北偏东40°方向上4 km处
D
4.如图,学校(记作A)在蕾蕾家(记作B)南偏西25°的方向上,且与蕾蕾家的距离是4 km,若∠ABC=90°,且AB=BC,则超市(记作C)在蕾蕾家的( )
A.南偏东65°的方向上,两者相距4 km
B.南偏东55°的方向上,两者相距4 km
C.北偏东55°的方向上,两者相距4 km
D.北偏东65°的方向上,两者相距4 km
A
5.已知小莹家O、学校A和公园C的平面示意图如图,且图上距离OA=3 cm,
OC=4.5 cm.若比例尺为1∶40 000,则学校A相对于小莹家的位置是 .
方向,距离 km处,公园C相对于小莹家的位置是 .
方向,距离 km处.
北
偏东45°
1.2
北偏
西30°
1.8
能力提升练
6.如图,快艇从P处向正北方向航行到A处后,向左转40°航行到B处,再向右转60°继续航行,此时快艇航行的方向为( )
A.北偏东60° B.北偏西60°
C.北偏东20° D.北偏西20°
C
7.如图,在一次活动中,位于A处的1班准备前往相距8 km的B处与2班会合,如果用方向和距离描述位置,那么1班在2班的 处.
北偏东40°方向上8 km
8.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向上,C岛在B岛的北偏西65°方向上,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的大小为 °.
115
9.如图,点A,B是两个八年级学生的位置,某商场C在点A的北偏东30°方向,同时在点B的北偏西60°方向,试在图中确定商场C的位置,并保留作图痕迹.
解:如图,点C即为所求.
10.如图是小明家和学校所在地的简单平面图,已知OA=2 cm,OB=2.5 cm,
OP=4 cm,C为OP的中点.
回答下列问题:
(1)图中与小明家距离相同的是哪些地方
(2)学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位 哪两个地方的方位是相同的
(3)若学校距离小明家400 m,则商场和停车场分别距离小明家多少米
解:(2)学校在小明家的北偏东45°方向,商场在小明家的北偏西30°方向,公园在小明家的南偏东60°方向,停车场在小明家的南偏东60°方向.公园和停车场的方位相同.
(3)图上1 cm表示实际距离400÷2=200(m),
商场距离小明家2.5×200=500(m),
停车场距离小明家4×200=800(m).
素养培优练
11.如图,一只蚂蚁从点A出发沿北偏东60°的方向爬行5 cm到达点B,再从点B沿西北方向爬行3 cm到达点C,再从点C沿南偏西60°的方向爬行5 cm到达点D,连接AD.
(1)请将图形补充完整.
解:(1)如图.
(2)求∠ABC与∠BCD的度数.
(3)此时AB和CD的位置关系如何 说出你的理由.
解:(2)∠ABC=30°+45°=75°,
∠BCD=45°+60°=105°.
(3)AB∥CD.理由如下:
因为∠ABC=75°,∠BCD=105°,
所以∠ABC+∠BCD=180°,
所以AB∥CD.
谢谢观赏！
