习题课三 子弹打木块模型与“滑块—木板”模型问题
题组一 子弹打木块模型
1.（多选）如图所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块后不再穿出，此时木块动能增加了6 J，那么此过程产生的内能可能为（ ）
A.10 J B.8 J
C.6 J D.4 J
2.如图所示，光滑水平面上有一质量均匀的木块，初始时木块静止，接着有两颗完全相同的子弹先后以相同大小的初速度射入木块。首先左侧子弹射入，子弹水平射入木块的最大深度为d1，然后右侧子弹射入，子弹水平射入木块的最大深度为d2。设子弹均未射穿木块，且两颗子弹与木块之间的作用力大小均相同。当两颗子弹均相对于木块静止时，下列判断正确的是（ ）
A.木块最终静止，d1＝d2
B.木块最终静止，d1＜d2
C.木块最终静止，d1＞d2
D.木块最终向左运动，d1＝d2
3.（多选）（2023·河北唐山市高二质检）如图所示，两个质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上质量相同、材料不同的两长方体滑块A、B中，射入A中的深度是射入B中深度的两倍。两种射入过程相比较（ ）
A.射入滑块A的子弹速度变化大
B.整个射入过程中两滑块受到的冲量一样大
C.射入滑块A中时阻力对子弹做功是射入滑块B中时的两倍
D.两个过程中系统产生的热量相同
4.如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为m的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A.子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
B.子弹射入木块后的瞬间，它们的共同速度为
C.子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
D.子弹射入木块后，当子弹和木块上升到最大高度时，圆环的速度达到最大
题组二 “滑块——木板”模型
5.（多选）如图所示，质量为8m，长度一定的长木板放在光滑的水平面上，质量为m，可视为质点的物块放在长木板的最左端，质量为m的子弹以水平向右的速度v0射入物块且未穿出（该过程的作用时间极短可忽略不计），经时间t0物块以的速度离开长木板的最右端，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A.长木板最终的速度大小为
B.长木板的长度为
C.子弹射入物块的过程中损失的机械能为m
D.物块与长木板间的动摩擦因数为
6.（多选）如图所示，足够长的光滑水平导轨上放有一个凹槽，其质量为M＝10 kg。凹槽以初速度v0＝6 m/s 匀速运动。某时刻在凹槽内无初速度放置一个质量为m＝2 kg的物块，物块与凹槽之间存在摩擦，若物块与凹槽碰撞过程中无机械能损失，则在此后的运动过程中（ ）
A.凹槽与物块组成的系统机械能守恒
B.凹槽与物块组成的系统动量守恒
C.凹槽与物块的最终速度均为5 m/s
D.整个运动过程中系统因摩擦产生的热量为55 J
7.如图（a），一长木板静止于光滑水平桌面上，t＝0时，小物块以速度v0滑到长木板上，图（b）为物块与木板运动的v-t图像，图中t1、v0、v1为已知量。重力加速度大小为g。由此可求得（ ）
A.木板的长度
B.物块与木板的质量
C.物块与木板之间的动摩擦因数
D.从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能
8.如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端（B、C可视为质点），三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg，A与B间的动摩擦因数为μ＝0.5；开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）并粘在一起，经过一段时间，B刚好滑至A的右端而没掉下来（g＝10 m/s2）。求：
（1）A、C碰撞后A的速度大小；
（2）长木板A的长度。
9.如图所示，质量mB＝2 kg的平板车B上表面水平，在平板车左端相对于车静止着一个质量mA＝2 kg的物块A（A可视为质点），A、B一起以大小为v1＝0.5 m/s的速度在光滑的水平面上向左运动，一颗质量m0＝0.01 kg的子弹以大小为v0＝600 m/s的水平初速度向右瞬间射穿A后，速度变为v＝200 m/s。已知A与B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终相对静止时A刚好停在B的右端，车长L＝1 m，g＝10 m/s2，求：
（1）A、B间的动摩擦因数；
（2）整个过程中因摩擦产生的热量。
10.如图所示，用长为R的不可伸长的轻绳将质量为的小球A悬挂于O点。在光滑的水平地面上，质量为m的小物块B（可视为质点）置于长木板C的左端静止。将小球A拉起，使轻绳水平拉直，将A球由静止释放，运动到最低点时与小物块B发生弹性正碰。
（1）求碰后小球A上升的最大高度。
（2）若长木板C的质量为2m，小物块B与长木板C之间的动摩擦因数为μ，长木板C的长度至少为多大，小物块B才不会从长木板C的上表面滑出？
习题课三 子弹打木块模型与“滑块—木板”模型问题
1.AB 设子弹的初速度为v0，射入木块后子弹与木块共同的速度为v，木块的质量为M，子弹的质量为m。根据动量守恒定律得mv0＝（M＋m）v，解得v＝。木块获得的动能为ΔEk＝Mv2＝＝·，系统产生的内能为Q＝m－（M＋m）v2＝，可得Q＞ΔEk＝6 J，故A、B正确。
2.B 设木块和子弹的质量分别为M、m，左侧子弹射入木块与木块一起向右运动，设共同速度大小为v1，由动量守恒定律得mv0＝（M＋m）v1，由能量守恒定律得Ffd1＝m－（M＋m），右侧子弹与木块及左侧的第一颗子弹共同运动的速度大小设为v2，由动量守恒定律得（M＋m）v1－mv0＝（M＋2m）v2，由能量守恒定律得 Ffd2＝m＋（M＋m）－（M＋2m），解得v2＝0，d1＝［m－（M＋m）］，d2＝［m＋（M＋m）］，所以木块最终静止，d1＜d2，故选B。
3.BD 在子弹射入滑块的过程中，子弹与滑块组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可知mv0＝（M＋m）v，两种情况下子弹和滑块的末速度相同，即两种情况下子弹的速度变化量相同，A项错误；两滑块质量相同，且最后的速度相同，由动量定理可知，两滑块受到的冲量相同，B项正确；由动能定理可知，两种射入过程中阻力对子弹做功相同，C项错误；两个过程中系统产生的热量与系统损失的机械能相同，故两个过程中系统产生的热量相同，D项正确。
4.C 子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统在竖直方向上存在加速度，即动量不守恒，故A错误；子弹射入木块的过程，子弹与木块组成的系统动量守恒，设射入后的瞬间子弹的速度大小为v1，根据动量守恒定律有m0v0＝（m0＋m）v1，解得v1＝，故B错误；子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统在水平方向上动量守恒，当三者达到共同速度v时，子弹和木块上升的高度最大，设为h，根据动量守恒定律有m0v0＝（m0＋2m）v，从子弹射入木块后到子弹和木块上升到最大高度的过程中，根据机械能守恒定律有（m0＋m）＝（m0＋2m）v2＋（m0＋m）gh，联立解得h＝，故C正确；子弹射入木块后的运动过程中，子弹和木块上升到最大高度时，圆环受到向右下方的拉力，速度方向又向右，则之后做加速运动，可知此时速度不是最大，故D错误。
5.BD 子弹、物块及木板组成的系统，整个过程根据动量守恒定律，有mv0＝2m·＋8m·v，求得长木板最终的速度大小为v＝v0，故A错误；子弹射入物块的过程中，时间极短。对子弹及物块，根据动量守恒定律有mv0＝2m·v'，求得v'＝，该过程系统损失的机械能为ΔE＝m－×2mv'2，联立两式可求得ΔE＝m，故C错误；子弹射入物块后到物块从长木板滑离时，物块运动的位移大小为x1＝t0＝t0＝v0t0，长木板滑动的位移大小为x2＝t0＝t0＝v0t0，则长木板的长度为L＝x1－x2＝v0t0，故B正确；对长木板，整个过程根据动量定理有μ·2mgt0＝8mv，可得物块与长木板间的动摩擦因数为μ＝，故D正确。
6.BC 凹槽与物块之间有滑动摩擦，会损耗机械能，A错误；摩擦力是系统内力，凹槽与物块组成的系统所受外力的矢量和为零，所以动量守恒，B正确；对系统，动量守恒，二者最终共速，有Mv0＝（M＋m）v，解得v＝5 m/s，C正确；对系统，根据能量守恒定律得 Q＝M－（M＋m）v2＝30 J，D错误。
7.C 根据图（b）可以求出物块相对木板滑行的距离x＝v0t1，木板的长度可能等于该长度、也可能大于该长度，故无法求出木板的长度，A错误；物块与木板组成的系统动量守恒，以物块的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝（m＋M）v1，可解出物块与木板的质量之比，但无法计算各自的质量，B错误；对物块，由动量定理得－μmgt1＝ mv1－mv0，v0与v1已知，解得μ＝，则可以求出动摩擦因数，C正确；由于不知道木板的质量，无法求出从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能，D错误。
8.（1）2.5 m/s （2）0.5 m
解析：（1）A与C碰撞过程动量守恒，有
mAv0＝（mA＋mC）v1
解得v1＝2.5 m/s。
（2）B在A上滑行，A、B、C组成的系统动量守恒，有mBv0＋（mA＋mC）v1＝（mA＋mB＋mC）v2
解得v2＝3 m/s
由能量守恒定律得
mB＋（mA＋mC）
＝（mA＋mB＋mC）＋μmBgL
解得L＝0.5 m。
9.（1）0.1 （2）1 600 J
解析：（1）规定向右为正方向，子弹与A作用的过程，根据动量守恒定律得m0v0－mAv1＝m0v＋mAvA，
代入数据解得vA＝1.5 m/s，
子弹穿过A后，A以1.5 m/s的速度开始向右滑行，B以0.5 m/s的速度向左运动，当A、B达到共同速度时，A、B相对静止，对A、B组成的系统运用动量守恒定律，规定向右为正方向，有mAvA－mBv1＝（mA＋mB）v2
代入数据解得v2＝0.5 m/s
根据能量守恒定律知
μmAgL＝mA＋mB－（mA＋mB）
代入数据解得μ＝0.1。
（2）根据能量守恒定律，整个过程中因摩擦产生的热量为
Q＝m0＋（mA＋mB）－m0v2－（mA＋mB）
代入数据解得Q＝1 600 J。
10.（1）R （2）
解析：（1）设小球A与小物块B碰前瞬间的速度为v0，则有gR＝×
设碰后小球A和小物块B的速度分别为v1和v2，有v0＝v1＋mv2
×＝×＋×m
设碰后小球A能上升的最大高度为H，有
gH＝×
解得H＝R。
（2）由（1）可求得碰后小物块B的速度为v2＝
设小物块B与长木板C相互作用达到的共同速度为v，长木板C的最小长度为L，有
mv2＝（m＋2m）v
μmgL＝m－（m＋2m）v2
由以上各式解得L＝。
3 / 3习题课三 子弹打木块模型与“滑块—木板”模型问题
模型一 子弹打木块模型
1.模型特点
（1）子弹打木块的过程很短，内力远大于外力，系统动量守恒。
（2）在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。
2.基本关系式
（1）子弹留在木块中（未穿出）
①动量守恒：mv0＝（m＋M）v。
②机械能的损失（摩擦生热）
Q热＝Ffd＝m－（M＋m）v2
其中d为子弹射入木块的深度。
（2）子弹穿出木块
①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2。
②机械能的损失（摩擦生热）
Q热＝FfL＝m－m－M
其中L为木块的长度，注意d≤L。
【典例1】 如图甲所示，一块长度为L、质量为m的木块静止在光滑水平面上。一颗质量也为m的子弹以水平速度v0射入木块。当子弹刚射穿木块时，木块向前移动的距离为x（图乙）。设子弹穿过木块的过程中受到的阻力恒定不变，子弹可视为质点。则子弹穿过木块的时间为（ ）
A.（x＋L） B.（x＋2L）
C.（x＋L） D.（L＋2x）
尝试解答
1.（多选）矩形滑块由不同材料的上、下两层粘在一起，将其放在光滑水平面上，如图所示，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若子弹击中上层，子弹刚好不穿出，若子弹击中下层，则子弹整个刚好嵌入，由此可知（ ）
A.子弹射中上层时对滑块做功多
B.两次子弹对滑块做的功一样多
C.子弹射中上层系统产生热量多
D.子弹与下层之间的摩擦力较大
2.一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速度v0水平打进木块并留在其中，设子弹与木块之间的相互作用力为Ff。求：
（1）子弹、木块的共同速度；
（2）此过程中产生的摩擦热；
（3）子弹在木块内运动的时间；
（4）子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度。
模型二 “滑块—木板”模型
1.模型特点
（1）把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。
（2）由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·x相对，其中x相对为滑块和木板相对滑动的路程。
（3）若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。
2.基本关系式
设木板A的质量为M，滑块B的质量为m，A、B间的动摩擦因数为μ。
（1）如果木板足够长，运动情景如图所示
Ff＝μmg
由动量守恒定律得mv0＝（m＋M）v1
由动能定理得
－Ffx1＝m－m
Ffx2＝M
Q＝Ffx3＝Ff（x1－x2）＝m－（m＋M）。
（2）若滑块滑出木板，设木板的长度为L，滑块滑出木板时滑块的速度为v1，木板的速度为v2。
由动量守恒定律得mv0＝mv1＋Mv2。
由能量守恒定律得
Q热＝FfL＝m－m－M。
【典例2】 如图所示，用长为0.4 m的不可伸长的轻绳将质量为1 kg的小球C悬挂于O点，小球C静止。质量为2 kg的物块A放在质量也为2 kg的木板B的右端，以共同的速度v0＝1.5 m/s沿着光滑水平面向着小球滑去，小球与物块发生弹性正碰，物块与小球均可视为质点，且小球C返回过程不会碰到物块A，不计一切阻力，重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）碰后瞬间小球C的速度大小；
（2）若物块与木板间的动摩擦因数为0.1，木板B至少要多长，物块A才不会从长木板的上表面滑出。
思路点拨 （1）物块A与小球C发生弹性正碰过程中，A、C系统的动量守恒、机械能守恒。
（2）小物块A恰好不从长木板B的上表面滑出时对应木板的最小长度。
尝试解答
1.如图甲所示，长木板静止在光滑水平地面上，质量为m的滑块以水平初速度v0由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止。若将木板分成长度相等的两段（如图乙），滑块仍以v0从木板左端开始滑动，已知滑块运动过程中所受摩擦力不变。则下列分析正确的是（ ）
A.滑块滑到木板的右端后飞离木板
B.滑块滑到木板的右端前就与木板保持相对静止
C.两过程滑块的动量变化相同
D.两过程系统产生的热量相等
2.（多选）如图甲所示，光滑平台上的物体A以初速度v0滑到上表面粗糙的水平小车B上，车与水平面间的动摩擦因数不计，图乙为物体A与小车B的v-t图像，由此可求（ ）
A.小车上表面长度
B.物体A与小车B的质量之比
C.物体A与小车B上表面的动摩擦因数
D.小车B获得的动能
1.（多选）如图所示，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为x。则以下说法正确的是（ ）
A.子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B.子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C.摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D.子弹对木块做的功等于木块动能的增量
2.（多选）质量为M、长度为d的木块放在光滑的水平面上，在木块右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动。质量为m的子弹以水平速度v0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度v0射入静止的木块。设子弹在木块中受到的阻力大小恒定，则（ ）
A.拔去销钉，木块和子弹组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B.子弹在木块中受到的阻力大小为
C.拔去销钉，子弹与木块相对静止时的速度为
D.拔去销钉，子弹射入木块的深度为
3.如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上，一个质量也为M的物块（视为质点）以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行的距离为（ ）
A.L B.
C. D.
4.（多选）如图所示，一质量M＝8.0 kg的长方形木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝2.0 kg的小木块A。给A和B一大小均为5.0 m/s，方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，A始终没有滑离B板，A、B之间的动摩擦因数是0.5。则在整个过程中，下列说法正确的是（ ）
A.小木块A的速度减为零时，长木板B的速度大小为3.75 m/s
B.小木块A的速度方向一直向左，不可能为零
C.小木块A与长木板B共速时速度大小为3 m/s，方向向左
D.长木板的长度可能为10 m
习题课三 子弹打木块模型与“滑块—木板”模型问题
【核心要点·快突破】
模型一
知识精研
【典例1】 D 子弹穿过木块过程，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得mv0＝mv1＋mv2，设子弹穿过木块的过程所受阻力为Ff，对子弹由动能定理得 －Ff（x＋L）＝m－m，由动量定理得－Fft＝mv1－mv0，对木块由动能定理得Ffx＝m，由动量定理得Fft＝mv2，联立解得t＝（L＋2x），故选D。
素养训练
1.BD 两次射击，子弹与滑块都满足动量守恒，最后滑块与子弹以相同的速度共同运动，可知滑块动能增加量相同，即两次射击，子弹对滑块做功一样多，选项A错误，B正确；系统损失机械能也一样多，故产生热量也一样多，选项C错误；产生的热量等于摩擦力和子弹与滑块相对位移的乘积，由子弹进入滑块的深度可知子弹与下层之间的摩擦力较大，选项D正确。
2.（1）v0 （2） （3）
（4）
解析：（1）设子弹、木块的共同速度为v，以子弹初速度的方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝（M＋m）v，解得v＝ v0。
（2）此过程中产生的摩擦热为Q热＝m－（M＋m）v2＝。
（3）设子弹在木块内运动的时间为t，对木块，由动量定理得Fft＝Mv－0，解得t＝。
（4）设子弹、木块发生的位移分别为x1、x2，如图所示，由动能定理对子弹，有－Ffx1＝mv2－m，解得x1＝，对木块，有Ffx2＝Mv2，解得x2＝，子弹打进木块的深度等于相对位移，即x相＝x1－x2＝。
模型二
知识精研
【典例2】 （1）2 m/s （2）0.25 m
解析：（1）设物块质量为mA，小球质量为mC，由于发生弹性正碰，则由动量守恒定律得mAv0＝mAv1＋mCv2，由机械能守恒定律得mA＝mA＋mC，解得v1＝0.5 m/s，v2＝2 m/s。
（2）此后物块加速，木板减速，物块刚好和木板共速时，物块运动到木板左端，设木板质量为mB，共同速度为v3，由动量守恒定律得mBv0＋mAv1＝（mB＋mA）v3，由能量守恒定律得mB＋mA－（mB＋mA）＝μmAgL，解得L＝0.25 m。
素养训练
1.B 第一次在滑块运动过程中，滑块与木板之间的摩擦力使整个木板一直加速，第二次滑块先使整个木板加速，运动到右半部分上后左半部分停止加速，只有右半部分加速，加速度大于第一次的对应过程，故第二次滑块与右边木板将更早达到速度相等，所以滑块还没有运动到最右端就与木板保持相对静止，故A错误，B正确；根据动量守恒定律可知两过程中滑块最后的速度不同，则两过程滑块的动量变化不同，故C错误；第二次滑块与两木板间的相对位移小，所以产生的热量小于第一次产生的热量，故D错误。
2.BC 由图像可知，A、B最终以共同速度v1匀速运动，不能确定小车上表面长度，故A错误；由动量守恒定律得mAv0＝（mA＋mB）v1，解得＝，所以可以确定物体A与小车B的质量之比，故B正确；由图像可以知道物体A相对小车B的位移Δx＝v0t1，根据能量守恒定律得μmAgΔx＝mA－（mA＋mB），根据B项中求得质量关系，可以解得动摩擦因数，故C正确；由于小车B的质量未知，则不能确定小车B获得的动能，故D错误。
【教学效果·勤检测】
1.BD 子弹射入木块的过程，要产生内能，由能量守恒定律知子弹动能的减少量大于系统动能的减少量，故A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块动量变化量大小相等，方向相反，故B正确；摩擦力对木块做的功为Ffx，摩擦力对子弹做的功为－Ff（x＋d），可知二者不相等，故C错误；对木块，根据动能定理可知，子弹对木块做的功即为摩擦力对木块做的功，其等于木块动能的增量，故D正确。
2.BD 拔去销钉，木块和子弹之间的摩擦力属于系统内力，木块和子弹组成的系统动量守恒；但因摩擦力做功，故系统机械能不守恒，故A错误；当木块被销钉挡住时，由动能定理可知－Ffd＝0－m，解得Ff＝，故B正确；拔去销钉，子弹与木块组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可得mv0＝（m＋M）v，解得v＝，故C错误；拔去销钉，对子弹射入木块的整个过程，根据能量守恒定律有Ffx＝m－×（m＋M）v2，解得x＝，故D正确。
3.D 长木板固定时，由动能定理得－μMgL＝0－M，若长木板不固定，以物块初速度的方向为正方向，由动量守恒定律有Mv0＝2Mv，由能量守恒定律有μMgx＝M－×2Mv2，得x＝，D项正确，A、B、C项错误。
4.AD 取向右为正方向，根据动量守恒定律可知Mv0－mv0＝Mv1＋0，解得v1＝3.75 m/s，A正确；设A、B的最终速度为v2，根据动量守恒定律，有Mv0－mv0＝（M＋m）v2，解得v2＝3 m/s，因此A、B最终一起向右运动，且速度大小为3 m/s，B、C错误；根据能量守恒定律得μmgL＝M＋m－（M＋m），整理得板的长度至少为 L＝8 m，因此长木板的长度可能为10 m，D正确。
1 / 3(共60张PPT)
习题课三 子弹打木块模型与
“滑块—木板”模型问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
模型一 子弹打木块模型
1. 模型特点
（1）子弹打木块的过程很短，内力远大于外力，系统动量守恒。
（2）在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能
向内能转化。
2. 基本关系式
（1）子弹留在木块中（未穿出）
①动量守恒：mv0＝（m＋M）v。
②机械能的损失（摩擦生热）
Q热＝Ffd＝m－（M＋m）v2
其中d为子弹射入木块的深度。
（2）子弹穿出木块
①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2。
②机械能的损失（摩擦生热）
Q热＝FfL＝m－m－M
其中L为木块的长度，注意d≤L。
【典例1】 如图甲所示，一块长度为L、质量为m的木块静止在光滑
水平面上。一颗质量也为m的子弹以水平速度v0射入木块。当子弹刚
射穿木块时，木块向前移动的距离为x（图乙）。设子弹穿过木块的
过程中受到的阻力恒定不变，子弹可视为质点。则子弹穿过木块的时
间为（ ）
A. （x＋L） B. （x＋2L）
C. （x＋L） D. （L＋2x）
解析：子弹穿过木块过程，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定
律得mv0＝mv1＋mv2，设子弹穿过木块的过程所受阻力为Ff，对子弹
由动能定理得 －Ff（x＋L）＝m－m，由动量定理得－Fft＝
mv1－mv0，对木块由动能定理得Ffx＝m，由动量定理得Fft＝
mv2，联立解得t＝（L＋2x），故选D。
1. （多选）矩形滑块由不同材料的上、下两层粘在一起，将其放在光
滑水平面上，如图所示，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若
子弹击中上层，子弹刚好不穿出，若子弹击中下层，则子弹整个刚
好嵌入，由此可知（ ）
A. 子弹射中上层时对滑块做功多
B. 两次子弹对滑块做的功一样多
C. 子弹射中上层系统产生热量多
D. 子弹与下层之间的摩擦力较大
解析： 两次射击，子弹与滑块都满足动量守恒，最后滑块与
子弹以相同的速度共同运动，可知滑块动能增加量相同，即两次射
击，子弹对滑块做功一样多，选项A错误，B正确；系统损失机械
能也一样多，故产生热量也一样多，选项C错误；产生的热量等于
摩擦力和子弹与滑块相对位移的乘积，由子弹进入滑块的深度可知
子弹与下层之间的摩擦力较大，选项D正确。
2. 一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速
度v0水平打进木块并留在其中，设子弹与木块之间的相互作用力为
Ff。求：
（1）子弹、木块的共同速度；
答案： v0
解析： 设子弹、木块的共同速度为v，以子弹初速度的
方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝（M＋m）v，解得v
＝ v0。
（2）此过程中产生的摩擦热；
答案：
解析：此过程中产生的摩擦热为Q热＝m－（M＋m）
v2＝。
（3）子弹在木块内运动的时间；
答案：
解析：设子弹在木块内运动的时间为t，对木块，由动量定
理得Fft＝Mv－0，解得t＝。
（4）子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹
打进木块的深度。
答案：
解析：设子弹、木块发生的位移分别
为x1、x2，如图所示，由动能定理对子
弹，有－Ffx1＝mv2－m，解得x1＝
，对木块，有Ffx2＝
Mv2，解得x2＝，子弹打进木块的深度等于相对位移，即x相＝x1－x2＝。
模型二 “滑块—木板”模型
1. 模型特点
（1）把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面
上滑块和木板组成的系统动量守恒。
（2）由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根
据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热
量，ΔE＝Ff·x相对，其中x相对为滑块和木板相对滑动的路程。
（3）若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械
能损失最多。
2. 基本关系式
设木板A的质量为M，滑块B的质量为m，A、B间的动摩擦因数
为μ。
（1）如果木板足够长，运动情景如图所示
Ff＝μmg
由动量守恒定律得mv0＝（m＋M）v1
由动能定理得－Ffx1＝m－m
Ffx2＝M
Q＝Ffx3＝Ff（x1－x2）＝m－（m＋M）。
（2）若滑块滑出木板，设木板的长度为L，滑块滑出木板时滑块的
速度为v1，木板的速度为v2。
由动量守恒定律得mv0＝mv1＋Mv2。
由能量守恒定律得
Q热＝FfL＝m－m－M。
【典例2】 如图所示，用长为0.4 m的不可伸长的轻绳将质量为1 kg
的小球C悬挂于O点，小球C静止。质量为2 kg的物块A放在质量也为2
kg的木板B的右端，以共同的速度v0＝1.5 m/s沿着光滑水平面向着小
球滑去，小球与物块发生弹性正碰，物块与小球均可视为质点，且小
球C返回过程不会碰到物块A，不计一切阻力，重力加速度g＝10
m/s2。求：
（1）碰后瞬间小球C的速度大小；
（2）若物块与木板间的动摩擦因数为0.1，木板B至少要多长，物块A
才不会从长木板的上表面滑出。
思路点拨 （1）物块A与小球C发生弹性正碰过程中，A、C系
统的动量守恒、机械能守恒。
（2）小物块A恰好不从长木板B的上表面滑出时对应木板的最小
长度。
答案：2 m/s
解析：设物块质量为mA，小球质量为mC，由于发生弹性正碰，则由动量守恒定律得mAv0＝mAv1＋mCv2，由机械能守恒定律得mA＝mA＋mC，解得v1＝0.5 m/s，v2＝2 m/s。
（1）碰后瞬间小球C的速度大小；
解析： 此后物块加速，木板减速，物块刚好和木板共速时，物块
运动到木板左端，设木板质量为mB，共同速度为v3，由动量守
恒定律得mBv0＋mAv1＝（mB＋mA）v3，由能量守恒定律得
mB＋mA－（mB＋mA）＝μmAgL，解得L＝0.25 m。
答案：0.25 m
（2）若物块与木板间的动摩擦因数为0.1，木板B至少要多长，物块A
才不会从长木板的上表面滑出。
1. 如图甲所示，长木板静止在光滑水平地面上，质量为m的滑块以水平初速度v0由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止。若将木板分成长度相等的两段（如图乙），滑块仍以v0从木板左端开始滑动，已知滑块运动过程中所受摩擦力不变。则下列分析正确的是（ ）
A. 滑块滑到木板的右端后飞离木板
B. 滑块滑到木板的右端前就与木板保持相对静止
C. 两过程滑块的动量变化相同
D. 两过程系统产生的热量相等
解析： 第一次在滑块运动过程中，滑块与木板之间的摩擦力使
整个木板一直加速，第二次滑块先使整个木板加速，运动到右半部
分上后左半部分停止加速，只有右半部分加速，加速度大于第一次
的对应过程，故第二次滑块与右边木板将更早达到速度相等，所以
滑块还没有运动到最右端就与木板保持相对静止，故A错误，B正
确；根据动量守恒定律可知两过程中滑块最后的速度不同，则两过
程滑块的动量变化不同，故C错误；第二次滑块与两木板间的相对
位移小，所以产生的热量小于第一次产生的热量，故D错误。
2. （多选）如图甲所示，光滑平台上的物体A以初速度v0滑到上表面
粗糙的水平小车B上，车与水平面间的动摩擦因数不计，图乙为物
体A与小车B的v-t图像，由此可求（ ）
A. 小车上表面长度
B. 物体A与小车B的质量之比
C. 物体A与小车B上表面的动摩擦因数
D. 小车B获得的动能
解析： 由图像可知，A、B最终以共同速度v1匀速运动，不能
确定小车上表面长度，故A错误；由动量守恒定律得mAv0＝（mA＋
mB）v1，解得＝，所以可以确定物体A与小车B的质量之
比，故B正确；由图像可以知道物体A相对小车B的位移Δx＝v0t1，
根据能量守恒定律得μmAgΔx＝mA－（mA＋mB），根据B
项中求得质量关系，可以解得动摩擦因数，故C正确；由于小车B
的质量未知，则不能确定小车B获得的动能，故D错误。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. （多选）如图所示，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上
的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动
的位移为x。则以下说法正确的是（ ）
A. 子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B. 子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C. 摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D. 子弹对木块做的功等于木块动能的增量
解析： 子弹射入木块的过程，要产生内能，由能量守恒定律
知子弹动能的减少量大于系统动能的减少量，故A错误；子弹和木
块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块动
量变化量大小相等，方向相反，故B正确；摩擦力对木块做的功为
Ffx，摩擦力对子弹做的功为－Ff（x＋d），可知二者不相等，故C
错误；对木块，根据动能定理可知，子弹对木块做的功即为摩擦力
对木块做的功，其等于木块动能的增量，故D正确。
2. （多选）质量为M、长度为d的木块放在光滑的水平面上，在木块
右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动。质量为m的子
弹以水平速度v0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使
木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度v0射入静止的木
块。设子弹在木块中受到的阻力大小恒定，则（ ）
A. 拔去销钉，木块和子弹组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B. 子弹在木块中受到的阻力大小为
C. 拔去销钉，子弹与木块相对静止时的速度为
D. 拔去销钉，子弹射入木块的深度为
解析：拔去销钉，木块和子弹之间的摩擦力属于系统内力，木块和子弹组成的系统动量守恒；但因摩擦力做功，故系统机械能不守恒，故A错误；当木块被销钉挡住时，由动能定理可知－Ffd＝0－m，解得Ff＝，故B正确；拔去销钉，子弹与木块组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可得mv0＝（m＋M）v，解得v＝，故C错误；拔去销钉，对子弹射入木块的整个过程，根据能量守恒定律有Ffx＝m－×（m＋M）v2，解得x＝，故D正确。
3. 如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上，一个
质量也为M的物块（视为质点）以一定的初速度从左端冲上长木
板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木
板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行
的距离为（ ）
A. L B.
C. D.
解析： 长木板固定时，由动能定理得－μMgL＝0－M，若
长木板不固定，以物块初速度的方向为正方向，由动量守恒定律有
Mv0＝2Mv，由能量守恒定律有μMgx＝M－×2Mv2，得x＝，D
项正确，A、B、C项错误。
4. （多选）如图所示，一质量M＝8.0 kg的长方形木板B放在光滑水平
地面上，在其右端放一个质量m＝2.0 kg的小木块A。给A和B一大
小均为5.0 m/s，方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向
右运动，A始终没有滑离B板，A、B之间的动摩擦因数是0.5。则在
整个过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 小木块A的速度减为零时，长木板B的速度大小为3.75 m/s
B. 小木块A的速度方向一直向左，不可能为零
C. 小木块A与长木板B共速时速度大小为3 m/s，方向向左
D. 长木板的长度可能为10 m
解析： 取向右为正方向，根据动量守恒定律可知Mv0－mv0＝
Mv1＋0，解得v1＝3.75 m/s，A正确；设A、B的最终速度为v2，根据
动量守恒定律，有Mv0－mv0＝（M＋m）v2，解得v2＝3 m/s，因此
A、B最终一起向右运动，且速度大小为3 m/s，B、C错误；根据能
量守恒定律得μmgL＝M＋m－（M＋m），整理得板的
长度至少为 L＝8 m，因此长木板的长度可能为10 m，D正确。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一 子弹打木块模型
1. （多选）如图所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块
后不再穿出，此时木块动能增加了6 J，那么此过程产生的内能可能
为（ ）
A. 10 J B. 8 J
C. 6 J D. 4 J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析： 设子弹的初速度为v0，射入木块后子弹与木块共同的速
度为v，木块的质量为M，子弹的质量为m。根据动量守恒定律得
mv0＝（M＋m）v，解得v＝。木块获得的动能为ΔEk＝Mv2＝
＝·，系统产生的内能为Q＝m－
（M＋m）v2＝，可得Q＞ΔEk＝6 J，故A、B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. 如图所示，光滑水平面上有一质量均匀的木块，初始时木块静止，
接着有两颗完全相同的子弹先后以相同大小的初速度射入木块。首
先左侧子弹射入，子弹水平射入木块的最大深度为d1，然后右侧子
弹射入，子弹水平射入木块的最大深度为d2。设子弹均未射穿木
块，且两颗子弹与木块之间的作用力大小均相同。当两颗子弹均相
对于木块静止时，下列判断正确的是（ ）
A. 木块最终静止，d1＝d2
B. 木块最终静止，d1＜d2
C. 木块最终静止，d1＞d2
D. 木块最终向左运动，d1＝d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析： 设木块和子弹的质量分别为M、m，左侧子弹射入木块与
木块一起向右运动，设共同速度大小为v1，由动量守恒定律得mv0＝
（M＋m）v1，由能量守恒定律得Ffd1＝m－（M＋m），右
侧子弹与木块及左侧的第一颗子弹共同运动的速度大小设为v2，由
动量守恒定律得（M＋m）v1－mv0＝（M＋2m）v2，由能量守恒定
律得 Ffd2＝m＋（M＋m）－（M＋2m），解得v2＝0，
d1＝［m－（M＋m）］，d2＝［m＋（M＋m）
］，所以木块最终静止，d1＜d2，故选B。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. （多选）（2023·河北唐山市高二质检）如图所示，两个质量和速
度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上质量相同、材
料不同的两长方体滑块A、B中，射入A中的深度是射入B中深度的
两倍。两种射入过程相比较（ ）
A. 射入滑块A的子弹速度变化大
B. 整个射入过程中两滑块受到的冲量一样大
C. 射入滑块A中时阻力对子弹做功是射入滑块B中时的两倍
D. 两个过程中系统产生的热量相同
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析： 在子弹射入滑块的过程中，子弹与滑块组成的系统动
量守恒，由动量守恒定律可知mv0＝（M＋m）v，两种情况下子弹
和滑块的末速度相同，即两种情况下子弹的速度变化量相同，A项
错误；两滑块质量相同，且最后的速度相同，由动量定理可知，两
滑块受到的冲量相同，B项正确；由动能定理可知，两种射入过程
中阻力对子弹做功相同，C项错误；两个过程中系统产生的热量与
系统损失的机械能相同，故两个过程中系统产生的热量相同，D项
正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. 如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为m的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. 子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
B. 子弹射入木块后的瞬间，它们的共同速度为
C. 子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
D. 子弹射入木块后，当子弹和木块上升到最大高度时，圆环的速度达到最大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析： 子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成
的系统在竖直方向上存在加速度，即动量不守恒，故A错误；子弹
射入木块的过程，子弹与木块组成的系统动量守恒，设射入后的瞬
间子弹的速度大小为v1，根据动量守恒定律有m0v0＝（m0＋m）v1，
解得v1＝，故B错误；子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统在水平方向上动量守恒，当三者达到共同速度v时，子弹和木块上升的高度最大，设为h，根据动量守恒定律有m0v0＝（m0＋2m）v，从子弹射入木块后到子弹和木块上升到最大高度的
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
过程中，根据机械能守恒定律有（m0＋m）＝（m0＋2m）v2＋（m0＋m）gh，联立解得h＝，故C正确；子弹射入木块后的运动过程中，
子弹和木块上升到最大高度时，圆环受到向右下方的拉力，速度方向
又向右，则之后做加速运动，可知此时速度不是最大，故D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题组二 “滑块——木板”模型
5. （多选）如图所示，质量为8m，长度一定的长木板放在光滑的水平
面上，质量为m，可视为质点的物块放在长木板的最左端，质量为
m的子弹以水平向右的速度v0射入物块且未穿出（该过程的作用时
间极短可忽略不计），经时间t0物块以的速度离开长木板的最右
端，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A. 长木板最终的速度大小为
B. 长木板的长度为
C. 子弹射入物块的过程中损失的机械能为m
D. 物块与长木板间的动摩擦因数为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析： 子弹、物块及木板组成的系统，整个过程根据动量守
恒定律，有mv0＝2m·＋8m·v，求得长木板最终的速度大小为v＝
v0，故A错误；子弹射入物块的过程中，时间极短。对子弹及物
块，根据动量守恒定律有mv0＝2m·v'，求得v'＝，该过程系统损失
的机械能为ΔE＝m－×2mv'2，联立两式可求得ΔE＝m，故
C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
子弹射入物块后到物块从长木板滑离时，物块运动的位移大小为x1＝
t0＝t0＝v0t0，长木板滑动的位移大小为x2＝t0＝t0＝v0t0，
则长木板的长度为L＝x1－x2＝v0t0，故B正确；对长木板，整个过程
根据动量定理有μ·2mgt0＝8mv，可得物块与长木板间的动摩擦因数为
μ＝，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. （多选）如图所示，足够长的光滑水平导轨上放有一个凹槽，其质
量为M＝10 kg。凹槽以初速度v0＝6 m/s 匀速运动。某时刻在凹槽
内无初速度放置一个质量为m＝2 kg的物块，物块与凹槽之间存在
摩擦，若物块与凹槽碰撞过程中无机械能损失，则在此后的运动过
程中（ ）
A. 凹槽与物块组成的系统机械能守恒
B. 凹槽与物块组成的系统动量守恒
C. 凹槽与物块的最终速度均为5 m/s
D. 整个运动过程中系统因摩擦产生的热量为55 J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析： 凹槽与物块之间有滑动摩擦，会损耗机械能，A错误；
摩擦力是系统内力，凹槽与物块组成的系统所受外力的矢量和为
零，所以动量守恒，B正确；对系统，动量守恒，二者最终共速，
有Mv0＝（M＋m）v，解得v＝5 m/s，C正确；对系统，根据能量守
恒定律得 Q＝M－（M＋m）v2＝30 J，D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. 如图（a），一长木板静止于光滑水平桌面上，t＝0时，小物块以速
度v0滑到长木板上，图（b）为物块与木板运动的v-t图像，图中t1、
v0、v1为已知量。重力加速度大小为g。由此可求得（ ）
A. 木板的长度
B. 物块与木板的质量
C. 物块与木板之间的动摩擦因数
D. 从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析： 根据图（b）可以求出物块相对木板滑行的距离x＝
v0t1，木板的长度可能等于该长度、也可能大于该长度，故无法求
出木板的长度，A错误；物块与木板组成的系统动量守恒，以物块
的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝（m＋M）v1，可
解出物块与木板的质量之比，但无法计算各自的质量，B错误；对
物块，由动量定理得－μmgt1＝ mv1－mv0，v0与v1已知，解得μ＝
，则可以求出动摩擦因数，C正确；由于不知道木板的质量，
无法求出从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能，D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A（上表面粗糙）和滑块
C，滑块B置于A的左端（B、C可视为质点），三者质量分别为mA
＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg，A与B间的动摩擦因数为μ＝0.5；开
始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发
生碰撞（时间极短）并粘在一起，经过一段时间，B刚好滑至A的
右端而没掉下来（g＝10 m/s2）。求：
（1）A、C碰撞后A的速度大小；
答案： 2.5 m/s
解析：A与C碰撞过程动量守恒，有mAv0＝（mA＋mC）v1
解得v1＝2.5 m/s。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）长木板A的长度。
答案：0.5 m
解析： B在A上滑行，A、B、C组成的系统动量守恒，有mBv0＋（mA＋mC）v1＝（mA＋mB＋mC）v2
解得v2＝3 m/s
由能量守恒定律得
mB＋（mA＋mC）＝（mA＋mB＋mC）＋μmBgL
解得L＝0.5 m。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. 如图所示，质量mB＝2 kg的平板车B上表面水平，在平板车左端相
对于车静止着一个质量mA＝2 kg的物块A（A可视为质点），A、B
一起以大小为v1＝0.5 m/s的速度在光滑的水平面上向左运动，一颗
质量m0＝0.01 kg的子弹以大小为v0＝600 m/s的水平初速度向右瞬间
射穿A后，速度变为v＝200 m/s。已知A与B之间的动摩擦因数不为
零，且A与B最终相对静止时A刚好停在B的右端，车长L＝1 m，g＝
10 m/s2，求：
（1）A、B间的动摩擦因数；
答案： 0.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：（1）规定向右为正方向，子弹与A作用的过程，根据动量守恒定律得m0v0－mAv1＝m0v＋mAvA，代入数据解得vA＝1.5 m/s，子弹穿过A后，A以1.5 m/s的速度开始向右滑行，B以0.5 m/s的速度向左运动，当A、B达到共同速度时，A、B相对静止，对A、B组成的系统运用动量守恒定律，规定向右为正方向，有mAvA－mBv1＝（mA＋mB）v2
代入数据解得v2＝0.5 m/s
根据能量守恒定律知μmAgL＝mA＋mB－（mA＋mB）
代入数据解得μ＝0.1。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）整个过程中因摩擦产生的热量。
答案： 1 600 J
解析： 根据能量守恒定律，整个过程中因摩擦产生的热量为
Q＝m0＋（mA＋mB）－m0v2－（mA＋mB）
代入数据解得Q＝1 600 J。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 如图所示，用长为R的不可伸长的轻绳将质量为的小球A悬挂于O
点。在光滑的水平地面上，质量为m的小物块B（可视为质点）置
于长木板C的左端静止。将小球A拉起，使轻绳水平拉直，将A球
由静止释放，运动到最低点时与小物块B发生弹性正碰。
（1）求碰后小球A上升的最大高度。
答案： R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析： 设小球A与小物块B碰前瞬间的速度为v0，则有
gR＝×
设碰后小球A和小物块B的速度分别为v1和v2，有v0＝v1＋mv2
×＝×＋×m
设碰后小球A能上升的最大高度为H，有
gH＝×，解得H＝R。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）若长木板C的质量为2m，小物块B与长木板C之间的动摩擦因数为μ，长木板C的长度至少为多大，小物块B才不会从长木板C的上表面滑出？
答案：
解析： 由（1）可求得碰后小物块B的速度为v2＝
设小物块B与长木板C相互作用达到的共同速度为v，长木板
C的最小长度为L，有mv2＝（m＋2m）v
μmgL＝m－（m＋2m）v2
由以上各式解得L＝。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
谢谢观看!
