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第二章《一元二次方程》单元基础诊断卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D D B A B A C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D．（3x﹣1）（3x+1）＝3
【思路点拨】根据一元二次方程的定义即形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的整式方程判断．
【解答】A．原方程不是整式方程，不符合题意；
B．原方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
C．原方程整理得﹣5x+6＝0，不符合题意；
D．原方程整理，得9x2﹣1＝3，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义即形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．yx2
【思路点拨】方程两边都加上4，即可将原方程配方．
【解答】解：一元二次方程x2﹣6x+5＝0等号两边都加上4，得x2﹣6x+9＝4，
∴（x﹣3）2＝4，
∴一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可变形为（x﹣3）2＝4，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．
3．（3分）如表是某同学求代数式x2﹣3x的值的情况，根据表格可知方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
x2﹣3x … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 …
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2
【思路点拨】由表知，当x＝0或x＝3时，x2﹣3x＝0，据此可得答案．
【解答】解：由表知，当x＝0或x＝3时，x2﹣3x＝0，
所以方程x2﹣3x＝0的根是x＝0或x＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
4．（3分）已知方程（x﹣2）（3x+1）＝0，则x﹣2的值为（ ）
A． B．0 C．﹣2 D．或0
【思路点拨】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入x﹣2中，即可求出值．
【解答】解：（x﹣2）（3x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或3x+1＝0，
解得：，
当x＝2时，x﹣2＝0；
当时，．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
5．（3分）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0
【思路点拨】根据公式法解答，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为，
∴二次项系数为1，一次项系数为﹣4，常数项为﹣2，
∴这个方程为x2﹣4x﹣2＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键．
6．（3分）若m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m﹣n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】解关于x的方程，再求m﹣n即可．
【解答】解：解一元二次方程2（x﹣a）2＝8得，
x1＝2+a，x2＝﹣2+a，
∵m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，
则m＝2+a，n＝﹣2+a，
∴m﹣n＝2+a﹣a+2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程．
7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【思路点拨】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】解：如图所示：设道路的宽为x m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
8．（3分）已知m，n是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，则代数式m2﹣m+2n﹣mn的值是（ ）
A．﹣12 B．12 C．3 D．0
【思路点拨】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出m2﹣3m＝3，m+n＝3，mn＝﹣3，再将其代入m2﹣m+2n﹣mn＝m2﹣3m+2（m+n）﹣mn，计算即可．
【解答】解：∵m，n是关于x的方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，
∴m2﹣3m＝3，m+n＝3，mn＝﹣3．
m2﹣m+2n﹣mn
＝m2﹣3m+2（m+n）﹣mn
＝3+2×3﹣（﹣3）
＝3+6+3
＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键．
9．（3分）一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）
A．27 B．72 C．27或16 D．﹣27或﹣16
【思路点拨】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+5），根据该两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其整数值即可得出结论．
【解答】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+5），
依题意，得：10x+x+5（x+x+5）2，
整理，得：4x2﹣13x+10＝0，
解得：x1＝2，x2（不合题意，舍去），
∴x+5＝7，
∴这个两位数是27．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边CD以2cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t，当PQ＝10cm时，t＝（ ）
A． B．或4 C．或 D．4
【思路点拨】过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝BC＝6cm，利用时间＝路程÷速度，可求出点P到达点B所需时间，当运动时间为t（0＜t）s时，EQ＝|16﹣5t|，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝BC＝6cm，如图所示.
16÷3（s）．
当运动时间为t（0＜t）s时，AP＝3t cm，DQ＝（16﹣2t）cm，EQ＝|（16﹣2t）﹣3t|＝|16﹣5t|，
根据题意得：PQ2＝PE2+EQ2，
即102＝62+（16﹣5t）2，
整理得：（16﹣5t）2＝82，
∴16﹣5t＝8或16﹣5t＝﹣8，
解得：t1，t2，
∴t的值为或．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）关于x的一元二次方程3x（x﹣2）＝4的一般形式是 3x2﹣6x﹣4＝0 ，它的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ﹣7 ．
【思路点拨】利用单项式乘多项式的法则展开并移项整理，然后根据二次项系数的定义，一次项的定义以及常数项的定义解答即可．
【解答】解：3x2﹣6x＝4，
3x2﹣6x﹣4＝0，
所以，一般形式是3x2﹣6x﹣4＝0，二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是﹣4，
它的二次项系数、一次项系数及常数项之和为3﹣6﹣4＝﹣7．
故答案为：3x2﹣6x﹣4＝0，﹣7．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
12．（4分）若a是方程2x2﹣x﹣4＝0的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是 8 ．
【思路点拨】直接把a的值代入得出2a2﹣a＝4，进而将原式变形得出答案．
【解答】解：由条件可知2a2﹣a﹣4＝0，
∴2a2﹣a＝4，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
13．（4分）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打 九 折．
【思路点拨】设这件商品每次打x折，利用经过两次打折后的售价＝原价×折扣率2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这件商品每次打九折销售．
【解答】解：设这件商品每次打x折，
依题意得：100×（）2＝81，
解得：x1＝9，x2＝﹣9（不合题意，舍去），
即这件商品每次打九折销售．
故答案为：九．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（4分）若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程（a﹣1）y2﹣3y+1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ﹣2 ．
【思路点拨】先化分式方程为整式方程，解得x，则x、a都为整数和有理数的整除性、通过检验得到a为3、0、4、5、﹣1、8、﹣4，再根据根与系数的关系得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4×（a﹣1）≥0，解得a且a≠1，所以a的值为﹣1、﹣4、0、3，然后计算它们的和即可．
【解答】解：去分母得ax﹣1+3＝2（x﹣2），
整理得（a﹣2）x＝﹣6，
解得x，
∵x、a都为整数，
∴a﹣2＝±1、±2、±3、±6，
∵x≠2，
∴2，解得a≠1，
∴a为3、0、4、5、﹣1、8、﹣4，
∵关于y的一元二次方程（a﹣1）y2﹣3y+1＝0有实数根，
∴a﹣1≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4×（a﹣1）≥0，
解得a且a≠1，
∴a的值为﹣1、﹣4、0、3，
它们的和为﹣1+（﹣4）+0+3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（4分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，则m的值为 ﹣2或0 ．
【思路点拨】设方程的两个根为x1，x2（x1＜x2），由题意，得：x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣m，x2﹣x1＝1，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．
【解答】解：设方程的两个根为x1，x2（x1＜x2），由题意，得：x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣m，x2﹣x1＝1，
∴，
解得：m＝﹣2或m＝0，
故答案为：﹣2或0．
【点评】本题考查根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
16．（4分）如图，每个正方形由边长为1的正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝ 12 时，P2＝5P1．
【思路点拨】此题找规律时，显然应分两种情况分析：当n是奇数时，黑色小正方形的个数是对应的奇数；当n是偶数时，黑色小正方形的个数是对应的偶数．分别表示偶数时P1和P2的值，然后列方程求解，进行分析．
【解答】解：观察图形可知：
1，5，9，13，…，则（奇数）2n﹣1；
4，8，12，16，…，则（偶数）2n．
由上可知n为偶数时P1＝2n，白色与黑色的总数为n2，
∴P2＝n2﹣2n，
根据题意假设存在，则n2﹣2n＝5×2n，
n2﹣12n＝0，
解得n＝12，n＝0（不合题意舍去）．
故存在偶数n＝12，使得P2＝5P1．
故答案为：12．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，以及规律型：数字得变化类，弄清题意是解本题的关键．此题的难点在于必须分情况找规律．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（x+1）＝x+1．
【思路点拨】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣4）＝20，
∴，
∴，；
（2）移项得：3x（x+1）﹣（x+1）＝0，
分解因式得：（3x﹣1）（x+1）＝0，
∴3x﹣1＝0或x+1＝0，
解得：，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18．（10分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，形式如图：
（1）当x＝﹣7时，则所捂部分的值＝ 121 ；
（2）若所捂的值为x2+2x﹣6，求x的值．
【思路点拨】（1）把x＝﹣7代入2x2﹣4x﹣5，即可求解；
（2）根据题意可得2x2﹣4x﹣5＝x2+2x﹣6，再利用配方法解答，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣7时，
所捂部分的值为＝2x2﹣4x﹣5
＝2×（﹣7）2﹣4×（﹣7）﹣5
＝121，
故答案为：121；
（2）根据题意得：2x2﹣4x﹣5＝x2+2x﹣6，
整理得：x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x+9＝8，
即（x﹣3）2＝8，
∴，
解得，．
【点评】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【思路点拨】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b2m+1，abm2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
20．（12分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【思路点拨】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得50（1+x）2＝72，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000，
整理，得y2﹣120y+3500＝0，
解得y1＝50，y2＝70，
因尽可能让顾客得到实惠，
，所以y＝70不合题意，舍去．
所以y＝50．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
21．（12分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
（1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为 0或﹣2 ；
（2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值；
（3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程．
【思路点拨】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝c代入方程，解关于c的方程即可；
（2）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝m+1代入方程，解关于m的方程即可；
（3）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝c代入方程，得到ac+b+1＝0，因此y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根，从而得证结论．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x＝c，
代入方程得，c2+2c＝0，
解得c＝0或﹣2；
故答案为：0或﹣2；
（2）∵关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x＝m+1，
代入方程得，（m+1）2+2m（m+1）+m+1＝0，
整理得，3m2+5m+2＝0，
解得或﹣1．
（3）∵关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，
∴方程的一个根为x＝c，且c≠0，
代入方程，得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0，
∵c≠0，
∴ac+b+1＝0，
∴把y＝1代入方程acy2+by+1＝0，得左边＝ac+b+1＝0＝右边，
∴y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根，
∴关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程．
22．（14分）
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为a cm（a≤50cm）.
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
任务1 熟悉材料 若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为 5cm ，长方形纸板宽a的值为 50cm ．
任务2 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步探究．
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是1200cm2，求储物盒的容积．
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为792cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入）
【思路点拨】（1）根据题意得出裁去小正方形的边长为（60﹣50）÷2＝5（cm），根据a＝收纳盒的宽+2×小正方形边长，即可求出a的值；
（2）设裁去小正方形边长为x cm，根据底面积，列出方程求解即可；
（3）设裁去小长方形长为m cm，宽为n cm，推出n＝2m﹣50，根据底面积得出：（50﹣2n）（100﹣2m）＝792，将n的代数式代入求出m的值，再得出制作储物盒长为32cm，高为14cm，宽为22cm，即可解答．
【解答】解：（1）∵图2储物区域长为50cm，储物盒能够刚好放入图2储物区域，
∴（60﹣50）÷2＝5（cm），
∴a＝收纳盒的宽+2×小正方形边长，
＝40+2×5＝50（cm），
故答案为：5cm，50cm；
（2）设裁去小正方形边长为x cm，
（50﹣2x）（60﹣2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝﹣45（舍去），
∴储物盒的容积＝1200×10＝12000（cm3）；
（3）设裁去小长方形长为m cm，宽为n cm，
2（m﹣n）＝100﹣2m，
则：n＝2m﹣50，
∵（50﹣2n）（100﹣2m）＝792，
∴[50﹣2（2m﹣50）]（100﹣2m）＝792，
解得：m1＝32，m2＝55.5（舍去），
∴n＝2m﹣50＝14，
则：50﹣2n＝22，
即裁去小长方形长为32cm，宽为14cm，
制作储物盒长为32cm，高为14cm，宽为22cm，
①∵26cm＜32cm，13cm＜14cm，20cm＜22cm，
∴机械狗能完全放入；
②∵40cm＞32cm，
∴玩具车不能完全放入．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章《一元二次方程》单元基础诊断卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D．（3x﹣1）（3x+1）＝3
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．yx2
3．（3分）如表是某同学求代数式x2﹣3x的值的情况，根据表格可知方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
x2﹣3x … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 …
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2
4．（3分）已知方程（x﹣2）（3x+1）＝0，则x﹣2的值为（ ）
A． B．0 C．﹣2 D．或0
5．（3分）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0
6．（3分）若m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m﹣n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
8．（3分）已知m，n是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，则代数式m2﹣m+2n﹣mn的值是（ ）
A．﹣12 B．12 C．3 D．0
9．（3分）一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）
A．27 B．72 C．27或16 D．﹣27或﹣16
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边CD以2cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t，当PQ＝10cm时，t＝（ ）
A． B．或4 C．或 D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）关于x的一元二次方程3x（x﹣2）＝4的一般形式是 ，它的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ．
12．（4分）若a是方程2x2﹣x﹣4＝0的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是 ．
13．（4分）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打 折．
14．（4分）若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程（a﹣1）y2﹣3y+1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ．
15．（4分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，则m的值为 ．
16．（4分）如图，每个正方形由边长为1的正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝ 时，P2＝5P1．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（x+1）＝x+1．
18．（10分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，形式如图：
（1）当x＝﹣7时，则所捂部分的值＝ ；
（2）若所捂的值为x2+2x﹣6，求x的值．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
20．（12分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
21．（12分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
（1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为 ；
（2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值；
（3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程．
22．（14分）
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为a cm（a≤50cm）.
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
任务1 熟悉材料 若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为 ，长方形纸板宽a的值为 ．
任务2 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步探究．
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是1200cm2，求储物盒的容积．
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为792cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入）
