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第二章《一元二次方程》单元提优验收卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D C B B A C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若关于x的方程（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m＝2 B．m＝﹣2 C．m＝±2 D．m≠2
【思路点拨】利用一元二次方程的定义，可列出关于m的一元一次不等式及含绝对值的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|+2x﹣3＝0是一元二次方程，
∴，
解得：m＝﹣2，
∴m的值为﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2．（3分）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则（m﹣n）2的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【思路点拨】把x＝﹣1代入方程计算求出m﹣n的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：把x＝﹣1代入方程得：1﹣m+n＝0，即m﹣n＝1，
则原式＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（3分）根据下表确定方程x2﹣bx﹣5＝0的解的取值范围是（ ）
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6
x2﹣bx﹣5＝0 13 5 ﹣1 … ﹣1 5 13
A．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6
C．﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5
【思路点拨】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围．
【解答】解：根据表格，当x＝﹣2和x＝5时，x2﹣bx﹣5＝5＞0，
当x＝﹣1和x＝4时，x2﹣bx﹣5＝﹣1＜0，
∴该方程的解的取值范围为﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5，
故选：A．
【点评】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的关键．
4．（3分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮
【思路点拨】先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学．
【解答】解：2x2﹣20x+25＝0，
方程左右两边同时除以2可得：，故小明正确；
由等式的性质可得，故小丽正确；
所以，
（x﹣5）225，
，
故小红负责的式子出现错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．
5．（3分）2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A． B．x（x﹣1）＝78
C．x（x+1）＝78 D．
【思路点拨】根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出方程即可．
【解答】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：；
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
6．（3分）若关于x的方程ax2+2x﹣2＝0，其中a在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是（ ）
A．无法确定
B．无实根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【思路点拨】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝4+8a，根据a在数轴上的对应点可得a＞0，即可确定根的判别式的符号，进一步确定根的情况．
【解答】解：由题意得：Δ＝22﹣4a×（﹣2）＝4+8a，
由数轴得，a＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，实数与数轴，解答的关键是熟练掌握根的判别式．
7．（3分）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0
C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0
【思路点拨】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于a，b及a，c之间的关系式即可解决问题．
【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），
由题知，
，，
所以b＝﹣7a，c＝10a，
所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0，
则x2﹣7x+10＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8．（3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（ ）
A．55 B．95 C．78 D．120
【思路点拨】前n行的点数之和为，再分别求出该代数式的值分别为55、95、78、120时n的值即可判断．
【解答】解：通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点，
前n行的点数之和为，
若前n行的点数之和为55，则，
解得n＝10或n＝﹣11（舍），即前10行的点数之和为55，
故A选项不符合题意；
若前n行的点数之和为95，则，
解得，n不是整数，即不存在前n行的点数之和为95，
故B选项符合题意；
若前n行的点数之和为78，则，
解得n＝12或n＝﹣13（舍），即前12行的点数之和为78，
故C选项不符合题意；
若前n行的点数之和为120，则，
解得n＝15或n＝﹣16（舍），即前15行的点数之和为120，
故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，规律型：图形的变化类，正确得到前n行的点数和的式子是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝m，BC，以点C为圆心，CB长为半径画圆弧，交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，交AB于点E，连接BD．则图中下列线段的长一定是关于x的一元二次方程x2+nx＝m2的一个根的是（ ）
A．AE B．BE C．CD D．BD
【思路点拨】根据根与系数的关系即可得到结论．
【解答】解：在直角三角形ABC中，
AB＝m，BCn 则AC，
AE＝AD＝AC﹣CD＝AC﹣BC，
对方程x2+nx＝m2，有x2+nx﹣m2＝0，
x
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；③若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
②当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；
③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴，x2＝﹣q，
∴，
因此是倍根方程，
故②正确；
③若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故③正确；
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）将一元二次方程x2﹣6x+m＝0化成（x﹣n）2＝4的形式，则m﹣n＝ 2 ．
【思路点拨】由x2﹣6x+m＝0，可得（x﹣3）2＝9﹣m，进而求得m、n的值，然后作答即可．
【解答】解：x2﹣6x+m＝0，
x2﹣6x+9＝9﹣m，
（x﹣3）2＝9﹣m，
∵一元二次方程x2﹣6x+m＝0化成（x﹣n）2＝4的形式，
∴9﹣m＝4，n＝3，
∴m＝5，n＝3，
∴m﹣n＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程、完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．
12．（4分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣4x+ 1（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，求解即可得出答案．
【解答】解：a＝1，b＝﹣4，设常数为c，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜4．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．（4分）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以12m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为12x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过 4.14 s落回地面．（结果保留小数后两位）
【思路点拨】根据物体回落到地面，即10x﹣4.9x2＝0，求解即可．
【解答】解：根据物体落回地面，可得12x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0（舍），x24.14，
因此物体经过4.14s落回地面．
故答案为：4.14．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键．
14．（4分）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为 12 人．
【思路点拨】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝157，
解得：x1＝12，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（4分）设a、b是一元二次方程4x2﹣5x﹣4003＝0的两个根，则等于 ．
【思路点拨】利用根与系数关系求解．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程4x2﹣5x﹣4003＝0的两个根，
∴a+b，ab，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
16．（4分）如表，通过以上方法可将x转化为方程x2+x﹣1＝0，我们规定：方程x2+x﹣1＝0称为x的还原方程．
x 去分母，2x1 移项，2x+1 两边平方，4x2+4x+1＝5 整理，x2+x﹣1＝0
（1）x的还原方程是 x2﹣3x+1＝0 ．
（2）若x1，则代数式x3+3x2﹣2x+1＝ 5 ．
【思路点拨】（1）先去分母、移项得到2x﹣3，再把方程两边平方，然后把方程整理为一般形式即可；
（2）利用（1）方法得到x2+2x﹣4＝0，则x2＝﹣2x+4，再用x表示x3得到x3＝8x﹣8，然后利用降次的方法计算．
【解答】解：（1）x，
去分母，2x3，
移项，2x﹣3，
两边平方，4x2﹣12x+9＝5，
整理，x2﹣3x+1＝0；
故答案为：x2﹣3x+1＝0；
（2）x1，
移项，x+1，
两边平方，x2+2x+1＝5，
整理，x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4，
∴x3＝x（﹣2x+4）＝﹣2x2+4x＝﹣2（﹣2x+4）+4x＝8x﹣8，
∴x3+3x2﹣2x+1＝8x﹣8+3（﹣2x+4）﹣2x+1＝8x﹣8﹣6x+12﹣2x+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：运用公式法解方程的逆过程还原方程，从而利用整体代入的方法计算代数式的值．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2+3＝﹣7x；
（2）x2﹣6x+2＝0．
【思路点拨】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：2x2+7x+3＝0，
这里a＝2，b＝7，c＝3，
∵Δ＝49﹣24＝25＞0，
∴x，
解得：x1＝﹣3，x2；
（2）方程整理得：x2﹣6x＝﹣2，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，
开方得：x﹣3＝±，
解得：x1＝3，x2＝3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
18．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0．其中m、n是常数．
（1）若m＝n+3，试判断该一元二次方程根的情况；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点（m，n）关于原点的对称点在直线y＝x+2上，求m的值．
【思路点拨】（1）进行判别式的值得到Δ＝m2﹣4×2n，把m＝n+3代入后变形得到Δ＝（n﹣1）2+8，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况；
（2）利用判别式的意义得到m2﹣8n＝0，再利用关于原点对称的点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得到﹣n＝﹣m+2，即n＝m﹣2，消去n得到m2﹣8（m﹣2）＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）∵m＝n+3，
∴Δ＝m2﹣4×2n
＝（n+3）2﹣8n
＝n2﹣2n+9
＝（n﹣1）2+8，
而（n﹣1）2≥0，
∴（n﹣1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得Δ＝m2﹣4×2n＝0，
∵点（m，n）关于原点的对称点为（﹣m，﹣n），
∴﹣n＝﹣m+2，即n＝m﹣2，
把n＝m﹣2代入m2﹣8n＝0得m2﹣8（m﹣2）＝0，
整理得m2﹣8m+16＝0，解得m1＝m2＝4，
即m的值为4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
19．（12分）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【思路点拨】（1）利用BC＝不锈钢栅栏的总长+2﹣3×AB，即可用含x的代数式表示出车棚的长BC；
（2）根据矩形车棚ABCD的面积为450m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合可利用的墙长为42m，即可得出结论；
（3）假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m，根据矩形车棚ABCD的面积为525m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣75＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为525m2的自行车车棚．
【解答】解：（1）∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为x m，
∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m；
（2）根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450，
整理得：x2﹣25x+150＝0，
解得：x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去；
当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意．
答：车棚的长为30m，宽为15m；
（3）不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下：
假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m，
根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525，
整理得：y2﹣25y+175＝0，
∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即不能围成面积为525m2的自行车车棚．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（12分）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【思路点拨】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b （k≠0），
由图可知其函数图象经过点（0，200）和（10，300），
将其代入y＝kx+b 得300＝10k+b，200＝b，
解得k＝10，b＝200
∴y与x的函数关系式为y＝10x+200；
（2）由题意得 （10x+200）（100﹣x﹣60）＝8910，
整理得 x2﹣20x+91＝0，
解得：x1＝7，x2＝13；
当x＝7时，售价为100﹣7＝93（元），
当x＝13时，售价为100﹣13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
（3）公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100﹣60﹣x≥60×50%，
解得：x≤10；
依题意，得 （100﹣60﹣x）（10x+200）＝9000，
整理得 x2﹣20x+100＝0，
解得：x1＝x2＝10；
∴售价90元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
21．（10分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．
赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是（x+x+5）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+5）＝14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得原方程的正数解为x＝2．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正确构图是 ② （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程x2+2x﹣15＝0的正数解（写出必要的思考过程）
【思路点拨】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；
（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是（x+x+2）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+2）＝15，中间的小正方形面积为22，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵应构造面积是（x+x﹣3）2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x﹣3）＝10，中间的小正方形面积为32，
∴大正方形的面积又可表示为4×10+32＝49，
∴大正方形的边长为7，所以x+x﹣3＝7，
∴x＝5，
故正确构图②．
故答案为：②；
（2）首先构造了如图2所示的图形，
图中的大正方形面积是（x+x+2）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+2）＝15，中间的小正方形面积为22，
所以大正方形的面积又可表示为4×15+22＝64，进一步可知大正方形的边长为8，所以x+x+2＝8，得x＝3．
【点评】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想．
22．（14分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ 2t cm，PB＝ （6﹣t） cm．（用含t的代数式表示）
（2）当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由路程＝速度×时间，可直接求解；
（2）由三角形的面积公式可求解；
（3）由题意可得△PBQ的面积等于△ABC面积的，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ＝2t cm，AP＝t cm，
∴PB＝（6﹣t）cm，
故答案为：2t，（6﹣t）；
（2）由题意得S△PBQBP×BQ（6﹣t）×2t＝5，
∴t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去），
∴当t＝1时，△PBQ的面积等于5cm2；
（3）存在，理由如下：
若四边形APQC的面积等于△ABC面积的，
∴△PBQ的面积等于△ABC面积的，
∴，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得：t＝2或t＝4，
当t＝2时，BQ＝4cm
当t＝4时，BQ＝8cm，四边形APQC变为三角形，不合题意，舍去，
∴存在时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的，t的值为2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章《一元二次方程》单元提优验收卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若关于x的方程（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m＝2 B．m＝﹣2 C．m＝±2 D．m≠2
2．（3分）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则（m﹣n）2的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．（3分）根据下表确定方程x2﹣bx﹣5＝0的解的取值范围是（ ）
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6
x2﹣bx﹣5＝0 13 5 ﹣1 … ﹣1 5 13
A．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6
C．﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5
4．（3分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮
5．（3分）2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A． B．x（x﹣1）＝78
C．x（x+1）＝78 D．
6．（3分）若关于x的方程ax2+2x﹣2＝0，其中a在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是（ ）
A．无法确定
B．无实根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
7．（3分）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0
C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0
8．（3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（ ）
A．55 B．95 C．78 D．120
9．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝m，BC，以点C为圆心，CB长为半径画圆弧，交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，交AB于点E，连接BD．则图中下列线段的长一定是关于x的一元二次方程x2+nx＝m2的一个根的是（ ）
A．AE B．BE C．CD D．BD
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；③若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）将一元二次方程x2﹣6x+m＝0化成（x﹣n）2＝4的形式，则m﹣n＝ ．
12．（4分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣4x+ ＝0有两个不相等的实数根．
13．（4分）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以12m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为12x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过 s落回地面．（结果保留小数后两位）
14．（4分）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为 人．
15．（4分）设a、b是一元二次方程4x2﹣5x﹣4003＝0的两个根，则等于 ．
16．（4分）如表，通过以上方法可将x转化为方程x2+x﹣1＝0，我们规定：方程x2+x﹣1＝0称为x的还原方程．
x 去分母，2x1 移项，2x+1 两边平方，4x2+4x+1＝5 整理，x2+x﹣1＝0
（1）x的还原方程是 ．
（2）若x1，则代数式x3+3x2﹣2x+1＝ ．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2+3＝﹣7x；
（2）x2﹣6x+2＝0．
18．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0．其中m、n是常数．
（1）若m＝n+3，试判断该一元二次方程根的情况；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点（m，n）关于原点的对称点在直线y＝x+2上，求m的值．
19．（12分）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
20．（12分）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
21．（10分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．
赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是（x+x+5）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+5）＝14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得原方程的正数解为x＝2．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正确构图是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程x2+2x﹣15＝0的正数解（写出必要的思考过程）
22．（14分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ cm，PB＝ cm．（用含t的代数式表示）
（2）当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
