名称 | 第二章 2.1 第1课时 不等关系与不等式(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册 | | |
格式 | zip | ||
文件大小 | 5.6MB | ||
资源类型 | 教案 | ||
版本资源 | 人教A版(2019) | ||
科目 | 数学 | ||
更新时间 | 2025-07-31 21:31:13 |
A [∵P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,且a,b,c为不全相等的实数,∴等号取不到,∴P>Q.故选A.]
√
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5.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它行驶同样的路程得花9天多的时间,这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是( )
A.256136
C.136题号
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A [设原来每天行驶x km,
则根据题意有
解得256即原来每天行驶256 km到260 km之间.故选A.]
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二、填空题
6.若实数a>b,则a2-ab________ba-b2.(填“>”或“<”)
> [因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,
又a>b,所以(a-b)2>0.]
>
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7.设x,y∈R,则x2+y2-1________2x-4y-6(填“>”“<”“≥”或“≤”).
≥ [因为x2+y2-1-(2x-4y-6)=x2-2x+y2+4y+5=(x-1)2+
(y+2)2≥0,所以x2+y2-1≥2x-4y-6.]
≥
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8.已知a,b∈R,若ab=1,则a2+b2的最小值是________,当且仅当a=b=________时取得最小值.
2 ±1 [根据a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab=2,当且仅当a-b=0,即a=b=±1时等号成立.]
2
±1
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三、解答题
9.(教材P58T7改编)一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米?
(2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果是变好了还是变差了?
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[解] (1)设该公寓窗户面积为x(x>0)平方米,则地板面积为(165-x)平方米,
依题意,解得15≤x<82.5,
所以这所公寓的窗户面积至少为15 平方米.
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(2)记窗户面积为a平方米、地板面积为b平方米,同时减少的面积为c平方米,
依题意,0<a<b,0<c<a,减少面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,
由,
因为0<a<b,0<c<a,则a-b<0,b-c>0,
得<0,因此<,
所以同时减少相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果变差了.
【教用·备选题】
已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m克糖(m>0),(假设全部溶解)糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式,并证明这个不等式;
(2)利用(1)的结论比较M=的大小.
[解] (1)由题意,可得不等式<(m>0).
证明:
,
因为b>a>0,m>0,可得a-b<0,b+m>0,
所以<0,即<.
(2)由M=,N=,
由(1)中的结论,可得>,即M>N.
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10.已知0A.M N
C.M=N D.无法确定
√
B [∵00,∴M>N,故选B.]
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11.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:各自先饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是( )
A.h2>h1>h4 B.h1>h2>h3
C.h3>h2>h4 D.h2>h4>h1
√
A [由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2,最低为h4,故选A.]
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√
12.(多选)下列不等式恒成立的为( )
A.a2+3>2a(a∈R)
B.x2+y2>xy
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.8xy≤4x2+8y2
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AD [∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,
∴a2+3>2a,故A正确;
x2+y2-xy=y2≥0,故B错误;
a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,故C错误;
4x2+8y2=(2x)2+(2y)2≥2·2x·2y=,故D正确.]
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13.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b的不等式表示出来为_____________.
(a2+b2)>ab [由题图可知,题图①广告牌的面积S1=(a2+b2),题图②广告牌的面积S2=ab,观察题图得S1>S2,即(a2+b2)>ab.]
(a2+b2)>ab
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14.已知a>0,试比较a与的大小.
[解] 因为a-,a>0,
所以当a>1时,>0,有a>;
当a=1时,=0,有a=;
当0综上,当a>1时,a>;当a=1时,a=;当0题号
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15.【链接教材P58复习参考题2T10】甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,试探究谁先到达教室?
[解] 设寝室到教室的路程为s,步行速度为v1,跑步速度为v2,显然v1≠v2,则甲用时t1=,乙用时t2=,
t1-t2=
=s
=·s
=>0,
∴甲用时多,∴乙先到达教室.
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【教材原题·P58复习参考题2T10】购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降, 每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济?你能把所得结论作一些推广吗?
[解] 按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为p1元/kg,购n kg,第二次购物时的价格为p2元/kg,仍购n kg,两次购物的平均价格为;
按第二种策略购物,设第一次花m元钱,能购 kg物品,第二次仍花m元钱,能购 kg物品,两次购物的平均价格为.
比较两次购物的平均价格:
≥0,
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而用第二种策略比较经济.一般地,如果是多次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.
谢 谢!课时分层作业(十) 不等关系与不等式
一、选择题
1.(源自人教B版教材)平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域,下述不等式中,x能表示平流层高度的是( )
A.|x+10|<50 B.|x-10|<50
C.|x+30|<20 D.|x-30|<20
2.在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为( )
A. B.
C. D.
3.某公司运输一批木材,总重量为600吨,车队有两种货车,A型货车载重量30吨,B型货车载重量24吨.设派出A型货车x辆,B型货车y辆,则运输方案应满足的关系式是( )
A.5x+4y<100 B.5x+4y≥100
C.5x+4y>100 D.5x+4y≤100
4.已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是( )
A.P>Q B.P≥Q
C.P5.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它行驶同样的路程得花9天多的时间,这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是( )
A.256136
C.136二、填空题
6.若实数a>b,则a2-ab________ba-b2.(填“>”或“<”)
7.设x,y∈R,则x2+y2-1________2x-4y-6(填“>”“<”“≥”或“≤”).
8.已知a,b∈R,若ab=1,则a2+b2的最小值是________,当且仅当a=b=________时取得最小值.
三、解答题
9.(教材P58T7改编)一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米?
(2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果是变好了还是变差了?
10.已知0A.M N
C.M=N D.无法确定
11.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:各自先饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是( )
A.h2>h1>h4 B.h1>h2>h3
C.h3>h2>h4 D.h2>h4>h1
12.(多选)下列不等式恒成立的为( )
A.a2+3>2a(a∈R)
B.x2+y2>xy
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.8xy≤4x2+8y2
13.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b的不等式表示出来为________.
14.已知a>0,试比较a与的大小.
15.【链接教材P58复习参考题2T10】甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,试探究谁先到达教室?
课时分层作业(十)
1.D [由题意可知,102.D [甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190,
则故选D.]
3.B [由题意可得,30x+24y≥600,所以有5x+4y≥100.故选B.]
4.A [∵P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,且a,b,c为不全相等的实数,∴等号取不到,∴P>Q.故选A.]
5.A [设原来每天行驶x km,
则根据题意有
解得256即原来每天行驶256 km到260 km之间.故选A.]
6.> [因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,
又a>b,所以(a-b)2>0.]
7.≥ [因为x2+y2-1-(2x-4y-6)=x2-2x+y2+4y+5=(x-1)2+(y+2)2≥0,所以x2+y2-1≥2x-4y-6.]
8.2 ±1 [根据a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab=2,当且仅当a-b=0,即a=b=±1时等号成立.]
9.解:(1)设该公寓窗户面积为x(x>0)平方米,则地板面积为(165-x)平方米,
依题意,解得15≤x<82.5,
所以这所公寓的窗户面积至少为15平方米.
(2)记窗户面积为a平方米、地板面积为b平方米,同时减少的面积为c平方米,
依题意,0由,
因为00,
得<0,因此,
所以同时减少相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果变差了.
10.B [∵00,∴M>N,故选B.]
11.A [由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2,最低为h4,故选A.]
12.AD [∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,
∴a2+3>2a,故A正确;
x2+y2-xy=(x-2y2≥0,故B错误;
a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,故C错误;
4x2+8y2=(2x)2+(2y)2≥2·2x·2xy,故D正确.]
13.(a2+b2)>ab [由题图可知,题图①广告牌的面积S1=(a2+b2),题图②广告牌的面积S2=ab,观察题图得S1>S2,即(a2+b2)>ab.]
14.解:因为a-,a>0,
所以当a>1时,>0,有a>;
当a=1时,=0,有a=;
当0综上,当a>1时,a>;
当a=1时,a=;
当015.解:设寝室到教室的路程为s,步行速度为v1,跑步速度为v2,显然v1≠v2,
则甲用时t1=,
乙用时t2=,
t1-t2=
=·s=>0,
∴甲用时多,∴乙先到达教室.
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