第二章 2.1 第1课时 不等关系与不等式(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册

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名称 第二章 2.1 第1课时 不等关系与不等式(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-31 21:31:13

文档简介

2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
[学习目标] 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(数学建模) 2.会用比较法比较两实数的大小.(逻辑推理)
探究1 用不等式(组)表示不等关系
问题1 如图是高速公路的指示牌,其含义是什么?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,常用不等式来研究含有不等关系的问题.
[典例讲评] 1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,靠墙的一边长为x m.
(1)若要求菜园的面积不小于110 m2,试用不等式组表示其中的不等关系;
(2)若矩形的长、宽都不能超过11 m,试求x满足的不等关系.
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 利用不等式(组)表示不等关系的注意点
(1)在用不等式(组)表示不等关系时,要进行比较的各量必须具有相同性质,没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示.
(2)在用不等式(组)表示实际问题时,一定要注意单位的统一.
[学以致用] 【链接教材P40练习T1】
1.(多选)某工艺厂用A,B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板,每个图形模板需要A,B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表:
矩形 菱形 圆 总数
A 5 3 10 55
B 12 6 13 125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x,y,z(x,y,z∈N*)块.上述问题中不等关系表示正确的为(  )
A.5x+3y+10z≥55
B.5x+3y+10z≤55
C.12x+6y+13z≤125
D.12x+6y+13z≥125
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____________________________________________________________________ 探究2 基本事实
问题2 数轴上的点与实数是一一对应的,你能借助数轴刻画两个实数a,b的大小关系吗?
____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________ [新知生成]
文字表示 符号表示
如果a-b是正数,那么____ a-b>0 ____
如果a-b等于0,那么____ a-b=0 ____
如果a-b是负数,那么____ a-b<0 ____
从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小.
[典例讲评] 【链接教材P38例1】
2.已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小.
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________ [母题探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小.
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 作差法比较两个实数大小的步骤及变形方法
(1)步骤:作差→变形→定号→结论.
(2)变形方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母或分子有理化;⑤分类讨论.
[学以致用] 【链接教材P40练习T2、T3】
2.已知x,y满足m=x2+y2+19,n=4(2y-x)-1,则m,n满足的大小关系是(  )
A.m>n   B.m<n
C.m≤n   D.m≥n
探究3 重要不等式
问题3 如图,我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为a,b,根据图示,大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系,用a,b如何表示这种关系?
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____________________________________________________________________ [新知生成]
一般地, a,b∈R,有a2+b2__2ab,当且仅当____时,等号成立.
问题4 如何证明问题3中得到的不等式?
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____________________________________________________________________ [典例讲评] 3.已知a>0,b>0,证明a3+b3≥ab2+a2b.
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)等号成立的充要条件是“a=b”,其变形ab≤与体现两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系.
[学以致用] 3.已知x,y∈R,且x2+y2=16,证明xy≤8.
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1.(多选)下面列出的不等式中,正确的是(  )
A.a不是负数,可表示成a≥0
B.x不大于3,可表示成x<3
C.m与4的差是负数,可表示成m-4<0
D.x与2的和是非负数,可表示成x+2>0
2.若x∈R,y∈R,则(  )
A.x2+y2>2xy-1   B.x2+y2=2xy-1
C.x2+y2<2xy-1   D.x2+y2≤2xy-1
3.中国“神舟十九号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s,且小于第二宇宙速度11.2 km/s,表示为________.
4.(教材P43习题2.1T4改编)一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为________.
1.知识链:
2.方法链:作差法.
3.警示牌:在用不等式表示实际问题中变量不等关系时,易忽略实际意义.
第1课时 不等关系与不等式
[探究建构] 探究1
问题1 提示:左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶,而且小客车的速率v1(单位:km/h,下同)应该满足100v1120;右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶,而且车的速率v2应该满足60v2100.
典例讲评 1.解:(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0依题意有S110,即x110,
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
(2)因为矩形的另一边长15-11,所以x8,
又0所以8x11.
学以致用 1.BC [因为每个矩形模板需要5张A薄板,每个菱形模板需要3张A薄板,每个圆模板需要10张A薄板,且共有55张A薄板,所以5x+3y+10z55,因为每个矩形模板需要12张B薄板,每个菱形模板需要6张B薄板,每个圆模板需要13张B薄板,且共有125张B薄板,所以12x+6y+13z125.故选BC.]
探究2
问题2 提示:如图,设a,b在数轴上所对应的点分别是A,B.当点A在点B的左边时,ab.
新知生成 a>b a>b a=b a=b a典例讲评 2.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
由x1,得x-10,而3x2+1>0,
∴(3x2+1)(x-1)0,
∴3x33x2-x+1.
母题探究 解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=(3x2+1)(x-1).
∵3x2+1>0,
当x>1时,x-1>0,∴3x3>3x2-x+1;
当x=1时,x-1=0,∴3x3=3x2-x+1;
当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1.
学以致用 2.D [m-n=x2+y2+19-4(2y-x)+1=(x+2)2+(y-4)20,当且仅当x=-2,y=4时取等号,所以mn.故选D.]
探究3
问题3 提示:大正方形的面积S=()2=a2+b2,四个小直角三角形面积之和S'=4×ab=2ab,
因为SS',即a2+b22ab,当且仅当a=b时取等号.
新知生成  a=b
问题4 提示:证明:利用完全平方公式,得a2+b2-2ab=(a-b)2.
因为 a,b∈R,(a-b)20,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以a2+b2-2ab0.
因此,由两个实数大小关系的基本事实,得a2+b22ab,
当且仅当a=b时,等号成立.
典例讲评 3.证明:a3+b3-(ab2+a2b)
=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)
=(a+b)(a2-2ab+b2).
∵a>0,b>0,且a2+b22ab,
∴a+b>0,a2+b2-2ab0.
∴a3+b3-(ab2+a2b)0,
故a3+b3ab2+a2b.
学以致用 3.证明:由重要不等式可知x2+y22xy(当且仅当x=y时取等号),即162xy,所以xy8.
[应用迁移]
1.AC [a不是负数,可表示成a0;x不大于3可表示成x3;m与4的差是负数,可表示成m-4<0;x与2的和是非负数,可表示成x+20.故选AC.]
2.A [因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1.故选A.]
3.7.9v<11.2 [“不小于”即大于或等于,故用不等式表示为7.9v<11.2.]
4.13或24 [设十位数字为x,则个位数字为x+2,
∴10<10x+x+2<30,解得,
∵x取整数,则x=1或2,
当x=1时,该两位数为13;
当x=2时,该两位数为24.
故这个两位数为13或24.]
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复习任务群一
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第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
[学习目标] 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(数学建模) 2.会用比较法比较两实数的大小.(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.如何比较两个实数的大小?
问题2.如何表述比较实数a,b大小的基本事实?
探究建构 关键能力达成
探究1 用不等式(组)表示不等关系
问题1 如图是高速公路的指示牌,其含义是什么?
提示:左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶,而且小客车的速率v1(单位:km/h,下同)应该满足100≤v1≤120;右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶,而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100.
[新知生成]
在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,常用不等式来研究含有不等关系的问题.
【教用·微提醒】 常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过
符号 语言 > < ≥ ≤
[典例讲评] 1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,靠墙的一边长为x m.
(1)若要求菜园的面积不小于110 m2,试用不等式组表示其中的不等关系;
(2)若矩形的长、宽都不能超过11 m,试求x满足的不等关系.
[解] (1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0故该题中的不等关系可用不等式组表示为
(2)因为矩形的另一边长15-≤11,所以x≥8,
又0所以8≤x≤11.
反思领悟 利用不等式(组)表示不等关系的注意点
(1)在用不等式(组)表示不等关系时,要进行比较的各量必须具有相同性质,没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示.
(2)在用不等式(组)表示实际问题时,一定要注意单位的统一.
[学以致用] 【链接教材P40练习T1】
1.(多选)某工艺厂用A,B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板,每个图形模板需要A,B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表:
矩形 菱形 圆 总数
A 5 3 10 55
B 12 6 13 125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x,y,z(x,y,z∈N*)块.上述问题中不等关系表示正确的为(  )
A.5x+3y+10z≥55
B.5x+3y+10z≤55
C.12x+6y+13z≤125
D.12x+6y+13z≥125


BC [因为每个矩形模板需要5张A薄板,每个菱形模板需要3张A薄板,每个圆模板需要10张A薄板,且共有55张A薄板,所以5x+3y+10z≤55,因为每个矩形模板需要12张B薄板,每个菱形模板需要6张B薄板,每个圆模板需要13张B薄板,且共有125张B薄板,所以12x+6y+13z≤125.故选BC.]
【教材原题·P40练习T1】用不等式或不等式组表示下面的不等关系:
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4 m;
(2)a与b的和是非负实数;
(3)如图,在一个面积小于350 m2的矩形场地的中
心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,
仓库的长L(单位:m)大于宽W(单位:m)的4倍.
[解] (1)0<h≤4.
(2)a+b≥0.
(3)由题,知矩形场地的长为(L+10) m,宽为(W+10) m,则
探究2 基本事实
问题2 数轴上的点与实数是一一对应的,你能借助数轴刻画两个实数a,b的大小关系吗?
提示:如图,设a,b在数轴上所对应的点分别是A,B.当点A在点B的左边时,ab.
[新知生成]
从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小.
文字表示 符号表示
如果a-b是正数,那么____ a-b>0 ____
如果a-b等于0,那么_____ a-b=0 _____
如果a-b是负数,那么____ a-b<0 ____
a>b
a>b
a=b
a=b
aa【教用·微提醒】 利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
[典例讲评] 【链接教材P38例1】
2.已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小.
[解] 3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
由x≤1,得x-1≤0,而3x2+1>0,
∴(3x2+1)(x-1)≤0,
∴3x3≤3x2-x+1.
[母题探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小.
[解] 3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=(3x2+1)(x-1).
∵3x2+1>0,
当x>1时,x-1>0,∴3x3>3x2-x+1;
当x=1时,x-1=0,∴3x3=3x2-x+1;
当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1.
【教材原题·P38例1】
例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
[分析] 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系.
[解] 因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)
=2>0,
所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
反思领悟 作差法比较两个实数大小的步骤及变形方法
(1)步骤:作差→变形→定号→结论.
(2)变形方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母或分子有理化;⑤分类讨论.
[学以致用] 【链接教材P40练习T2、T3】
2.已知x,y满足m=x2+y2+19,n=4(2y-x)-1,则m,n满足的大小关系是(  )
A.m>n   B.m<n
C.m≤n   D.m≥n

D [m-n=x2+y2+19-4(2y-x)+1=(x+2)2+(y-4)2≥0,当且仅当x=-2,y=4时取等号,所以m≥n.故选D.]
【教用·备选题】
已知P=,Q=a2-a+1,则P,Q的大小关系为(  )
A.P>Q       B.P<Q
C.P≤Q   D.无法确定
C [
a2≥0,又a2+a+1=,≥0,故Q≥P,当且仅当a=0时取等号.故选C.]

1.【教材原题·P40练习T2】比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
[解] 因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)
=x2+10x+21-(x2+10x+24)=-3<0,
所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).
2.【教材原题·P40练习T3】已知a>b,证明a>>b.
[证明] 因为a>b,所以a-b>0,
所以a->0,
所以a>.
因为>0,
所以>b.
综上,a>b时,a>>b.
探究3 重要不等式
问题3 如图,我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为a,b,根据图示,大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系,用a,b如何表示这种关系?
提示:大正方形的面积S=()2=a2+b2,四个小直角三角形面积之和S′=4×ab=2ab,
因为S≥S′,即a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
[新知生成]
一般地, a,b∈R,有a2+b2__2ab,当且仅当____时,等号成立.
问题4 如何证明问题3中得到的不等式?
提示:证明:利用完全平方公式,得a2+b2-2ab=(a-b)2.
因为 a,b∈R,(a-b)2≥0,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以a2+b2-2ab≥0.
因此,由两个实数大小关系的基本事实,得a2+b2≥2ab,
当且仅当a=b时,等号成立.

a=b
[典例讲评] 3.已知a>0,b>0,证明a3+b3≥ab2+a2b.
[证明] a3+b3-(ab2+a2b)
=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)
=(a+b)(a2-2ab+b2).
∵a>0,b>0,且a2+b2≥2ab,
∴a+b>0,a2+b2-2ab≥0.
∴a3+b3-(ab2+a2b)≥0,
故a3+b3≥ab2+a2b.
反思领悟 重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)等号成立的充要条件是“a=b”,其变形ab≤与体现两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系.
[学以致用] 3.已知x,y∈R,且x2+y2=16,证明xy≤8.
[证明] 由重要不等式可知x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时取等号),即16≥2xy,所以xy≤8.
应用迁移 随堂评估自测
1.(多选)下面列出的不等式中,正确的是(  )
A.a不是负数,可表示成a≥0
B.x不大于3,可表示成x<3
C.m与4的差是负数,可表示成m-4<0
D.x与2的和是非负数,可表示成x+2>0


AC [a不是负数,可表示成a≥0;x不大于3可表示成x≤3;m与4的差是负数,可表示成m-4<0;x与2的和是非负数,可表示成x+2≥0.故选AC.]

2.若x∈R,y∈R,则(  )
A.x2+y2>2xy-1   B.x2+y2=2xy-1
C.x2+y2<2xy-1   D.x2+y2≤2xy-1
A [因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1.故选A.]
3.中国“神舟十九号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s,且小于第二宇宙速度11.2 km/s,表示为____________.
7.9≤v<11.2 [“不小于”即大于或等于,故用不等式表示为7.9≤v<11.2.]
7.9≤v<11.2
4.(教材P43习题2.1T4改编)一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为________.
13或24 [设十位数字为x,则个位数字为x+2,
∴10<10x+x+2<30,解得<x<,
∵x取整数,则x=1或2,
当x=1时,该两位数为13;
当x=2时,该两位数为24.
故这个两位数为13或24.]
13或24 
1.知识链:
2.方法链:作差法.
3.警示牌:在用不等式表示实际问题中变量不等关系时,易忽略实际意义.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.作差法比较两个实数的大小的依据是什么?
[提示] a-b>0 a>b;a-b=0 a=b;a-b<0 a2.作差法比较两个实数大小的一般步骤是什么?
[提示] 第一步:作差;
第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形方法,将“差”化成“和”或“积”;
第三步:定号,就是确定差是大于0、等于0、还是小于0(不确定的要分情况讨论);
第四步:下结论.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
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15
课时分层作业(十) 不等关系与不等式

一、选择题
1.(源自人教B版教材)平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域,下述不等式中,x能表示平流层高度的是(  )
A.|x+10|<50   B.|x-10|<50
C.|x+30|<20   D.|x-30|<20
D [由题意可知,10题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15

2.在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为(  )
A.   B.
C.   D.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
D [甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190,
则故选D.]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
10
11
12
13
14
15

3.某公司运输一批木材,总重量为600吨,车队有两种货车,A型货车载重量30吨,B型货车载重量24吨.设派出A型货车x辆,B型货车y辆,则运输方案应满足的关系式是(  )
A.5x+4y<100   B.5x+4y≥100
C.5x+4y>100   D.5x+4y≤100
B [由题意可得,30x+24y≥600,所以有5x+4y≥100.故选B.]

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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10
11
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13
14
15
4.已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是(  )
A.P>Q   B.P≥Q
C.PA [∵P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,且a,b,c为不全相等的实数,∴等号取不到,∴P>Q.故选A.]

题号
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9
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13
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5.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它行驶同样的路程得花9天多的时间,这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是(  )
A.256136 
C.136题号
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A [设原来每天行驶x km,
则根据题意有
解得256即原来每天行驶256 km到260 km之间.故选A.]
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二、填空题
6.若实数a>b,则a2-ab________ba-b2.(填“>”或“<”)
> [因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,
又a>b,所以(a-b)2>0.]
> 
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7.设x,y∈R,则x2+y2-1________2x-4y-6(填“>”“<”“≥”或“≤”).
≥ [因为x2+y2-1-(2x-4y-6)=x2-2x+y2+4y+5=(x-1)2+
(y+2)2≥0,所以x2+y2-1≥2x-4y-6.]
≥ 
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8.已知a,b∈R,若ab=1,则a2+b2的最小值是________,当且仅当a=b=________时取得最小值.
2 ±1 [根据a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab=2,当且仅当a-b=0,即a=b=±1时等号成立.]
2 
±1 
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三、解答题
9.(教材P58T7改编)一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米?
(2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果是变好了还是变差了?
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[解] (1)设该公寓窗户面积为x(x>0)平方米,则地板面积为(165-x)平方米,
依题意,解得15≤x<82.5,
所以这所公寓的窗户面积至少为15 平方米.
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(2)记窗户面积为a平方米、地板面积为b平方米,同时减少的面积为c平方米,
依题意,0<a<b,0<c<a,减少面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,
由,
因为0<a<b,0<c<a,则a-b<0,b-c>0,
得<0,因此<,
所以同时减少相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果变差了.
【教用·备选题】
已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m克糖(m>0),(假设全部溶解)糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式,并证明这个不等式;
(2)利用(1)的结论比较M=的大小.
[解] (1)由题意,可得不等式<(m>0).
证明:

因为b>a>0,m>0,可得a-b<0,b+m>0,
所以<0,即<.
(2)由M=,N=,
由(1)中的结论,可得>,即M>N.
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10.已知0A.MN
C.M=N   D.无法确定

B [∵00,∴M>N,故选B.]
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11.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:各自先饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是(  )
A.h2>h1>h4   B.h1>h2>h3
C.h3>h2>h4   D.h2>h4>h1

A [由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2,最低为h4,故选A.]

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12.(多选)下列不等式恒成立的为(  )
A.a2+3>2a(a∈R)
B.x2+y2>xy
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.8xy≤4x2+8y2
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AD [∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,
∴a2+3>2a,故A正确;
x2+y2-xy=y2≥0,故B错误;
a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,故C错误;
4x2+8y2=(2x)2+(2y)2≥2·2x·2y=,故D正确.]
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13.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b的不等式表示出来为_____________.
(a2+b2)>ab [由题图可知,题图①广告牌的面积S1=(a2+b2),题图②广告牌的面积S2=ab,观察题图得S1>S2,即(a2+b2)>ab.]
(a2+b2)>ab 
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14.已知a>0,试比较a与的大小.
[解] 因为a-,a>0,
所以当a>1时,>0,有a>;
当a=1时,=0,有a=;
当0综上,当a>1时,a>;当a=1时,a=;当0题号
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15.【链接教材P58复习参考题2T10】甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,试探究谁先到达教室?
[解] 设寝室到教室的路程为s,步行速度为v1,跑步速度为v2,显然v1≠v2,则甲用时t1=,乙用时t2=,
t1-t2=
=s
=·s
=>0,
∴甲用时多,∴乙先到达教室.
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【教材原题·P58复习参考题2T10】购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降, 每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济?你能把所得结论作一些推广吗?
[解] 按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为p1元/kg,购n kg,第二次购物时的价格为p2元/kg,仍购n kg,两次购物的平均价格为;
按第二种策略购物,设第一次花m元钱,能购 kg物品,第二次仍花m元钱,能购 kg物品,两次购物的平均价格为.
比较两次购物的平均价格:
≥0,
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而用第二种策略比较经济.一般地,如果是多次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.
谢 谢!课时分层作业(十) 不等关系与不等式
一、选择题
1.(源自人教B版教材)平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域,下述不等式中,x能表示平流层高度的是(  )
A.|x+10|<50   B.|x-10|<50
C.|x+30|<20   D.|x-30|<20
2.在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为(  )
A.   B.
C.   D.
3.某公司运输一批木材,总重量为600吨,车队有两种货车,A型货车载重量30吨,B型货车载重量24吨.设派出A型货车x辆,B型货车y辆,则运输方案应满足的关系式是(  )
A.5x+4y<100   B.5x+4y≥100
C.5x+4y>100   D.5x+4y≤100
4.已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是(  )
A.P>Q   B.P≥Q
C.P5.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它行驶同样的路程得花9天多的时间,这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是(  )
A.256136 
C.136二、填空题
6.若实数a>b,则a2-ab________ba-b2.(填“>”或“<”)
7.设x,y∈R,则x2+y2-1________2x-4y-6(填“>”“<”“≥”或“≤”).
8.已知a,b∈R,若ab=1,则a2+b2的最小值是________,当且仅当a=b=________时取得最小值.
三、解答题
9.(教材P58T7改编)一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米?
(2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果是变好了还是变差了?
10.已知0A.MN
C.M=N   D.无法确定
11.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:各自先饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是(  )
A.h2>h1>h4   B.h1>h2>h3
C.h3>h2>h4   D.h2>h4>h1
12.(多选)下列不等式恒成立的为(  )
A.a2+3>2a(a∈R)
B.x2+y2>xy
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.8xy≤4x2+8y2
13.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b的不等式表示出来为________.
14.已知a>0,试比较a与的大小.
15.【链接教材P58复习参考题2T10】甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,试探究谁先到达教室?
课时分层作业(十)
1.D [由题意可知,102.D [甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190,
则故选D.]
3.B [由题意可得,30x+24y≥600,所以有5x+4y≥100.故选B.]
4.A [∵P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,且a,b,c为不全相等的实数,∴等号取不到,∴P>Q.故选A.]
5.A [设原来每天行驶x km,
则根据题意有
解得256即原来每天行驶256 km到260 km之间.故选A.]
6.> [因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,
又a>b,所以(a-b)2>0.]
7.≥ [因为x2+y2-1-(2x-4y-6)=x2-2x+y2+4y+5=(x-1)2+(y+2)2≥0,所以x2+y2-1≥2x-4y-6.]
8.2 ±1 [根据a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab=2,当且仅当a-b=0,即a=b=±1时等号成立.]
9.解:(1)设该公寓窗户面积为x(x>0)平方米,则地板面积为(165-x)平方米,
依题意,解得15≤x<82.5,
所以这所公寓的窗户面积至少为15平方米.
(2)记窗户面积为a平方米、地板面积为b平方米,同时减少的面积为c平方米,
依题意,0由,
因为00,
得<0,因此,
所以同时减少相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果变差了.
10.B [∵00,∴M>N,故选B.]
11.A [由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2,最低为h4,故选A.]
12.AD [∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,
∴a2+3>2a,故A正确;
x2+y2-xy=(x-2y2≥0,故B错误;
a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,故C错误;
4x2+8y2=(2x)2+(2y)2≥2·2x·2xy,故D正确.]
13.(a2+b2)>ab [由题图可知,题图①广告牌的面积S1=(a2+b2),题图②广告牌的面积S2=ab,观察题图得S1>S2,即(a2+b2)>ab.]
14.解:因为a-,a>0,
所以当a>1时,>0,有a>;
当a=1时,=0,有a=;
当0综上,当a>1时,a>;
当a=1时,a=;
当015.解:设寝室到教室的路程为s,步行速度为v1,跑步速度为v2,显然v1≠v2,
则甲用时t1=,
乙用时t2=,
t1-t2=
=·s=>0,
∴甲用时多,∴乙先到达教室.
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