2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
[学习目标] 1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算) 2．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．(数学抽象) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(逻辑推理)
探究1 基本不等式
问题1 由赵爽弦图(如图)抽象出了一类重要不等式：a2＋b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立．如果a>0，b>0，我们以，分别代替图中的a，b，可得出什么结论？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________问题2 上述结论是在重要不等式基础上转化出来的，你能用多种方法给出它的证明吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________问题3 结合课本P45中的探究，你能否给出≥的一种几何解释？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
1．基本不等式：如果a>0，b>0，则，当且仅当____时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．两个正数的算术平均数______它们的几何平均数．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)设a，b为正数，证明下列不等式：
(1)a＋≥2；
(2)≥2．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足．
[学以致用] 1．(多选)下列说法正确的是( )
A． a，b∈R，≥成立
B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2
C． a，b∈R，a2＋b2≥2ab
D．若x>2，则x＋≥2中可以取等号
探究2 最值定理
问题4 仔细观察典例1中a＋两个代数式，它们有什么共性？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________问题5 借助≤，能求哪几类问题的最值？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
已知x，y都为正数，则：
(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值．
简记为：积定和最小，和定积最大．
[典例讲评] 【链接教材P45例1、例2】
2．(1)(源自苏教版教材)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是( )
A．4 B．4
C．9 D．18
(2)当x>0时，求＋4x的最小值．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [母题探究] 本例(2)的条件“x>0”变为“x<0”，求＋4x的最大值．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 利用基本不等式求最值时要注意的三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
[学以致用] 【链接教材P46练习T4】
2．若0≤x≤8，则的最大值为( )
A． B．4
C． D．
探究3 拼凑法利用基本不等式求最值
[典例讲评] 3．(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
(2)已知0
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [母题探究] 本例(1)变为：函数y＝x＋(x<2)的最大值是( )
A．4 B．5
C．－2 D．2
利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：
拼凑技巧 以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换
变形技巧 以拼凑出和或积的定值为目标
拆、添项 应注意检验利用基本不等式的前提
提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[学以致用] 3．(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是( )
A． B．2
C．2 D．4
(2)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为( )
A．1 B．
C． D．
2．设x>y>0，则下列各式中正确的是( )
A．x>>>y
B．x>>>y
C．x>>y>
D．x>>y>
3．(教材P46练习T2改编)已知x>0，y>0，则的最小值为( )
A．15 B．12
C．8 D．6
4．(教材P48习题2.2T1改编)若01．知识链：
2．方法链：公式法、拼凑法．
3．警示牌：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可．
第1课时 基本不等式
[探究建构] 探究1
问题1 提示：(a>0，b>0)．
问题2 提示：法一：(作差法)
0，即，当且仅当a＝b时，等号成立．
所以．
法二：(分析法)
要证，
只需证2a＋b，
只需证2－a－b0，
只需证－()20，
显然()20成立，当且仅当a＝b时，等号成立．
所以．
问题3 提示：
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD．由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为．
因此，基本不等式的几何意义是“圆的半径不小于半弦”．
新知生成 1．
2．不小于
典例讲评 1．证明：(1)因为a，均为正数，由基本不等式，得a＋2，当且仅当a，即a＝1时等号成立，所以原不等式成立．
(2)因为a，b为正数，所以也为正数，由基本不等式，得2，当且仅当，即a＝b时等号成立，所以原不等式成立．
学以致用 1．BC [A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；
D项，x＋无解，不等式中不可取等号．]
探究2
问题4 提示：两个代数式都具有“x与和”的形式，且x·1(定值)．
问题5 提示：当a>0，b>0时，有①ab2；②a＋b2．由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值．
新知生成 (1)2 (2)S2
典例讲评 2．(1)D [∵m>0，n>0，mn＝81，
∴m＋n218，当且仅当m＝n＝9时取等号，故选D．]
(2)解：∵x>0，∴>0，4x>0．
∴．
当且仅当4x，即x，
∴当x>0时，．
母题探究 解：∵x<0，∴－x>0．
则＋(－4x)2，
当且仅当－4x，即x＝－时取等号．
∴．
∴当x<0时，．
学以致用 2．B [因为0x8，所以8－x0，所以4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．]
探究3
典例讲评 3．(1)6 (2) [(1)因为x>2，所以x－2>0，
所以y＝x＋＋2
2 ＋2＝6，
当且仅当x－2，即x＝4时，等号成立．
所以y＝x＋的最小值为6．
(2)法一：∵00．
∴y＝x(1－3x)×3x(1－3x)
，
当且仅当3x＝1－3x，即x时，等号成立．
∴当x时，y＝x(1－3x)取得最大值．
法二：∵00．
∴y＝x(1－3x)＝3·x3·2
，
当且仅当x－x，即x时，等号成立．
∴当x时，y＝x(1－3x)取得最大值．]
母题探究 C [因为x<2，所以x－2<0，
则y＝x＋＋2
＝－＋2＝－2，
当且仅当2－x，即x＝0时，等号成立，
所以函数y＝x＋(x<2)的最大值是－2．]
学以致用 3．(1)B [∵a>0，b>0，a＋2b＝4，
∴aba·2b2＝2，
当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立．
∴ab的最大值为2．]
(2)解：∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋
＝－＋3
＝－2＋3＝1，
当且仅当5－4x，即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时，ymax＝1．
[应用迁移]
1．C [已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab，当且仅当a＝b时等号成立．]
2．A [∵x>y>0，
∴2x>x＋y，，
即>y，∴x>>y．故选A．]
3．B [由基本不等式可知12，
当且仅当，即y＝2x时，等号成立，
所以的最小值为12．]
4.1 [当00，则1，当且仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立．因此，的最大值为1．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
[学习目标] 1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算) 2．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．(数学抽象) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．基本不等式的内容是什么？
问题2．基本不等式成立的条件是什么？
问题3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
探究建构 关键能力达成
探究1 基本不等式
问题1 由赵爽弦图(如图)抽象出了一类重要不等式：a2＋b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立．如果a>0，b>0，我们以，分别代替图中的a，b，可得出什么结论？
提示：≤(a＞0，b＞0)．
问题2 上述结论是在重要不等式基础上转化出来的，你能用多种方法给出它的证明吗？
提示：法一：(作差法)
－＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
所以≤．
法二：(分析法)
要证≤，
只需证2≤a＋b，
只需证2－a－b≤0，
只需证－(－)2≤0，
显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立．
所以≤．
问题3 结合课本P45中的探究，你能否给出≥的一种几何解释？
提示：如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝．由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤．
因此，基本不等式≤的几何意义是“圆的
半径不小于半弦”．
[新知生成]
1．基本不等式：如果a>0，b>0，则__________，当且仅当____时，等号成立．其中_____叫做正数a，b的算术平均数，_____叫做正数a，b的几何平均数．
2．两个正数的算术平均数______它们的几何平均数．
＝
不小于
【教用·微提醒】 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)设a，b为正数，证明下列不等式：
(1)a＋≥2；
(2)≥2．
[证明] (1)因为a，均为正数，由基本不等式，得a＋≥2＝2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立，所以原不等式成立．
(2)因为a，b为正数，所以也为正数，由基本不等式，得≥2＝2，当且仅当，即a＝b时等号成立，所以原不等式成立．
反思领悟 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足．
√
[学以致用] 1．(多选)下列说法正确的是( )
A． a，b∈R，≥成立
B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2
C． a，b∈R，a2＋b2≥2ab
D．若x>2，则x＋≥2中可以取等号
√
BC [A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；
D项，x＋≥2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号．]
探究2 最值定理
问题4 仔细观察典例1中a＋两个代数式，它们有什么共性？
提示：两个代数式都具有“x与和”的形式，且x·＝1(定值)．
问题5 借助≤，能求哪几类问题的最值？
提示：当a>0，b>0时，有①ab≤；②a＋b≥．由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值．
[新知生成]
已知x，y都为正数，则：
(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值____；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值______．
简记为：积定和最小，和定积最大．
[典例讲评] 【链接教材P45例1、例2】
2．(1)(源自苏教版教材)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是
( )
A．4 B．4
C．9 D．18
(2)当x>0时，求＋4x的最小值．
√
(1)D [∵m>0，n>0，mn＝81，
∴m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取等号，故选D．]
(2)[解] ∵x>0，∴>0，4x>0．
∴＋4x≥2＝8．
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8．
[母题探究] 本例(2)的条件“x>0”变为“x<0”，求＋4x的最大值．
[解] ∵x<0，∴－x>0．
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8．
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8．
【教材原题·P45例1、例2】
例1 已知x>0，求x＋的最小值．
分析：求x＋的最小值，就是要求一个y0，使 x>0，都有x＋≥y0．观察x＋，发现x·＝1．联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0＝2．
[解] 因为x>0，
所以x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2．
例2 已知x，y都是正数，求证：
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
[证明] 因为x，y都是正数，所以
≥．
(1)当积xy等于定值P时，
≥，
所以x＋y≥2，
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2．
(2)当和x＋y等于定值S时，
≤，
所以xy≤S2，
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值S2．
反思领悟 利用基本不等式求最值时要注意的三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
[学以致用] 【链接教材P46练习T4】
2．若0≤x≤8，则的最大值为( )
A． B．4
C． D．
√
B [因为0≤x≤8，所以8－x≥0，所以≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．]
【教材原题·P46练习T4】已知－1≤x≤1，求1－x2的最大值．
[解] 当x＝±1时，1－x2＝0．
当－1＜x＜1时，1－x＞0，1＋x＞0，
∴1－x2＝(1－x)(1＋x)≤＝1，
当且仅当1＋x＝1－x，即x＝0时，等号成立．
∴1－x2的最大值为1．
探究3 拼凑法利用基本不等式求最值
[典例讲评] 3．(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
(2)已知06
(1)6 (2) [(1)因为x>2，所以x－2>0，
所以y＝x＋＋2≥2 ＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
所以y＝x＋的最小值为6．
(2)法一：∵00．
∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．
法二：∵00．
∴y＝x(1－3x)＝3·x＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．]
[母题探究] 本例(1)变为：函数y＝x＋(x<2)的最大值是( )
A．4
B．5
C．－2
D．2
√
C [因为x<2，所以x－2<0，则y＝x＋＋2＝
－＋2≤－2＋2＝－2，
当且仅当2－x＝，即x＝0时，等号成立，
所以函数y＝x＋(x<2)的最大值是－2．]
反思领悟 利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：
拼凑技巧 以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换
变形技巧 以拼凑出和或积的定值为目标
拆、添项 应注意检验利用基本不等式的前提
提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[学以致用] 3．(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是( )
A． B．2
C．2 D．4
(2)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值．
√
(1)B [∵a>0，b>0，a＋2b＝4，
∴ab＝＝2，
当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立．
∴ab的最大值为2．]
(2)[解] ∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＋3≤3＝
－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时，ymax＝1．
【教用·备选题】 已知x>－1，则的最小值为______．
16 [
＝＝(x＋1)＋＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16．
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．]
16
应用迁移 随堂评估自测
1．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为( )
A．1 B． C． D．
√
C [已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．]
√
2．设x>y>0，则下列各式中正确的是( )
A．x>>>y
B．x>>>y
C．x>>y>
D．x>>y>
A [∵x>y>0，
∴2x>x＋y，>，>，
即>y，∴x>>>y．故选A．]
√
3．(教材P46练习T2改编)已知x>0，y>0，则的最小值为( )
A．15 B．12
C．8 D．6
B [由基本不等式可知≥2＝12，
当且仅当，即y＝2x时，等号成立，
所以的最小值为12．]
4．(教材P48习题2.2T1改编)若01 [当00，则≤＝1，当且仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立．因此，的最大值为1．]
1
1．知识链：
2．方法链：公式法、拼凑法．
3．警示牌：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab推导出≤？
[提示] 对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到a＋b≥2，即≤．
2．基本不等式≤的常见变形有哪些？
[提示] ①a＋b≥2；②ab≤．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(十二) 基本不等式
√
一、选择题
1．已知x＞0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A≤B C．A＞B D．A＜B
A [∵x＞0，A＝x－2，B＝－，∴A－B＝x＋－2≥2－2＝0．当且仅当x＝，即x＝1时取等号．即A≥B．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．负实数x，y满足x＋y＝－2，则x－的最小值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－4
B [根据题意有x＝－y－2，故x－－2≥2－2＝0，当且仅当－y＝，即y＝－1，x＝－1时取等号．因此，x－的最小值为0．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．已知x＞1，y＞0，x＋y＝3，则(x－1)·y的最大值是( )
A． B．
C． D．1
D [由x＞1，y＞0，x＋y＝3，得(x－1)·y≤＝1，当且仅当x－1＝y，即y＝1，x＝2时取等号．所以(x－1)·y的最大值是1．故选D．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．已知x＞－1，当x＝a时，x－4＋取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
C [因为x＞－1，所以x＋1＞0，＞0，故x－4＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立，故a＝2，b＝1，a＋b＝3．故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是( )
A．xy≤
B．≥2
C．≥2
D．x2＋y2≥2|xy|
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B [对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy，即xy≤，当且仅当x＝y时取等号，故A项恒成立；
对于B，当x，y异号时，<0，故B项不恒成立；
对于C，＝≥2＝2，当且仅当|x|＝，即x＝±1时取等号，故C项恒成立；
对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D项恒成立．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．已知x，y为正实数，且满足4x＋y＝40，则xy的最大值是_____．
100 [因为4x＋y＝40，所以xy＝＝100，当且仅当4x＝y，即x＝5，y＝20时，等号成立．
所以xy的最大值为100．]
100
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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7．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
p>q [∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
即p>q．]
p>q
题号
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8．当x＞0时，y＝的最小值为________．
[当x＞0时，＋，当且仅当x＝2时等号成立，所以当x＞0时，y＝的最小值为．]
题号
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三、解答题
9．(1)(源自苏教版教材)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值．
(2)(源自苏教版教材)设x>0，y>0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值．
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[解] (1)因为x>－2，所以x＋2>0．
由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立．
因此，当x＝2时，y的最小值为6．
(2)xy＝＝10，
当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时，等号成立，
所以xy的最大值是10．
题号
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10．若0A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
√
D [法一：∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．
法二：(特殊值法)取a＝，则a2＋b2＝＝，显然最大，故选D．]
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11．已知m＝a－2＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n
B．mC．m＝n
D．不确定
√
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A [因为a>2，所以a－2>0，
所以m＝(a－2)＋≥2＝2，
由b≠0，得b2≠0，所以n＝2－b2<2．
综上可知m>n．故选A．]
√
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12．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A． ≤(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．(a＞0，b＞0)
D．≥(a＞0，b＞0)
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A [由题图可知，OF＝(a＋b)，
OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF＝＝，
∵CF≥OF，∴≥(a＋b)(a，b＞0)．故选A．]
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13．函数y＝x(0＜x＜1)的最大值为________．
[由0＜x＜1，可得y＝x＝≤，当且仅当x2＝1－x2，即x＝时，等号成立，此时ymax＝．]
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14．设x>0，求证：x＋．
[证明] 因为x>0，所以x＋>0，
所以x＋≥2－．
当且仅当x＋，即x＝时，等号成立．
故不等式得证．
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15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：
设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值．
[解] (1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，
，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即横线处应填．
(2)因为a>0，b>0，c>0，
且a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
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(3)因为a>0，b>0，c>0，，所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为．
[点评] 抓住“和定积最大，积定和最小”，类比基本不等式即可求解本类问题．
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谢 谢！课时分层作业(十二) 基本不等式
一、选择题
1．已知x＞0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A≤B
C．A＞B D．A＜B
2．负实数x，y满足x＋y＝－2，则x－的最小值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－4
3．已知x＞1，y＞0，x＋y＝3，则(x－1)·y的最大值是( )
A． B．
C． D．1
4．已知x＞－1，当x＝a时，x－4＋取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
5．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是( )
A．xy≤ B．≥2
C．≥2 D．x2＋y2≥2|xy|
二、填空题
6．已知x，y为正实数，且满足4x＋y＝40，则xy的最大值是________．
7．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
8．当x＞0时，y＝的最小值为________．
三、解答题
9．(1)(源自苏教版教材)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值．
(2)(源自苏教版教材)设x>0，y>0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值．
10．若0A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
11．已知m＝a－2＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
12．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A． ≤(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．(a＞0，b＞0)
D．≥(a＞0，b＞0)
13．函数y＝x(0＜x＜1)的最大值为________．
14．设x>0，求证：x＋．
15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：
设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值．
课时分层作业(十二)
1．A [∵x>0，A＝x－2，B＝－，∴A－B＝x＋，即x＝1时取等号．即A≥B．故选A．]
2．B [根据题意有x＝－y－2，故x－－2＝0，
当且仅当－y＝，即y＝－1，x＝－1时取等号．因此，x－的最小值为0．故选B．]
3．D [由x>1，y>0，x＋y＝3，得(x－1)·y≤＝1，当且仅当x－1＝y，即y＝1，x＝2时取等号．所以(x－1)·y的最大值是1．故选D．]
4．C [因为x>－1，所以x＋1>0，>>0，故x－4＋－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立，故a＝2，b＝1，a＋b＝3．故选C．]
5．B [对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy，
即xy≤(2，当且仅当x＝y时取等号，故A项恒成立；
对于B，当x，y异号时，<0，故B项不恒成立；
对于C，＝2，当且仅当|x|＝，即x＝±1时取等号，故C项恒成立；
对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D项恒成立．故选B．]
6．100 [因为4x＋y＝40，所以xy＝＝100，当且仅当4x＝y，即x＝5，y＝20时，等号成立．
所以xy的最大值为100．]
7．p>q [∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
即p>q．]
8． [当x>0时，，当且仅当x＝2时等号成立，
所以当x>0时，y＝．]
9．解：(1)因为x>－2，所以x＋2>0．
由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－2
≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立．
因此，当x＝2时，y的最小值为6．
(2)xy＝·2x·5y≤·(2＝10，
当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时，等号成立，
所以xy的最大值是10．
10．D [法一：∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．]
11．A [因为a>2，所以a－2>0，
所以m＝(a－2)＋＝2，
由b≠0，得b2≠0，所以n＝2－b2<2．
综上可知m>n．故选A．]
12．A [由题图可知，OF＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF＝，
∵CF≥OF，∴(a＋b)(a，b>0)．故选A．]
13． [由014．证明：因为x>0，所以x＋>0，
所以x＋．
当且仅当x＋，即x＝时，等号成立．
故不等式得证．
15．解：(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即横线处应填．
(2)因为a>0，b>0，c>0，
且a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)因为a>0，b>0，c>0，，
所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，
0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为．
[点评] 抓住“和定积最大，积定和最小”，类比基本不等式即可求解本类问题．
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