2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
[学习目标] 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(数学抽象) 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(数学运算) 3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(直观想象)
探究1 一元二次不等式的概念
问题1 观察下面的式子：
(1)2x2－1≥0；
(2)x2－3x<0；
(3)3x2＋2x－1>0．
它们有怎样的共同特征？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
定义 一般地，我们把只含有一个______，并且未知数的最高次数是_的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
探究2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
问题2 如图，二次函数y＝x2－x－6的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－x－6＝0的根有什么关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
问题3 你能借助二次函数y＝x2－x－6的图象写出x2－x－6<0的解集吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
1．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使_____________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _____________________ R
__ __
注意点：(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根．
[典例讲评] 【链接教材P52例1、例2、例3】
1．(源自苏教版教材)解下列不等式：
(1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1<0；(4)x2－2x＋2>0．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)______．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)______．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)______．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)______．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)______．根据图象写出不等式的解集．
[学以致用] 【链接教材P53练习T1】
1．解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 含参数的一元二次不等式的解法
对判别式Δ进行讨论
[典例讲评] 2．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
对根的大小进行讨论
[典例讲评] 3．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
对二次项系数进行讨论
[典例讲评] 4．设a∈R，解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2>0．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[学以致用] 2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；－y>0；③－x2－3x<0；④>0．其中一元二次不等式的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．不等式(1－x)(2＋x)>0的解集为( )
A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|－2C．{x|x<1，或x>2} D．{x|－13．(教材P55习题2.3T2改编)要使有意义，则x的取值范围为______．
4．若01．知识链：
2．方法链：数形结合法、分类讨论法．
3．警示牌：解含参数的一元二次不等式时，因分类讨论的标准不统一导致错误．
第1课时 一元二次不等式的解法
[探究建构] 探究1
问题1 提示：都是含有一个未知数的不等式，并且未知数的最高次数为2．
新知生成 未知数 2
探究2
问题2 提示：函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根．
问题3 提示：从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－x－6<0的解集为{x|－2新知生成 1．ax2＋bx＋c＝0
2．{x|xx2} {x|x1典例讲评 1．解：(1)方程x2－7x＋12＝0的根为x1＝3，x2＝4．
根据y＝x2－7x＋12的图象(图①)，可得原不等式的解集为{x|x<3，或x>4}．
(2)不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－30．
方程x2＋2x－3＝0的根为x1＝－3，x2＝1．
根据y＝x2＋2x－3的图象(图②)，可得原不等式的解集为{x|－3x1}．
① ② ③ ④
(3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的根x1＝x2＝1．
根据y＝x2－2x＋1的图象(图③)，可得原不等式的解集为 ．
(4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解．
根据y＝x2－2x＋2的图象(图④)，可得原不等式的解集为R．
发现规律 (1)化标准 (2)判别式 (3)求实根 (4)画草图 (5)写解集
学以致用 1．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0．
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}．
探究3
典例讲评 2．解：Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ<0，即－4(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于2(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于2(x＋1)2>0，故x≠－1．
(3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1(－a－)，x2(－a＋)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0，
∴xx2．
综上，当－4当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
x(－a－)，或x>(－a＋)；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
典例讲评 3．解：原不等式可化为(x＋1)(x－a)<0，
∴方程x2＋(1－a)x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a．
又函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象(图略)开口向上，
则当a<－1时，原不等式的解集为{x|a当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1典例讲评 4．解：(1)当a＝0时，原不等式为－x＋2>0，解得x<2；
(2)当a≠0时，原不等式为(ax－1)(x－2)>0，
①当02，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得x<2或x>；
②当a时，原不等式即为(x－2)2>0，解得x≠2；
③当a>时，0<<2，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得x<或x>2；
④当a<0时，<0<2，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为；
当0．
学以致用 2．解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1．
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0．
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为．
[应用迁移]
1．A [只有③是一元二次不等式，故选A．]
2．B [因为(1－x)(2＋x)>0 (x－1)(x＋2)<0，解得－23．{x|－70，即(x＋7)(x－1)<0，所以－74． [∵0∴>1>m，
故原不等式的解集为．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
[学习目标] 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(数学抽象) 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(数学运算) 3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(直观想象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．一元二次不等式的概念是什么？
问题2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？
问题3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 一元二次不等式的概念
问题1 观察下面的式子：
(1)2x2－1≥0；
(2)x2－3x<0；
(3)3x2＋2x－1>0．
它们有怎样的共同特征？
提示：都是含有一个未知数的不等式，并且未知数的最高次数为2．
[新知生成]
定义 一般地，我们把只含有一个______，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
未知数
2
【教用·微提醒】 (1)“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母．
(2)“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0．
探究2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
问题2 如图，二次函数y＝x2－x－6的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－x－6＝0的根有什么关系？
提示：函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根．
问题3 你能借助二次函数y＝x2－x－6的图象写出x2－x－6<0的解集吗？
提示：从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－x－6<0的解集为{x|－2[新知生成]
1．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使_____________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 _______________ R
_______________ __ __
{x|xx2}
{x|x1
注意点：(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根．
[典例讲评] 【链接教材P52例1、例2、例3】
1．(源自苏教版教材)解下列不等式：
(1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1<0；(4)x2－2x＋2>0．
[解] (1)方程x2－7x＋12＝0的根为x1＝3，x2＝4．
根据y＝x2－7x＋12的图象(图①)，可得原不等式的解集为{x|x<3，或x>4}．
(2)不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0．
方程x2＋2x－3＝0的根为x1＝－3，x2＝1．
根据y＝x2＋2x－3的图象(图②)，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．
(3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的根x1＝x2＝1．
根据y＝x2－2x＋1的图象(图③)，可得原不等式的解集为 ．
(4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解．
根据y＝x2－2x＋2的图象(图④)，可得原不等式的解集为R．
① ② ③ ④
【教材原题·P52例1、例2、例3】
例1 求不等式x2－5x＋6>0的解集．
分析：因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．
[解] 对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两
个实数根．解得x1＝2，x2＝3．
画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象(图2.3-2)，结合图象
得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．
例2 求不等式9x2－6x＋1>0的解集．
[解] 对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝．
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象(图2.3-3)，结合
图象得不等式9x2－6x＋1>0的解集为．
例3 求不等式－x2＋2x－3>0的解集．
[解] 不等式可化为x2－2x＋3<0．
因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．
画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图2.3-4)．
结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为 ．
因此，原不等式的解集为 ．
发现规律 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)______．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)______．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)______．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)______．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)______．根据图象写出不等式的解集．
化标准
判别式
求实根
画草图
写解集
[学以致用] 【链接教材P53练习T1】
1．解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0．
[解] (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0．
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}．
【教材原题·P53练习T1】求下列不等式的解集．
(1)(x＋2)(x－3)＞0；(2)3x2－7x≤10；
(3)－x2＋4x－4＜0；(4)x2－x＋＜0；
(5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4＞0．
[解] (1)(x＋2)(x－3)＞0，
即或
解得x＞3或x＜－2，
所以原不等式的解集为
{x|x＞3或x＜－2}．
(2)3x2－7x≤10可化为(x＋1)(3x－10)≤0，
即或
解得－1≤x≤或无解，
所以原不等式的解集为．
(3)－x2＋4x－4＜0，即x2－4x＋4＞0，则(x－2)2＞0，所以x≠2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}．
(4)x2－x＋＜0可化为＜0，无解，
所以原不等式的解集为 ．
(5)－2x2＋x≤－3可化为(x＋1)(2x－3)≥0 ，
即或
解得x≥或x≤－1，所以原不等式的解集为．
(6)x2－3x＋4＞0可化为＞0，x∈R，所以原不等式的解集为R．
探究3 含参数的一元二次不等式的解法
角度1 对判别式Δ进行讨论
[典例讲评] 2．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
[解] Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ<0，即－4(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于2(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于2(x＋1)2>0，故x≠－1．
(3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0，
∴xx2．
综上，当－4当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
角度2 对根的大小进行讨论
[典例讲评] 3．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0．
[解] 原不等式可化为(x＋1)(x－a)<0，
∴方程x2＋(1－a)x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a．
又函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象(图略)开口向上，
则当a<－1时，原不等式的解集为{x|a当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1角度3 对二次项系数进行讨论
[典例讲评] 4．设a∈R，解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2>0．
[解] (1)当a＝0时，原不等式为－x＋2>0，解得x<2；
(2)当a≠0时，原不等式为(ax－1)(x－2)>0，
①当02，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得x<2或x>；
②当a＝时，原不等式即为(x－2)2>0，解得x≠2；
③当a>时，0<<2，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得x<或x>2；
④当a<0时，<0<2，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为；
当0．
反思领悟 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[学以致用] 2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．
[解] 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1．
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0．
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为．
【教用·备选题】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1．
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1．
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0．
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈ ；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为
；当a＝1时，原不等式的解集为 ；当a>1时，原不等式的解集为．
应用迁移 随堂评估自测
1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；－y>0；③－x2－3x<0；④>0．其中一元二次不等式的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
√
A [只有③是一元二次不等式，故选A．]
√
2．不等式(1－x)(2＋x)>0的解集为( )
A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|－2C．{x|x<1，或x>2} D．{x|－1B [因为(1－x)(2＋x)>0 (x－1)(x＋2)<0，解得－23．(教材P55习题2.3T2改编)要使有意义，则x的取值范围为_______________．
{x|－70，即(x＋7)(x－1)
<0，所以－7{x|－74．若0 [∵01>m，
故原不等式的解集为．]
1．知识链：
2．方法链：数形结合法、分类讨论法．
3．警示牌：解含参数的一元二次不等式时，因分类讨论的标准不统一导致错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求解一元二次不等式解集的步骤有哪些？
[提示] (1)化成标准形式，(2)计算判别式Δ，(3)求对应方程的实根，(4)结合图象写解集．
2．含参数的一元二次不等式常从哪些方面讨论求解？
[提示] (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0．
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13．由一元二次不等式的解集可以得出相应函数的哪些信息？
[提示] 由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(十四) 一元二次不等式的解法
√
一、选择题
1．不等式－x2＋x＋2<0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|－2C．{x|x<－1，或x>2}
D．{x|x<－2，或x>1}
C [原不等式可化为x2－x－2>0，即(x－2)(x＋1)>0，故不等式的解集为{x|x<－1，或x>2}．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A．
B．
C．
D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
D [法一：取x＝1检验，满足，排除A；
取x＝4检验，不满足，排除B，C．故选D．
法二：原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1．即原不等式的解集为．故选D．]
题号
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√
3．不等式x2－(m＋1)x＋m＜0的解集中恰有三个整数，则实数m的取值范围为( )
A．{m|－3≤m≤5}
B．{m|－2≤m＜－1或4＜m≤5}
C．{m|－3＜m＜1或4＜m＜5}
D．{m|－3≤m＜－2或4＜m≤5}
题号
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D [x2－(m＋1)x＋m＜0 (x－1)(x－m)＜0，
①当m＝1时，显然不符合题意；
②当m＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜m}，
由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故4＜m≤5；
③当m＜1时，不等式的解集为{x|m＜x＜1}，
由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，－1，－2，故－3
≤m＜－2．
所以实数m的取值范围为{m|－3≤m＜－2或4＜m≤5}．故选D．]
√
题号
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4．下列四个不等式中，解集为一切实数的是( )
A．x2＋6x＋10≥0
B．x2－2x＋5>0
C．－x2＋x＋1≥0
D．2x2－3x＋4<0
题号
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A [对于A，由x2＋6x＋10≥0，可得Δ＝62－4×1×10＝36－40＝
－4<0，所以x2＋6x＋10≥0的解集为R，故A正确；
对于B，x2－2x＋5＝(x－)2>0，
所以x2－2x＋5>0的解集为x≠}，故B错误；
对于C，－x2＋x＋1≥0可化为x2－x－1≤0，
Δ＝1＋4＝5>0，所以x2－x－1≤0的解集为，故C错误；
对于D，由2x2－3x＋4<0，可得Δ＝32－4×2×4＝9－32<0，所以2x2－3x＋4<0的解集为空集，故D错误．故选A．]
√
题号
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5．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n，或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m，或x>n}
D．{x|－m题号
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B [方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，
因为m＋n>0，所以m>－n．
结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是
{x|－n题号
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二、填空题
6．二次函数y＝x2－4x＋4的零点是________．
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7．使根式有意义的实数x的取值范围是____________．
{x|－4≤x≤1} [由－x2－3x＋4≥0，得x2＋3x－4≤0，解得－4≤x
≤1．]
{x|－4≤x≤1}
题号
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8．已知x＝1是不等式k2x－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是_________________________．
{k|k<0，或0{k|k<0，或0题号
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三、解答题
9．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0．
[解] 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0．
当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)；
当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4；
当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1，或x<2(a－1)}；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}；
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)，或x题号
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10．关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＜0的解集是( )
A．{x|x＜－1或x＞3}
B．{x|－1＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|x＜1或x＞3}
√
B [因为关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，所以a＝b＞0，(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)·(x－3)＜0，即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3．故选B．]
题号
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11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0B．{x|－2C．{x|x<－2，或x>1}
D．{x|－1√
题号
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B [根据给出的定义，得
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)
＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，即(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2√
题号
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√
12．(多选)对于给定的实数a，关于实数x的不等式a(x－a)(ax＋a)≥0的解集不可能为( )
A．R
B．{x|a≤x≤－1}
C．{x|x≤a或x≥－1}
D．
题号
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BD [因为a(x－a)(ax＋a)≥0 a2(x－a)(x＋1)≥0，
①当a＝0时，不等式的解集为R，
②当a≠0时，不等式变为(x－a)(x＋1)≥0，
方程(x－a)(x＋1)＝0的根为x＝a或x＝－1，
当a＜－1时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥－1}，
当a＝－1时，不等式的解集为R，
当a＞－1且a≠0时，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥a}，
综上所述，当a＝0或a＝－1时，不等式的解集为R，
当a＜－1时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥－1}，
当a＞－1且a≠0时，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥a}．故选BD．]
题号
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13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于(1，0)与(3，0)两点，当a＝________时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为__________________________．(写出a的一个值即可)
1
{x|x<1或x>3}(答案不唯一)
1 {x|x<1或x>3}(答案不唯一) [当a>0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，且与x轴交点为(1，0)与(3，0)，结合图象(图略)可得不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1或x>3}．]
题号
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14．设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0．
[解] (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－．
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为．
题号
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②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ．
③当－即原不等式的解集为．
④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为．
综上所述，当a>0时，不等式的解集为；
题号
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当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；
当－当a＝－时，不等式的解集为 ；
当a<－时，不等式的解集为．
[点评] 易漏a＝0的情形，重视数形结合的应用，避免与当a＜0时解集的书写错误．
题号
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15．解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0．
[解] 因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－所以原不等式的解集为 ；
当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根，
当a＝x＝}，
当a＝－x＝－}；
题号
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当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1综上所述，当－当a＝x＝}；
当a＝－x＝－}；
当a>或a<－时，原不等式的解集为{x≤x≤a＋}．
[点评] 把握好讨论依据，分类求解，注意讨论要不重不漏．
谢 谢！课时分层作业(十四) 一元二次不等式的解法
一、选择题
1．不等式－x2＋x＋2<0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|－2C．{x|x<－1，或x>2}
D．{x|x<－2，或x>1}
2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A． B．
C． D．
3．不等式x2－(m＋1)x＋m＜0的解集中恰有三个整数，则实数m的取值范围为( )
A．{m|－3≤m≤5}
B．{m|－2≤m＜－1或4＜m≤5}
C．{m|－3＜m＜1或4＜m＜5}
D．{m|－3≤m＜－2或4＜m≤5}
4．下列四个不等式中，解集为一切实数的是( )
A．x2＋6x＋10≥0 B．x2－2x＋5>0
C．－x2＋x＋1≥0 D．2x2－3x＋4<0
5．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－nC．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m二、填空题
6．二次函数y＝x2－4x＋4的零点是________．
7．使根式有意义的实数x的取值范围是__________．
8．已知x＝1是不等式k2x－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________________．
三、解答题
9．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0．
10．关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＜0的解集是( )
A．{x|x＜－1或x＞3} B．{x|－1＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＜1或x＞3}
11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0B．{x|－2C．{x|x<－2，或x>1}
D．{x|－112．(多选)对于给定的实数a，关于实数x的不等式a(x－a)(ax＋a)≥0的解集不可能为( )
A．R
B．{x|a≤x≤－1}
C．{x|x≤a或x≥－1}
D．
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于(1，0)与(3，0)两点，当a＝________时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________．(写出a的一个值即可)
14．设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0．
15．解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0．
课时分层作业(十四)
1．C [原不等式可化为x2－x－2>0，即(x－2)(x＋1)>0，故不等式的解集为{x|x<－1，或x>2}．
故选C．]
2．D [法一：取x＝1检验，满足，排除A；
取x＝4检验，不满足，排除B，C．故选D．
法二：原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－．故选D．]
3．D [x2－(m＋1)x＋m<0 (x－1)(x－m)<0，
①当m＝1时，显然不符合题意；
②当m>1时，不等式的解集为{x|1由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故4③当m<1时，不等式的解集为{x|m由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，－1，－2，故－3≤m<－2．
所以实数m的取值范围为{m|－3≤m<－2或44．A [对于A，由x2＋6x＋10≥0，可得Δ＝62－4×1×10＝36－40＝－4<0，
所以x2＋6x＋10≥0的解集为R，故A正确；
对于B，x2－2x＋5＝(x－)2>0，
所以x2－2，故B错误；
对于C，－x2＋x＋1≥0可化为x2－x－1≤0，
Δ＝1＋4＝5>0，所以x2－x－1≤0的解集为，故C错误；
对于D，由2x2－3x＋4<0，可得Δ＝32－4×2×4＝9－32<0，所以2x2－3x＋4<0的解集为空集，故D错误．故选A．]
5．B [方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，
因为m＋n>0，所以m>－n．
结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n6．2
7．{x|－4≤x≤1} [由－x2－3x＋4≥0，得x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1．]
8．{k|k<0，或09．解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0．
当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)；
当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4；
当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1，或x<2(a－1)}；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}；
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)，或x10．B [因为关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，所以a＝b>0，(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)<0，即(x＋1)(x－3)<0，解得－111．B [根据给出的定义，得
x☉(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)
＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x☉(x－2)<0，即(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－212．BD [因为a(x－a)(ax＋a)≥0 a2(x－a)(x＋1)≥0，
①当a＝0时，不等式的解集为R，
②当a≠0时，不等式变为(x－a)(x＋1)≥0，
方程(x－a)(x＋1)＝0的根为x＝a或x＝－1，
当a<－1时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥－1}，
当a＝－1时，不等式的解集为R，
当a>－1且a≠0时，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥a}，
综上所述，当a＝0或a＝－1时，不等式的解集为R，
当a<－1时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥－1}，
当a>－1且a≠0时，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥a}．故选BD．]
13．1 {x|x<1或x>3}(答案不唯一) [当a>0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，且与x轴交点为(1，0)与(3，0)，结合图象(图略)可得不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1或x>3}．]
14．解：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－．
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为．
②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ．
③当－即原不等式的解集为．
④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为．
综上所述，当a>0时，不等式的解集为x<，或x>2}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；
当－当a＝－时，不等式的解集为 ；
当a<－时，不等式的解集为．
[点评] 易漏a＝0的情形，重视数形结合的应用，避免与当a<0时解集的书写错误．
15．解：因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为 ；
当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根，
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当Δ>0，即a>时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1综上所述，当－时，原不等式的解集为 ；
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a>时，原不等式的解集为{x|a－}．
[点评] 把握好讨论依据，分类求解，注意讨论要不重不漏．
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