第2课时 一元二次不等式的应用
[学习目标] 1．掌握分式不等式的解法．(数学运算) 2．掌握一元二次不等式的实际应用．(数学建模) 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算、直观想象)
探究1 简单分式不等式的解法
问题 >0与(x－2)(x＋1)>0等价吗？≥0与(x－2)(x＋1)≥0等价吗？
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[典例讲评] 1．解下列不等式：
(1)≥0；
(2)≤1．
[尝试解答] _________________________________________________________
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简单的分式不等式的解法
[学以致用] 1．关于x的不等式ax－b>0的解集是，求关于x的不等式>0的解集．
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探究2 三个“二次”的关系
[典例讲评] 2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究] 本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
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从不等式ax2＋bx＋c>0的解集中可以获取以下信息：
(1)二次项系数的符号．
(2)参数a，b，c之间的关系．
[学以致用] 2．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则下列说法正确的是( )
A．a>0
B．a＋bC．bx＋c>0的解集是{x|x>－4}
D．cx2－bx＋a<0的解集是
探究3 一元二次不等式的实际应用
[典例讲评] 【链接教材P53例4、例5】
3．(源自北师大版教材)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500．
(1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系；
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
[尝试解答] _________________________________________________________
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解不等式应用题的步骤
[学以致用] 【链接教材P55练习T3】
3．某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不低于400元，销售价格最高是多少？
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1．若关于x的不等式x2＋ax＋b>0的解集是{x|x<－2，或x>3}，则a＋b＝( )
A．－7 B．－6
C．－5 D．1
2．不等式<0的解集为( )
A．{x|x>1} B．{x|x<－2}
C．{x|－21}
3．(教材P55练习T2改编)小区计划建设一块长为10 m、宽为6 m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪(如图所示)．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为( )
A．1 m B．2 m
C．3 m D．4 m
4．若关于x的不等式x<－1，或x>4}，则实数a＝________．
1．知识链：
2．方法链：等价转化法、数形结合法．
3．警示牌：(1)解分式不等式要等价变形．
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
第2课时 一元二次不等式的应用
[探究建构] 探究1
问题1 提示：>0与(x－2)(x＋1)>0等价；
0与(x－2)(x＋1)0不等价，前者的解集中没有－1，后者的解集中有－1．
典例讲评 1．解：(1)不等式解得x－1或x>3．
即原不等式的解集为{x|x－1，或x>3}．
(2)因为1，所以－10，
所以0，所以0，
所以(x－4)≥0且x≠，
从而x<或x4．
故原不等式的解集为．
学以致用 1．解：∵不等式ax－b>0的解集是，
∴a>0，且a＝2b，
则不等式>0．
∴(x－1)(x－5)<0，解得1因此原不等式的解集为{x|1探究2
典例讲评 2．解：法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－>0，解得x<，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2母题探究 解：由根与系数的关系知－5，6且a<0．
∴c<0，，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－<0，即x2＋<0，
解得－学以致用 2．AD [因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，
所以ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和4，且a>0，
所以－2＋4＝－，－2×4，得b＝－2a，c＝－8a，所以A正确；
对于B，因为a＋b－c＝a＋(－2a)－(－8a)＝7a>0，所以a＋b>c，所以B错误；
对于C，因为b＝－2a，c＝－8a，所以bx＋c>0可化为－2ax－8a>0，因为a>0，所以x＋4<0，解得x<－4，所以bx＋c>0的解集为{x|x<－4}，所以C错误；
对于D，因为b＝－2a，c＝－8a，所以cx2－bx＋a<0可化为－8ax2＋2ax＋a<0，因为a>0，所以8x2－2x－1>0，(2x－1)(4x＋1)>0，解得x<－或x>，所以原不等式的解集为，所以D正确．故选AD．]
探究3
典例讲评 3．解：(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝(x－10)(－10x＋500)(10x50)．
(2)由每月获得的利润不小于3 000元，得
(x－10)(－10x＋500)3 000．
化简，得x2－60x＋8000．
解得20x40．
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20x25．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000．
由20x25，得500－20x＋1 000600．
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500p600}元．
学以致用 3．解：设每件售价x(x15)元，
则解得15x20，
所以销售价格最高是20元．
[应用迁移]
1．A [依题意，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的根为x＝－2或x＝3，
所以所以a＋b＝－7．故选A．]
2．C [原不等式可化为(x－1)(x＋2)<0，
故原不等式的解集为{x|－23．B [设花卉带的宽度为x m，则，
所以(5－x)(3－x)5，即(x－4)26，
可得4－，又 x<3，故4－x<3，而1<4－<2，则x可能取值为2．故选B．]
4.4 [由题意知，不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}，
则(x－a)(x＋1)>0 (x＋1)(x－4)>0，故a＝4．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式的应用
[学习目标] 1．掌握分式不等式的解法．(数学运算) 2．掌握一元二次不等式的实际应用．(数学建模) 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算、直观想象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．应用一元二次不等式解决实际问题时应注意哪些问题？
问题2．一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间存在怎样的联系？
探究建构 关键能力达成
探究1 简单分式不等式的解法
问题 >0与(x－2)(x＋1)>0等价吗？≥0与(x－2)(x＋1)≥0等价吗？
提示：>0与(x－2)(x＋1)>0等价；
≥0与(x－2)(x＋1)≥0不等价，前者的解集中没有－1，后者的解集中有－1．
[典例讲评] 1．解下列不等式：
(1)≥0；
(2)≤1．
[解] (1)不等式≥0可转化成不等式组
解得x≤－1或x>3．
即原不等式的解集为{x|x≤－1，或x>3}．
(2)因为≤1，
所以－1≤0，
所以≤0，所以≥0，
所以(x－4)≥0且x≠，
从而x<或x≥4．
故原不等式的解集为．
反思领悟 简单的分式不等式的解法
[学以致用] 1．关于x的不等式ax－b>0的解集是，求关于x的不等式>0的解集．
[解] ∵不等式ax－b>0的解集是，
∴a>0，且a＝2b，
则不等式>0等价于>0．
∴(x－1)(x－5)<0，解得1因此原不等式的解集为{x|1探究2 三个“二次”的关系
[典例讲评] 2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2＝6．由a<0知c<0，，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋>0，即x2－>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[母题探究] 本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知＝6且a<0．
∴c<0，，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－<0，即x2＋<0，
解得－反思领悟 从不等式ax2＋bx＋c>0的解集中可以获取以下信息：
(1)二次项系数的符号．
(2)参数a，b，c之间的关系．
√
[学以致用] 2．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则下列说法正确的是( )
A．a>0
B．a＋bC．bx＋c>0的解集是{x|x>－4}
D．cx2－bx＋a<0的解集是
√
AD [因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，
所以ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和4，且a>0，
所以－2＋4＝－，得b＝－2a，c＝－8a，所以A正确；
对于B，因为a＋b－c＝a＋(－2a)－(－8a)＝7a>0，所以a＋b>c，所以B错误；
对于C，因为b＝－2a，c＝－8a，所以bx＋c>0可化为－2ax－8a>0，因为a>0，所以x＋4<0，解得x<－4，所以bx＋c>0的解集为{x|x<－4}，所以C错误；
对于D，因为b＝－2a，c＝－8a，所以cx2－bx＋a<0可化为－8ax2＋2ax＋a<0，因为a>0，所以8x2－2x－1>0，(2x－1)(4x＋1)>0，解得x<－或x>，所以原不等式的解集为，所以D正确．故选AD．]
【教用·备选题】 已知不等式x2－(a＋2)x＋b≤0的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式：(x－c)(ax－b)>0(c为常数，且c≠2)．
[解] (1)因为不等式x2－(a＋2)x＋b≤0的解集为，
所以
所以a＝1，b＝2．
(2)将a＝1，b＝2代入关于x的不等式：(x－c)·(ax－b)>0，即为(x－c)
(x－2)>0，
∵c为常数，且c≠2，
∴当c>2时，解集为{x|x>c或x<2}；
当c<2时，
解集为{x|x>2或x探究3 一元二次不等式的实际应用
[典例讲评] 【链接教材P53例4、例5】
3．(源自北师大版教材)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500．
(1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系；
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
[解] (1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝(x－10)·(－10x＋500)(10≤x≤50)．
(2)由每月获得的利润不小于3 000元，得
(x－10)(－10x＋500)≥3 000．
化简，得x2－60x＋800≤0．
解得20≤x≤40．
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000．
由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600．
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}元．
【教材原题·P53例4、例5】
例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：
y＝－20x2＋2 200x．
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
[解] 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得
－20x2＋2 200x>60 000．
移项整理，得
x2－110x＋3 000<0．
对于方程x2－110x＋3 000＝0，Δ＝100>0，方程有两个实数根x1＝50，x2＝60．
画出二次函数y＝x2－110x＋3 000的图象(图2.3-6)，结合图象得不等式x2－110x＋3 000<0的解集为{x|50因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产
的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得60 000
元以上的收益．
例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：
s＝v2．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1 km/h)
[解] 根据题意，得v2>39.5．
移项整理，得v2＋9v－7 110>0．
对于方程v2＋9v－7 110＝0，Δ>0，方程有两个实数根
v1＝，v2＝．
画出二次函数s＝v2＋9v－7 110的图象(图2.3-7)，结合图象得不等式的解集为{v|vv2}，从而原不等式的解集为{v|vv2}．
因为车速v>0，所以v>v2．而79.9反思领悟 解不等式应用题的步骤
[学以致用] 【链接教材P55练习T3】
3．某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不低于400元，销售价格最高是多少？
[解] 设每件售价x(x≥15)元，
则解得15≤x≤20，
所以销售价格最高是20元．
【教材原题·P55练习T3】某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？
[解] 设这批削笔器的销售价格定为x(x≥15)元，由题意得[30－
(x－15)×2]·x＞400，
即x2－30x＋200＜0，
∵方程x2－30x＋200＝0的两个实数根为x1＝10，x2＝20，
∴x2－30x＋200＜0的解集为{x|10＜x＜20}，
又∵x≥15，∴15≤x＜20，
故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入．
应用迁移 随堂评估自测
1．若关于x的不等式x2＋ax＋b>0的解集是{x|x<－2，或x>3}，则a＋b＝( )
A．－7 B．－6
C．－5 D．1
√
A [依题意，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的根为x＝－2或x＝3，
所以解得所以a＋b＝－7．故选A．]
√
2．不等式<0的解集为( )
A．{x|x>1} B．{x|x<－2}
C．{x|－21}
C [原不等式可化为(x－1)(x＋2)<0，
故原不等式的解集为{x|－2√
3．(教材P55练习T2改编)小区计划建设一块长为10 m、宽为6 m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪(如图所示)．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为( )
A．1 m B．2 m
C．3 m D．4 m
B [设花卉带的宽度为x m，则，所以(5－x)(3－x)
≤5，即(x－4)2≤6，
可得4－≤x≤4＋，又 x＜3，故4－≤x＜3，而1＜4－＜2，则x可能取值为2．故选B．]
4．若关于x的不等式x<－1，或x>4}，则实数a＝________．
4 [由题意知，不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}，
则(x－a)(x＋1)>0 (x＋1)(x－4)>0，故a＝4．]
4
1．知识链：
2．方法链：等价转化法、数形结合法．
3．警示牌：(1)解分式不等式要等价变形．
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．分式不等式如何求解？
[提示] 对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解．
2．解一元二次不等式应用题的关键是什么？
[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(十五) 一元二次不等式的应用
√
一、选择题
1．不等式≤0的解集为( )
A．{x|－5≤x≤1}
B．{x|－5≤x<1}
C．{x|x≤－5，或x≥1}
D．{x|x≤－5，或x>1}
D [由不等式≤0可转化为(x＋5)(x－1)≥0且1－x≠0，解得x≤－5或x>1，所以不等式的解集为{x|x≤－5，或x>1}．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．不等式≥1的解集是( )
A．
B．
C．
D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
A [因为≥1，所以≥0，所以≥0，所以
解得－＜x≤0，所以原不等式的解集为．
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C [由题设可知，产量为x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤
－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．若p：≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B [≥0，即
∴2q：x2－7x＋10<0，即2∵p q且q p，
∴p是q的必要不充分条件．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
5．(多选)不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，则下列结论正确的是( )
A．a＞0
B．b＜0
C．a－b＋c＞0
D．不等式
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
BCD [因为不等式ax2－bx＋c＞0的解集为，
所以得因此选项A不正确，选项B正确；
a－b＋c＝a－－a＞0，因此选项C正确；
cx2＋bx＋a＜0 －ax2＋ax＋a＜0 x2－x－1＜0 －＜x＜2，选项D正确．
故选BCD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－73 [因为不等式ax2＋8ax＋21<0的解集为{x|－73
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
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7．已知关于x的不等式－1＜－2＜x＜0}，则实数a的值为________．
3 [不等式－1＜＜1可化为＜1，
可得|ax＋2|＜|x－2|，平方可得(ax＋2)2＜(x－2)2，
即(a2－1)x2＋(4a＋4)x＜0，
由不等式解集是{x|－2＜x＜0}可知－2和0是方程(a2－1)x2＋(4a＋4)x＝0的两根，故a2－1＞0，且－2＋0＝，解得a＝3．]
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题号
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8．已知不等式ax2＋bx－3<0的解集为{x|－10的解集为________．
{x|x<1} [由题意可得－1，3是方程ax2＋bx－3＝0的两根，且a>0，则由根与系数的关系可得解得
所以不等式bx＋1＋a>0化为－2x＋2>0，解得x<1，
故所求不等式的解集为{x|x<1}．]
{x|x<1}
题号
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三、解答题
9．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为．
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0．
题号
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[解] (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1．
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以所求不等式的解集为．
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10．某市有块三角形荒地，如图△ABC所示，∠A＝90°，AB＝AC＝200米，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF，其中D，E，F点分别在线段AB，BC，CA上，若要求绿地的面积不少于7 500平方米，则AD的长度(单位：米)范围是( )
A．{x|40≤x≤160} B．{x|50≤x≤150}
C．{x|55≤x≤145} D．{x|60≤x≤140}
√
B [△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，△ABC为等腰直角三角形，设AD＝x米，则EF＝FC＝AD＝x米，FA＝(200－x)米，依题意有x(200－x)≥7 500，解得50≤x≤150．即AD的长度(单位：米)范围是{x|50≤x≤150}．故选B．]
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11．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式h＝v0t－gt2，其中g≈10 m/s2，v0为初速度．某同学以v0＝11 m/s的速度竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留时间为( )
A．1.8 s B．2.8 s
C．3.8 s D．4.8 s
√
题号
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A [由题意得：h＝11t－5t2，令h＝11t－5t2＞2，即5t2－11t＋2＜0，解得0.2＜t＜2，所以排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留时间为2－0.2＝1.8 s．故选A．]
√
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√
12．(多选)有纯农药药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的20%，则桶的容积可能为( )
A．7 B．9 C．11 D．13
BC [设桶的容积为x，根据题意可得关于x的一元二次不等式：x－8－≤20%·x，且x>8，化简可得x2－15x＋40≤0，∴8题号
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13．甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的取值范围是___________．
{x|3≤x≤10} [根据题意，2×100×≥3 000，即5x2－14x－3≥0，解得x≥3或x≤－．∵1≤x≤10，∴3≤x≤10，即x的取值范围是{x|3≤x≤10}．]
{x|3≤x≤10}
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14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．问这次事故的主要责任方是谁？
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[解] 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10．
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40．
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h．
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
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15．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C＝(x＞0)，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值．
[解] (1)由题意得y＝0.2x＋(x＞0)，
令y≤7.2，即0.2x＋≤7.2，
整理得x2－31x＋220≤0，
即(x－11)(x－20)≤0，解得11≤x≤20，
所以设备占地面积x的取值范围为{x|11≤x≤20}．
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(2)x＞0，由基本不等式得
y＝0.2x＋－1≥2－1＝2－1＝7，
当且仅当，即x＝15时等号成立，
所以设备占地面积为15平方米时，y的值最小，最小值为7万元．
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谢 谢！课时分层作业(十五) 一元二次不等式的应用
一、选择题
1．不等式≤0的解集为( )
A．{x|－5≤x≤1}
B．{x|－5≤x<1}
C．{x|x≤－5，或x≥1}
D．{x|x≤－5，或x>1}
2．不等式≥1的解集是( )
A． B．
C． D．
3．产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
4．若p：≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，则下列结论正确的是( )
A．a＞0
B．b＜0
C．a－b＋c＞0
D．不等式
二、填空题
6．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－77．已知关于x的不等式－1＜－2＜x＜0}，则实数a的值为________．
8．已知不等式ax2＋bx－3<0的解集为{x|－10的解集为________．
三、解答题
9．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为．
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0．
10．某市有块三角形荒地，如图△ABC所示，∠A＝90°，AB＝AC＝200米，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF，其中D，E，F点分别在线段AB，BC，CA上，若要求绿地的面积不少于7 500平方米，则AD的长度(单位：米)范围是( )
A．{x|40≤x≤160} B．{x|50≤x≤150}
C．{x|55≤x≤145} D．{x|60≤x≤140}
11．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式h＝v0t－gt2，其中g≈10 m/s2，v0为初速度．某同学以v0＝11 m/s的速度竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留时间为( )
A．1.8 s B．2.8 s
C．3.8 s D．4.8 s
12．(多选)有纯农药药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的20%，则桶的容积可能为( )
A．7 B．9
C．11 D．13
13．甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的取值范围是________．
14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．问这次事故的主要责任方是谁？
15．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C＝(x＞0)，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值．
课时分层作业(十五)
1．D [由不等式≤0可转化为(x＋5)(x－1)≥0且1－x≠0，解得x≤－5或x>1，所以不等式的解集为{x|x≤－5，或x>1}．故选D．]
2．A [因为≥1，所以≥0，所以≥0，所以
解得－故选A．]
3．C [由题设可知，产量为x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C．]
4．B [p：≥0，即∴2q：x2－7x＋10<0，即2∴p是q的必要不充分条件．]
5．BCD [因为不等式ax2－bx＋c>0的解集为，
所以因此选项A不正确，选项B正确；
a－b＋c＝a－－a>0，因此选项C正确；
cx2＋bx＋a<0 －ax2＋6．3 [因为不等式ax2＋8ax＋21<0的解集为{x|－77．3 [不等式－1<<1，
可得|ax＋2|<|x－2|，平方可得(ax＋2)2<(x－2)2，
即(a2－1)x2＋(4a＋4)x<0，
由不等式解集是{x|－2故a2－1>0，且－2＋0＝，解得a＝3．]
8．{x|x<1} [由题意可得－1，3是方程ax2＋bx－3＝0的两根，且a>0，则由根与系数的关系可得
解得所以不等式bx＋1＋a>0化为－2x＋2>0，解得x<1，
故所求不等式的解集为{x|x<1}．]
9．解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1．
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以所求不等式的解集为．
10．B [△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，△ABC为等腰直角三角形，设AD＝x米，则EF＝FC＝AD＝x米，FA＝(200－x)米，依题意有x(200－x)≥7 500，解得50≤x≤150．即AD的长度(单位：米)范围是{x|50≤x≤150}．故选B．]
11．A [由题意得：h＝11t－5t2，令h＝11t－5t2>2，即5t2－11t＋2<0，解得0.212．BC [设桶的容积为x，根据题意可得关于x的一元二次不等式：x－8－≤20%·x，且x>8，
化简可得x2－15x＋40≤0，∴813．{x|3≤x≤10} [根据题意，2×100×≥3 000，即5x2－14x－3≥0，解得x≥3或x≤－．∵1≤x≤10，∴3≤x≤10，即x的取值范围是{x|3≤x≤10}．]
14．解：由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10．
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40．
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h．
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
15．解：(1)由题意得y＝0.2x＋(x>0)，
令y≤7.2，即0.2x＋≤7.2，
整理得x2－31x＋220≤0，
即(x－11)(x－20)≤0，解得11≤x≤20，
所以设备占地面积x的取值范围为{x|11≤x≤20}．
(2)x>0，由基本不等式得
y＝0.2x＋－1＝7，
当且仅当，即x＝15时等号成立，
所以设备占地面积为15平方米时，y的值最小，最小值为7万元．
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