微专题1 基本不等式的应用技巧
在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明．
探究1 常数代换法求最值问题
[典例讲评] 1．已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [母题探究]
1．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋2y＝2”，求的最小值．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
2．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋y＝1”，求的最小值．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
[学以致用] 1．已知x>0，y>0，x＋2y＝2xy，求3x＋y的最小值．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 消元法求最值
[典例讲评] 2．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．
[学以致用] 2．设x>0，xy＋y＝4，则z＝3x＋y＋2的最小值为( )
A．4－1 B．4＋2
C．4＋1 D．6
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 有和、有积、有常数求最值
[典例讲评] 3．已知实数a＞0，b＞0，且a＋b＋15＝ab．
(1)求a＋b的最小值；
(1)求ab的最小值．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
对已知条件式中同时含有和、积与常数，求和或积的最值(或范围)问题，一般先利用基本不等式进行和与积的转化，把条件等式替换为关于和或积的二次不等式，解此不等式即可．
[学以致用] 3．(1)设a，b∈R．若ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围；
(2)设a>0，b>0，若ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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微专题1 基本不等式的应用技巧
[探究建构] 探究1
典例讲评 1．解：由题意知，(x＋2y)9，
当且仅当，即x＝y时取等号．
所以的最小值为9．
母题探究 1．解：(x＋2y)＋，
当且仅当，即y＝2－，x＝2－2时取等号．
所以的最小值为＋．
2．解：由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，
即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，
∴[(x＋2)＋(y＋1)]＝×(5＋4)＝，
当且仅当，
即x＝时等号成立．
∴的最小值为．
学以致用 1．解：由x＋2y＝2xy，得＝2，
3x＋y＝(3x＋y)
≥＋，
当且仅当，即x＝1＋时取等号．
所以3x＋y的最小值为＋．
探究2
典例讲评 2．解：由2a＋b＝ab－1，得a，
因为a>0，b>0，所以a>0，又b＋1>0，
所以b>2，
所以a＋2b＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋，
当且仅当2(b－2)，即b＝2＋时等号成立．
所以a＋2b的最小值为5＋2．
学以致用 2．A [由题意x>0，xy＋y＝4，可得y>0，
所以z＝3x＋＋2＝3(x＋1)＋－1，
当且仅当3(x＋1)，即x－1时等号成立．故选A．]
探究3
典例讲评 3．解：(1)由a＋b＋15＝ab(a＋b)2，当且仅当a＝b＝5时等号成立，
记t＝a＋b，t>0，则t＋15t2，
整理得(t－10)(t＋6)0，解得t10或t－6(舍去)，
即a＋b10．所以a＋b的最小值为10．
(2)由a＋b＋15＝ab，得ab2＋15，即
(＋3)(－5)0，
又a>0，b>0，所以5，即ab25．
所以ab的最小值为25．
学以致用 3．解：(1)因为a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2＋2ab≥4ab，即≥ab，即≥ab，当且仅当a＝b时取等号，所以ab＝a＋b＋3≤，
即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
即(a＋b＋2)(a＋b－6)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，
即a＋b的取值范围为{a＋b|a＋b≥6，或a＋b≤－2}．
(2)因为a>0，b>0，则ab>0，
所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab≥2＋3，
则ab－2－3≥0，即(＋1)(－3)≥0，解得≥3，即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
所以ab的取值范围为{ab|ab≥9}．
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
微专题1 基本不等式的应用技巧
第二章
一元二次函数、方程和不等式
在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明．
探究1 常数代换法求最值问题
[典例讲评] 1．已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值．
[解] 由题意知，＝(x＋2y)＋4≥5＋2＝9，
当且仅当，即x＝y＝时取等号．
所以的最小值为9．
[母题探究]
1．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋2y＝2”，求的最小值．
[解] (x＋2y)＋，当且仅当，即y＝2－，x＝2－2时取等号．
所以的最小值为＋．
2．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋y＝1”，求的最小值．
[解] 由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，
∴[(x＋2)＋(y＋1)]＝×(5＋4)＝，
当且仅当，即x＝时等号成立．
∴的最小值为．
反思领悟 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
[学以致用] 1．已知x>0，y>0，x＋2y＝2xy，求3x＋y的最小值．
[解] 由x＋2y＝2xy，得＝2，
3x＋y＝(3x＋y)≥＋，
当且仅当，即x＝1＋时取等号．
所以3x＋y的最小值为＋．
探究2 消元法求最值
[典例讲评] 2．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值．
[解] 由2a＋b＝ab－1，得a＝，
因为a>0，b>0，所以a＝>0，又b＋1>0，
所以b>2，
所以a＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，
当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立．
所以a＋2b的最小值为5＋2．
反思领悟 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．
[学以致用] 2．设x>0，xy＋y＝4，则z＝3x＋y＋2的最小值为( )
A．4－1 B．4＋2
C．4＋1 D．6
√
A [由题意x>0，xy＋y＝4，可得y＝>0，
所以z＝3x＋＋2＝3(x＋1)＋－1≥1＝4－1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立．故选A．]
【教用·备选题】已知a＞0，b＞0，且＝1，则的最小值为( )
A．2 B．
C． D．1＋
√
A [因为a＞0，b＞0，且＝1，
所以，
所以a＝＞0，所以b＞2．
所以a－1＝＞0，
所以＞0，
所以
＝(b－2)＋≥2＝2，
当且仅当b－2＝，
即b＝3时取等号，
所以的最小值为2．
故选A．]
探究3 有和、有积、有常数求最值
[典例讲评] 3．已知实数a＞0，b＞0，且a＋b＋15＝ab．
(1)求a＋b的最小值；
(1)求ab的最小值．
[解] (1)由a＋b＋15＝ab≤(a＋b)2，当且仅当a＝b＝5时等号成立，
记t＝a＋b，t＞0，则t＋15≤t2，
整理得(t－10)(t＋6)≥0，解得t≥10或t≤－6(舍去)，
即a＋b≥10．所以a＋b的最小值为10．
(2)由a＋b＋15＝ab，得ab≥2＋15，即
(＋3)(－5)≥0，
又a＞0，b＞0，所以≥5，即ab≥25．
所以ab的最小值为25．
反思领悟 对已知条件式中同时含有和、积与常数，求和或积的最值(或范围)问题，一般先利用基本不等式进行和与积的转化，把条件等式替换为关于和或积的二次不等式，解此不等式即可．
[学以致用] 3．(1)设a，b∈R．若ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围；
(2)设a>0，b>0，若ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
[解] (1)因为a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2＋2ab≥4ab，即≥ab，即≥ab，当且仅当a＝b时取等号，所以ab＝a＋b＋3≤，
即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
即(a＋b＋2)(a＋b－6)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，
即a＋b的取值范围为{a＋b|a＋b≥6，或a＋b≤－2}．
(2)因为a>0，b>0，则ab>0，
所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab≥2＋3，
则ab－2－3≥0，即(＋1)(－3)≥0，解得≥3，即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
所以ab的取值范围为{ab|ab≥9}．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
微专题强化练(一) 基本不等式的应用技巧
√
一、选择题
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则的最小值为( )
A．9 B．C．4 D．
D [(x＋y)＝，当且仅当，即x＝时等号成立，故的最小值为．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
【教用·备选题】 若x>0，y>0且xy＝x＋4y＋5，则xy的最小值为( )
A．1 B．5
C．25 D．12
C [因为x，y>0，所以xy＝x＋4y＋5≥5＝4＋5，
当且仅当x＝4y时取等号，解不等式xy≥5 ≥5，xy≥25，当x＝10，y＝时，取等号．故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
2．已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋1的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
√
B [因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋2≥＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
3．若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
√
C [∵x>0，y>0，xy＝3－3x>0，∴0∴12x＋y＝12x＋－3≥2－3＝9，
当且仅当即x＝时取等号，
∴12x＋y的最小值为9．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
4．已知实数x满足0＜x＜，则的最小值为( )
A．9 B．18 C．27 D．36
√
C [因为0＜x＜，所以[3x＋(1－3x)]＝＋15≥2＋15＝27，当且仅当，即x＝时取等号．
故的最小值为27．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
5．(多选)已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则( )
A．ab的最大值为8
B．2a＋b的最小值为8
C．的最小值为
D．b＋的最小值为
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
ABD [因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，结合>0，解不等式得0<≤2，即ab≤8，故ab的最大值为8，A正确；
由16＝ab＋2a＋b，得b＝－2，
所以2a＋b＝2a＋－2＝2(a＋1)＋－4≥－4＝8，
当且仅当2(a＋1)＝，即a＝2时取等号，此时取得最小值8，B正确；
≥2＝2＝，
当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝3－1，b＝3－2时取等号，此时取得最小值，C错误；
b＋
≥2－，
当且仅当，即a＝时取等号，此时b＋取得最小值，D正确．故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
二、填空题
6．已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为_________．
4－1 [因为x>0，y>0，由xy＋2x－y＝10，得x＝，
所以x＋y＝＋y＋2－1≥－1＝4－1，
当且仅当y＝2－2时，等号成立．
故x＋y的最小值为4－1．]
4－1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
7．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为_____．
1 [因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2，
所以
＝
＝＝1，
当且仅当，即y＝2x时等号成立，所以的最大值为1．]
1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
8．已知a>0，b>0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________．
2 [因为ab＝a－b＋3，所以b＝，
则a＋b＝a＋1＋≥2，当且仅当a＝－1，b＝＋1时，等号成立．]
2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
三、解答题
9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
[解] (1)由x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，得＝1，
则1＝≥2＝，得xy≥64，
当且仅当，
即x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
(2)由(1)可得＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋≥10＋2＝18，
当且仅当，
即x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18．
谢 谢！微专题强化练(一) 基本不等式的应用技巧
一、选择题
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则的最小值为( )
A．9 B．
C．4 D．
2．已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋1的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
4．已知实数x满足0＜x＜，则的最小值为( )
A．9 B．18
C．27 D．36
5．(多选)已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则( )
A．ab的最大值为8
B．2a＋b的最小值为8
C．的最小值为
D．b＋的最小值为
二、填空题
6．已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为________．
7．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为________．
8．已知a>0，b>0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________．
三、解答题
9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
微专题强化练(一)
1．D [(x＋y)＝，当且仅当，即x＝，y＝时等号成立，故．故选D．]
2．B [因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B．]
3．C [∵x>0，y>0，xy＝3－3x>0，∴0∴12x＋y＝12x＋－3＝9，
当且仅当时取等号，
∴12x＋y的最小值为9．故选C．]
4．C [因为0故的最小值为27．故选C．]
5．ABD [因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，结合>0，解不等式得0<，即ab≤8，故ab的最大值为8，A正确；
由16＝ab＋2a＋b，得b＝－2，
所以2a＋b＝2a＋－2＝2(a＋1)＋－4＝8，
当且仅当2(a＋1)＝，即a＝2时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，
当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝3－1，b＝3－2时取等号，此时，C错误；
b＋，
当且仅当，即a＝时取等号，此时b＋，D正确．故选ABD．]
6．4－1 [因为x>0，y>0，
由xy＋2x－y＝10，得x＝，
所以x＋y＝－1，
当且仅当y＝2－2时，等号成立．
故x＋y的最小值为4－1．]
7．1 [因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2，
所以＝1，
当且仅当，即y＝2x时等号成立，所以的最大值为1．]
8．2 [因为ab＝a－b＋3，所以b＝，
则a＋b＝a＋1＋，当且仅当a＝－1，b＝＋1时，等号成立．]
9．解：(1)由x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，得＝1，
则1＝，得xy≥64，
当且仅当，即x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64．
(2)由(1)可得＝1，
则x＋y＝(·(x＋y)
＝10＋＝18，
当且仅当，
即x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18．
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