微专题2 不等式恒成立、能成立问题
不等式在某个范围内恒成立、能成立问题，涉及的知识面广，综合性强，解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、更换主元法等．
探究1 在R上的恒成立问题
[典例讲评] 1．(1)已知关于x的不等式4x2＋ax＋1<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．{a|－4≤a≤4}
B．{a|－4
C．{a|a≤－4，或a≥4}
D．{a|a<－4，或a>4}
(2)若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________
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不等式恒成立的情况
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意x∈R恒成立的条件是
提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意x∈R恒成立时满足的条件为或
[学以致用] 【链接教材P58复习参考题2T6】
1．(1)若命题“ x∈R，ax2－ax＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a≤8}
C．{a|0≤a＜8} D．{a|0≤a＜4}
(2)若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0对任意实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．
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探究2 在给定范围上的恒成立问题
[典例讲评] 2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
(2) x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
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在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0．
(2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．
[学以致用] 2．已知命题p：存在x∈R，使x2－ax＋1≤0成立．
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)命题q： x∈{x|0≤x≤2}，都有x2－2x－a≤0恒成立．如果命题p，q都是假命题，求实数a的取值范围．
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探究3 解决简单的能成立问题
[典例讲评] 3．(1)若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为( )
A．{m|m≤0} B．{m|m>0}
C．{m|m≥－2} D．{m|m<－2}
(2)若x>0，不等式>m2－m有解，则实数m的取值范围是________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决．
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m[学以致用] 3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a>4，或a<－4} B．{a|－4C．{a|a≥4，或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4}
(2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a≤4}
B．{a|－1C．{a|a≥4，或a≤－1}
D．{a|－4≤a≤1}
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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微专题2 不等式恒成立、能成立问题
探究1
典例讲评 1．(1)A [由题意得，Δ＝a2－160，解得－4a4．]
(2)解：当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1．
①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．
②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知
得
即－综上所述，实数m的取值范围是．
学以致用 1．(1)C (2){k|－30为真命题．
当a＝0时，2>0恒成立；
当a≠0时，满足解得0综上，实数a的取值范围是{a|0a<8}．故选C．
(2)①当k－1＝0，即k＝1时，－1<0恒成立，符合题意．
②当k－1≠0时，由题意可知
解得－3综上可知－3探究2
典例讲评 2．(1){m|m<2} [ x>0，x2－mx＋1>0 m0时，x＋2，当且仅当x，即x＝1时取等号，则m<2，所以实数m的取值范围是{m|m<2}．]
(2)解：由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
由二次函数的性质可知当2x3时，x2－x∈[2，6]，由于x2－x>0，故m<恒成立，
由于，
故m的取值范围是．
学以致用 2．解：(1)若命题p为真命题，即存在x∈R，使x2－ax＋10成立，则Δ＝a2－40，解得a－2或a2，
故实数a的取值范围为{a|a－2，或a2}．
(2)由对任意实数x∈{x|0x2}，都有x2－2x－a0恒成立，
即x2－2xa在x∈{x|0x2}上恒成立，
可得a(x2－2x)max，所以a0，
如果命题p，q都是假命题，
结合(1)可得
解得实数a的取值范围为{a|－2探究3
典例讲评 3．(1)C (2){m|－10，
∴4x＋m2(x2－2x＋3)能成立，
∴m2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2－2，
∴m－2，
∴m的取值范围为{m|m－2}．
(2)∵x>0，∴＝2，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，∴∴m2－m<2，即(m＋1)(m－2)<0，得－1学以致用 3．(1)A (2)A [(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4．
(2)因为关于x的不等式－x2＋4xa2－3a在R上有解，
即x2－4x＋a2－3a0在R上有解，
只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，
所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)0，
即a2－3a－40，所以(a－4)(a＋1)0，
解得－1a4，
所以实数a的取值范围是{a|－1a4}．故选A．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
微专题2 不等式恒成立、能成立问题
第二章
一元二次函数、方程和不等式
不等式在某个范围内恒成立、能成立问题，涉及的知识面广，综合性强，解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、更换主元法等．
探究1 在R上的恒成立问题
[典例讲评] 1．(1)已知关于x的不等式4x2＋ax＋1<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．{a|－4≤a≤4}
B．{a|－4C．{a|a≤－4，或a≥4}
D．{a|a<－4，或a>4}
(2)若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
√
(1)A [由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4．]
(2)[解] 当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1．
①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．
②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知
得
即－综上所述，实数m的取值范围是．
反思领悟 不等式恒成立的情况
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意x∈R恒成立的条件是
提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意x∈R恒成立时满足的条件为或
[学以致用] 【链接教材P58复习参考题2T6】
1．(1)若命题“ x∈R，ax2－ax＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a≤8}
C．{a|0≤a＜8} D．{a|0≤a＜4}
(2)若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0对任意实数x恒成立，则实数k的取值范围是_____________．
√
{k|－3＜k≤1}
(1)C (2){k|－3＜k≤1} [(1)命题“ x∈R，ax2－ax＋2≤0”为假命题，则 x∈R，ax2－ax＋2＞0为真命题．
当a＝0时，2＞0恒成立；
当a≠0时，满足解得0＜a＜8．
综上，实数a的取值范围是{a|0≤a＜8}．故选C．
(2)①当k－1＝0，即k＝1时，－1<0恒成立，符合题意．
②当k－1≠0时，由题意可知
解得－3综上可知－3【教材原题·P58复习参考题2T6】当k取什么值时，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？
[解] 由题意知，不等式为一元二次不等式，故k≠0，当k＜0时，要使一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，
则二次函数y＝2kx2＋kx－的图象在x轴下方，
即Δ＝k2－4×2k×＜0，得－3＜k＜0．
当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－的图象开口向上，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0不可能对一切实数x都成立．
综上可知，k的取值范围为{k|－3＜k＜0}．
探究2 在给定范围上的恒成立问题
[典例讲评] 2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
(2) x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
{m|m<2}
(1){m|m<2} [ x>0，x2－mx＋1>0 m0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，则m<2，所以实数m的取值范围是{m|m<2}．]
(2)[解] 由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
由二次函数的性质可知当2≤x≤3时，x2－x∈[2，6]，由于x2－x＞0，故m＜恒成立，
由于∈，故m的取值范围是．
反思领悟 在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0．
(2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．
[学以致用] 2．已知命题p：存在x∈R，使x2－ax＋1≤0成立．
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)命题q： x∈{x|0≤x≤2}，都有x2－2x－a≤0恒成立．如果命题p，q都是假命题，求实数a的取值范围．
[解] (1)若命题p为真命题，即存在x∈R，使x2－ax＋1≤0成立，则Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2，
故实数a的取值范围为{a|a≤－2，或a≥2}．
(2)由对任意实数x∈{x|0≤x≤2}，都有x2－2x－a≤0恒成立，
即x2－2x≤a在x∈{x|0≤x≤2}上恒成立，
可得a≥(x2－2x)max，所以a≥0，
如果命题p，q都是假命题，
结合(1)可得
解得实数a的取值范围为{a|－2探究3 解决简单的能成立问题
[典例讲评] 3．(1)若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为( )
A．{m|m≤0} B．{m|m>0}
C．{m|m≥－2} D．{m|m<－2}
(2)若x>0，不等式>m2－m有解，则实数m的取值范围是______________．
√
{m|－1(1)C (2){m|－10，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m|m≥－2}．
(2)∵x>0，∴＝2，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，∴＝2，∴m2－m<2，即(m＋1)(m－2)<0，得－1反思领悟 解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决．
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m[学以致用] 3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a>4，或a<－4} B．{a|－4C．{a|a≥4，或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4}
(2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a≤4}
B．{a|－1C．{a|a≥4，或a≤－1}
D．{a|－4≤a≤1}
√
√
(1)A (2)A [(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4．
(2)因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，
即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，
只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，
所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，
即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，
解得－1≤a≤4，
所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．故选A．]
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
微专题强化练(二) 不等式恒成立、能成立问题
√
一、选择题
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A． B．
C． D．
D [一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无
交点，故需要]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
2．若当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥1} B．{a|a>1}
C．{a|a≤1} D．{a|a<1}
√
D [x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x>a在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
3．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．{k|0≤k≤1}
B．{k|0C．{k|k<0，或k>1}
D．{k|k≤0，或k>1}
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
A [当k＝0时，不等式为8≥0恒成立，符合题意；当k>0时，若不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则Δ＝36k2－4k(k＋8)≤0，解得0当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能对任意x∈R恒成立．综上，k的取值范围是{k|0≤k≤1}．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
4．若关于x的不等式x2－(m＋1)x＋9≤0在集合{x|1≤x≤4}上有解，则实数m的最小值为( )
A．9 B．5
C．6 D．
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
B [因为不等式x2－(m＋1)x＋9≤0在集合{x|1≤x≤4}上有解，所以m＋1≥x＋上有解，
所以m＋1≥(1≤x≤4)，
又因为x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取等号，
所以m＋1≥6，所以m≥5，即实数m的最小值为5．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
5．(多选)不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则( )
A．b2－4c＋4≤0
B．b≤0
C．c≥1
D．b＋c≥0
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
ACD [x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋(b－2)x＋c－b≥0，根据二次函数的性质有：
Δ＝(b－2)2－4(c－b)＝b2－4c＋4≤0，故A正确；
当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，B错误；
由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，C正确；
b＋c≥≥0，D正确．故选ACD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
二、填空题
6．下列不等式在R上恒成立的是________．
①x2＋a2>0；②x2－ax＋a2≥0 ；
③－x2＋2x－2<0；④－x2－x－≤0 ．
②③④
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
②③④ [当a＝0时，x2＋a2>0在R上不恒成立；因为x2－ax＋a2＝a2，所以x2－ax＋a2≥0在R上恒成立；由－x2＋2x－2<0，得x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以－x2＋2x－2<0在R上恒成立；由－x2－x－≤0，得－≤0，所以－x2－x－≤0在R上恒成立．故填②③④．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
7．已知命题“ x∈R，x2＋x＋a<0”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
[因为命题“ x∈R，x2＋x＋a<0”是真命题，所以Δ＝1－4a>0，解得a<．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
8．设二次函数y＝kx2－kx＋．
(1)若方程y＝0有实根，则实数k的取值范围是__________；
(2)若不等式y>0的解集为 ，则实数k的取值范围是____；
(3)若不等式y>0的解集为R，则实数k的取值范围是_______．
k<0或k≥3
0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
(1)k<0或k≥3 (2) (3)0对于(2)，因为不等式y>0的解集为 ，故解得k∈ ．
对于(3)，不等式y>0的解集为R，
故故0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
三、解答题
9．已知关于x的不等式x2＋mx>4x＋m－4．
(1)若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于0≤m≤4，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
[解] (1)若对任意实数x，不等式恒成立，即x2＋mx－4x－m＋4>0恒成立，则关于x的方程x2＋mx－4x－m＋4＝0的判别式Δ＝(m－4)2
－4(－m＋4)<0，
即m2－4m<0，解得0(2)不等式x2＋mx>4x＋m－4可看成关于m的一次不等式m(x－1)＋x2－4x＋4>0，又0≤m≤4，所以解得x≠2且x≠0，所以实数x的取值范围是{x|x≠2且x≠0}．
谢 谢！微专题强化练(二) 不等式恒成立、能成立问题
一、选择题
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A． B．
C． D．
2．若当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥1} B．{a|a>1}
C．{a|a≤1} D．{a|a<1}
3．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．{k|0≤k≤1}
B．{k|0C．{k|k<0，或k>1}
D．{k|k≤0，或k>1}
4．若关于x的不等式x2－(m＋1)x＋9≤0在集合{x|1≤x≤4}上有解，则实数m的最小值为( )
A．9 B．5
C．6 D．
5．(多选)不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则( )
A．b2－4c＋4≤0 B．b≤0
C．c≥1 D．b＋c≥0
二、填空题
6．下列不等式在R上恒成立的是________．
①x2＋a2>0；②x2－ax＋a2≥0 ；
③－x2＋2x－2<0；④－x2－x－≤0 ．
7．已知命题“ x∈R，x2＋x＋a<0”是真命题，则实数a的取值范围为________．
8．设二次函数y＝kx2－kx＋．
(1)若方程y＝0有实根，则实数k的取值范围是________；
(2)若不等式y>0的解集为 ，则实数k的取值范围是________；
(3)若不等式y>0的解集为R，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
9．已知关于x的不等式x2＋mx>4x＋m－4．
(1)若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于0≤m≤4，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
微专题强化练(二)
1．D [一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要]
2．D [x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x> a在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1．]
3．A [当k＝0时，不等式为8≥0恒成立，符合题意；当k>0时，若不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
则Δ＝36k2－4k(k＋8)≤0，解得0当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能对任意x∈R恒成立．综上，k的取值范围是{k|0≤k≤1}．]
4．B [因为不等式x2－(m＋1)x＋9≤0在集合{x|1≤x≤4}上有解，所以m＋1≥x＋在集合{x|1≤x≤4}上有解，
所以m＋1≥(1≤x≤4)，
又因为x＋＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取等号，
所以m＋1≥6，所以m≥5，即实数m的最小值为5．故选B．]
5．ACD [x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋(b－2)x＋c－b≥0，根据二次函数的性质有：
Δ＝(b－2)2－4(c－b)＝b2－4c＋4≤0，故A正确；
当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，B错误；
由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，C正确；
b＋c≥≥0，D正确．故选ACD．]
6．②③④ [当a＝0时，x2＋a2>0在R上不恒成立；因为x2－ax＋a2＝(x－a2，所以x2－ax＋a2≥0在R上恒成立；由－x2＋2x－2<0，得x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以－x2＋2x－2<0在R上恒成立；由－x2－x－≤0，得－(x＋2≤0，所以－x2－x－≤0在R上恒成立．故填②③④．]
7． [因为命题“ x∈R，x2＋x＋a<0”是真命题，所以Δ＝1－4a>0，解得a<．]
8．(1)k<0或k≥3 (2) (3)0对于(2)，因为不等式y>0的解集为 ，故
解得k∈ ．
对于(3)，不等式y>0的解集为R，
故故09．解：(1)若对任意实数x，不等式恒成立，即x2＋mx－4x－m＋4>0恒成立，
则关于x的方程x2＋mx－4x－m＋4＝0的判别式Δ＝(m－4)2－4(－m＋4)<0，
即m2－4m<0，解得0(2)不等式x2＋mx>4x＋m－4可看成关于m的一次不等式m(x－1)＋x2－4x＋4>0，又0≤m≤4，所以解得x≠2且x≠0，
所以实数x的取值范围是{x|x≠2且x≠0}．
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