3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
[学习目标] 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象) 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(数学运算)
探究1 函数的概念
问题1 回忆一下初中阶段我们对函数是如何定义的．
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问题2 某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(单位：m)与所用时间t(单位：s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以表示为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2．
(1)时间t和物体下落的距离s的变化范围分别是什么？
(2)对下落中的任一时刻t，下落的距离是否唯一确定？
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[新知生成]
定义 一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的___________，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 _______的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合__________________
[典例讲评] 1．(1)下列从集合A到集合B的对应关系f 是函数的是( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f ：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f ：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f ：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f ：求A中平行四边形的面积
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A B C D
[尝试解答] _________________________________________________________
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判断一个对应关系是否为函数的方法
(1)根据函数的概念判断
(2)根据图形判断
①任取一条垂直于x轴的直线l．
②在定义域内平行移动直线l．
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[学以致用] 1．(1)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是( )
A．① B．②
C．③ D．④
(2)(教材P64练习T3改编)如图，f ：A→B表示从集合A到集合B的函数，若f (a)＝2，则a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
探究2 函数的三要素
[新知生成]
函数 对应关系 定义域 值域
一次函数 y＝kx＋b(k≠0) _ _
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) _ a>0
a<0
反比例函数 y＝(k≠0) ___________ ___________
[典例讲评] 2．求下列函数的值域：
(1)已知函数y＝f (x)的图象如图所示；
(2)f (x)＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(3)f (x)＝x2－4x＋6，x∈R．
[尝试解答] _________________________________________________________
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关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围．
(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围．
(3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y．
[学以致用] 【链接教材P64练习T2】
2．(1)下列函数中定义域与值域不相同的是( )
A．y＝－2x B．y＝2x＋1
C．y＝ D．y＝x2－2x＋
(2)函数y＝f (x)的图象如图所示，那么f (x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
探究3 构建问题情境
[典例讲评] 【链接教材P63例1】
3．已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝2x＋；
(3)f (x)＝．
[尝试解答] _________________________________________________________
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构建问题情境的步骤
(1)综合考虑构建具体的实际问题．
(2)赋予每个变量具体的实际意义．
(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题．
[学以致用] 【链接教材P64练习T4】
3．构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝π·来描述．
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1．(多选)下列图形中是函数图象的是( )
A B C D
2．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是( )
A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f ：x→|x|
B．M＝N，N＝N*，f ：x→|x－1|
C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f ：x→x2
D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f ：x→
3．(多选)(教材P74习题3.1T18改编)我们常拿背诵圆周率π(π＝3.141 592 65…)来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为f (n)，则下列说法正确的是( )
A．y＝f (n)，n∈N*是一个函数
B．当n＝6时，f (n)＝3.141 59
C．f (4)＝f (8)
D．f (n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
4．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为________．
1．知识链：
2．方法链：定义法、图象法．
3．警示牌：函数概念的理解．
函数定义的演变过程简介
在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．
“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．
欧拉于1734年首先使用字母f 表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．
1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．
1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系，称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．
后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．
可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱．
在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会事半功倍．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如下图所示．
你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件允许的话，去查阅更多的有关资料吧！
第1课时 函数的概念(一)
[探究建构] 探究1
问题1 提示：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数．
问题2 提示：(1)时间t的范围为{t|0t3}；物体下落的距离s的范围为{s|0s44.1}．
(2)是唯一确定的．
新知生成 实数集 任意一个数x 唯一确定 自变量x {f(x)|x∈A}
典例讲评 1．(1)A (2)B [(1)对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于D，集合A不是数集，故不符合函数的定义．故选A．
(2)由题意，M为定义域，值域为N的子集．
对于A，图象中定义域有误，不符合；
对于B，满足从集合M到集合N的函数关系，符合；
对于C，图象中值域不为集合N的子集，不符合；
对于D，由函数的定义可知，对于集合M中的任意一个数，通过对应关系，在集合N中都有唯一的数与之对应，图象存在一个x对应两个y值的情况，不符合．故选B．]
学以致用 1．(1)D (2)C [(1)对应关系若能构成从M到N的函数，须满足：对集合M中的任意一个数，通过对应关系在集合N中都有唯一的数与之对应．①中，当x＝4时，y＝42＝16 N，故①不能构成函数；②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故②不能构成函数；③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2 N，故③不能构成函数；④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故④能构成函数．故选D．
(2)观察题图，f(a)＝2，则a＝1或a＝2．故选C．]
探究2
新知生成 R R R {x|x≠0} {y|y≠0}
典例讲评 2．解：(1)观察图象知y的取值范围为{y|－2y3}，
所以函数y＝f(x)的值域为{y|－2y3}．
(2)x∈{1，2，3，4，5}，分别代入求值，可得函数的值域为{3，5，7，9，11}．
(3)f(x)＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈R，所以函数f(x)的值域为{y|y2}．
学以致用 2．(1)D (2){x|－3x0，或2x3} {y|1y5} {y|1y<2，或4(2)观察图象可知函数f(x)的定义域为{x|－3x0，或2x3}，值域为{y|1y5}，而只有唯一的x值与之对应的y值的范围为{1y<2，或4探究3
典例讲评 3．解：(1)设矩形的一边长为x，相邻边长为f(x)，
那么f(x)．
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的相邻边长．
(2)设矩形的一边长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋．
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的周长2x＋．
(3)设矩形的一边长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)．
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)2}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的对角线长．
学以致用 3．解：y＝π·＝x2，这是一个二次函数，其定义域为R，值域为{y|y≥0}．
对应关系f 是把R中的任意一个实数，对应到唯一确定的数x2．
如果限制变量x的取值范围，令x>0，那么可构建如下情境：
如果一个圆的周长为x，它的面积为y，
那么y＝π·．
其中x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．
对应关系f 是把每一个圆的周长x，对应到唯一确定的面积π．
[应用迁移]
1．BCD [A中至少存在一处如x＝0，一个x值对应两个y值，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义．]
2．C [对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．]
3．ACD [由题意可知，圆周率π小数点后第n位上的数字f(n)是唯一确定的，即任取一个正整数n都有唯一确定的f(n)与之对应，
因此y＝f(n)，n∈N*是一个函数，故A正确；
当n＝6时，f(n)＝2，故B错误；
当n＝4时，f(4)＝5，当n＝8时，f(8)＝5，
所以f(4)＝f(8)＝5，故C正确；
由题得f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确．故选ACD．]
4．{－2，0，4}
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
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第三章
函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
[学习目标] 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象) 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．函数的概念是什么？
问题2．函数的自变量、定义域是如何定义的？
问题3．函数的值域是如何定义的？
探究建构 关键能力达成
探究1 函数的概念
问题1 回忆一下初中阶段我们对函数是如何定义的．
提示：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数．
问题2 某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(单位：m)与所用时间t(单位：s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以表示为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2．
(1)时间t和物体下落的距离s的变化范围分别是什么？
(2)对下落中的任一时刻t，下落的距离是否唯一确定？
提示：(1)时间t的范围为{t|0≤t≤3}；物体下落的距离s的范围为{s|0≤s≤44.1}．
(2)是唯一确定的．
[新知生成]
定义 一般地，设A，B是非空的_______，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 _______的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合_____________
实数集
任意一个数x
唯一确定
自变量x
{ f (x)|x∈A}
【教用·微提醒】 理解函数的概念抓住以下4点：
(1)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的．
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．
(3)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，
f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．
(4)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以．
√
[典例讲评] 1．(1)下列从集合A到集合B的对应关系f 是函数的是( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f ：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f ：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f ：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f ：求A中平行四边形的面积
√
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A B C D
(1)A (2)B [(1)对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于D，集合A不是数集，故不符合函数的定义．故选A．
(2)由题意，M为定义域，值域为N的子集．
对于A，图象中定义域有误，不符合；
对于B，满足从集合M到集合N的函数关系，符合；
对于C，图象中值域不为集合N的子集，不符合；
对于D，由函数的定义可知，对于集合M中的任意一个数，通过对应关系，在集合N中都有唯一的数与之对应，图象存在一个x对应两个y值的情况，不符合．故选B．]
反思领悟 判断一个对应关系是否为函数的方法
(1)根据函数的概念判断
(2)根据图形判断
①任取一条垂直于x轴的直线l．
②在定义域内平行移动直线l．
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
√
[学以致用] 1．(1)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是( )
A．① B．②
C．③ D．④
√
(2)(教材P64练习T3改编)如图，f ：A→B表示从集合A到集合B的函数，若 f (a)＝2，则a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
(1)D (2)C [(1)对应关系若能构成从M到N的函数，须满足：对集合M中的任意一个数，通过对应关系在集合N中都有唯一的数与之对应．①中，当x＝4时，y＝42＝16 N，故①不能构成函数；②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故②不能构成函数；③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2 N，故③不能构成函数；④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故④能构成函数．故选D．
(2)观察题图，f (a)＝2，则a＝1或a＝2．故选C．]
√
【教用·备选题】已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
A B
C D
D [对于A，当0对于B，不满足定义域为A＝{x|0≤x≤4}，错误；
对于C，不满足值域B＝{y|0≤y≤2}，错误；
对于D，每个x都满足从集合A到集合B的函数关系，正确．故选D．]
探究2 函数的三要素
[新知生成]
函数 对应关系 定义域 值域
一次函数 y＝kx＋b(k≠0) __ __
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) __ a>0 ___________
a<0 ___________
反比例函数 y＝(k≠0) _________ _________
R
R
R
{x|x≠0}
{y|y≠0}
[典例讲评] 2．求下列函数的值域：
(1)已知函数 y＝f (x)的图象如图所示；
(2) f (x)＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(3) f (x)＝x2－4x＋6，x∈R．
[解] (1)观察图象知y的取值范围为{y|－2≤y≤3}，
所以函数y＝f (x)的值域为{y|－2≤y≤3}．
(2)x∈{1，2，3，4，5}，分别代入求值，可得函数的值域为{3，5，7，9，11}．
(3) f (x)＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈R，所以函数f (x)的值域为{y|y≥2}．
【教用·备选题】 (源自北师大版教材)写出下列函数的定义域、值域：
(1) f (x)＝3x＋5；
(2) f (x)的图象如图；
(3) f (x)与x的对应关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f (x) 1 8 27 64 125 216 343 512
[解] (1)由一次函数f (x)＝3x＋5的性质，可得函数f (x)的定义域为R，值域为R．
(2)由函数f (x)图象，可得函数f (x)的定义域为{x|a1≤x≤a2，或a3≤x
≤a4}，值域为{y|b4≤y≤b3}．
(3)根据函数f (x)对应的表格中的数据，可得f (x)的定义域为{1，2，3，4，5，6，7，8}，值域为{1，8，27，64，125，216，343，512}．
反思领悟 关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围．
(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{ f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围．
(3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y．
[学以致用] 【链接教材P64练习T2】
2．(1)下列函数中定义域与值域不相同的是( )
A．y＝－2x B．y＝2x＋1
C．y＝ D．y＝x2－2x＋
(2)函数y＝f (x)的图象如图所示，那么f (x)的定义
域是______________________________；值域是
___________；其中只有唯一的x值与之对应的y值
的范围是____________________．
√
{x|－3≤x≤0，或2≤x≤3}
{y|1≤y≤5}
{y|1≤y<2，或4(1)D (2){x|－3≤x≤0，或2≤x≤3} {y|1≤y≤5} {y|1≤y<2，或4(2)观察图象可知函数f (x)的定义域为{x|－3≤x≤0，或2≤x≤3}，值域为{y|1≤y≤5}，而只有唯一的x值与之对应的y值的范围为{1≤y＜2，或4＜y≤5}．]
【教材原题·P64练习T2】某日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)某市的温度走势如图所示．
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2)根据图象，求这一天12时所对应的温度．
[解] (1)由题图可知，设从8时起24小时内，经过时间t的温度为y ℃，
则定义域为{t|0≤t≤24}，值域为{y|2≤y≤12}．
(2)由题图知，11时的温度为8 ℃，14时的温度为12 ℃，
故12时的温度约为＋8≈9.3 ℃．
探究3 构建问题情境
[典例讲评] 【链接教材P63例1】
3．已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．
(1) f (x)＝；
(2) f (x)＝2x＋；
(3) f (x)＝．
[解] (1)设矩形的一边长为x，相邻边长为f (x)，那么f (x)＝．
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f (x)的取值范围B＝{ f (x)| f (x)>0}，对应关系f 把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的相邻边长．
(2)设矩形的一边长为x，周长为f (x)，那么f (x)＝2x＋．
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f (x)的取值范围B＝{ f (x)| f (x)>0}，对应关系f 把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的周长2x＋．
(3)设矩形的一边长为x，对角线长为f (x)，那么f (x)＝．
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f (x)的取值范围B＝{ f (x)| f (x)≥2}，对应关系f 把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的对角线长．
【教材原题·P63例1】
例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述．
[解] 把y＝x(10－x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f 把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10－x)．
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y＝x(10－x)．
其中，x的取值范围是A＝{x|0反思领悟 构建问题情境的步骤
(1)综合考虑构建具体的实际问题．
(2)赋予每个变量具体的实际意义．
(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题．
[学以致用] 【链接教材P64练习T4】
3．构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝π·来描述．
[解] y＝π·＝x2，这是一个二次函数，其定义域为R，值域为{y|y≥0}．
对应关系f 是把R中的任意一个实数，对应到唯一确定的数x2．
如果限制变量x的取值范围，令x>0，那么可构建如下情境：
如果一个圆的周长为x，它的面积为y，
那么y＝π·．
其中x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．
对应关系f 是把每一个圆的周长x，对应到唯一确定的面积π．
【教材原题·P64练习T4】构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝来描述．
[解] 设面积为x的正方形的边长为y，则y＝，定义域为{x|x＞0}，值域为{y|y＞0}．
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)下列图形中是函数图象的是( )
√
BCD [A中至少存在一处如x＝0，一个x值对应两个y值，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义．]
A B C D
√
√
2．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是( )
A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f ：x→|x|
B．M＝N，N＝N*，f ：x→|x－1|
C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f ：x→x2
D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f ：x→
√
C [对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．]
√
3．(多选)(教材P74习题3.1T18改编)我们常拿背诵圆周率π(π＝3.141 592 65…)来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为f (n)，则下列说法正确的是( )
A．y＝f (n)，n∈N*是一个函数
B．当n＝6时，f (n)＝3.141 59
C．f (4)＝f (8)
D．f (n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
√
√
ACD [由题意可知，圆周率π小数点后第n位上的数字f (n)是唯一确定的，即任取一个正整数n都有唯一确定的f (n)与之对应，
因此y＝f (n)，n∈N*是一个函数，故A正确；
当n＝6时，f (n)＝2，故B错误；
当n＝4时，f (4)＝5，当n＝8时，f (8)＝5，
所以f (4)＝f (8)＝5，故C正确；
由题得f (n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确．故选ACD．]
4．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为_____________．
{－2，0，4}
1．知识链：
2．方法链：定义法、图象法．
3．警示牌：函数概念的理解．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断一个对应关系是否为函数的条件是什么？
[提示] (1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
2．你能分别说出一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域吗？
[提示] (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域为R，值域为R．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为R．当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．
(3)反比例函数y＝(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}．
函数定义的演变过程简介
在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．
“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．
阅读材料 拓展数学视野
欧拉于1734年首先使用字母f 表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．
1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．
1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系，称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．
后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．
可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱．
在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会事半功倍．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如下图所示．
你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件允许的话，去查阅更多的有关资料吧！
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(十六) 函数的概念(一)
√
一、选择题
1．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是( )
A．y是x的函数 B．w是y的函数
C．w是z的函数 D．w是x的函数
B [对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误；
对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误．故选B．]
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2．对于函数f ：A→B，若a∈A，b∈A，则下列说法错误的是( )
A．f (a)∈B
B．f (a)有且只有一个
C．若f (a)＝f (b)，则a＝b
D．若a＝b，则f (a)＝f (b)
C [由函数的定义，得ABD正确，函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个函数值，故C错误．]
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3．下列函数的值域为R的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x2
C．y＝－x2＋1 D．y＝
A [选项A中，y＝x＋1的定义域为R，值域为R，故A正确；显然其余选项的值域均不为R．]
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4．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝3x2＋ D．y2＝x2
D [对于A，x∈R，对于每一个x，按照y＝x－1，有唯一的y值与之对应，A是函数关系；
对于B，对于每一个x(x≠－1)，按照y＝，有唯一的y值与之对应，B是函数关系；
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对于C，对于每一个x(x≥0)，按照y＝3x2＋，有唯一的y值与之对应，C是函数关系；
对于D，x，y∈R，当x＝1时，y＝±1，当y＝1时，x＝±1，变量x，y不具有函数关系，D不是函数关系．故选D．]
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5．(多选)已知集合M＝，集合N＝，下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A B
C D
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BD [对于A，显然当0对于B，当－2≤x≤2时，任意一个x，在集合N中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项符合题意；
对于C，显然当x＝0时，在集合N中有两个数与之对应，故不表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于D，当－2≤x≤2时，任意一个x，在集合N中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项符合题意．故选BD．]
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二、填空题
6．如图，表示函数关系的是________．(填序号)
①②④
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7．如果函数f ：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为______________．
{1，2，3，4} [由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{1，2，3，4}．]
{1，2，3，4}
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8．函数y＝x2－2x＋3(0≤x≤3)的值域为_____________．
{y|2≤y≤6} [由函数y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
根据二次函数的性质，当x＝1时，得到ymin＝2；当x＝3时，得到ymax＝6，
所以函数y＝x2－2x＋3(0≤x≤3)的值域为{y|2≤y≤6}．]
{y|2≤y≤6}
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三、解答题
9．(源自北师大版教材)对于三角形，你可能想到哪些量？如果一个三角形的周长不变，那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系？如果是函数关系，请写出函数关系式．你还能举出其他的函数例子吗？
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[解] 能想到三角形的边长和三个角的度数；
内切圆半径与面积之间是函数关系，设三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则S＝(a＋b＋c)r，设三角形周长为l，则l＝a＋b＋c，故S＝lr．
另外对于一个三角形，若它的面积为定值，则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系，关系式为l＝或r＝．
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10．已知集合A＝{1，2，k}，B＝{4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
√
C [根据对应关系为y＝3x＋1，3×1＋1＝4，3×2＋1＝7，由题意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3．]
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11．(多选)设f ：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
√
ABC [选项D中，当x＝0时，在集合B中没有值与之对应，其余选项均符合题意．故选ABC．]
√
√
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12．(多选)某加油站地下圆柱体储油罐如图所示，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v(h，w，v为变量)，则下列说法正确的有( )
A．w是v的函数
B．v是w的函数
C．h是w的函数
D．w是h的函数
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AD [根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v．对于A，若v确定，则h确定，w就确定，故A正确；
对于B，若w确定，则h有两个值，所以v有两个值，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误； 对于C，若w确定，h有两个值，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故C错误；
对于D，若h确定，则w确定，故D正确．故选AD．]
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13．已知函数y＝f (x)的定义域为{a，b，c}，值域为{－1，0，1，2}的子集，则满足f (a)＋f (b)＋f (c)＝0的函数y＝f (x)的个数为_____．
10 [因为0＋0＋0＝0，所以f (a)＝f (b)＝f (c)＝0，此时有一个函数；
因为0＋1＋(－1)＝0，所以f (a)，f (b)，f (c)的值为0，1，－1其中一个，这样的函数共有3×2＝6(个)；
因为－1＋(－1)＋2＝0，所以f (a)，f (b)，f (c)的值为2，－1，－1其中一个，这样的函数共有3个，所以符合条件的函数共有1＋6＋3＝10(个)．]
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14．某中学2024级高一同学选科走班情况，选择人数较多的6个组合分别是：
组合代码 组合 组合人数
1 物化生 500
2 政史地 300
3 化生地 300
4 物历地 200
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你会怎样表示这次选科走班人数的情况？用x，y分别表示组合代码和对应的组合人数，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域、对应关系分别是什么？
组合代码 组合 组合人数
5 物化地 200
6 化生历 150
题号
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[解] y是x的函数，定义域为{1，2，3，4，5，6}，值域为{150，200，300，500}，对应关系如图．
题号
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15．探究是否存在函数f (x)，g(x)满足条件：
(1)定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
(2)值域相同，对应关系相同，但定义域不同．
[解] (1)存在，例如f (x)＝x，g(x)＝2x＋1，定义域和值域都是R，但对应关系不同．
(2)存在，例如f (x)＝x2(x≥0)，g(x)＝x2(x≤0)，值域都是{y|y≥0}，但定义域不同．
谢 谢！课时分层作业(十六) 函数的概念(一)
一、选择题
1．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是( )
A．y是x的函数 B．w是y的函数
C．w是z的函数 D．w是x的函数
2．对于函数f ：A→B，若a∈A，b∈A，则下列说法错误的是( )
A．f (a)∈B
B．f (a)有且只有一个
C．若f (a)＝f (b)，则a＝b
D．若a＝b，则f (a)＝f (b)
3．下列函数的值域为R的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x2
C．y＝－x2＋1 D．y＝
4．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝3x2＋ D．y2＝x2
5．(多选)已知集合M＝，集合N＝，下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A B
C D
二、填空题
6．如图，表示函数关系的是________．(填序号)
7．如果函数f ：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．
8．函数y＝x2－2x＋3(0≤x≤3)的值域为________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)对于三角形，你可能想到哪些量？如果一个三角形的周长不变，那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系？如果是函数关系，请写出函数关系式．你还能举出其他的函数例子吗？
10．已知集合A＝{1，2，k}，B＝{4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
11．(多选)设f ：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
12．(多选)某加油站地下圆柱体储油罐如图所示，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v(h，w，v为变量)，则下列说法正确的有( )
A．w是v的函数 B．v是w的函数
C．h是w的函数 D．w是h的函数
13．已知函数y＝f (x)的定义域为{a，b，c}，值域为{－1，0，1，2}的子集，则满足f (a)＋f (b)＋f (c)＝0的函数y＝f (x)的个数为________．
14．某中学2024级高一同学选科走班情况，选择人数较多的6个组合分别是：
组合代码 组合 组合人数
1 物化生 500
2 政史地 300
3 化生地 300
4 物历地 200
5 物化地 200
6 化生历 150
你会怎样表示这次选科走班人数的情况？用x，y分别表示组合代码和对应的组合人数，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域、对应关系分别是什么？
15．探究是否存在函数f (x)，g(x)满足条件：
(1)定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
(2)值域相同，对应关系相同，但定义域不同．
课时分层作业(十六)
1．B [对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误；
对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误．故选B．]
2．C [由函数的定义，得ABD正确，函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个函数值，故C错误．]
3．A [选项A中，y＝x＋1的定义域为R，值域为R，故A正确；显然其余选项的值域均不为R．]
4．D [对于A，x∈R，对于每一个x，按照y＝x－1，有唯一的y值与之对应，A是函数关系；
对于B，对于每一个x(x≠－1)，按照y＝，有唯一的y值与之对应，B是函数关系；
对于C，对于每一个x(x≥0)，按照y＝3x2＋，有唯一的y值与之对应，C是函数关系；
对于D，x，y∈R，当x＝1时，y＝±1，当y＝1时，x＝±1，变量x，y不具有函数关系，D不是函数关系．故选D．]
5．BD [对于A，显然当0对于B，当－2≤x≤2时，任意一个x，在集合N中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项符合题意；
对于C，显然当x＝0时，在集合N中有两个数与之对应，故不表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于D，当－2≤x≤2时，任意一个x，在集合N中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项符合题意．故选BD．]
6．①②④
7．{1，2，3，4} [由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{1，2，3，4}．]
8．{y|2≤y≤6} [由函数y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
根据二次函数的性质，当x＝1时，得到ymin＝2；当x＝3时，得到ymax＝6，
所以函数y＝x2－2x＋3(0≤x≤3)的值域为{y|2≤y≤6}．]
9．解：能想到三角形的边长和三个角的度数；
内切圆半径与面积之间是函数关系，设三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则S＝(a＋b＋c)r，设三角形周长为l，则l＝a＋b＋c，故S＝lr．
另外对于一个三角形，若它的面积为定值，则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系，关系式为l＝．
10．C [根据对应关系为y＝3x＋1，3×1＋1＝4，3×2＋1＝7，由题意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3．]
11．ABC [选项D中，当x＝0时，在集合B中没有值与之对应，其余选项均符合题意．故选ABC．]
12．AD [根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v．对于A，若v确定，则h确定，w就确定，故A正确；
对于B，若w确定，则h有两个值，所以v有两个值，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误； 对于C，若w确定，h有两个值，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故C错误；
对于D，若h确定，则w确定，故D正确．故选AD．]
13．10 [因为0＋0＋0＝0，所以f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，此时有一个函数；
因为0＋1＋(－1)＝0，所以f(a)，f(b)，f(c)的值为0，1，－1其中一个，这样的函数共有3×2＝6(个)；
因为－1＋(－1)＋2＝0，所以f(a)，f(b)，f(c)的值为2，－1，－1其中一个，这样的函数共有3个，所以符合条件的函数共有1＋6＋3＝10(个)．]
14．解：y是x的函数，定义域为{1，2，3，4，5，6}，值域为{150，200，300，500}，对应关系如图．
15．解：(1)存在，例如f(x)＝x，g(x)＝2x＋1，定义域和值域都是R，但对应关系不同．
(2)存在，例如f(x)＝x2(x≥0)，g(x)＝x2(x≤0)，值域都是{y|y≥0}，但定义域不同．
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