第2课时 分段函数
[学习目标] 1．会用解析法及图象法表示分段函数．(数学抽象、直观想象) 2．能用分段函数解决生活中的一些简单问题．(数学建模)
探究1 分段函数的求值(范围)问题
问题 回想一下，初中学过的绝对值的代数意义，并给出|a|的表述方式．
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[新知生成]
分段函数
定义 像y＝这样的函数称为分段函数
本质 函数在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系
[典例讲评] 1．已知函数f (x)＝
(1)求f (－5)，f (1)，f ；
(2)若f (a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究]
1．本例条件不变，若f (a)＝3，求实数a的值．
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2．本例条件不变，若f (x)>2x，求x的取值范围．
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1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f ( f (x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[学以致用] 【链接教材P101复习参考题3T7】
1．(1)设函数f (x)＝ 则f ( f (1))＝( )
A．－2 B．－9
C．－10 D．－11
(2)若函数f (x)＝则满足f (x0)>1的x0的取值范围是________．
探究2 分段函数的图象及应用
[典例讲评] 【链接教材P68例6】
2．已知函数f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析法表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域、值域．
[尝试解答] _________________________________________________________
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分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[学以致用] 【链接教材P69练习T2、T3】
2．(1)(教材P69练习T2改编)函数y＝－|x|的图象是( )
A B C D
(2)(源自北师大版教材)设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如当x＝3.14时，[x]＝[3.14]＝3；当x＝－3.14时，[x]＝[－3.14]＝－4．于是，我们把y＝[x]叫做取整函数．请画出取整函数y＝[x]的图象．
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探究3 分段函数在实际问题中的应用
[典例讲评] 【链接教材P70例8】
3．(源自湘教版教材)为推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展，推动形成绿色低碳的生产方式和生活方式，某地采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100 kW·h，按0.57元/(kW·h)计费；每月用电量超过100 kW·h，其中100 kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/(kW·h)计费．
(1)设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式；
(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表：
月份 1 2 3 合计
计费金额/元 114 75 45.6 234.6
问：小赵家第一季度共用电多少？
[尝试解答] _________________________________________________________
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分段函数的建模
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用________模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要______．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的________，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
[学以致用] 【链接教材P72练习T2】
3．某市出租车的收费标准如下表：
里程 收费标准
不超过3千米的部分 10元(起步价)
超过3千米但不超过8千米的部分 每千米2元
超过8千米的部分 每千米3元
(1)设里程为x千米时乘车费用为y元，请根据题意完善下列解题过程：
①当0
②当3③当x>8时，y＝________．
综上，y关于x的函数关系式是
y＝
(2)若计价器中显示的里程数为5千米，问乘客需支付多少费用？
(3)若某乘客支付了32元的费用，问该乘客的乘车里程是多少千米？
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1．已知函数f (x)＝则f (3)的值是( )
A．1 B．2
C．8 D．9
2．下列图象是函数y＝x|x|的图象的是( )
A B C D
3．(教材P73习题3.1T11改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f (x)的定义域是________，值域是________．
4．函数y＝f (x)的图象如图所示，则其解析式为________．
1．知识链：
2．方法链：分类讨论、数形结合法．
3．警示牌：(1)画分段函数图象时要注意衔接点的虚实．
(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式．
第2课时 分段函数
[探究建构] 探究1
问题 提示：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，|a|
典例讲评 1．解：(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，
f (1)＝3×1＋5＝8，f ＝f
＝f ＝3×＋5＝．
(2)因为a2＋2≥2，
所以f (a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f (a2＋2)≥a＋4可化为2a2－a－1≥0，
解得a≥1或a≤－，
即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．
母题探究 1．解：当a－2时，f(a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不符合题意，舍去；
当－2即a＝－∈(－2，2)，符合题意；
当a2时，f(a)＝2a－1＝3，
即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2．
2．解：当x－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，
即x>－5，所以－2当x2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ ．
综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．
学以致用 1．(1)B (2)(－1，0)∪(2，＋∞) [(1)因为1>0，故f(1)＝f(0)，又00成立，故f(0)＝f(－1)，
又因为－1<0，所以f(－1)＝(－1)3－1＝－2，
所以f(f(1))＝f(f(0))＝f(f(－1))＝f(－2)，
因为－2<0，所以f(－2)＝(－2)3－1＝－9．故选B．
(2)因为f(x)f(x0)>1，
所以
解得－12．
所以x0的取值范围是(－1，0)∪(2，＋∞)．]
探究2
典例讲评 2．解：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①．
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②．
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1．
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
所以φ(x)的值域为(－∞，1]．
学以致用 2．(1)D [因为y＝－|x|所以D选项正确．]
(2)解：依题意知函数y＝[x]的定义域为R，值域是Z．它的图象如图．
探究3
典例讲评 3．解：(1)当0x100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝0.57x；
当x>100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．
所以y
(2)由(1)可知，当电费不超过57元时，
说明月用电量不超过100 kW·h；
当电费超过57元时，说明月用电量超过100 kW·h．
因此，用电量应使用函数的不同关系式来计算．
因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138 kW·h，2月份用电112 kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，
有0.57x＝45.6，算出3月份用电80 kW·h．
因此，小赵家第一季度共用电330 kW·h．
发现规律 (1)分段函数 分段画 (2)各分界点
学以致用 3．解：(1)根据收费标准列式，可得：
当0当3当x>8时，y＝10＋(8－3)×2＋3(x－8)＝3x－4，
所以y
(2)由(1)知x＝5时，y＝2×5＋4＝14(元)．
(3)由函数式知x>3时，y随x的增大而增大，而2×8＋4＝20，
所以y＝32时，3x－4＝32，x＝12，即该乘客的乘车里程是12千米．
[应用迁移]
1．A [f(3)＝3－2＝1．故选A．]
2．D [函数y＝x|x|结合选项知D正确．]
3．[－4，0]∪[1，4) [0，＋∞) [由题意知，定义域为x∈[－4，0]∪[1，4)，值域为y∈[0，＋∞)．]
4．f(x) [当0x1时，设f(x)＝kx(k≠0)，又函数图象过点(1，2)，故k＝2，
∴f(x)＝2x；
当1综上，f(x)]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第三章
函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
第2课时 分段函数
[学习目标] 1．会用解析法及图象法表示分段函数．(数学抽象、直观想象) 2．能用分段函数解决生活中的一些简单问题．(数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．什么是分段函数？
问题2．如何画分段函数的图象？
问题3．用分段函数解决生活中的一些简单问题时需要注意什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 分段函数的求值(范围)问题
问题 回想一下，初中学过的绝对值的代数意义，并给出|a|的表述方式．
提示：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，|a|＝
[新知生成]
分段函数
定义
本质 函数在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系
【教用·微提醒】 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
[典例讲评] 1．已知函数 f (x)＝
(1)求 f (－5)，f (1)，f ；
(2)若 f (a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，
f (1)＝3×1＋5＝8，f ＝f
＝f ＝3×＋5＝．
(2)因为a2＋2≥2，
所以f (a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f (a2＋2)≥a＋4可化为2a2－a－1≥0，
解得a≥1或a≤－，
即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．
[母题探究]
1．本例条件不变，若f (a)＝3，求实数a的值．
[解] 当a≤－2时，f (a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不符合题意，舍去；
当－2即a＝－∈(－2，2)，符合题意；
当a≥2时，f (a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．
综上可得，当f (a)＝3时，a的值为－或2．
2．本例条件不变，若f (x)>2x，求x的取值范围．
[解] 当x≤－2时，f (x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，
即x>－5，所以－2当x≥2时，f (x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ ．
综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．
反思领悟 1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f ( f (x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[学以致用] 【链接教材P101复习参考题3T7】
1．(1)设函数 f (x)＝ 则 f ( f (1))＝( )
A．－2 B．－9
C．－10 D．－11
(2)若函数 f (x)＝则满足 f (x0)>1的x0的取值范围是____________________．
√
(－1，0)∪(2，＋∞)
(1)B (2)(－1，0)∪(2，＋∞) [(1)因为1>0，故f (1)＝f (0)，又0≥0成立，故 f (0)＝f (－1)，
又因为－1<0，所以f (－1)＝(－1)3－1＝－2，
所以 f ( f (1))＝f ( f (0))＝f ( f (－1))＝f (－2)，
因为－2<0，所以f (－2)＝(－2)3－1＝－9．故选B．
(2)因为f (x)＝f (x0)>1，
所以或
解得－12．
所以x0的取值范围是(－1，0)∪(2，＋∞)．]
【教材原题·P101复习参考题3T7】已知函数f (x)＝
求 f (1)，f (－3)，f (a＋1)的值．
[解] f (1)＝1×(1＋4)＝5，f (－3)＝－3×(－3－4)＝21．
当a＋1≥0，即a≥－1时，
f (a＋1)＝(a＋1)(a＋1＋4)＝(a＋1)(a＋5)；
当a＋1＜0，即a＜－1时，
f (a＋1)＝(a＋1)(a＋1－4)＝(a＋1)(a－3)．
∴f (a＋1)＝
探究2 分段函数的图象及应用
[典例讲评] 【链接教材P68例6】
2．已知函数 f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{ f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析法表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域、值域．
[解] (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象如图①．
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②．
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1．
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
所以φ(x)的值域为(－∞，1]．
【教材原题·P68例6】
例6 给定函数f (x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，
(1)在同一直角坐标系中画出函数 f (x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{ f (x)，g(x)}．
例如，当x＝2时，M(2)＝max{ f (2)，g(2)}＝max{3，9}＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．
[解] (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象(图3.1-4)．
(2)由图3.1-4中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图3.1-5)．
由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0．
解得x＝－1，或x＝0．
结合图3.1-5，得出函数M(x)的解析式为
M(x)＝
反思领悟 分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[学以致用] 【链接教材P69练习T2、T3】
2．(1)(教材P69练习T2改编)函数y＝－|x|的图象是( )
(2)(源自北师大版教材)设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如当x＝3.14时，[x]＝[3.14]＝3；当x＝－3.14时，[x]＝[－3.14]＝－4．于是，我们把y＝[x]叫做取整函数．请画出取整函数y＝[x]的图象．
A B C D
√
(1)D [因为y＝－|x|＝所以D选项正确．]
(2)[解] 依题意知函数y＝[x]的定义域为R，值域是Z．它的图象如图．
1．【教材原题·P69练习T2】画出函数y＝|x－2|的图象．
[解] 法一：由绝对值的概念，知
y＝
所以函数y＝|x－2|的图象如图所示．
法二(翻折法)：先画出y＝x－2的图象(图略)，
然后把图象中位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，其他不变．
2．【教材原题·P69练习T3】给定函数f (x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R．
(1)画出函数f (x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，用m(x)表示f (x)，g(x)中的最小者，记为m(x)＝min{ f (x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数m(x)．
[解] (1) f (x)，g(x)的图象如图所示．
(2)由(1)中所画图象知，当x≤0时，(x－1)2≥－x＋1，
则m(x)＝f (x)＝－x＋1；
当0＜x＜1时，(x－1)2＜－x＋1，则m(x)＝g(x)＝(x－1)2；
当x≥1时，(x－1)2≥－x＋1，则m(x)＝f (x)＝－x＋1．
综上所述，
m(x)＝
m(x)的图象如图所示．
探究3 分段函数在实际问题中的应用
[典例讲评] 【链接教材P70例8】
3．(源自湘教版教材)为推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展，推动形成绿色低碳的生产方式和生活方式，某地采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100 kW·h，按0.57元/(kW·h)计费；每月用电量超过100 kW·h，其中100 kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/(kW·h)计费．
(1)设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式；
(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表：
问：小赵家第一季度共用电多少？
月份 1 2 3 合计
计费金额/元 114 75 45.6 234.6
[解] (1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝0.57x；
当x>100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．
所以y＝
(2)由(1)可知，当电费不超过57元时，
说明月用电量不超过100 kW·h；
当电费超过57元时，说明月用电量超过100 kW·h．
因此，用电量应使用函数的不同关系式来计算．
因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138 kW·h，2月份用电112 kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，
有0.57x＝45.6，算出3月份用电80 kW·h．
因此，小赵家第一季度共用电330 kW·h．
【教材原题·P70例8】
例8 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税)．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．②
其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元．税率与速算扣除数见表3.1-5
表3.1-5
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率(%) 速算扣除数
1 [0，36 000] 3 0
2 (36 000，144 000] 10 2 520
3 (144 000，300 000] 20 16 920
4 (300 000，420 000] 25 31 920
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率(%) 速算扣除数
5 (420 000，660 000] 30 52 920
6 (660 000，960 000] 35 85 920
7 (960 000，＋∞) 45 181 920
(1)设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y＝f (t)，并画出图象；
(2)小王全年综合所得收入额为117 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是9 600元，依法确定其他扣除是560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：
第一步，根据②计算出应纳税所得额t；
第二步，由t的值并根据表3.1-5得出相应的税率与速算扣除数；
第三步，根据①计算出个税税额y的值．
由于不同应纳税所得额t对应不同的税率与速算扣除数，所以y是t的分段函数．
[解] (1)根据表3.1-5，可得函数y＝f (t)的解析式为
y＝③
函数图象如图3.1-7所示．
(2)根据②，小王全年应纳税所得额为
t＝117 600－60 000－117 600×(8%＋2%＋1%＋9%)－9 600－560
＝0.8×117 600－70 160
＝23 920．
将t的值代入③，得
y＝0.03×23 920＝717.6．
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元．
发现规律 分段函数的建模
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用________模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要______．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的________，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
分段函数
分段画
各分界点
[学以致用] 【链接教材P72练习T2】
3．某市出租车的收费标准如下表：
里程 收费标准
不超过3千米的部分 10元(起步价)
超过3千米但不超过8千米的部分 每千米2元
超过8千米的部分 每千米3元
(1)设里程为x千米时乘车费用为y元，请根据题意完善下列解题过程：
①当0②当3③当x>8时，y＝________．
综上，y关于x的函数关系式是
y＝
(2)若计价器中显示的里程数为5千米，问乘客需支付多少费用？
(3)若某乘客支付了32元的费用，问该乘客的乘车里程是多少千米？
[解] (1)根据收费标准列式，可得：
当0当3当x>8时，y＝10＋(8－3)×2＋3(x－8)＝3x－4，
所以y＝
(2)由(1)知x＝5时，y＝2×5＋4＝14(元)．
(3)由函数式知x>3时，y随x的增大而增大，而2×8＋4＝20，
所以y＝32时，3x－4＝32，x＝12，即该乘客的乘车里程是12千米．
【教用·备选题】 (源自苏教版教材)某市出租汽车收费标准如下：在
3 km以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km的路程按2.4元/km收费．试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式．
[解] 设路程为x km时，收费额为y元，则由题意得，当0当x>3时，按2.4元/km所收费用为2.4×(x－3)，那么有y＝9＋2.4×(x－3)．
于是，收费额关于路程的函数解析式为y＝
即y＝
【教材原题·P72练习T2】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)．
如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
[解] 依题意，设x(单位：km)为里程数，y(单位：元)为行驶x km的票价，
当0＜x≤5时，y＝2；
当5＜x≤10时，y＝3；
当10＜x≤15时，y＝4；
当15＜x≤20时，y＝5，
所以票价与里程之间的函数关系式为
y＝
函数f (x)的图象如图所示．
应用迁移 随堂评估自测
1．已知函数 f (x)＝则f (3)的值是( )
A．1 B．2
C．8 D．9
√
A [ f (3)＝3－2＝1．故选A．]
√
2．下列图象是函数y＝x|x|的图象的是( )
D [函数y＝x|x|＝结合选项知D正确．]
A B C D
3．(教材P73习题3.1T11改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f (x)的定义域是___________________，值域是____________．
[－4，0]∪[1，4) [0，＋∞) [由题意知，定义域为x∈[－4，0]∪[1，4)，值域为y∈[0，＋∞)．]
[－4，0]∪[1，4)
[0，＋∞)
4．函数y＝f (x)的图象如图所示，则其解析式为____________________．
f (x)＝ [当0≤x≤1时，
设f (x)＝kx(k≠0)，又函数图象过点(1，2)，故k＝2，∴f (x)＝2x；
当1综上，f (x)＝]
f (x)＝
1．知识链：
2．方法链：分类讨论、数形结合法．
3．警示牌：(1)画分段函数图象时要注意衔接点的虚实．
(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求分段函数的定义域和值域？
[提示] 分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．画分段函数的图象应注意哪些问题？
[提示] 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心圈还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．
3．分段函数求值时应注意哪些问题？
[提示] 分段函数求值时应注意找准自变量所在的区间．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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课时分层作业(十九) 分段函数
√
一、选择题
1．函数f (x)＝的定义域为( )
A． B．
C． D．
C [由＝，得函数 f (x)的定义域为{－1，0，1，2}．故选C．]
题号
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√
2．函数 f (x)＝x＋的图象是( )
A B C D
题号
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C [函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x>0时，f (x)＝x＋＝x＋1，
当x<0时，f (x)＝x－1，
根据一次函数图象可知C正确．
故选C．]
题号
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√
3．函数D(x)＝则D(D(x))等于( )
A．0 B．1
C． D．
B [∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))＝1．]
√
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4．设函数 f (x)＝若 f (a)＝a，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1
C．－2或－1 D．±1或－2
B [由题意知，f (a)＝a，当a≥0时，有a－1＝a，解得a＝－2(不满足条件，舍去)；当a＜0时，有＝a，解得a＝1(不满足条件，舍去)或a＝－1．所以实数a的值是－1．故选B．]
√
题号
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√
√
5．(多选)已知函数 f (x)＝下列关于函数 f (x)的结论正确的是( )
A．f (x)的定义域是R
B．f (x)的值域是(－∞，5)
C．若f (x)＝3，则x＝
D．f (x)的图象与直线y＝2有一个交点
题号
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BCD [对于A，f (x)的定义域是(－∞，2)，故A错误；对于B，当x≤－1时，x＋2≤1，当－1＜x＜2时，0≤x2＜4，1≤x2＋1＜5，所以f (x)的值域是(－∞，5)，故B正确；对于C，由B选项的分析可知，若f (x)＝3，则解得x＝，故C正确；
对于D，画出f (x)的图象如图所示，由图可知，f (x)
的图象与直线y＝2只有一个交点．故D正确．
故选BCD．]
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二、填空题
6．已知函数f (x)＝则 f ( f (2))＝________．
5 [由题意，可得f (2)＝2×2－1＝3，
∴f ( f (2))＝f (3)＝2×3－1＝5．]
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7．函数f (x)＝的值域是_____________．
[0，2]∪{3} [当0≤x≤1时，0≤f (x)＝2x≤2，
当1当x≥2时，f (x)＝3，
所以函数f (x)的值域为[0，2]∪{3}．]
[0，2]∪{3}
题号
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8．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件(x∈N*，x≤15)，设总购买费用是f (x)元，则f (x)的解析
式是______________________________．
f (x)＝ [当x≤5，x∈N*时，f (x)＝
5 000x；当5f (x)＝
题号
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三、解答题
9．已知函数f (x)＝
(1)求f (－1)，f ；
(2)作出函数y＝f (x)在区间[－2，2)内的图象．
题号
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[解] (1)∵－1≤1，
∴f (－1)＝2×(－1)＋1＝－1，
∵≤1，∴f ＝2×＋1＝2，
又∵2＞1，∴f ＝f (2)＝22－3＝1．
(2)函数f (x)＝在区间[－2，2)
内的图象如图所示．
题号
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10．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f (x)＝|x|sgn x
的图象大致是( )
A B C D
√
C [由题意知f (x)＝即f (x)＝x，x∈R，则f (x)的图象为C中图象所示．]
题号
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11．某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如下表所示：
√
年用水量 价格
不超过150 m3的部分 2.4元/m3
超过150 m3但不超过250 m3的部分 3.6元/m3
超过250 m3的部分 7.2元/m3
若小李同学年用水量为200m3，则应交水费为( )
A．720元 B．540元
C．480元 D．560元
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B [根据题意可得小李同学应交水费为150×2.4＋(200－150)×3.6＝360＋180＝540(元)．故选B．]
√
题号
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√
12．(多选)已知函数f (x)＝x－[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，如＝－2，[－3]＝－3，＝2，则f (x)的值可能是( )
A．0 B． C．1 D．2
AB [当x∈Z时，f (x)＝x－[x]＝0，
当x Z时，0题号
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13．若定义运算a⊙b＝则函数 f (x)＝x⊙(2－x)的解析式
为__________________，值域为___________．
f (x)＝ (－∞，1] [由题意可知，f (x)＝
f (x)＝
(－∞，1]
画出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知函数f (x)的
值域为(－∞，1]．]
[点评] 本题是新定义问题，明白a⊙b的含义是解题的
关键，其指的是两者之中较小的那个数．
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14．已知函数f (x)＝
(1)若f (a)>3，求a的取值范围；
(2)画出函数y＝f (x)的图象，若方程f (x)＝b有三个实数根，求b的取值范围(直接写出答案即可)．
题号
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[解] (1)当a≥0时，由f (a)＝－a2＋4a>3，得a2－4a＋3<0，解得1当a<0时，由f (a)＝－a>3，可得a<－3，此时a<－3．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，3)．
(2)作出函数y＝f (x)的图象如图所示，
由图象可知，当0直线y＝b有三个交点，
因此，实数b的取值范围是(0，4)．
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15．给定函数 f (x)＝x，g(x)＝x2－2x，对任意的x∈R，用M(x)表示
f (x)，g(x)的较大者，记为M(x)＝max{ f (x)，g(x)}．例如，当x＝2时，M(2)＝max{ f (2)，g(2)}＝max{2，0}＝2．
(1)用分段函数表示M(x)；
(2)求不等式M(x)≤2的解集．
[解] (1)当f (x)≥g(x)，即x≥x2－2x时，解得0≤x≤3，
当f (x)解得x<0或x>3，
所以M(x)＝
题号
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(2)由已知可得或或
解得1－≤x<0，或0≤x≤2，或 ，
所以不等式M(x)≤2的解集为{x|1－≤x≤2}．
[点评] 求解此类问题的关键是读懂新定义M(x)，在此基础上准确借助图象求解．
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谢 谢！课时分层作业(十九) 分段函数
一、选择题
1．函数f (x)＝的定义域为( )
A． B．
C． D．
2．函数f (x)＝x＋的图象是( )
A B C D
3．函数D(x)＝则D(D(x))等于( )
A．0 B．1
C． D．
4．设函数f (x)＝若f (a)＝a，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1
C．－2或－1 D．±1或－2
5．(多选)已知函数f (x)＝下列关于函数f (x)的结论正确的是( )
A．f (x)的定义域是R
B．f (x)的值域是(－∞，5)
C．若f (x)＝3，则x＝
D．f (x)的图象与直线y＝2有一个交点
二、填空题
6．已知函数f (x)＝则f ( f (2))＝________．
7．函数f (x)＝的值域是__________．
8．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件(x∈N*，x≤15)，设总购买费用是f (x)元，则f (x)的解析式是________．
三、解答题
9．已知函数f (x)＝
(1)求f (－1)，f ；
(2)作出函数y＝f (x)在区间[－2，2)内的图象．
10．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f (x)＝|x|sgn x的图象大致是( )
A B C D
11．某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如下表所示：
年用水量 价格
不超过150 m3的部分 2.4元/m3
超过150 m3但不超过250 m3的部分 3.6元/m3
超过250 m3的部分 7.2元/m3
若小李同学年用水量为200m3，则应交水费为( )
A．720元 B．540元
C．480元 D．560元
12．(多选)已知函数f (x)＝x－[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，如＝－2，[－3]＝－3，＝2，则f (x)的值可能是( )
A．0 B．
C．1 D．2
13．若定义运算a⊙b＝则函数f (x)＝x⊙(2－x)的解析式为________，值域为________．
14．已知函数f (x)＝
(1)若f (a)>3，求a的取值范围；
(2)画出函数y＝f (x)的图象，若方程f (x)＝b有三个实数根，求b的取值范围(直接写出答案即可)．
15．给定函数f (x)＝x，g(x)＝x2－2x，对任意的x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}．例如，当x＝2时，M(2)＝max{f (2)，g(2)}＝max{2，0}＝2．
(1)用分段函数表示M(x)；
(2)求不等式M(x)≤2的解集．
课时分层作业(十九)
1．C [由，得函数f(x)的定义域为{－1，0，1，2}．故选C．]
2．C [函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1，
当x<0时，f(x)＝x－1，
根据一次函数图象可知C正确．
故选C．]
3．B [∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))＝1．]
4．B [由题意知，f(a)＝a，当a≥0时，有a－1＝a，解得a＝－2(不满足条件，舍去)；当a<0时，有＝a，解得a＝1(不满足条件，舍去)或a＝－1．所以实数a的值是－1．故选B．]
5．BCD [
对于A，f(x)的定义域是(－∞，2)，故A错误；对于B，当x≤－1时，x＋2≤1，当－1故选BCD．]
6．5 [由题意，可得f(2)＝2×2－1＝3，
∴f(f(2))＝f(3)＝2×3－1＝5．]
7．[0，2]∪{3} [当0≤x≤1时，0≤f(x)＝2x≤2，
当1当x≥2时，f(x)＝3，
所以函数f(x)的值域为[0，2]∪{3}．]
8．f(x)＝ [当x≤5，x∈N*时，f(x)＝5 000x；当59．解：(1)∵－1≤1，
∴f(－1)＝2×(－1)＋1＝－1，
∵≤1，∴f＋1＝2，
又∵2>1，∴f＝f(2)＝22－3＝1．
(2)函数f(x)＝在区间[－2，2)内的图象如图所示．
10．C [由题意知f(x)＝即f(x)＝x，x∈R，则f(x)的图象为C中图象所示．]
11．B [根据题意可得小李同学应交水费为150×2.4＋(200－150)×3.6＝360＋180＝540(元)．故选B．]
12．AB [当x∈Z时，f(x)＝x－[x]＝0，
当x Z时，013．f(x)＝ (－∞，1] [由题意可知，f(x)＝
画出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知函数f(x)的值域为(－∞，1]．
]
[点评] 本题是新定义问题，明白a☉b的含义是解题的关键，其指的是两者之中较小的那个数．
14． 解：(1)当a≥0时，由f(a)＝－a2＋4a>3，得a2－4a＋3<0，解得1当a<0时，由f(a)＝－a>3，可得a<－3，此时a<－3．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，3)．
(2)作出函数y＝f(x)的图象如图所示，
由图象可知，当0因此，实数b的取值范围是(0，4)．
15．解：(1)当f(x)≥g(x)，即x≥x2－2x时，解得0≤x≤3，
当f(x)解得x<0或x>3，
所以M(x)＝
(2)由已知可得或
解得1－≤x<0，或0≤x≤2，或 ，
所以不等式M(x)≤2的解集为{x|1－≤x≤2}．
[点评] 求解此类问题的关键是读懂新定义M(x)，在此基础上准确借助图象求解．
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