3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
[学习目标] 1．能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念．(数学抽象) 2．理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念．(数学抽象) 3．能运用定义法证明函数的单调性．(逻辑推理)
探究1 直观感知函数的单调性
问题1 观察下面三个函数的图象，从左向右图象的变化趋势是怎样的？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
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问题2 反映在数量关系上，如何理解图象是上升的？针对函数y＝x的图象的特征，你能用数学符号语言刻画吗？
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[新知生成]
函数的单调性
(1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．
特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是______．
如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减．
特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是______．
(2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的________．
[典例讲评] 1．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究] 将本例函数换为“f (x)＝x2－4|x|＋3，x∈R”，画出f (x)的图象并根据图象写出它的单调区间．
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求函数单调区间的方法
(1)若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间．
(2)若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可先作出其图象，然后根据图象写出其单调区间．
提醒：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开．
[学以致用] 【链接教材P86习题3.2T2】
1．画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
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探究2 利用定义证明函数的单调性
[典例讲评] 【链接教材P78例1、例2】
2．证明函数f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．
[尝试解答] _________________________________________________________
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利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的__________，且x1
(2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过________、____、____、有理化等手段，转化为易判断____的式子．
(3)定号：确定____________________的符号．
(4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果一般是几个因式乘积的形式．
[学以致用] 【链接教材P79练习T2、T3、T4】
2．用定义证明函数f (x)＝在区间[0，＋∞)上单调递减．
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探究3 函数单调性的简单应用
[典例讲评] 3．(1)已知函数f (x)＝
在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．[－5，0) B．(－∞，－2)
C． D．(－∞，0)
(2)已知f (2x－3)>f (5x－6)，若函数f (x)在R上单调递增，则实数x的取值范围为________；若函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则实数x的取值范围为________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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由函数单调性求参数范围的方法
(1)由函数解析式求参数
(2)利用抽象函数单调性求范围
①依据：定义在[m，n]上的增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a)②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解．
提醒：涉及分段函数的单调性时，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．
[学以致用] 【链接教材P100复习参考题3T4】
3．(1)已知函数f (x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是( )
A．f (－1)＜f (1)＜f (2)
B．f (1)＜f (2)＜f (－1)
C．f (2)＜f (1)＜f (－1)
D．f (1)＜f (－1)＜f (2)
(2)已知f (x)是定义在(－1，1)上的减函数，且f (1－m)＞f (2m－1)，则m的取值范围是________．
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1．(教材P85习题3.2T1改编)函数y＝f (x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f (x)的单调递增区间是( )
A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1] D．[－3，4]
2．已知函数f (x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为( )
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，－2]
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的定义域为(a，b)，若 x1，x2∈(a，b)，当x1B．函数f (x)的定义域为(a，b)，若 x1，x2∈(a，b)，当x1C．若函数f (x)在[a，b]上单调递增，在(b，c]上也单调递增，则函数f (x)在[a，c]上单调递增
D．若函数f (x)在[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递增，则函数f (x)在[a，c]上单调递增
4．已知函数y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)1．知识链：
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：(1)函数的单调区间不能用并集．
(2)分段函数的单调性易忽视临界值．
第1课时 函数的单调性
[探究建构] 探究1
问题1 提示：函数y＝x的图象从左向右看是上升的，相应函数值随着自变量的增大而增大；函数y＝－x＋1的图象从左向右看是下降的，相应函数值随着自变量的增大而减小；函数y＝x2的图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，在y轴右侧部分从左到右是上升的，相应函数值随着自变量的增大先减小后增大．
问题2 提示：当自变量x的值增大时，对应的函数值y随之增大，任意取x1，x2∈[0，＋∞)，当x1新知生成 (1)增函数 减函数 (2)单调区间
典例讲评 1．解：
y＝－x2＋2|x|＋3 函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，函数在[－1，0)，[1，＋∞)上单调递减，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1)，单调递减区间是[－1，0)和[1，＋∞)．
母题探究 解：f(x)＝x2－4|x|＋3＝
函数图象如图所示．
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)．
学以致用 1．
解：y＝|x|(x－2)
函数的图象如图实线部分所示．
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
探究2
典例讲评 2．证明： x1，x2∈(0，1)，且x1有f (x1)－f (x2)＝＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·，
∵0∴x1－x2<0，0∴>0，即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．
发现规律 (1)任意两个值 (2)因式分解 通分 配方 正负 (3)f(x1)－f(x2)
学以致用 2．证明： x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)
，
由0x10，x2＋x1>0，
且＋1>0，＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．
探究3
典例讲评 3．(1)C (2)(－∞，1) [(1)由题意，x∈R，
在f (x)＝中，函数单调递增，
∴解得－5≤a≤－2．故选C．
(2)若f (x)在R上单调递增，
且f (2x－3)>f (5x－6)，
则2x－3>5x－6，即x<1．
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
若函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，
则
解得x>，
∴实数x的取值范围为．]
学以致用 3．(1)C (2) [(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f (x)在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1，
所以f(2)(2)由题意知[应用迁移]
1．C [由题图知单调递增区间为[－3，1]．]
2．C [∵函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，∴a<0，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)为图象开口向下的二次函数，其图象的对称轴方程为x＝2，∴g(x)在(－∞，2]上单调递增，即函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(－∞，2]．故选C．]
3．ABD [由减函数的定义，知A说法正确；
对于B， x1，x2∈(a，b)，当x1f(x2)，所以f(x)不是(a，b)上的增函数，B说法正确；
对于C，若f(x)则f(x)在[0，1]和(1，2]上均单调递增，但f(x)在[0，2]上不单调递增，C说法错误；对比C选项，D选项两区间有重合部分，正确．故选ABD．]
4．(2，＋∞) [∵y＝f(x)是定义在R上的增函数，且f(1－a)2，则a的取值范围为(2，＋∞)．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第三章
函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
[学习目标] 1．能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念．(数学抽象) 2．理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念．(数学抽象) 3．能运用定义法证明函数的单调性．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念是什么？
问题2．函数的单调性和单调区间有什么关系？
问题3．如何证明函数的单调性？
探究建构 关键能力达成
探究1 直观感知函数的单调性
问题1 观察下面三个函数的图象，从左向右图象的变化趋势是怎样的？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示：函数y＝x的图象从左向右看是上升的，相应函数值随着自变量的增大而增大；函数y＝－x＋1的图象从左向右看是下降的，相应函数值随着自变量的增大而减小；函数y＝x2的图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，在y轴右侧部分从左到右是上升的，相应函数值随着自变量的增大先减小后增大．
问题2 反映在数量关系上，如何理解图象是上升的？针对函数y＝x的图象的特征，你能用数学符号语言刻画吗？
提示：当自变量x的值增大时，对应的函数值y随之增大，任意取x1，x2∈[0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)．
[新知生成]
函数的单调性
(1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．
特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是______．
增函数
如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有 f (x1)＞f (x2)，那么就称函数 f (x)在区间I上单调递减．
特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是______．
(2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的________．
减函数
单调区间
【教用·微提醒】 定义中x1，x2有三个特征：
①x1，x2属于同一个区间；
②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替；
③有序性，通常规定x1[典例讲评] 1．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解] y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，函数在[－1，0)，[1，＋∞)上单调递减，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1)，单调递减区间是[－1，0)和[1，＋∞)．
[母题探究] 将本例函数换为“f (x)＝x2－4|x|＋3，x∈R”，画出f (x)的图象并根据图象写出它的单调区间．
[解] f (x)＝x2－4|x|＋3＝函数图象如图所示．
由图象可知，函数f (x)的单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)．
反思领悟 求函数单调区间的方法
(1)若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间．
(2)若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可先作出其图象，然后根据图象写出其单调区间．
提醒：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开．
[学以致用] 【链接教材P86习题3.2T2】
1．画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
[解] y＝|x|(x－2)＝
函数的图象如图实线部分所示．
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]
和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
【教材原题·P86习题3.2T2】画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y＝f (x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性．
(1)y＝x2－5x－6；
(2)y＝9－x2．
[解] (1)函数y＝x2－5x－6的图象如图(1)所示．
由图象可知，单调区间有，．
其中y＝f (x)在区间上单调递减，
在区间上单调递增．
(2)函数y＝9－x2的图象如图(2)所示．
由图象可知，单调区间有(－∞，0]，(0，＋∞)．
其中y＝f (x)在区间(－∞，0]上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减．
探究2 利用定义证明函数的单调性
[典例讲评] 【链接教材P78例1、例2】
2．证明函数f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．
[证明] x1，x2∈(0，1)，且x1有f (x1)－f (x2)＝＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·，
∵0∴>0，即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．
【教材原题·P78例1、例2】
例1 根据定义，研究函数f (x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当x1f (x2)．根据实数大小关系的基本事实，只要考察f (x1)－f (x2)与0的大小关系．
[解] 函数f (x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R． x1，x2∈R，且x1由x1①当k>0时，k(x1－x2)<0．于是
f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)这时，f (x)＝kx＋b是增函数．
②当k<0时，k(x1－x2)>0．于是
f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)．
这时，f (x)＝kx＋b是减函数．
例2 物理学中的玻意耳定律p＝(k为正常数)告诉我们，对于一定质量的气体，当其温度不变时，体积V减小，压强p将增大．试对此用函数的单调性证明．
分析：根据题意，只要证明函数p＝(V∈(0，＋∞))是减函数即可．
[证明] V1，V2∈(0，＋∞)，且V1p1－p2＝．
由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0；
由V10．
又k>0，于是p1－p2>0，即p1>p2．
所以，根据函数单调性的定义，函数p＝，V∈(0，＋∞)是减函数．也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．
发现规律 利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的__________，且x1(2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过________、____、____、有理化等手段，转化为易判断____的式子．
(3)定号：确定____________的符号．
(4)结论：根据 f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性．
任意两个值
因式分解
通分
配方
正负
f (x1)－f (x2)
提醒：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果一般是几个因式乘积的形式．
[学以致用] 【链接教材P79练习T2、T3、T4】
2．用定义证明函数f (x)＝在区间[0，＋∞)上单调递减．
[证明] x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f (x1)－f (x2)＝＝，
由0≤x10，x2＋x1>0，
且＋1>0，
∴f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减．
1．【教材原题·P79练习T2】根据定义证明函数f (x)＝3x＋2是增函数．
[证明] x1，x2∈R，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)．
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)．
∴函数f (x)＝3x＋2在R上是增函数．
2．【教材原题·P79练习T3】证明函数f (x)＝在区间(－∞，0)上单调递增．
[证明] x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
则f (x1)－f (x2)＝－．
∵x1，x2∈(－∞，0)，∴x1x2＞0．
又x1＜x2，∴x1－x2＜0．
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)．
∴函数f (x)＝－在区间(－∞，0)上单调递增．
3．【教材原题·P79练习T4】画出反比例函数y＝的图象．
(1)这个函数的定义域D是什么？
(2)它在定义域D上的单调性是怎样的？证明你的结论．
[解] 令y＝f (x)＝．当k＞0时，图象如图(1)．
当k＜0时，图象如图(2)．
(1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)当k＞0时，f (x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减．
当k＜0时，f (x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：当k＞0时， x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2，
则f (x1)－f (x2)＝．
∵ x1，x2∈(－∞，0)，x1＜x2，
∴x1x2＞0，x2－x1＞0，
∴f (x1)－f (x2)＞0，
即f (x1)＞f (x2)．
∴当k＞0时，f (x)＝在(－∞，0)上单调递减，类似地，可以证明其他三种情况．
探究3 函数单调性的简单应用
[典例讲评] 3．(1)已知函数 f (x)＝
在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．[－5，0) B．(－∞，－2)
C． D．(－∞，0)
(2)已知 f (2x－3)>f (5x－6)，若函数f (x)在R上单调递增，则实数x的取值范围为__________；若函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，
则实数x的取值范围为____________．
√
(－∞，1)
(1)C (2)(－∞，1) [(1)由题意，x∈R，
在f (x)＝中，函数单调递增，
∴解得－5≤a≤－2．故选C．
(2)若f (x)在R上单调递增，
且f (2x－3)>f (5x－6)，
则2x－3>5x－6，即x<1．
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
若函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，
则解得x>，
∴实数x的取值范围为．]
反思领悟 由函数单调性求参数范围的方法
(1)由函数解析式求参数
(2)利用抽象函数单调性求范围
①依据：定义在[m，n]上的增(减)函数中函数值与自变量的关系
f (a)②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解．
提醒：涉及分段函数的单调性时，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．
√
[学以致用] 【链接教材P100复习参考题3T4】
3．(1)已知函数 f (x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是( )
A．f (－1)＜f (1)＜f (2)
B．f (1)＜f (2)＜f (－1)
C．f (2)＜f (1)＜f (－1)
D．f (1)＜f (－1)＜f (2)
(2)已知 f (x)是定义在(－1，1)上的减函数，且 f (1－m)＞f (2m－1)，则m的取值范围是________．
(1)C (2) [(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f (x)在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1，
所以f (2)(2)由题意知
解得【教用·备选题】 已知函数 f (x)＝x－在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则x1x2>1．
因为函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f (x1)－f (x2)＝x1－＝(x1－x2)<0．
因为x1－x2<0，
所以1＋>0，
即a>－x1x2．
因为11，
所以－x1x2<－1，所以a≥－1．
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
【教材原题·P100复习参考题3T4】已知函数f (x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．
[解] 函数f (x)为一元二次函数，其图象的对称轴为直线x＝．
当≤5，即k≤40时，f (x)在[5，20]上单调递增；
当≥20，即k≥160时，f (x)在[5，20]上单调递减．
综上可知，k的取值范围为(－∞，40]∪[160，＋∞)．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P85习题3.2T1改编)函数y＝f (x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f (x)的单调递增区间是( )
A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1] D．[－3，4]
√
C [由题图知单调递增区间为[－3，1]．]
√
2．已知函数f (x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为( )
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，－2]
C [∵函数f (x)＝ax＋1在R上单调递减，∴a＜0，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)为图象开口向下的二次函数，其图象的对称轴方程为x＝2，∴g(x)在(－∞，2]上单调递增，即函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(－∞，2]．故选C．]
√
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的定义域为(a，b)，若 x1，x2∈(a，b)，当x1f (x2)B．函数f (x)的定义域为(a，b)，若 x1，x2∈(a，b)，当x1f (x2)C．若函数f (x)在[a，b]上单调递增，在(b，c]上也单调递增，则函数f (x)在[a，c]上单调递增
D．若函数f (x)在[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递增，则函数
f (x)在[a，c]上单调递增
√
√
ABD [由减函数的定义，知A说法正确；
对于B， x1，x2∈(a，b)，当x1f (x2)，所以f (x)不是
(a，b)上的增函数，B说法正确；
对于C，若f (x)＝则f (x)在[0，1]和(1，2]上均单调递增，但f (x)在[0，2]上不单调递增，C说法错误；对比C选项，D选项两区间有重合部分，正确．故选ABD．]
4．已知函数y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)(2，＋∞) [∵y＝f (x)是定义在R上的增函数，且 f (1－a)2，则a的取值范围为(2，＋∞)．]
(2，＋∞)
1．知识链：
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：(1)函数的单调区间不能用并集．
(2)分段函数的单调性易忽视临界值．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若x1，x2是区间I上任意实数，且(x1－x2)·[ f (x1)－f (x2)]>0，则
f (x)在I上是否具有单调性？
[提示] f (x)在I上单调递增．
2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？
[提示] 定义法、图象法和基本初等函数法．
3．用定义证明一个函数的单调性常有哪些步骤？
[提示] 一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论．
4．在应用函数单调性解题时应注意什么？
[提示] 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f (x)在I上单调递增，则f (x1)章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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课时分层作业(二十) 函数的单调性
√
一、选择题
1．函数f (x)＝－的单调递增区间是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)，(2，＋∞)
D [函数f (x)＝－x≠2}，又f (x)＝－的图象是由y＝－的图象向右平移2个单位长度得到的，且y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，所以f (x)＝－的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)．故选D．]
题号
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√
2．[0，3]是函数f (x)定义域内的一个区间，若f (1)＜f (2)，则函数f (x)在区间[0，3]上( )
A．单调递增
B．单调递减
C．既单调递增又单调递减
D．单调性不确定
D [由于仅知道f (1)题号
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√
3．设f (x)是定义在R上的减函数，则( )
A．f (a)>f (2a)
B．f (a2)C．f (a2＋a)D．f (a2＋1)题号
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D [ f (x)是定义在R上的减函数，当a>0时，a<2a，f (a)>f (2a)，
当a≤0时，a≥2a，f (a)≤f (2a)，故A错误；
当a＝0或a＝1时，a2＝a，则f (a2)＝f (a)，故B错误；
当a＝0时，a2＋a＝a，则f (a2＋a)＝f (a)，故C错误；
由a2＋1>a，得f (a2＋1)√
题号
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4．若f (x)＝在R上是减函数，则a的取值范围为( )
A．[0，3]
B．[0，3)
C．[1，3]
D．[1，3)
题号
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D [根据题意，若f (x)＝在R上是减函数，则有解得1≤a<3．故选D．]
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题号
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√
√
5．(多选)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A．>0
B．(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0
C．若x1D．>0
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ABD [因为f (x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f (x1)－f (x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中，若x1题号
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二、填空题
6．已知函数f (x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f (x)单调递增，当x∈(－∞，－2)时，f (x)单调递减，则m＝________，f (1)＝______．
－8 13 [∵函数f (x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间[－2，＋∞)上单调递增，∴＝－2，
∴m＝－8，即f (x)＝2x2＋8x＋3．∴f (1)＝13．]
－8
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7．已知函数f (x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是___________．
(－∞，1] [因为函数f (x)在(－∞，－a]上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1．]
(－∞，1]
题号
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8．已知f (x)是定义在区间[－2，2]上的增函数，且f (x－2) [由题意，得
解得0≤x<，
所以满足题意的不等式的解集为．]
题号
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三、解答题
9．已知函数 f (x)＝x＋，且 f (1)＝2．
(1)求a；
(2)根据定义证明函数 f (x)在区间(1，＋∞)上单调递增；
(3)在区间(1，＋∞)上，若函数 f (x)满足 f (a＋2)＞f (2a－1)，求实数a的取值范围．
题号
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[解] (1)∵f (1)＝2, ∴2＝1＋a，∴a＝1．
(2)证明： x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则 f (x1)－f (x2)＝x1＋＝(x1－x2)，
∵x1＜x2，x1x2∈(1，＋∞)，
∴x1x2＞0，x1－x2＜0，x1x2－1＞0，
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2),
故f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
题号
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(3)∵f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
f (a＋2)＞f (2a－1)，
∴解得1＜a＜3．
∴实数a的取值范围为(1，3)．
题号
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10．已知函数 f (x)＝x2－kx－8在[1，4]上是单调函数，则实数k的取值范围为( )
A．
B．
C．(－∞，－8]∪[－2，＋∞)
D．(－∞，2]∪[8，＋∞)
√
D [ f (x)＝x2－kx－8图象的对称轴为直线x＝，
若f (x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调递增，则≤1，解得k≤2，
若f (x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调递减，则≥4，解得k≥8，所以实数k的取值范围为(－∞，2]∪[8，＋∞)．
故选D．]
题号
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√
11．已知函数f (x)＝若f (4－a)>f (a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
A [画出f (x)的图象(图略)，可判断f (x)在R上单调递增，因为f (4－a)
>f (a)，所以4－a>a，解得a<2．故选A．]
题号
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12．设函数 f (x)＝，g(x)＝x2＋(m－1)x＋1，若函数 f (x)与g(x)在(1，＋∞)上均单调递增，则实数m的取值范围为__________．
[－1，3) [由函数f (x)＝在(1，＋∞)上单调递增，得m－3<0，解得m<3，
由函数g(x)＝x2＋(m－1)x＋1在(1，＋∞)上单调递增，得－≤1，解得m≥－1，
所以实数m的取值范围为－1≤m<3．]
[－1，3)
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13．已知f (x)＝在区间(－∞，－2)上单调递增，则a的取值范围是___________．
[ f (x)＝，
因为f (x)在区间(－∞，－2)上单调递增，
所以1－2a<0，即a>．]
题号
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14．定义在R上的函数f (x)，对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0，且f (3)＝2，求不等式f (x－1)≤2的解集．
[解] 因为对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0，所以f (x)在R上单调递增．
因为f (3)＝2，所以由f (x－1)≤2可得f (x－1)≤f (3)，所以x－1≤3，得x≤4．
则f (x－1)≤2的解集为(－∞，4]．
题号
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15．若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且对一切x，y>0，满足f ＝
f (x)－f (y)．
(1)求f (1)的值；
(2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集．
[解] (1)在f ＝f (x)－f (y)中，令x＝y＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)＝0，∴f (1)＝0．
(2)∵f (6)＝1，∴f (x＋3)－f (2)<1＝f (6)，∴f ∵f (x)在(0，＋∞)上单调递增，∴
解得－3故不等式 f (x＋3)－f (2)<1的解集为{x|－3题号
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[点评] 求解本题把握以下三点：
(1)f ＝f (x)－f (y)，x，y＞0；
(2)赋值x＝y；
(3)f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
题号
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谢 谢！课时分层作业(二十) 函数的单调性
一、选择题
1．函数f (x)＝－的单调递增区间是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)，(2，＋∞)
2．[0，3]是函数f (x)定义域内的一个区间，若f (1)＜f (2)，则函数f (x)在区间[0，3]上( )
A．单调递增
B．单调递减
C．既单调递增又单调递减
D．单调性不确定
3．设f (x)是定义在R上的减函数，则( )
A．f (a)>f (2a)
B．f (a2)C．f (a2＋a)D．f (a2＋1)4．若f (x)＝在R上是减函数，则a的取值范围为( )
A．[0，3] B．[0，3)
C．[1，3] D．[1，3)
5．(多选)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A．>0
B．(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0
C．若x1D．>0
二、填空题
6．已知函数f (x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f (x)单调递增，当x∈(－∞，－2)时，f (x)单调递减，则m＝________，f (1)＝______．
7．已知函数f (x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是________．
8．已知f (x)是定义在区间[－2，2]上的增函数，且f (x－2)三、解答题
9．已知函数f (x)＝x＋，且f (1)＝2．
(1)求a；
(2)根据定义证明函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递增；
(3)在区间(1，＋∞)上，若函数f (x)满足f (a＋2)＞f (2a－1)，求实数a的取值范围．
10．已知函数f (x)＝x2－kx－8在[1，4]上是单调函数，则实数k的取值范围为( )
A．
B．
C．(－∞，－8]∪[－2，＋∞)
D．(－∞，2]∪[8，＋∞)
11．已知函数f (x)＝若f (4－a)>f (a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
12．设函数f (x)＝，g(x)＝x2＋(m－1)x＋1，若函数f (x)与g(x)在(1，＋∞)上均单调递增，则实数m的取值范围为________．
13．已知f (x)＝在区间(－∞，－2)上单调递增，则a的取值范围是________．
14．定义在R上的函数f (x)，对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0，且f (3)＝2，求不等式f (x－1)≤2的解集．
15．若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且对一切x，y>0，满足f ＝f (x)－f (y)．
(1)求f (1)的值；
(2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集．
课时分层作业(二十)
1．D [函数f(x)＝－的定义域为{x|x≠2}，又f(x)＝－的图象向右平移2个单位长度得到的，且y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，所以f(x)＝－的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)．故选D．]
2．D [由于仅知道f(1)3．D [f(x)是定义在R上的减函数，当a>0时，a<2a，f(a)>f(2a)，
当a≤0时，a≥2a，f(a)≤f(2a)，故A错误；
当a＝0或a＝1时，a2＝a，则f(a2)＝f(a)，故B错误；
当a＝0时，a2＋a＝a，则f(a2＋a)＝f(a)，故C错误；
由a2＋1>a，得f(a2＋1)4．D [根据题意，若f(x)＝在R上是减函数，则有解得1≤a<3．故选D．]
5．ABD [因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中，若x16．－8 13 [∵函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间[－2，＋∞)上单调递增，∴＝－2，
∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3．
∴f(1)＝13．]
7．(－∞，1] [因为函数f(x)在(－∞，－a]上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1．]
8．[0， [由题意，得
解得0≤x<，
所以满足题意的不等式的解集为[0，．]
9．解：(1)∵f(1)＝2， ∴2＝1＋a，∴a＝1．
(2)证明： x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋＝(x1－x2)·，
∵x1∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
(3)∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
f(a＋2)>f(2a－1)，
∴解得1∴实数a的取值范围为(1，3)．
10．D [f(x)＝x2－kx－8图象的对称轴为直线x＝，
若f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调递增，则≤1，解得k≤2，
若f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调递减，则≥4，解得k≥8，所以实数k的取值范围为(－∞，2]∪[8，＋∞)．
故选D．]
11．A [画出f(x)的图象(图略)，可判断f(x)在R上单调递增，因为f(4－a)>f(a)，所以4－a>a，解得a<2．故选A．]
12．[－1，3) [由函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，得m－3<0，解得m<3，
由函数g(x)＝x2＋(m－1)x＋1在(1，＋∞)上单调递增，得－≤1，解得m≥－1，
所以实数m的取值范围为－1≤m<3．]
13．(，＋∞) [f(x)＝，
因为f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，
所以1－2a<0，即a>．]
14．解：因为对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0，所以f(x)在R上单调递增．
因为f(3)＝2，所以由f(x－1)≤2可得f(x－1)≤f(3)，所以x－1≤3，得x≤4．
则f(x－1)≤2的解集为(－∞，4]．
15．解：(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)＝0，∴f(1)＝0．
(2)∵f(6)＝1，∴f(x＋3)－f(2)<1＝f(6)，
∴f∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴解得－3故不等式f(x＋3)－f(2)<1的解集为{x|－3[点评] 求解本题把握以下三点：
(1)f＝f(x)－f(y)，x，y>0；
(2)赋值x＝y；
(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
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