第2课时 函数的最大(小)值
[学习目标] 1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(数学抽象、直观想象) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(逻辑推理、数学运算) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(数学建模)
探究1 利用图象求函数的最值
问题1 如图，设函数f (x)＝(x－1)2图象上最低点的纵坐标为M．
(1)对函数定义域内任意自变量x，f (x)与M的大小关系如何？
(2)M是函数f (x)的最大值还是最小值？
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问题2 你能以f (x)＝－(x－1)2为例说明f (x)的最大值的含义吗？
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[新知生成]
函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有
f (x)__M f (x)__M
x0∈D，使得____________
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
[典例讲评] 1．已知函数f (x)＝
求函数f (x)的最大值、最小值．
[尝试解答] _________________________________________________________
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图象法求最值的基本步骤
[学以致用] 【链接教材P81练习T2】
1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．无最大值
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探究2 利用单调性求函数的最值(值域)
[典例讲评] 【链接教材P81例5】
2．已知函数f (x)＝．
(1)求函数的定义域；
(2)用定义法证明：f (x)在[2，6]上单调递增；
(3)求f (x)在[2，6]上的最大值与最小值．
[尝试解答] _________________________________________________________
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函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是________，最大(小)值是________．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是________，最小(大)值是f (a)与f (c)中__________的一个．
提醒：不判断单调性而直接将区间的两端点值代入是求函数最值时最容易出现的错误．
[学以致用] 【链接教材P81练习T3】
2．已知函数f (x)＝4x＋．
(1)判断并证明函数f (x)在区间[1，＋∞)上的单调性；
(2)求函数f (x)在区间[1，2)上的值域．
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探究3 探究生活中的实际问题
[典例讲评] 【链接教材P80例4】
3．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，小王公司生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，生产量为x(单位：万件)时，需另投入流动成本为W(x)(单位：万元)．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产销售中所获利润最大？最大利润是多少？
[尝试解答] _________________________________________________________
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解实际应用题的4个步骤
[学以致用] 【链接教材P86习题3.2T4】
3．某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？
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1．函数f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f (－2)，0
B．0，2
C．f (－2)，2
D．f (2)，2
2．设函数f (x)＝2x－1(x<0)，则f (x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
3．(教材P81练习T3改编)函数f (x)＝在区间上的最大值为( )
A．4 B．2
C．0 D．－4
4．(教材P86习题3.2T10改编)用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，则当隔墙的长度为________m时，围成的矩形场地的面积最大，最大值为________m2．
1．知识链：
2．方法链：单调性法、数形结合法．
3．警示牌：(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．
第2课时 函数的最大(小)值
[探究建构] 探究1
问题1 提示：(1)f(x)的定义域为R， x∈R，f(x)M．
(2)M是函数f(x)的最小值．
问题2 提示：f(x)的定义域为R， x∈R，f(x)f(1)＝0，称f(1)＝0为函数f(x)＝－(x－1)2的最大值．
新知生成 f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标
典例讲评 1．解：
作出f(x)的图象，如图．
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值2；
当x时，f(x)取最小值－．
所以f(x)的最大值为2，最小值为－．
学以致用 1．B [f(x)的图象如图中实线所示，f(x)的最大值是1，故选B．
]
探究2
典例讲评 2．解：(1)由x－1≠0得x≠1，
∴f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
(2)证明： x1，x2∈[2，6]，且x1则f(x2)－f(x1)
，
∵x2－x1>0，x2－1>x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在上单调递增．
(3)由(2)知f(x)在上单调递增，
∴f(x)max＝f(6)，f(x)min＝f(2)＝1．
发现规律 (1)f(a) f(b) (2)f(b) 较小(大)
学以致用 2．解：(1)f(x)在[1，＋∞)上单调递增，理由如下：
x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝4x1＋4(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝，
因为x1，x2∈[1，＋∞)，且x1所以x1－x2<0，x1x2>1，2(2x1x2－1)>0，
故f(x1)－f(x2)<0，
故f(x1)所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)∈[f(1)，f(2))，其中f(1)＝6，f(2)＝9，
所以f(x)的值域为[6，9)．
探究3
典例讲评 3．解：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，
当0当x8时，L(x)＝5x－，
所以L(x)
(2)当0因此当x＝6时，y取得最大值9；
当x8时，y＝35－15，
当且仅当x，即x＝10时，y取得最大值15．
因为15>9，所以年产量为10万件时，小王在这一商品的生产销售中所获利润最大，最大利润是15万元．
学以致用 3．解：设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元．
因为此时每间房单价为200＋20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160－10x间，因此
y＝(200＋20x)(160－10x)
＝200(10＋x)(16－x)
＝200(－x2＋6x＋160)
＝200[－(x－3)2＋169]
＝－200(x－3)2＋33 800．
从而可知，当x＝3时，y的最大值为33 800．
因此每间房单价提到200＋20×3＝260(元)时，每天客房的租金总收入最高．
[应用迁移]
1．C [由题图可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2．]
2．D [∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)3．B [f(x)上单调递减，
∴f (x)max＝f ＝4－2＝2．]
4.3 18 [设隔墙长度为x m，0所以当x＝3时，Smax＝18．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第三章
函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
[学习目标] 1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(数学抽象、直观想象) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(逻辑推理、数学运算) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？
问题2．函数最大值、最小值的定义是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 利用图象求函数的最值
问题1 如图，设函数 f (x)＝(x－1)2图象上最低点的纵坐标为M．
(1)对函数定义域内任意自变量x，f (x)与M的大小关系如何？
(2)M是函数 f (x)的最大值还是最小值？
提示：(1) f (x)的定义域为R， x∈R，f (x)≥M．
(2)M是函数 f (x)的最小值．
问题2 你能以f (x)＝－(x－1)2为例说明f (x)的最大值的含义吗？
提示：f (x)的定义域为R， x∈R，f (x)≤f (1)＝0，称f (1)＝0为函数
f (x)＝－(x－1)2的最大值．
[新知生成]
函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有 f (x)__M f (x)__M
x0∈D，使得__________ ≤
≥
f (x0)＝M
【教用·微提醒】 函数 f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标．
最大值 最小值
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
几何 意义 f (x)图象上最高点的______ f (x)图象上最低点的______
纵坐标
纵坐标
[典例讲评] 1．已知函数f (x)＝
求函数f (x)的最大值、最小值．
[解] 作出f (x)的图象，如图．
由图象可知，当x＝2时，f (x)取最大值2；
当x＝时，f (x)取最小值－．
所以f (x)的最大值为2，最小值为－．
反思领悟 图象法求最值的基本步骤
[学以致用] 【链接教材P81练习T2】
1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则 f (x)的最大值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．无最大值
B [ f (x)的图象如图中实线所示，f (x)的最大值是1，故选B．]
√
【教材原题·P81练习T2】设函数f (x)的定义域为[－6，11]．如果
f (x)在区间[－6，－2]上单调递减，在区间[－2，11]上单调递增，画出f (x)的一个大致的图象，从图象上可以发现 f (－2)是函数 f (x)的一个_______．
最小值
最小值 [依题意，f (x)在区间[－6，－2]上单调递减，在区间[－2，11]上单调递增，
从函数图象上可得，图象在[－6，－2]上从左至右下降，在[－2，11]上从左至右上升，从而可得f (x)在[－6，11]
上的大致图象如图所示．
由图可知f (－2)是函数f (x)的一个最小值．]
【教用·备选题】 已知函数 f (x)＝|x|(x＋1)，试画出函数 f (x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数 f (x)的单调区间；
(2)求函数 f (x)在区间上的最大值．
[解] f (x)＝|x|(x＋1)＝
的图象如图所示．
(1) f (x)在和(0，＋∞)上单调递增，
在上单调递减，
因此f (x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为．
(2)因为f ，所以f (x)在区间上的最大值为．
探究2 利用单调性求函数的最值(值域)
[典例讲评] 【链接教材P81例5】
2．已知函数 f (x)＝．
(1)求函数的定义域；
(2)用定义法证明：f (x)在[2，6]上单调递增；
(3)求 f (x)在[2，6]上的最大值与最小值．
[解] (1)由x－1≠0得x≠1，
∴f (x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
(2)证明： x1，x2∈[2，6]，且x1f (x2)－f (x1)＝＝，
∵x2－x1>0，x2－1>x1－1>0，
∴f (x2)－f (x1)>0，即f (x2)>f (x1)，
∴f (x)在上单调递增．
(3)由(2)知f (x)在上单调递增，
∴f (x)max＝f (6)＝，f (x)min＝f (2)＝1．
【教材原题·P81例5】
例5 已知函数 f (x)＝(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值．
分析：由函数 f (x)＝(x∈[2，6])的图象(图3.2-5)可知，函数 f (x)＝在区间[2，6]上单调递减．所以，函数 f (x)＝在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．
[解] x1，x2∈[2，6]，且x1f (x1)－f (x2)＝＝＝．
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)．
所以，函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递减．
因此，函数f (x)＝在区间 [2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4．
发现规律 函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是________，最大(小)值是________．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是________，最小(大)值是f (a)与f (c)中__________的一个．
f (a)
f (b)
f (b)
较小(大)
提醒：不判断单调性而直接将区间的两端点值代入是求函数最值时最容易出现的错误．
[学以致用] 【链接教材P81练习T3】
2．已知函数 f (x)＝4x＋．
(1)判断并证明函数 f (x)在区间[1，＋∞)上的单调性；
(2)求函数 f (x)在区间[1，2)上的值域．
[解] (1) f (x)在[1，＋∞)上单调递增，理由如下：
x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f (x1)－f (x2)＝4x1＋
＝4(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝，
因为x1，x2∈[1，＋∞)，且x1所以x1－x2<0，x1x2>1，2(2x1x2－1)>0，
故f (x1)－f (x2)<0，
故f (x1)所以函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以f (x)∈[ f (1)，f (2))，其中f (1)＝6，f (2)＝9，
所以f (x)的值域为[6，9)．
【教材原题·P81练习T3】已知函数f (x)＝，求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
[解] x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝．
∵x1，x2∈[2，6]，∴x1x2＞0．
又∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)．
∴f (x)＝在[2，6]上单调递减，
∴f (x)max＝f (2)＝，f (x)min＝f (6)＝．
【教用·备选题】 函数f (x)＝－x＋在上的最大值是( )
A． B．－
C．－2 D．2
A [∵f (x)＝－x＋在上单调递减，
∴f (x)max＝f (－2)＝2－．故选A．]
√
探究3 探究生活中的实际问题
[典例讲评] 【链接教材P80例4】
3．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，小王公司生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，生产量为x(单位：万件)时，需另投入流动成本为W(x)(单位：万元)．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产销售中所获利润最大？最大利润是多少？
[解] (1)因为每件产品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，
当0＜x＜8时，L(x)＝5x－x2＋4x－3，
当x≥8时，L(x)＝5x－，
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜8时，y＝－(x－6)2＋9≤9，
因此当x＝6时，y取得最大值9；
当x≥8时，y＝35－≤35－2＝15，
当且仅当x＝，即x＝10时，y取得最大值15．
因为15＞9，所以年产量为10万件时，小王在这一商品的生产销售中所获利润最大，最大利润是15万元．
【教材原题·P80例4】
例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝＋14.7t＋18，那么烟花
冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面
的高度是多少(精确到1 m)
[解] 画出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(图3.2-4)．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：
当t＝－＝1.5时，函数有最大值
h＝≈29．
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，
这时距地面的高度约为29 m．
反思领悟 解实际应用题的4个步骤
[学以致用] 【链接教材P86习题3.2T4】
3．某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？
[解] 设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元．
因为此时每间房单价为200＋20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160－10x间，因此
y＝(200＋20x)(160－10x)
＝200(10＋x)(16－x)
＝200(－x2＋6x＋160)
＝200[－(x－3)2＋169]
＝－200(x－3)2＋33 800．
从而可知，当x＝3时，y的最大值为33 800．
因此每间房单价提到200＋20×3＝260(元)时，每天客房的租金总收入最高．
【教材原题·P86习题3.2T4】某汽车租赁公司的月收益y(单位：元)与每辆车的月租金x(单位：元)间的关系为y＝－＋162x－21 000，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
[解] y＝－(x－4 050)2＋307 050，∴当x＝4 050时，ymax＝307 050．即每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．
应用迁移 随堂评估自测
1．函数f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f (－2)，0
B．0，2
C．f (－2)，2
D．f (2)，2
√
C [由题图可知，此函数的最小值是f (－2)，最大值是2．]
√
2．设函数f (x)＝2x－1(x<0)，则f (x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
D [∵f (x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f (x)√
3．(教材P81练习T3改编)函数f (x)＝在区间上的最大值为( )
A．4 B．2
C．0 D．－4
B [ f (x)＝在上单调递减，
∴f (x)max＝f ＝4－2＝2．]
4．(教材P86习题3.2T10改编)用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，则当隔墙的长度为________m时，围成的矩形场地的面积最大，最大值为________m2．
3 18 [设隔墙长度为x m，0所以当x＝3时，Smax＝18．]
3
18
1．知识链：
2．方法链：单调性法、数形结合法．
3．警示牌：(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解函数最值定义中的“任意”和“存在”两个量词？
[提示] 函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)值，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．
2．求函数最值的常用方法有哪些？
[提示] (1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值．
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值．
(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
3．如何求分段函数的最值？
[提示] 可先分段求出每段的最值，再采用“大中取大，小中取小”的原则求出最值．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(二十一) 函数的最大(小)值
√
一、选择题
1．函数 f (x)＝＋2在[0，1]上的最小值为( )
A．2 B．
C．2 D．3
B [因为f (x)＝＋2在[0，1]上单调递减，
所以f (x)min＝f (1)＝．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－x2＋12x－10，那么该商品的日利润最大时，当日售价为( )
A．5元 B．6元
C．7元 D．26元
B [y＝－x2＋12x－10＝－(x－6)2＋26，所以当x＝6时，y取最大值26．故选B．]
题号
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15
√
3．函数f (x)＝的最值情况为( )
A．最小值为0，最大值为1
B．最小值为1，无最大值
C．最小值为0，最大值为5
D．最小值为0，无最大值
题号
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15
D [当x∈[－1，0]时，f (x)的最大值为1，最小值为0；当x∈(0，1]时，f (x)的最小值为1，无最大值．所以f (x)的最小值为0，无最大值．故选D．]
√
题号
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4．(多选)若函数f (x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m可以取( )
A．
B．
C．3
D．
√
√
题号
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ABC [ f (x)＝x2－3x－4图象的对称轴为直线x＝．
当x∈[0，m]时，f (x)的值域为，
由于f ，所以m≥．
当y＝－4时，x＝0或x＝3，因此m≤3，
综上可得，m的取值范围是．
结合选项知，m可取，3．]
√
题号
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√
5．(多选)已知函数f (x)＝，则下列选项正确的是( )
A．若f (x)＝2，则x＝14
B．函数f (x)在定义域内是减函数
C．若x∈[2，8]，则f (x)的值域是[－1，5]
D．若x∈N，则函数f (x)有最小值也有最大值
题号
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AD [对于A，由f (x)＝2，可得＝2，解得x＝14，故A正确；
对于B，f (x)＝的定义域为(－∞，6)∪(6，＋∞)，
所以f (x)在(－∞，6)上单调递减，且f (x)＜1，
f (x)在(6，＋∞)上单调递减，且f (x)＞1，
故f (x)在(－∞，6)∪(6，＋∞)上不是单调函数，故B错误；
对于C，由B可得，当x∈[2，6)时，f (x)≤f (2)＝－1，
当x∈(6，8]时，f (x)≥f (8)＝5，所以 f (x)的值域是(－∞，－1]∪
[5，＋∞)，
当x＝6时，f (x)无意义，故C错误；
对于D，当x∈N且x∈[0，6)时，－7＝f (5)≤f (x)≤f (0)＝－，
当x∈N且x∈(6，＋∞)时，1＜f (x)≤f (7)＝9，
所以若x∈N，函数f (x)有最小值也有最大值，故D正确．故选AD．]
题号
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二、填空题
6．若函数f (x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
4 [因为f (x)＝在[1，b]上单调递减，
所以f (x)在[1，b]上的最小值为f (b)＝，
所以b＝4．]
4
题号
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7．如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是____m．
题号
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[由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点，此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋＝－(x－1)2＋，x∈，故当x＝1时，函数有最大值h(x)max＝(m)．于是水流喷出的最高高度是 m．]
题号
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8．若函数 f (x)满足 f (x＋1)＝x(x＋3)，x∈R，则 f (x)的最小值为_____．
－ [由f (x＋1)＝x(x＋3)＝(x＋1)2＋(x＋1)－2，得f (x)＝x2＋x－2＝，所以f (x)的最小值是－．]
－
题号
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三、解答题
9．已知 f (x)＝，x∈(－2，2)．
(1)求证：函数f (x)在区间(－2，2)上单调递增；
(2)求函数 f (x)在区间(－2，2)上的值域．
题号
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[解] (1)证明： x1，x2∈(－2，2)且x1＜x2，则
f (x2)－f (x1)＝
＝
＝
＝，
题号
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又x1x2－4＜0，x1－＞0，所以f (x2)－f (x1)＞0，即f (x2)＞f (x1)，
所以函数f (x)在区间(－2，2)上单调递增．
(2)由(1)知函数f (x)在区间(－2，2)上单调递增，又f (－2)＝－，f (2)＝，所以函数f (x)在区间(－2，2)上的值域为．
题号
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10．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润L(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中x为销售量，单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
√
题号
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C [设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－，
∴当x＝9或x＝10时，L取最大值120万元．]
题号
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11．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设 f (x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f (x)的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．10
√
C [在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f (x)的图象应
为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交
点为(4，6)．
所以f (x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f (x)的最大值为6．]
题号
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√
题号
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√
12．(多选)下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x2＋2x＋3
B．y＝x＋
C．y＝
D．y＝x－(x∈[－1，0))
题号
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15
AD [对于A, y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以函数最小值为2，故A正确；
对于B，当x>0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取得等号，
当x<0时，y＝－，
因为－x＋≥2＝2，
所以y＝－≤－2，当且仅当－x＝，
即x＝－1时取得等号，所以y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故B错误；
对于C，y＝在x∈上单调递减，
所以当x＝9时函数有最小值为，故C错误；
对于D，y＝x－在x∈[－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时函数有最小值为－1－＝2，故D正确．
故选AD．]
题号
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题号
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13．已知函数f (x)＝，函数g(x)＝－(x－1)2＋a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．
[0，2] [ f (x)＝，则函数f (x)在[0，2]上单调递增，则f (0)≤f (x)≤f (2)，即0≤f (x)≤1，所以函数f (x)的值域是A＝[0，1]．又g(x)＝－(x－1)2＋a在[0，2]上的值域是B＝[a－1，a]，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)成立，则A∩B≠ ．若A∩B＝ ，则a＜0或a－1＞1，即a＜0或a＞2，所以实数a的取值范围是[0，2]．]
[0，2]
题号
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14．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y＝f (x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
x/元 45 50
y/件 27 12
题号
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[解] (1)因为f (x)是一次函数，设 f (x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组
解得
所以y＝f (x)＝－3x＋162．
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
题号
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(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432(元)，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
题号
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15．已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x>0时，f (x)<0，f (1)＝－．
(1)求证：f (x)是R上的减函数；
(2)求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
[解] (1)证明：f (x)＋f (y)＝f (x＋y)中令x＝y＝0得f (0)＝0，
令y＝－x得f (x)＋f (－x)＝f (0)＝0，
即f (－x)＝－f (x)，
x1，x2∈R且x1∵x>0时，f (x)<0，且x2－x1>0，
∴f (x2－x1)<0，则f (x2)－f (x1)<0，即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)是R上的减函数．
题号
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(2)由(1)知f (x)min＝f (3)，f (x)max＝f (－3)，且f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝－2，
∴f (－3)＝－f (3)＝2，
∴f (x)min＝－2，f (x)max＝2．
即f (x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2．
[点评] 立足减函数的定义，以x＞0时，f (x)＜0为切入点，充分利用f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，把x2表示成x2＝(x2－x1)＋x1求解即可．
题号
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谢 谢！课时分层作业(二十一) 函数的最大(小)值
一、选择题
1．函数f (x)＝＋2在[0，1]上的最小值为( )
A．2 B．
C．2 D．3
2．某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－x2＋12x－10，那么该商品的日利润最大时，当日售价为( )
A．5元 B．6元
C．7元 D．26元
3．函数f (x)＝的最值情况为( )
A．最小值为0，最大值为1
B．最小值为1，无最大值
C．最小值为0，最大值为5
D．最小值为0，无最大值
4．(多选)若函数f (x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m可以取( )
A． B．
C．3 D．
5．(多选)已知函数f (x)＝，则下列选项正确的是( )
A．若f (x)＝2，则x＝14
B．函数f (x)在定义域内是减函数
C．若x∈[2，8]，则f (x)的值域是[－1，5]
D．若x∈N，则函数f (x)有最小值也有最大值
二、填空题
6．若函数f (x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
7．如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m．
8．若函数f (x)满足f (x＋1)＝x(x＋3)，x∈R，则f (x)的最小值为________．
三、解答题
9．已知f (x)＝，x∈(－2，2)．
(1)求证：函数f (x)在区间(－2，2)上单调递增；
(2)求函数f (x)在区间(－2，2)上的值域．
10．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润L(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中x为销售量，单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
11．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f (x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f (x)的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．10
12．(多选)下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x2＋2x＋3
B．y＝x＋
C．y＝
D．y＝x－(x∈[－1，0))
13．已知函数f (x)＝，函数g(x)＝－(x－1)2＋a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．
14．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x/元 45 50
y/件 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f (x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
15．已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x>0时，f (x)<0，f (1)＝－．
(1)求证：f (x)是R上的减函数；
(2)求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
课时分层作业(二十一)
1．B [因为f(x)＝＋2在[0，1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(1)＝．故选B．]
2．B [y＝－x2＋12x－10＝－(x－6)2＋26，所以当x＝6时，y取最大值26．故选B．]
3．D [当x∈[－1，0]时，f(x)的最大值为1，最小值为0；当x∈(0，1]时，f(x)的最小值为1，无最大值．所以f(x)的最小值为0，无最大值．故选D．]
4．ABC [f(x)＝x2－3x－4图象的对称轴为直线x＝．
当x∈[0，m]时，f(x)的值域为[－，－4]，
由于f(，所以m≥．
当y＝－4时，x＝0或x＝3，因此m≤3，
综上可得，m的取值范围是[，3]．
结合选项知，m可取，3．]
5．AD [对于A，由f(x)＝2，可得＝2，解得x＝14，故A正确；
对于B，f(x)＝的定义域为(－∞，6)∪(6，＋∞)，
所以f(x)在(－∞，6)上单调递减，且f(x)<1，
f(x)在(6，＋∞)上单调递减，且f(x)>1，
故f(x)在(－∞，6)∪(6，＋∞)上不是单调函数，故B错误；
对于C，由B可得，当x∈[2，6)时，f(x)≤f(2)＝－1，
当x∈(6，8]时，f(x)≥f(8)＝5，所以f(x)的值域是(－∞，－1]∪[5，＋∞)，
当x＝6时，f(x)无意义，故C错误；
对于D，当x∈N且x∈[0，6)时，－7＝f(5)≤f(x)≤f(0)＝－，
当x∈N且x∈(6，＋∞)时，1所以若x∈N，函数f(x)有最小值也有最大值，故D正确．故选AD．]
6．4 [因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，
所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝，
所以b＝4．]
7． [由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点，此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋＝－(x－1)2＋，x∈，故当x＝1时，函数有最大值h(x)max＝(m)．于是水流喷出的最高高度是 m．]
8．－ [由f(x＋1)＝x(x＋3)＝(x＋1)2＋(x＋1)－2，得f(x)＝x2＋x－2＝，所以f(x)的最小值是－．]
9．解：(1)证明： x1，x2∈(－2，2)且x1f(x2)－f(x1)＝
＝，
又x1x2－4<0，x1－x2<0，(＋4)(＋4)>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增，又f(－2)＝－，f(2)＝，
所以函数f(x)在区间(－2，2)上的值域为(－．
10．C [设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－(x－，
∴当x＝9或x＝10时，L取最大值120万元．]
11．
C [在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6)．
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6．]
12．AD [对于A， y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以函数最小值为2，故A正确；
对于B，当x>0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取得等号，
当x<0时，y＝－(－x＋，
因为－x＋＝2，
所以y＝－(－x＋≤－2，当且仅当－x＝，
即x＝－1时取得等号，所以y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故B错误；
对于C，y＝上单调递减，
所以当x＝9时函数有最小值为，故C错误；
对于D，y＝x－在x∈[－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时函数有最小值为－1－＝2，故D正确．
故选AD．]
13．[0，2] [f(x)＝，则函数f(x)在[0，2]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(2)，即0≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域是A＝[0，1]．又g(x)＝－(x－1)2＋a在[0，2]上的值域是B＝[a－1，a]，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A∩B≠ ．若A∩B＝ ，则a<0或a－1>1，即a<0或a>2，所以实数a的取值范围是[0，2]．]
14．解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组
解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162．
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432(元)，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
15．解：(1)证明：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)中令x＝y＝0得f(0)＝0，
令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
x1，x2∈R且x1∵x>0时，f(x)<0，且x2－x1>0，
∴f(x2－x1)<0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是R上的减函数．
(2)由(1)知f(x)min＝f(3)，f(x)max＝f(－3)，且f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－2，
∴f(－3)＝－f(3)＝2，
∴f(x)min＝－2，f(x)max＝2．
即f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2．
[点评] 立足减函数的定义，以x>0时，f(x)<0为切入点，充分利用f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，把x2表示成x2＝(x2－x1)＋x1求解即可．
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