3.3 幂函数
[学习目标] 1．了解幂函数的概念．(数学抽象) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的图象，掌握它们的性质．(直观想象) 3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)
探究1 幂函数的概念
问题1 李明大学毕业后，结合自身专业特点，在自己的家乡搞起了大棚蔬菜种植．
①今年精品胡萝卜的价格为每千克1元，他已售x千克的精品胡萝卜，那么他的收入y是多少呢？
②若他的胡萝卜种植地正好为一个正方形，边长是a，那么他的胡萝卜种植地面积S是多少呢？
③若今年设计的胡萝卜精品礼盒是正方体，棱长为b，那么礼盒的体积V是多少呢？
④明年他想扩建一块面积为S的正方形耕地为胡萝卜种植地，那么这个正方形的边长c应该是多少呢？
⑤如果他的胡萝卜在“双十一”活动期间网上销量很好， h分钟卖了一吨，那么他每分钟的平均销量W是多少呢？
(1)观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(2)这类函数解析式的一般形式应如何表示？
[新知生成]
幂函数的概念：一般地，函数_____叫做幂函数，其中x是______，α是____．
[典例讲评] 1．(1)在函数y＝x-2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若f (x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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判断一个函数为幂函数的依据
(1)指数为____．(2)底数为______．(3)系数为_．
[学以致用] 【链接教材P91练习T1】
1．若函数f (x)是幂函数，且满足f (4)＝16，则f (－4)＝________．
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探究2 幂函数的图象与性质
问题2 观察函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象，并完成下表．
项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点 都经过点________
[典例讲评] 2．(1)如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是( )
A．y＝x3 B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x
(2)若幂函数f (x)的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝x
C．f (x)＝x-1 D．f (x)＝x-2
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断．
[学以致用] 【链接教材P91习题3.3T3】
2．(多选)已知幂函数y＝f (x)的图象经过点(9，3)，则下列结论正确的有( )
A．f (x)为偶函数
B．f (x)在定义域内为增函数
C．若x＞1，则f (x)＞1
D．若x2＞x1＞0，则f ＞
____________________________________________________________________
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探究3 幂函数的性质及应用
[典例讲评] 【链接教材P91练习T2】
3．(1)试比较下列各组数的大小：
①1.13，0.893；
；
③．
(2)已知幂函数f (x)＝的图象过点(4，2)．
①求f (x)的解析式；
②判断函数f (x)的单调性，并进行证明；
③若f (a＋1)>f (2a－3)，求实数a的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
比较幂值大小的方法
比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质，如单调性、奇偶性等来解决问题．
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
[学以致用] 3．若，则实数a的取值范围为________．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．已知f (x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( )
A．2 B．1
C． D．0
2．幂函数y＝x2，y＝x-1，y＝在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C1，C2，C3，C4
B．C1，C4，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
3．(教材P91练习T2改编)下列不等式成立的是( )
B．
D．
4．写出一个同时具有下列三个性质的函数：f (x)＝________．
①f (x)＝xα(α∈R)；②f (x)在R上单调递增；
③f (－x)＝－f (x)．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、数形结合法．
3．警示牌：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质．
3.3 幂函数
[探究建构] 探究1
问题1 提示：(1)这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
(2)这类函数解析式的一般形式可用y＝xα表示．
新知生成 y＝xα 自变量 常数
典例讲评 1．(1)B (2)5或－1 [(1)根据幂函数的定义可知，只有y＝x-2是幂函数．故选B．
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，
即m2－4m－5＝0，
解得m＝5或m＝－1．]
发现规律 (1)常数 (2)自变量 (3)1
学以致用 1.16 [设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，
∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16．]
探究2
问题2 提示：R R R [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 (1，1)
典例讲评 2．(1)B (2)D [(1)由幂函数的图象可得，四个幂函数的图象①②③④分别对应的解析式依次为y，y＝x，y＝x2，y＝x3．则其中①对应的幂函数可能是y．故选B．
(2)A：函数f(x)＝x2的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点(0，0)，故A不符合题意；
B：函数f(x)＝x的图象关于原点对称，且与x轴有公共点(0，0)，故B不符合题意；
C：函数f(x)＝x-1的图象关于原点对称，且与x轴无公共点，故C不符合题意；
D：函数f(x)＝x-2的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，故D符合题意．故选D．]
学以致用 2．BCD [设f(x)＝xα，将(9，3)代入，得3＝9α，则α，
∴f(x)．
对于A，易知f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)不具有奇偶性，因此A错误；
对于B，∵>0，∴函数f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，因此B正确；
对于C，当x>1时，>1，即f(x)>1，因此C正确；
对于D，可画出f(x)的图象，并连接点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))，由所得线段的中点位于曲线y＝f(x)下方，可得，因此D正确．]
探究3
典例讲评 3．解：(1)①因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上单调递增，又1.1>0.89，所以1.13>0.893．
②因为函数y在区间[0，＋∞)上单调递增，又2.1>2>1.8，
所以2．．
③因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上单调递增，又<1，所以<11.3＝1．
因为函数y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，又3>1，所以＝1．于是．
(2)①因为f (x)＝为幂函数，
所以m2－2m＋1＝1，
所以m＝2或m＝0．
当m＝2时，f (x)＝，图象过点(4，2)；
当m＝0时，f (x)＝，图象不过点(4，2)，舍去．
综上，f (x)＝．
②函数f (x)＝在[0，＋∞)上单调递增，
x1，x2∈[0，＋∞)，且x1
则f (x1)－f (x2)＝－＝，
因为x1－x2＜0，＋＞0．
所以f (x1)－f (x2)<0，所以f (x1)所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．
③函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
由f (a＋1)>f (2a－3)，
则
得≤a<4．
综上，a的取值范围为．
学以致用 3．[－1，0) [易知函数y的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以
解得－1a<0．]
[应用迁移]
1．A [因为f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2．]
2．D [由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x-1在第一象限内的图象为C4，y在第一象限内的图象为C2，y在第一象限内的图象为C3．故选D．]
3．A
4．x(答案不唯一) [例如f(x)＝x，在R上单调递增，f(－x)＝－x＝－f(x)，满足三个性质．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第三章
函数的概念与性质
3.3 幂函数
[学习目标] 1．了解幂函数的概念．(数学抽象) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的图象，掌握它们的性质．(直观想象) 3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．幂函数是如何定义的？
问题2．幂函数的图象有何特征？
问题3．幂函数的常见性质有哪些？
探究建构 关键能力达成
探究1 幂函数的概念
问题1 李明大学毕业后，结合自身专业特点，在自己的家乡搞起了大棚蔬菜种植．
①今年精品胡萝卜的价格为每千克1元，他已售x千克的精品胡萝卜，那么他的收入y是多少呢？
②若他的胡萝卜种植地正好为一个正方形，边长是a，那么他的胡萝卜种植地面积S是多少呢？
③若今年设计的胡萝卜精品礼盒是正方体，棱长为b，那么礼盒的体积V是多少呢？
④明年他想扩建一块面积为S的正方形耕地为胡萝卜种植地，那么这个正方形的边长c应该是多少呢？
⑤如果他的胡萝卜在“双十一”活动期间网上销量很好， h分钟卖了一吨，那么他每分钟的平均销量W是多少呢？
(1)观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(2)这类函数解析式的一般形式应如何表示？
提示：(1)这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
(2)这类函数解析式的一般形式可用y＝xα表示．
[新知生成]
幂函数的概念：一般地，函数______叫做幂函数，其中x是_______，α是____．
【教用·微提醒】 幂函数解析式的特征：
(1)xα的系数为1．
(2)x为自变量．
(3)α为常数．
y＝xα
自变量
常数
[典例讲评] 1．(1)在函数y＝x-2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若 f (x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
√
5或－1
(1)B (2)5或－1 [(1)根据幂函数的定义可知，只有y＝x-2是幂函数．故选B．
(2)因为f (x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，
即m2－4m－5＝0，
解得m＝5或m＝－1．]
发现规律 判断一个函数为幂函数的依据
(1)指数为____．(2)底数为______．(3)系数为_．
[学以致用] 【链接教材P91练习T1】
1．若函数 f (x)是幂函数，且满足 f (4)＝16，则 f (－4)＝_____．
16 [设 f (x)＝xα，∵f (4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，
∴f (x)＝x2，∴f (－4)＝(－4)2＝16．]
16
常数
自变量
1
【教材原题·P91练习T1】已知幂函数y＝f (x)的图象过点(2，)，求这个函数的解析式．
[解] 设 f (x)＝xα，由已知＝2α，得α＝，即f (x)＝．
探究2 幂函数的图象与性质
问题2 观察函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象，并完成下表．
项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点 都经过点________ 提示：R R R [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞)
{y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在
[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 (1，1)
√
[典例讲评] 2．(1)如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是( )
A．y＝x3 B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x
(2)若幂函数f (x)的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝x
C．f (x)＝x-1 D．f (x)＝x-2
√
(1)B (2)D [(1)由幂函数的图象可得，四个幂函数的图象①②③④分别对应的解析式依次为y＝，y＝x，y＝x2，y＝x3．则其中①对应的幂函数可能是y＝．故选B．
(2)A：函数f (x)＝x2的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点(0，0)，故A不符合题意；
B：函数f (x)＝x的图象关于原点对称，且与x轴有公共点(0，0)，故B不符合题意；
C：函数f (x)＝x-1的图象关于原点对称，且与x轴无公共点，故C不符合题意；
D：函数f (x)＝x-2的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，故D符合题意．故选D．]
反思领悟 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断．
[学以致用] 【链接教材P91习题3.3T3】
2．(多选)已知幂函数y＝f (x)的图象经过点(9，3)，则下列结论正确的有( )
A．f (x)为偶函数
B．f (x)在定义域内为增函数
C．若x＞1，则f (x)＞1
D．若x2＞x1＞0，则f ＞
√
√
√
BCD [设f (x)＝xα，将(9，3)代入，得3＝9α，则α＝，
∴f (x)＝．
对于A，易知f (x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x)不具有奇偶性，因此A错误；
对于B，∵＞0，∴函数f (x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，因此B正确；
对于C，当x＞1时，＞1，即f (x)＞1，因此C正确；
对于D，可画出f (x)＝的图象，并连接点(x1，f (x1))与点(x2，f (x2))，由所得线段的中点位于曲线y＝f (x)下方，可得，因此D正确．]
【教材原题·P91习题3.3T3】试用描点法画出函数 f (x)＝x-2的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明．
[解] f (x)＝．
列表：
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
f (x) … 1 1 …
描点，连线．图象如图所示．
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞0}．f (x)是偶函数，f (x)＝x-2在
(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
证明如下： x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2．则f (x1)－f (x2)＝．
∵x1＜x2＜0，∴x1＋＞0，x2－x1＞0，
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)，
∴f (x)＝x-2在(－∞，0)上单调递增．
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则
f (x1)－f (x2)＝，
∵0＜x1＜x2，
∴x2＋＞0，x2－x1＞0，
∴f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)，
∴f (x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减．
∵f (－x)＝(－x)-2＝x-2＝f (x)，
∴f (x)＝x-2是偶函数．
探究3 幂函数的性质及应用
[典例讲评] 【链接教材P91练习T2】
3．(1)试比较下列各组数的大小：
①1.13，0.893；
；
③．
(2)已知幂函数f (x)＝的图象过点(4，2)．
①求f (x)的解析式；
②判断函数f (x)的单调性，并进行证明；
③若f (a＋1)>f (2a－3)，求实数a的取值范围．
[解] (1)①因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上单调递增，又1.1>0.89，所以1.13>0.893．
②因为函数y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，又2.1>2>1.8，
所以．
③因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上单调递增，又<1，所以<11.3＝1．
因为函数y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，又3>1，所以＝1．于是．
(2)①因为f (x)＝为幂函数，
所以m2－2m＋1＝1，
所以m＝2或m＝0．
当m＝2时，f (x)＝，图象过点(4，2)；
当m＝0时，f (x)＝，图象不过点(4，2)，舍去．
综上，f (x)＝．
②函数f (x)＝在[0，＋∞)上单调递增，
x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f (x1)－f (x2)＝－＝，
因为x1－x2＜0，＋＞0．
所以f (x1)－f (x2)<0，所以f (x1)所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．
③函数 f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
由f (a＋1)>f (2a－3)，
则
得≤a<4．
综上，a的取值范围为．
【教材原题·P91练习T2】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)(－1.5)3，(－1.4)3；(2)．
[解] (1)设f (x)＝x3，则f (x)在R上为增函数．
∵－1.5＜－1.4，∴(－1.5)3＜(－1.4)3．
(2)设g(x)＝，则g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∵－1.5＜－1.4＜0，∴＞．
反思领悟 比较幂值大小的方法
比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质，如单调性、奇偶性等来解决问题．
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
[学以致用] 3．若，则实数a的取值范围为________．
[－1，0) [易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以
解得－1≤a<0．]
[－1，0)
【教用·备选题】 比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
与．
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，
又>，所以>．
(2)因为幂函数y＝x-1在(－∞，0)上单调递减，
又－<－，所以>．
(3)因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以＝1，
又y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以＝1，所以．
应用迁移 随堂评估自测
1．已知f (x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( )
A．2 B．1
C． D．0
√
A [因为f (x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2．]
√
2．幂函数y＝x2，y＝x-1，y＝在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C1，C2，C3，C4
B．C1，C4，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
D [由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x-1在第一象限内的图象为C4，y＝在第一象限内的图象为C2，y＝在第一象限内的图象为C3．故选D．]
√
3．(教材P91练习T2改编)下列不等式成立的是( )
B．
D．
4．写出一个同时具有下列三个性质的函数：f (x)＝________________．
①f (x)＝xα(α∈R)；②f (x)在R上单调递增；
③f (－x)＝－f (x)．
x(答案不唯一) [例如f (x)＝x，在R上单调递增，f (－x)＝－x＝－f (x)，满足三个性质．]
x(答案不唯一)
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、数形结合法．
3．警示牌：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断一个函数是幂函数的关键是什么？
[提示] 关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．所有幂函数y＝xα在原点处都有意义吗？图象都过点(1，1)吗？
[提示] 当α<0时，幂函数在原点处无意义，图象都过点(1，1)．
3．在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？
[提示] 观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面第一象限中的直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞) y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0，1) y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0) y＝xα的图象经过区域
(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的
指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(二十四) 幂函数
√
一、选择题
1．若幂函数f (x)＝(9m－2)xm，则m＝( )
A． B．
C．2 D．1
A [根据幂函数定义可知，9m－2＝1，解得m＝．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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√
2．若幂函数y＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是( )
A．－2 B．2
C． D．
D [y＝x-2＞0，图象不经过第三象限，A不符合题意；y＝x2≥0，图象不经过第三象限，B不符合题意；y＝≥0，图象不经过第三象限，C不符合题意；y＝为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，符合题意．故选D．]
题号
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3．已知函数 f (x)＝则y＝－f (x)的图象大致为( )
√
题号
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C [结合题意可得：当x＜0时，f (x)＝x-2＝为幂函数，在(－∞，0)上单调递增；当x≥0时，f (x)＝＝为幂函数，在[0，＋∞)上单调递增．故函数f (x)＝的图象如图所示．
要得到y＝－f (x)的图象，只需将y＝f (x)的图象沿x轴
向下翻折即可．故选C．]
√
题号
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4．设α∈，则使f (x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [∵f (x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，1，3．
又f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∴α＝－1，故符合题意的α的值的个数为1．]
√
题号
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√
√
5．(多选)幂函数f (x)＝(m2＋m－1)x-m-1，m∈N*，则下列结论正确的是( )
A．m＝1
B．函数f (x)是偶函数
C．f (－2)＜f (3)
D．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
题号
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ABD [因为f (x)＝(m2＋m－1)x-m-1是幂函数，且m∈N*，所以m2＋m－1＝1，可得m＝1(负值舍去)，则f (x)＝x-2，A正确；
又f (x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x)＝f (x)，B正确；
又f (－2)＝，f (3)＝，则f (－2)＞f (3)，C错误；
由f (x)＝x-2＝＞0，可知D正确．故选ABD．]
题号
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二、填空题
6．已知幂函数f (x)＝(m2－m－1)xm的图象是轴对称图形，则实数m＝________．
2 [因为f (x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
所以m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2，
当m＝－1时，f (x)＝x-1＝为奇函数，不满足题意；
当m＝2时，f (x)＝x2的图象关于y轴对称，满足题意．
所以m＝2．]
2
题号
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7．已知幂函数f (x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)的解析式可以为_____________________．(写出一个即可)
f (x)＝x3(答案不唯一) [举例f (x)＝x3，因为其定义域为R，且f (－x)＝(－x)3＝－x3＝－f (x)，
则f (x)＝x3为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增．]
f (x)＝x3(答案不唯一)
题号
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8．已知幂函数f (x)的图象过点，且f (2b－1)(1，2) [设 f (x)＝xα，α∈R，因为幂函数f (x)的图象过点，所以＝2α，解得α＝－，所以f (x)＝，f (x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，因为f (2b－1)所以2b－1>2－b>0，解得1(1，2)
题号
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三、解答题
9．(源自湘教版教材)比较下列各组中两个数的大小：
(1)1.51.4，1.61.4；
(2)1.50.4，1.60.4；
(3)1.5-1.5，1.6-1.5．
题号
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[解] (1)1.51.4，1.61.4可看作幂函数y＝x1.4的两个函数值．该函数在[0，＋∞)上单调递增，由于底数1.5<1.6，所以1.51.4<1.61.4．
(2)1.50.4，1.60.4可看作幂函数y＝x0.4的两个函数值．该函数在[0，＋∞)
上单调递增，由于底数1.5<1.6，所以1.50.4<1.60.4．
(3)1.5-1.5，1.6-1.5可看作幂函数y＝x-1.5的两个函数值．该函数在(0，＋∞)上单调递减，由于底数1.5<1.6，所以1.5-1.5>1.6-1.5．
题号
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10．已知幂函数 f (x)＝(m2－m－1)x1-m在(0，＋∞)上单调递减，则函数g(x)＝(x－3) f (x)在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
√
D [由已知可得解得m＝2，
所以f (x)＝x-1，g(x)＝(x－3)·x-1＝－3x-1＋1．
所以g(x)在区间上单调递增，所以g(x)的最小值为g
＋1＝－8．故选D．]
题号
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11．给出幂函数：①f (x)＝x；②f (x)＝x2；③f (x)＝x3；④f (x)＝．其中满足条件f >(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
√
题号
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A [①函数f (x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f ；②在第一象限，函数f (x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f <；③在第一象限，函数f (x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f <；④在第一象限，函数
f (x)＝的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f <．故选A．]
√
题号
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12．已知幂函数f (x)＝，且0A．f (a2)B．f C．f (a2)D．f 题号
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C [ f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为0>1>b2>a2>0，
所以f >f >f (b2)>f (a2)．故选C．]
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13．已知函数f (x)＝若f (x)在R上具有单调性，则a的取值范围是________．
[－2，0] [因为y＝x3在定义域上为增函数，所以f (x)在R上为增函数，又因为y＝－x2＋2a在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，所以要使f (x)在R上为增函数，则解得－2≤a≤0．
故a的取值范围是[－2，0]．]
[－2，0]
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14．点(，3)与点分别在幂函数f (x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f (x)>g(x)；f (x)＝g(x)；f (x)[解] 设 f (x)＝xα，g(x)＝xβ．
因为()α＝3，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1，
所以f (x)＝x2，g(x)＝x-1．
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x)>g(x)；
当x＝1时，f (x)＝g(x)；当x∈(0，1)时，f (x)题号
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15．已知幂函数 f (x)＝(m2＋3m－9)xm-1在(0，＋∞)上单调递减，m∈R．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若>，求实数a的取值范围．
[解] (1)由于函数f (x)＝(m2＋3m－9)xm-1是幂函数，故m2＋3m－9＝1，
解得m＝2或m＝－5，
当m＝2时，f (x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
当m＝－5时，f (x)＝x-6在(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故f (x)＝x-6．
题号
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(2)由(1)知m＝－5，则，
幂函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，
所以解得≤a<1，
即a的取值范围为．
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谢 谢！课时分层作业(二十四) 幂函数
一、选择题
1．若幂函数f (x)＝(9m－2)xm，则m＝( )
A． B．
C．2 D．1
2．若幂函数y＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是( )
A．－2 B．2
C． D．
3．已知函数f (x)＝则y＝－f (x)的图象大致为( )
A B
C D
4．设α∈，则使f (x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(多选)幂函数f (x)＝(m2＋m－1)x－m-1，m∈N*，则下列结论正确的是( )
A．m＝1
B．函数f (x)是偶函数
C．f (－2)＜f (3)
D．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
二、填空题
6．已知幂函数f (x)＝(m2－m－1)xm的图象是轴对称图形，则实数m＝________．
7．已知幂函数f (x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)的解析式可以为________．(写出一个即可)
8．已知幂函数f (x)的图象过点，且f (2b－1)三、解答题
9．(源自湘教版教材)比较下列各组中两个数的大小：
(1)1.51.4，1.61.4；
(2)1.50.4，1.60.4；
(3)1.5-1.5，1.6-1.5．
10．已知幂函数f (x)＝(m2－m－1)x1-m在(0，＋∞)上单调递减，则函数g(x)＝(x－3)f (x)在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
11．给出幂函数：①f (x)＝x；②f (x)＝x2；③f (x)＝x3；④f (x)＝．其中满足条件f >(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
12．已知幂函数f (x)＝，且0A．f (a2)B．f C．f (a2)D．f 13．已知函数f (x)＝若f (x)在R上具有单调性，则a的取值范围是________．
14．点(，3)与点分别在幂函数f (x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f (x)>g(x)；f (x)＝g(x)；f (x)15．已知幂函数f (x)＝(m2＋3m－9)xm-1在(0，＋∞)上单调递减，m∈R．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若>，求实数a的取值范围．
课时分层作业(二十四)
1．A [根据幂函数定义可知，9m－2＝1，解得m＝．故选A．]
2．D [y＝x-2>0，图象不经过第三象限，A不符合题意；y＝x2≥0，图象不经过第三象限，B不符合题意；y＝≥0，图象不经过第三象限，C不符合题意；y＝(x∈R)为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，符合题意．故选D．]
3．C [
结合题意可得：当x<0时，f(x)＝x-2＝为幂函数，在(－∞，0)上单调递增；当x≥0时，f(x)＝为幂函数，在[0，＋∞)上单调递增．故函数f(x)＝的图象如图所示．
要得到y＝－f(x)的图象，只需将y＝f(x)的图象沿x轴向下翻折即可．故选C．]
4．A [∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，1，3．
又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴α＝－1，故符合题意的α的值的个数为1．]
5．ABD [因为f(x)＝(m2＋m－1)x-m-1是幂函数，且m∈N*，所以m2＋m－1＝1，可得m＝1(负值舍去)，则f(x)＝x-2，A正确；
又f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝f(x)，B正确；
又f(－2)＝，f(3)＝，则f(－2)>f(3)，C错误；
由f(x)＝x-2＝>0，可知D正确．故选ABD．]
6．2 [因为f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
所以m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝－1或m＝2，
当m＝－1时，f(x)＝x-1＝为奇函数，不满足题意；
当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，满足题意．
所以m＝2．]
7．f(x)＝x3(答案不唯一) [举例f(x)＝x3，因为其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
则f(x)＝x3为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增．]
8．(1，2) [设f(x)＝xα，α∈R，
因为幂函数f(x)的图象过点(2，，
所以＝2α，解得α＝－，
所以f(x)＝，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且在(0，＋∞)上单调递减，
因为f(2b－1)所以2b－1>2－b>0，解得19．解：(1)1.51.4，1.61.4可看作幂函数y＝x1.4的两个函数值．该函数在[0，＋∞)上单调递增，由于底数1.5<1.6，所以1.51.4<1.61.4．
(2)1.50.4，1.60.4可看作幂函数y＝x0.4的两个函数值．该函数在[0，＋∞)上单调递增，由于底数1.5<1.6，所以1.50.4<1.60.4．
(3)1.5-1.5，1.6-1.5可看作幂函数y＝x-1.5的两个函数值．该函数在(0，＋∞)上单调递减，由于底数1.5<1.6，所以1.5-1.5>1.6-1.5．
10．D [由已知可得解得m＝2，
所以f(x)＝x-1，g(x)＝(x－3)·x-1＝－3x-1＋1．
所以g(x)在区间上单调递增，所以g(x)的最小值为g(-1＋1＝－8．故选D．]
11．A [①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f(；②在第一象限，函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(；③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(；④在第一象限，函数f(x)＝的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(．故选A．]
12．C [f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为01>b2>a2>0，
所以f(>f(b2)>f(a2)．故选C．]
13．[－2，0] [因为y＝x3在定义域上为增函数，所以f(x)在R上为增函数，
又因为y＝－x2＋2a在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，
所以要使f(x)在R上为增函数，则解得－2≤a≤0．
故a的取值范围是[－2，0]．]
14．解：
设f(x)＝xα，g(x)＝xβ．
因为()α＝3，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1，
所以f(x)＝x2，g(x)＝x-1．
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0，1)时，f(x)15．解：(1)由于函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm-1是幂函数，故m2＋3m－9＝1，
解得m＝2或m＝－5，
当m＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
当m＝－5时，f(x)＝x-6在(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故f(x)＝x-6．
(2)由(1)知m＝－5，则(2－a>(2a－1，
幂函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，
所以≤a<1，即a的取值范围为[，1)．
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