4.2.1 指数函数的概念
[学习目标] 1．通过具体的实例，了解指数函数的实际意义．(数学抽象) 2．理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式．(数学运算) 3．能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题．(数学建模)
探究1 指数函数的概念
问题 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
一般地，函数_____(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中_____是自变量，定义域是_．
[典例讲评] 1．(1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是______________的常数．
(2)指数函数的自变量必须在____的位置上．
(3)ax的系数必须为_．
[学以致用] 1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
探究2 求指数函数的解析式或求值
[典例讲评] 【链接教材P114例1】
2．(多选)已知指数函数f (x)满足，则下列结论中正确的是( )
A．f (x)＝5x B．f (x)＝5－x
C．f (－1)＝ D．5f (1)＝f (2)
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．待定系数法求指数函数解析式的步骤
(1)设出函数的解析式为f (x)＝ax(a>0，且a≠1)．
(2)利用已知条件，求出解析式中的参数．
(3)写出函数的解析式．
2．求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
[学以致用] 2．若函数f (x)是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________．
探究3 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
[典例讲评] 【链接教材P114例2】
3．2022年某地区人均生产总值为38 852元，2023年为43 992元；如果假定增速不变，取自变量x为2022年后的年数，将该地区人均生产总值用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，依此估计2030年该地区人均生产总值数量和相对于2022年的增长倍数，并说明底数a的意义．(可以使用计算工具)
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝__________________．
(2)指数衰减模型
设原有量为N，每次的衰减率为p，则经过x次衰减，该量衰减到y，则y＝__________________．
(3)指数型函数
把形如____________________________的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
[学以致用] 【链接教材P115练习T3】
3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的( )
A．18倍 B．24倍
C．36倍 D．48倍
1．下列函数中，是指数函数的为( )
A．y＝2·3x B．y＝3x+1
C．y＝3x D．y＝x3
2．若函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或3 B．－1
C．3 D．
3．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2020年的耕地面积为m，则2025年的耕地面积为( )
A．(1－0.1250)m B．m
C．0.9250m D．(1－)m
4．(教材P114例1改编)已知函数f (x)为指数函数，且，则f (－2)＝________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法．
3．警示牌：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0，且a≠1．
4.2.1 指数函数的概念
[探究建构] 探究1
问题 提示：
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝
x＝3 y＝8＝23 S＝
… … …
x y＝2x(x∈N*) S＝(x∈N*)
新知生成 y＝ax 指数x R
典例讲评 1．(1)D (2)∪(1，＋∞) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数是x2－1，不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D．
(2)由题意可知且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
发现规律大 (1)大于0且不等于1 (2)指数 (3)1
学以致用 1.2 [由指数函数的定义知
由①得a＝1或a＝2，结合②得a＝2．]
探究2
典例讲评 2．ACD [设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
于是，即，因此a＝5，
函数f(x)＝5x，A正确，B错误；
显然f(－1)＝5-1，C正确；
又5f(1)＝5×5＝25＝52＝f(2)，因此D正确．
故选ACD．]
学以致用 2． 3 [设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
∵f(2)＝9，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x．
∴f(－2)＝3-2，f(1)＝3．]
探究3
典例讲评 3．解：按假设条件和数据，有
G(0)＝C·a0＝38 852，G(1)＝C·a1＝43 992．
解得C＝38 852，a≈1.132．
因此该函数的解析式为G(x)＝38 852·1.132x．
依此估计出2030年该地区人均生产总值数量为
G(8)＝C×a8≈38 852×1.1328≈38 852×2.696≈104 745(元)，
相对于2022年，增长了约1.7倍．
底数a是每年人均生产总值与上一年的比，平均增长率为(a－1)×100%≈13.2%．
发现规律 (1)N(1＋p)x(x∈N) (2)N(1－p)x(x∈N) (3)y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)
学以致用 3．C [由题意，设湖泊中原来蓝藻数量为a，则a(1＋6.25%)30≈6a，
∴经过60天后，该湖泊的蓝藻数量为y＝a(1＋6.25%)60＝a[(1＋6.25%)30]2≈36a．
∴经过60天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．故选C．]
[应用迁移]
1．C [形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数，
y＝2·3x的3x系数不为1，y＝3x+1的指数不是x，y＝x3是幂函数，只有y＝3x符合指数函数的定义．故选C．]
2．C [∵函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，
∴解得m＝3．故选C．]
3．B [设每年减少的百分率为a，
由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
则1－a＝0．，
由2020年的耕地面积为m，
得2025年的耕地面积为(1－a)5m＝0．m．故选B．]
4． [设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f，得，所以a＝3，所以f(x)＝3x，
所以f(－2)＝3-2．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
[学习目标] 1．通过具体的实例，了解指数函数的实际意义．(数学抽象) 2．理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式．(数学运算) 3．能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题．(数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．指数函数的概念是什么？
问题2．刻画指数增长(衰减)型函数模型具有什么特征？
探究建构 关键能力达成
探究1 指数函数的概念
问题 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
提示：
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝2 y＝4＝22
x＝3 y＝8＝23
… … …
x y＝2x(x∈N*)
[新知生成]
一般地，函数_____(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中_____是自变量，定义域是___．
【教用·微提醒】 指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
y＝ax
指数x
R
[典例讲评] 1．(1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数 f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是___________________．
√
∪(1，＋∞)
(1)D (2)∪(1，＋∞) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数是x2－1，不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D．
(2)由题意可知解得a>且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
发现规律 判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是______________的常数．
(2)指数函数的自变量必须在____的位置上．
(3)ax的系数必须为_．
大于0且不等于1
指数
1
[学以致用] 1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
2 [由指数函数的定义知
由①得a＝1或a＝2，结合②得a＝2．]
2
探究2 求指数函数的解析式或求值
[典例讲评] 【链接教材P114例1】
2．(多选)已知指数函数 f (x)满足，则下列结论中正确的是( )
A．f (x)＝5x B．f (x)＝5－x
C．f (－1)＝ D．5f (1)＝f (2)
√
√
√
ACD [设指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，于是，
即，因此a＝5，
函数f (x)＝5x，A正确，B错误；
显然f (－1)＝5-1＝，C正确；
又5f (1)＝5×5＝25＝52＝f (2)，因此D正确．
故选ACD．]
【教材原题·P114例1】
已知指数函数 f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，且 f (3)＝π，求 f (0)，f (1)，
f (－3)的值．
分析：要求f (0)，f (1)，f (－3)的值，应先求出f (x)＝ax的解析式，即先求a的值．
[解] 因为f (x)＝ax，且f (3)＝π，则a3＝π，解得a＝，于是 f (x)＝．
所以，f (0)＝π0＝1，f (1)＝，f (－3)＝π-1＝．
反思领悟 1．待定系数法求指数函数解析式的步骤
(1)设出函数的解析式为f (x)＝ax(a>0，且a≠1)．
(2)利用已知条件，求出解析式中的参数．
(3)写出函数的解析式．
2．求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
[学以致用] 2．若函数 f (x)是指数函数，且 f (2)＝9，则 f (－2)＝________，f (1)＝________．
3 [设 f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，
∵f (2)＝9，∴a2＝9，a＝3，
即f (x)＝3x．∴f (－2)＝3-2＝，f (1)＝3．]
3
探究3 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
[典例讲评] 【链接教材P114例2】
3．2022年某地区人均生产总值为38 852元，2023年为43 992元；如果假定增速不变，取自变量x为2022年后的年数，将该地区人均生产总值用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，依此估计2030年该地区人均生产总值数量和相对于2022年的增长倍数，并说明底数a的意义．(可以使用计算工具)
[解] 按假设条件和数据，有
G(0)＝C·a0＝38 852，G(1)＝C·a1＝43 992．
解得C＝38 852，a＝≈1.132．
因此该函数的解析式为G(x)＝38 852·1.132x．
依此估计出2030年该地区人均生产总值数量为
G(8)＝C×a8≈38 852×1.1328≈38 852×2.696≈104 745(元)，
相对于2022年，增长了约1.7倍．
底数a是每年人均生产总值与上一年的比，平均增长率为(a－1)×100%
≈13.2%．
【教材原题·P114例2】
(1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元(不含门票)的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
(2)在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
[解] (1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f (x)和g(x)，则
f (x)＝1 150×(10x＋600)，
g(x)＝1 000×278×1.11x．
利用计算工具可得，
当x＝0时，f (0)－g(0)＝412 000．
当x≈10.22时，f (10.22)≈g(10.22)．
结合图4.2-3可知：
当x<10.22时，f (x)>g(x)，
当x>10.22时，f (x)
当x＝14时，g(14)－f (14)≈347 303．
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然f (x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f (x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有f (x)＝g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f (x)(2)设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x)．
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么h(x)＝．
当x＝10 000时，利用计算工具求得h(10 000)＝≈0.30．
所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%．
发现规律 实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝_______________．
(2)指数衰减模型
设原有量为N，每次的衰减率为p，则经过x次衰减，该量衰减到y，则y＝_______________．
(3)指数型函数
把形如__________________________的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
N(1＋p)x(x∈N)
N(1－p)x(x∈N)
y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)
√
[学以致用] 【链接教材P115练习T3】
3．在某个时期，某湖泊中的蓝细菌每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝细菌数大约为原来的6倍，那么经过60天后，该湖泊的蓝细菌数大约为原来的( )
A．18倍 B．24倍
C．36倍 D．48倍
C [由题意，设湖泊中原来蓝细菌数量为a，则a(1＋6.25%)30≈6a，
∴经过60天后，该湖泊的蓝细菌数量为y＝a(1＋6.25%)60＝a[(1＋6.25%)30]2≈36a．
∴经过60天后，该湖泊的蓝细菌数大约为原来的36倍．故选C．]
【教材原题·P115练习T3】
在某个时期，某湖泊中的蓝细菌每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝细菌会变为原来的多少倍？(可以使用计算工具)
[解] 设现在的蓝细菌量为a，经过30天后的蓝细菌量为y，则y＝
a(1＋6.25%)30，
∴＝1.062 530≈6.16，∴经过30天，该湖泊的蓝细菌会变为原来的6.16倍．
【教用·备选题】 甲、乙两城市现有的人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)．
参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈
1.430．
[解] (1)1年后甲城市的人口总数为
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市的人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市的人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)3；
……
x年后甲城市的人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x．
x年后乙城市的人口总数为y乙＝100＋1.3x．
(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示．
10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113.0 126.0 139.0
应用迁移 随堂评估自测
1．下列函数中，是指数函数的为( )
A．y＝2·3x B．y＝3x+1
C．y＝3x D．y＝x3
√
C [形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数，
y＝2·3x的3x系数不为1，y＝3x+1的指数不是x，y＝x3是幂函数，只有y＝3x符合指数函数的定义．故选C．]
√
2．若函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或3 B．－1
C．3 D．
C [∵函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，
∴解得m＝3．故选C．]
√
3．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2020年的耕地面积为m，则2025年的耕地面积为( )
A．(1－0.1250)m B．m
C．0.9250m D．(1－)m
B [设每年减少的百分率为a，
由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
则1－a＝，
由2020年的耕地面积为m，
得2025年的耕地面积为(1－a)5m＝．故选B．]
4．(教材P114例1改编)已知函数 f (x)为指数函数，且，则 f (－2)＝________．
[设 f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f ，得，所以a＝3，所以f (x)＝3x，
所以f (－2)＝3-2＝．]
1．知识链：
2．方法链：待定系数法．
3．警示牌：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0，且a≠1．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数 f (x)＝ax是指数函数吗？
[提示] 不一定．当a>0且a≠1时，f (x)＝ax是指数函数．
2．指数模型的解析式具有怎样的形式？
[提示] 形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(二十八) 指数函数的概念
√
一、选择题
1．下列是指数函数的是( )
A．y＝－3x B．y＝2x2－1
C．y＝ax+1 D．y＝πx
D [根据指数函数的特征：系数为1，底数满足a＞0且a≠1，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．已知函数 f (x)＝(2a－3)ax是指数函数，则 f (1)＝( )
A．8 B．
C．4 D．2
D [∵函数f (x)＝(2a－3)ax是指数函数，
∴2a－3＝1，解得a＝2，∴f (x)＝2x，∴f (1)＝2．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．如果函数f (x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝( )
A． B．1
C．9 D．8
D [根据题意可得2a＝1 a＝，－(b＋3)＝0 b＝－3，则ab＝＝8．
故选D．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为( )
A．a(1＋p%) 元 B．a(1－p%) 元
C． 元 D． 元
C [设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，
∴x＝．故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝ B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ D．y＝
A [由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________．
(1，2) [由题意得0＜a－1＜1，
解得1＜a＜2，故a的取值范围是(1，2)．]
(1，2)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．若指数型函数 f (x)＝b·ax满足 f (1)＝6，f (3)＝24，则 f (x)＝________．
3×2x [由指数型函数f (x)＝b·ax，得a＞0且a≠1，由解得所以f (x)＝3×2x．]
3×2x
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”由此可以得出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关
系式是__________________________．
y＝，x∈N，且x≥1 [由题意可得第二天截取的长度是前一天的一半，所以符合指数函数模型，底数为，
剩余量y关于x的函数关系式是y＝，x∈N，且x≥1．]
y＝，x∈N，且x≥1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
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三、解答题
9．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子．写出第n代得到的种子数与n的函数关系式，并求第5代得到的种子数．(结果写成a×10n(0[解] 根据题意，假设第n代得到的种子数为y，
由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则y＝120n-1(n∈N*)，
当n＝5时，y＝1204≈2.07×108粒．
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10．函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )
A．f (xy)＝f (x) f (y)
B．f (xy)＝f (x)＋f (y)
C．f (x＋y)＝f (x) f (y)
D．f (x＋y)＝f (x)＋f (y)
√
C [ f (x＋y)＝ax＋y＝axay＝f (x) f (y)．]
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11．某地区重视环境保护，绿色植被种植面积呈上升趋势，经调查，从2015年到2024年这10年间每两年上升2%，2023年和2024年种植绿色植被815万平方米．当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2025年到2028年种植绿色植被面积为(四舍五入)( )
A．848万平方米 B．1 679万平方米
C．1 173万平方米 D．12 494万平方米
√
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B [2025年和2026年种植绿色植被面积为815×(1＋2%),
2027年和2028年种植绿色植被面积为815×(1＋2%)×(1＋2%)．
2025年到2028年共种植绿色植被面积为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)×(1＋2%)≈1 679(万平方米)．故选B．]
题号
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12．某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
19 [设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*)．根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19．]
19
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13．已知定义域为R的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)f (y)；②f ＝4．则满足条件的f (x)的一个解析式为f (x)＝________．
8x [由f (x＋y)＝f (x)f (y)，可知符合该性质的函数可以为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，又因为f ＝4，解得a＝8，所以满足条件的
f (x)的一个解析式为f (x)＝8x．]
8x
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14．已知函数 f (x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求 f (x)的解析式；
(2)判断F(x)＝f (x)－f (－x)的奇偶性，并加以证明．
[解] (1)由题意知a2＋a－5＝1(a＞0，且a≠1)，可得a＝2或a＝－3
(舍去)，∴f (x)＝2x．
(2)由(1)知F(x)＝2x－2-x，
∴F(－x)＝2-x－2x＝－(2x－2-x)＝－F(x)，且定义域为R，
∴F(x)是奇函数．
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15．(教材P115练习T2改编)已知函数y＝f (x)，x∈R，且 f (0)＝3，，n∈N*，求函数y＝f (x)的一个解析式．
[解] 当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，
∴函数f (x)为指数衰减型函数模型，
令f (x)＝k(k≠0)，
又f (0)＝3，
∴k＝3，∴f (x)＝3×．
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谢 谢！课时分层作业(二十八) 指数函数的概念
一、选择题
1．下列是指数函数的是( )
A．y＝－3x B．y＝2x2－1
C．y＝ax+1 D．y＝πx
2．已知函数f (x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f (1)＝( )
A．8 B．
C．4 D．2
3．如果函数f (x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝( )
A． B．1
C．9 D．8
4．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为( )
A．a(1＋p%) 元 B．a(1－p%) 元
C． 元 D． 元
5．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝ B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ D．y＝
二、填空题
6．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________．
7．若指数型函数f (x)＝b·ax满足f (1)＝6，f (3)＝24，则f (x)＝________．
8．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”由此可以得出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是________．
三、解答题
9．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子．写出第n代得到的种子数与n的函数关系式，并求第5代得到的种子数．(结果写成a×10n(010．函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )
A．f (xy)＝f (x)f (y)
B．f (xy)＝f (x)＋f (y)
C．f (x＋y)＝f (x)f (y)
D．f (x＋y)＝f (x)＋f (y)
11．某地区重视环境保护，绿色植被种植面积呈上升趋势，经调查，从2015年到2024年这10年间每两年上升2%，2023年和2024年种植绿色植被815万平方米．当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2025年到2028年种植绿色植被面积为(四舍五入)( )
A．848万平方米 B．1 679万平方米
C．1 173万平方米 D．12 494万平方米
12．某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
13．已知定义域为R的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)f (y)；②f ＝4．则满足条件的f (x)的一个解析式为f (x)＝________．
14．已知函数f (x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f (x)的解析式；
(2)判断F(x)＝f (x)－f (－x)的奇偶性，并加以证明．
15．(教材P115练习T2改编)已知函数y＝f (x)，x∈R，且f (0)＝3，，n∈N*，求函数y＝f (x)的一个解析式．
课时分层作业(二十八)
1．D [根据指数函数的特征：系数为1，底数满足a>0且a≠1，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D．]
2．D [∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，
∴2a－3＝1，解得a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2．故选D．]
3．D [根据题意可得2a＝1 a＝，－(b＋3)＝0 b＝－3，则ab＝(-3＝8．故选D．]
4．C [设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，∴x＝．故选C．]
5．A [由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6．故选A．]
6．(1，2) [由题意得0解得17．3×2x [由指数型函数f(x)＝b·ax，得a>0且a≠1，由所以f(x)＝3×2x．]
8．y＝，x∈N，且x≥1 [由题意可得第二天截取的长度是前一天的一半，所以符合指数函数模型，底数为，
剩余量y关于x的函数关系式是y＝，x∈N，且x≥1．]
9．解：根据题意，假设第n代得到的种子数为y，
由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则y＝120n-1(n∈N*)，
当n＝5时，y＝1204≈2.07×108粒．
10．C [f(x＋y)＝ax+y＝axay＝f(x)f(y)．]
11．B [2025年和2026年种植绿色植被面积为815×(1＋2%)，
2027年和2028年种植绿色植被面积为815×(1＋2%)×(1＋2%)．
2025年到2028年共种植绿色植被面积为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)×(1＋2%)≈1 679(万平方米)．故选B．]
12．19 [设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*)．根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19．]
13．8x [由f(x＋y)＝f(x)f(y)，可知符合该性质的函数可以为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，又因为f(＝4，解得a＝8，所以满足条件的f(x)的一个解析式为f(x)＝8x．]
14．解：(1)由题意知a2＋a－5＝1(a>0，且a≠1)，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x．
(2)由(1)知F(x)＝2x－2-x，
∴F(－x)＝2-x－2x＝－(2x－2-x)＝－F(x)，且定义域为R，
∴F(x)是奇函数．
15．解：当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，
∴函数f(x)为指数衰减型函数模型，
令f(x)＝k(x(k≠0)，又f(0)＝3，
∴k＝3，∴f(x)＝3×(x．
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