4.2.2 指数函数的图象和性质(二)
[学习目标] 1．能判断与证明指数型函数的单调性．(逻辑推理) 2．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式．(逻辑推理、数学运算)
探究1 利用指数函数的单调性比较大小
[典例讲评] 【链接教材P117例3】
1．比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0，且a≠1)．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用________的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用______的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．
(4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小，要按底数a>1和0
[学以致用] 【链接教材P118练习T2】
1．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A． B．
C． D．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 指数型不等式的解法
[典例讲评] 2．(1)解不等式≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，________________；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要先进行变形，将不等式两边的____进行统一，此时常用到以下结论：1＝__(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
[学以致用] 【链接教材P119习题4.2T3】
2．已知f (x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a的取值范围是________．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 指数型函数的单调性
[典例讲评] 3．判断函数f (x)＝的单调性．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[母题探究] 把本例的函数改为“f (x)＝”，求其单调区间．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)指数型函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求得y＝f (φ(x))的单调性．
[学以致用] 3．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
4．求下列函数的单调区间：
(1)y＝(a>1)；(2)y＝2|x-1|．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不能确定
2．(教材P119习题4.2T6改编)设a＝90.4，b＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
3．函数f (x)＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
4．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是________．
1．知识链：
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：研究y＝af (x)(a＞0，且a≠1)型函数，易忽视讨论a>1还是04.2.2 指数函数的图象和性质(二)
[探究建构] 探究1
典例讲评 1．解：(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，
所以1.52.5<1.53.2．
(2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6-1.2<0.6-1.5．
(3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1．
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0发现规律 (1)指数函数 (2)幂函数 (3)中间量
学以致用 1．BC [对于A，∵函数y＝1.8x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.82.5<1.83，故A错误；对于，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－>∴，故B正确；对于C，＞1.90＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.90.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝在R上单调递减，且>，∴，又函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<，∴，∴，故D错误．故选BC．]
探究2
典例讲评 2．解：(1)∵2，∴原不等式可以转化为在R上是减函数，
∴3x－1－1，∴x0，
故原不等式的解集是{x|x0}．
(2)分情况讨论：
①当00，且a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象(图略)可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象(图略)可得－1综上所述，当05；当a>1时，－1发现规律 (1)f(x)>g(x) f(x)学以致用 2．(0，1) [因为f (x)＝a－x＝在R上为单调函数，又f (－2)>f (－3)，所以f (x)为增函数，故有>1，所以0探究3
典例讲评 3．解：令u＝x2－2x，则原函数变为y．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，y在R上单调递减，
∴f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
母题探究 解：函数f(x)的定义域是R．
令u＝－x2＋2x，则原函数变为y＝2u．
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x单调递增，
又函数y＝2u是增函数，
所以函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x单调递减，又函数y＝2u是增函数，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1]．
学以致用 3．D [法一(复合函数法)：由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x1，解得a2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)在(0，1)上单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．]
4．解：(1)令u＝－x2＋3x＋2＝－，易知u＝－x2＋3x＋2在上单调递增，在上单调递减，
∵当a>1时，y＝au在R上单调递增，
∴函数y(a>1)的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x-1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x-1在[1，＋∞)上单调递增；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21-x．
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21-x在(－∞，1)上单调递减．
故函数y＝2|x-1|的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为[1，＋∞)．
[应用迁移]
1．B [因为函数y＝0.3x在R上是减函数，且0.3m>0.3n，所以m2．A [依题意，a＝(32)0.4＝30.8＜30.9＝＝b，
而a＝90.4＞90＝1＝0.80＞0.80.9＝c，
所以c＜a＜b．故选A．]
3．A [∵f (x)＝，0<<1，
∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．故选A．]
4．＝24-2x，得
x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤2，
即函数y＝2x的值域是．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.2 指数函数的图象和性质(二)
[学习目标] 1．能判断与证明指数型函数的单调性．(逻辑推理) 2．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何借助指数函数的性质比较幂的大小？
问题2．如何借助指数函数的性质解不等式？
探究建构 关键能力达成
探究1 利用指数函数的单调性比较大小
[典例讲评] 【链接教材P117例3】
1．比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0，且a≠1)．
[解] (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，
所以1.52.5<1.53.2．
(2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6-1.2<0.6-1.5．
(3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝＝1，
所以1.70.2>0.92.1．
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0【教材原题·P117例3】
例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5，1.73；
(2)，；
(3)1.70.3，0.93.1．
分析：对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于(3)，1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数y＝1.7x和y＝0.9x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来．
[解] (1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．
因为底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x是增函数．
因为2.5<3，所以1.72.5<1.73．
(2)同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数y＝是减函数．
因为－>－，所以<．
(3)由指数函数的性质知
1.70.3>1.70＝1，
0.93.1<0.90＝1，
所以1.70.3>0.93.1．
发现规律 比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用________的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用______的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．
(4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小，要按底数a>1和0指数函数
幂函数
中间量
[学以致用] 【链接教材P118练习T2】
1．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A． B．
C． D．
√
√
BC [对于A，∵函数y＝1.8x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.82.5<1.83，故A错误；对于，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－>
∴，故B正确；对于C，∵＞1.90＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.90.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝在R上单调递减，且>，∴，又函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<，∴，∴，故D错误．故选BC．]
【教材原题·P118练习T2】比较下列各题中两个值的大小：
(1)，；
(2)0.3-3.5，0.3-2.3；
(3)1.20.5，0.51.2．
[解] (1)函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
∵0＜6＜7，∴＜．
(2)函数y＝0.3x在R上为减函数，
∵－3.5＜－2.3，∴0.3-3.5＞0.3-2.3．
(3)∵1.20.5＞1.20＝1，0.51.2＜0.50＝1，
∴1.20.5＞0.51.2．
探究2 指数型不等式的解法
[典例讲评] 2．(1)解不等式≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝，∴原不等式可以转化为．
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，且a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象(图略)可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象(图略)可得－1综上所述，当05；当a>1时，－1发现规律 指数型不等式的解法
(1)指数型不等式a f (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，__________；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要先进行变形，将不等式两边的____进行统一，此时常用到以下结论：1＝__(a>0，且a≠1)，a-x＝(a>0，且a≠1)等．
f (x)>g(x)
f (x)底数
a0
[学以致用] 【链接教材P119习题4.2T3】
2．已知 f (x)＝a-x(a>0，且a≠1)，且 f (－2)>f (－3)，则a的取值范围是________．
(0，1) [因为f (x)＝a-x＝在R上为单调函数，又f (－2)>f (－3)，所以f (x)为增函数，故有>1，所以0(0，1)
【教材原题·P119习题4.2T3】比较满足下列条件的m，n的大小：
(1)2m＜2n；(2)0.2m＜0.2n；
(3)am＜an(0＜a＜1)；(4)am＞an(a＞1)．
[解] (1)因为函数y＝2x为R上的增函数，且2m＜2n，则m＜n．
(2)因为函数y＝0.2x为R上的减函数，且0.2m＜0.2n，则m＞n．
(3)当0＜a＜1时，函数y＝ax为R上的减函数，且am＜an，则m＞n．
(4)当a＞1时，函数y＝ax为R上的增函数，且am＞an，则m＞n．
探究3 指数型函数的单调性
[典例讲评] 3．判断函数f (x)＝的单调性．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
y＝在R上单调递减，
∴f (x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
[母题探究] 把本例的函数改为“f (x)＝”，求其单调区间．
[解] 函数f (x)＝的定义域是R．
令u＝－x2＋2x，则原函数变为y＝2u．
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x单调递增，
又函数y＝2u是增函数，
所以函数f (x)＝在(－∞，1]上单调递增．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x单调递减，又函数y＝2u是增函数，所以函数 f (x)＝在[1，＋∞)上单调递减．
综上，函数 f (x)＝的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1]．
反思领悟 函数y＝a f (x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)指数型函数y＝a f (x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求得y＝f (φ(x))的单调性．
[学以致用] 3．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数 f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．[－2，0)
C．(0，2]
D．[2，＋∞)
√
D [法一(复合函数法)：由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)上单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．]
4．求下列函数的单调区间：
(1)y＝(a>1)；(2)y＝2|x-1|．
[解] (1)令u＝－x2＋3x＋2＝－，易知u＝－x2＋3x＋2在上单调递增，在上单调递减，
∵当a>1时，y＝au在R上单调递增，
∴函数y＝，单调递减区间为．
(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x-1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x-1在[1，＋∞)上单调递增；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21-x．
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21-x在(－∞，1)上单调递减．
故函数y＝2|x-1|的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为[1，＋∞)．
【教用·备选题】
(多选)已知函数 f (x)＝，则( )
A．函数 f (x)的定义域为R
B．函数 f (x)的值域为(0，2]
C．函数 f (x)在[－2，＋∞)上单调递增
D．函数 f (x)在[－2，＋∞)上单调递减
√
√
√
ABD [令u＝x2＋4x＋3，则u∈[－1，＋∞)．
对于A，f (x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，y＝，所以函数f (x)的值域为(0，2]，故B正确；
对于C，D，因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在定义域上单调递减，所以根据复合函数的单调性，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确．
故选ABD．]
应用迁移 随堂评估自测
1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不能确定
√
B [因为函数y＝0.3x在R上是减函数，且0.3m>0.3n，所以m√
2．(教材P119习题4.2T6改编)设a＝90.4，b＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
A [依题意，a＝(32)0.4＝30.8＜30.9＝＝b，
而a＝90.4＞90＝1＝0.80＞0.80.9＝c，
所以c＜a＜b．故选A．]
3．函数 f (x)＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
√
A [∵f (x)＝，0<<1，
∴f (x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．
故选A．]
4．若≤，则函数y＝2x的值域是________．
＝24-2x，得
x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤2，
即函数y＝2x的值域是．]
1．知识链：
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：研究y＝af (x)(a＞0，且a≠1)型函数，易忽视讨论a>1还是0回顾本节知识，自主完成以下问题：
比较幂的大小的常用方法有哪些？
[提示]
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(三十) 指数函数的图象和性质(二)
√
一、选择题
1．设<<<1，那么( )
A．0C．a>b>1 D．b>a>1
B [由<<<以及函数y＝是减函数可知0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．已知a＝30.8，b＝40.8，c＝30.7，则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．c＜b＜a D．b＜a＜c
B [由函数y＝3x为增函数，可得a＞c；
由幂函数y＝x0.8在(0，＋∞)上单调递增，可得b＞a，
所以b＞a＞c．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．已知函数 f (x)＝3x－，则 f (x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
A [因为f (x)＝3x－，定义域为R，
f (－x)＝3－x－－3x
＝－＝－f (x)，
所以函数f (x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，
所以f (x)＝3x－在R上是增函数．故选A．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．若函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．∪(1，＋∞)
D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数 f (x)＝3(2a-1)x+3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数 f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是．故选A．]
√
题号
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5．函数y＝4x－3·2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是( )
A．[－31，1)
B．[－35，－31]
C．[－35，1)
D．(－∞，－31]
题号
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C [令t＝2x，因为x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]，
则4x－3·2x+2＋1＝t2－12t＋1，
令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]，
所以当t＝6时，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35，
又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)，
即函数y＝4x－3·2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1)．故选C．]
题号
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二、填空题
6．若不等式与不等式x2＋ax＋b＜0的解集相同，则a＋b＝________．
－5 [＝23-3x，
∵y＝2x在R上单调递增，
∴x2－2x－3＜3－3x，即x2＋x－6＜0，
∴a＝1，b＝－6，∴a＋b＝－5．]
－5
题号
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7．已知函数 f (x)＝＋a为奇函数，则a的值为________．
－ [法一：∵f (x)为奇函数，
∴f (－x)＋f (x)＝0，
即＋a＝0，
∴2a＝－＝－1，
∴a＝－．
法二：f (0)＝＋a，又f (0)＝0，∴a＝－．]
－
题号
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8．已知函数f (x)＝2|x－a|(a为常数)，若f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是___________．
(－∞，1] [由函数 f (x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，函数 f (x)单调递增，而已知函数 f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．]
(－∞，1]
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三、解答题
9．已知集合M＝，则当x∈M时，求函数y＝2x的值域．
[解] 由3x+1≤，
得3x+1≤34-2x．
因为函数y＝3x在定义域R上是增函数，
所以x＋1≤4－2x，解得x≤1．
题号
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因为函数y＝2x是增函数，
所以当x≤1时，2x≤21＝2，
即y＝2x≤2．
又因为指数函数y＝2x>0，
所以0即当x∈M时，函数y＝2x的值域为(0，2]．
题号
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10．已知函数f (x)＝，记a＝f ()，b＝f ()，c＝f ()，则
( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
√
B [函数f (x)＝的定义域为R，f (4－x)＝＝f (x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，而函数t＝(x－2)2在(2，＋∞)上单调递增，函数y＝et在定义域上单调递增，于是函数f (x)在(2，＋∞)上单调递增，又a＝f ()＝f (4－)，2＜＜4－＜，则f ()＜f (4－)＜f ()，所以b＜a＜c．故选B．]
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11．(多选)已知函数 f (x)＝，则( )
A．f (x)为偶函数
B．f (x)的值域为(0，2 025]
C．f (x)在[－2，＋∞)上单调递减
D．f (66)＜f (88)
√
√
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BC [易得f (x)的定义域为R，且f (－x)＝
≠f (x)，
故f (x)不为偶函数，故A错误；
令u＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)，
所以y＝在u∈[－1，＋∞)上的值域为(0，2 025]，故B正确；
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因为u＝(x＋2)2－1在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在u∈[－1，＋∞)上单调递减，
所以根据复合函数的单调性，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，故C正确；
由于函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f (66)＞f (88)，故D错误．故选BC．]
√
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12．若2x－3－x<2y－3－y，则( )
A．x－y≥0 B．x－y<0
C．x－y>0 D．x－y≤0
B [令f (x)＝2x－3－x，
∵y＝2x和y＝－3－x都是增函数，
∴f (x)是增函数，
∵2x－3－x<2y－3－y，
即f (x)题号
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13．已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①0①②⑤
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①②⑤ [作y＝与y＝的图象(图略)．
当a＝b＝0时，＝1；
当a当a>b>0时，也可以使．
故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④．]
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14．已知函数 f (x)＝．
(1)若a＝－1，求函数 f (x)的单调递增区间；
(2)如果函数 f (x)有最大值3，求实数a的值．
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[解] (1)当a＝－1时，f (x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在[－2，＋∞)上单调递减，y＝在R上是减函数，
∴f (x)在[－2，＋∞)上单调递增，
即f (x)的单调递增区间是[－2，＋∞)．
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(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝，
由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1．
因此必有解得a＝1，
即当f (x)有最大值3时，实数a的值为1．
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15．已知 f (x)＝a＋(a∈R)．
(1)若函数 f (x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数 f (x)的单调性；
(3)若当x∈[－1，5]时，f (x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)若函数 f (x)为奇函数，
∵x∈R，∴f (0)＝a＋1＝0，得a＝－1，
验证当a＝－1时，
f (x)＝－1＋为奇函数，
∴a＝－1．
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(2) x1，x2∈R，且x1则f (x1)－f (x2)＝＝，
由x1∴>0，又＋1>0，
故f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)在R上是减函数．
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(3)当x∈[－1，5]时，
∵f (x)为减函数，
∴f (x)max＝f (－1)＝＋a，
若f (x)≤0恒成立，
则满足f (x)max＝＋a≤0，
得a≤－，∴a的取值范围为．
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谢 谢！课时分层作业(三十六) 对数函数的图象和性质(二)
一、选择题
1．函数y＝log3x的反函数的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．
C．(1，4) D．[－1，4]
2．若函数f (x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A． B．
C．2 D．4
3．下列函数为奇函数的是( )
A．f (x)＝lg
B．f (x)＝|lg x|
C．f (x)＝lg |x|
D．f (x)＝lg
4．若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－4，4]
C．(－∞，－4)∪[2，＋∞) D．[－4，4)
5．(多选)已知函数f (x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是( )
A．f (4)＝－3
B．函数y＝f (x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f (x)的最小值为－4
D．函数y＝f (x)的最大值为4
二、填空题
6．函数f (x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________．
7．函数y＝lg (100－x2)的值域是________．
8．若f (x)＝x ln 为偶函数，则实数b＝______．
三、解答题
9．已知f (x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f (x)的定义域、值域；
(2)若函数f (x)有最小值－2，求a的值．
10．函数f (x)＝lg (＋x)的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
11．设偶函数f (x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f (a＋1)与f (b＋2)的大小关系是( )
A．f (a＋1)C．f (a＋1)≥f (b＋2) D．f (a＋1)>f (b＋2)
12．已知函数f (x)＝ln x＋ln (2－x)，则( )
A．f (x)在(0，2)上单调递增
B．f (x)在(0，2)上单调递减
C．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称
13．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，则不等式>0的解集为________．
14．函数f (x)＝(log2x－4)．
(1)当x∈[1，4]时，求该函数的值域；
(2)若f (x)＞mlog2x对于x∈[1，4]恒成立，求m的取值范围．
15．已知函数f (x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)，0＜a＜1．
(1)求函数f (x)的单调递减区间；
(2)若函数f (x)在区间[0，3]内的最小值为－2，求实数a的值；
(3)证明：f (x)的图象是轴对称图形．
课时分层作业(三十六)
1．D [由y＝log3x(≤x≤81)，可知y∈[－1，4]，
所以反函数的定义域为[－1，4]．]
2．B [由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，
∴f(x)的最大值和最小值在端点处取得，
即f(0)＋f(1)＝a，
即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝．]
3．D [对于A中的函数f(x)＝lg(2x＋，函数定义域为R，f(－x)＝lg(2-x＋＋2x)＝f(x)，故A中的函数为偶函数；对于B中的函数f(x)＝|lg x|，由于函数定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故B中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；对于C中的函数f(x)＝lg|x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，故C中的函数为偶函数；对于D中的函数f(x)＝lg ，由于函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝lg ＝－f(x)，故D中的函数为奇函数．故选D．]
4．D [令t(x)＝x2－ax－3a，则由函数f(x)＝log2t(x)在区间(－∞，－2]上单调递减，可得函数t(x)在区间(－∞，－2]上单调递减，且t(－2)>0，即解得－4≤a<4．故选D．]
5．ABC [A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取得最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．故选ABC．]
6．(－，＋∞) [因为y＝log5μ(x)与μ(x)＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调递增区间是(－，＋∞)．]
7．(－∞，2] [令t＝100－x2，则0∴函数y＝lg t(0当t＝100时，ymax＝lg 100＝2，∴y∈(－∞，2]．]
8．3 [若f(x)＝xln是偶函数，则f(－x)＝f(x)，
即－xln，
所以xln(·＝0，
所以·＝1，所以4x2－9＝4x2－b2，所以b＝±3，
当b＝－3时，f(x)＝xln，定义域为(－∞，，＋∞)，不关于原点对称，不符合，舍去；
当b＝3时，f(x)＝xln，定义域为(－∞，－，＋∞)，关于原点对称，符合题意．
综上所述，b＝3．]
9．解：(1)由得定义域为{x|－3f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，
令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
因为x∈(－3，1)，所以t∈(0，4]．
令g(t)＝logat，
所以f(x)＝g(t)＝logat，t∈(0，4]．
当0当a>1时，值域为(－∞，loga4]．
(2)f(x)min＝－2，由(1)及题意得．
10．A [易知该函数的定义域为R，又f(x)＋f(－x)＝lg(＋x)＋lg(－x)＝lg[(＋x)·(－x)]＝lg 1＝0，
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．]
11．D [因为函数f(x)是偶函数，所以b＝0，
又函数在(－∞，0)上单调递增，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，则0因为f(a＋1)＝loga|a＋1|，f(b＋2)＝loga2，
且1f(b＋2)．]
12．C [f(x)的定义域为(0，2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上为增函数，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项AB错误．
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1，0)对称，∴选项D错误．故选C．]
13．∪(2，＋∞) [∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减．
由f(＝0，得f(－＝0，则函数的大致图象如图所示．
∴f(lox)>0 lo，解得x>2或0∴原不等式的解集为(0，∪(2，＋∞)．]
14．解：(1)f(x)＝(log2x－4)((log2x－4)(log2x－1)，
∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，
令t＝log2x，则f(x)＝g(t)＝(t－4)(t－1)＝t＋2，t∈[0，2]．
易知g(t)在[0，2]上单调递减，∴该函数值域为[g(2)，g(0)]即[－1，2]．
(2)令t＝log2x，则f(t)＝(t－4)(t－1)>mt在[0，2]上恒成立，
当t＝0时，2>0恒成立，m∈R；
当t∈(0，2]时，等价于m<恒成立，
令h(t)＝(2－5)＝－．
当且仅当t＝2时取等号，故m<－．
综上，m<－．
15．解：(1)由得－2于是f(x)＝loga(x＋2)(4－x)，
令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9，该函数在(－2，1)上单调递增，
而f(t)＝logat，0所以f(x)的单调递减区间为(－2，1)．
(2)f(x)＝loga(x＋2)(4－x)，x∈[0，3]，
令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9．
当0≤x≤3时，5≤t≤9，
因为0所以f(x)min＝loga9＝－2，即a-2＝9，
所以a＝．
(3)证明：f(2－x)＝loga(4－x)＋loga(2＋x)＝f(x)．
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．
所以f(x)的图象是轴对称图形．
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