4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
[学习目标] 1．初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象、数学抽象) 2．会利用对数函数的单调性比较大小．(逻辑推理、数学运算)
探究1 对数函数的图象和性质
问题1 请同学们先完成下列表格，再利用描点法在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝图象．
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y＝log2x … …
y＝ … …
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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问题2 在问题1所画图象的基础上，再画出函数y＝log3x和y＝的图象，并说出这四个函数图象的特征．
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[新知生成]
对数函数的图象和性质
项目 a>1 0
图象
定义域 ___________
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减
最值 无最大、最小值
奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数
共点性 图象过定点________，即x＝1时，y＝0
函数值的特点 当x∈(0，1)时，y∈___________； 当x∈[1，＋∞)时，y∈___________ 当x∈(0，1)时，y∈___________； 当x∈[1，＋∞)时，y∈___________
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于___对称
[典例讲评] 1．(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0C．a>b>1 D．b>a>1
(2)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究] 把本例(2)改为f (x)＝|log2(x＋1)|＋2，试画出其图象．
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函数图象的变换规律
(1)作y＝f (|x|)的图象时，保留y＝f (x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f (|x|)的图象与y＝f (x)(x>0)的图象关于___对称．
(2)作y＝|f (x)|的图象时，保留y＝f (x)的_________图象不变，把___________以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f (－x)与y＝f (x)的图象关于___对称，y＝－f (x)与y＝f (x)的图象关于___对称，y＝－f (－x)与y＝f (x)的图象关于____对称．
[学以致用] 1．(1)函数f (x)＝loga(2x＋1)(a>0，且a≠1)的图象一定过点( )
A． B．(1，0)
C．(0，0) D．(0，1)
(2)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1C．0D．0探究2 比较对数值的大小
[典例讲评] 【链接教材P133例3】
2．(源自北师大版教材)比较下列各题中两个数的大小：
(1)log25.3，log24.7；
(2)log0.27，log0.29；
(3)log3π，logπ3；
(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．
[尝试解答] _________________________________________________________
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比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的____或用________转化．
(3)底数和真数都不同，找______．
[学以致用] 【链接教材P135练习T2】
2．比较下列各组值的大小：
(1)log5；
(2)lo2；
(3)log23与log54．
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探究3 解对数不等式
[典例讲评] 3．解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0，且a≠1)．
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________
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常见的对数不等式的3种类型
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解．
[学以致用] 【链接教材P141习题4.4T12】
3．若－10，且a≠1)，求实数a的取值范围．
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1．下列图象对应的函数可能是对数函数的是( )
A B
C D
2．下列不等式成立的是( )
A．log32＜log23＜log25
B．log32＜log25＜log23
C．log23＜log32＜log25
D．log23＜log25＜log32
3．若a>0，且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________．
4．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
1．知识链：
2．方法链：分类讨论法、数形结合法．
3．警示牌：作对数函数图象时易忽视底数a>1与04.4.2 对数函数的图象和性质(一)
[探究建构] 探究1
问题1 提示：
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
y＝lox … 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 …
对数函数y＝log2x和y＝lox的图象如图．
问题2 提示：同一坐标系中函数的图象如图．
(1)函数y＝log2x和y＝log3x的图象从左到右是上升的．
(2)函数y＝lox的图象从左到右是下降的．
(3)函数y＝log2x和y＝lox的图象关于x轴对称，同样，函数y＝log3x和y＝lox的图象也关于x轴对称．
(4)这四个函数的定义域均为(0，＋∞)，值域为R，都过定点(1，0)．
新知生成 (0，＋∞) (1，0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
典例讲评 1．(1)B [作直线y＝1(图略)，其与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0(2)解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
母题探究 解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示．
① ②
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示．
③ ④
发现规律 (1)y轴 (2)x轴及上方 x轴下方图象 (4)y轴 x轴 原点
学以致用 1．(1)C (2)D [(1)因为对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，
所以令2x＋1＝1，解得x＝0，
此时f(0)＝loga1＝0，
即f(x)的图象过定点(0，0)．
故选C．
(2)因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以00，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1探究2
典例讲评 2．解：(1)因为2>1，所以函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上单调递增．由5.3>4.7，得log25.3>log24.7．
(2)因为0<0.2<1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上单调递减．
由7<9，得log0.27>log0.29．
(3)因为3>1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上单调递增．
由π>3，得log3π>log33＝1．
同理可得1＝logππ>logπ3．
因此log3π>logπ3．
(4)当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上单调递增，
此时由3.1<5.2，得loga3.1当0此时由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2．
发现规律 (2)图象 换底公式 (3)中间量
学以致用 2．解：(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增，而，所以log5．
法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5．
(2)法一(单调性法)：由于lo，lo，
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
且，所以0>log2，
所以，
所以lo2．
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝lox的图象，由图易知：lo2．
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54．
探究3
典例讲评 3．解：(1)原不等式等价于
解得所以不等式的解集为．
(2)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)．
当a>1时，不等式等价于无解．
当04．
综上可知，当a>1时，解集为 ；
当04}．
学以致用 3．解：∵－1当a>1时，；
当0a，则0综上所述，实数a的取值范围是．
[应用迁移]
1．A [对数函数的定义域为(0，＋∞)，四个选项中最有可能是对数函数的是A选项．故选A．]
2．A [由题意，对数函数y＝log3x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
故1＝log223．(2，1) [令loga(x－1)＝0，得x＝2，此时y＝1．
∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2，1)．]
4．(2，7] [由题意可得lg(2x－4)lg 10，
∴0<2x－410，
即21 / 1(共70张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
[学习目标] 1．初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象、数学抽象) 2．会利用对数函数的单调性比较大小．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log2x与y＝的图象吗？
问题2．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？
探究建构 关键能力达成
探究1 对数函数的图象和性质
问题1 请同学们先完成下列表格，再利用描点法在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝图象．
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y＝log2x … …
… …
提示：
对数函数y＝log2x和y＝的图象如图．
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
… 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 …
问题2 在问题1所画图象的基础上，再画出函数y＝log3x和y＝的图象，并说出这四个函数图象的特征．
提示：同一坐标系中函数的图象如图．
(1)函数y＝log2x和y＝log3x的图象从左到右是上升的．
(2)函数y＝的图象从左到右是下降的．
(3)函数y＝log2x和y＝的图象关于x轴对称，同样，函数y＝log3x和y＝的图象也关于x轴对称．
(4)这四个函数的定义域均为(0，＋∞)，值域为R，都过定点(1，0)．
[新知生成]
对数函数的图象和性质
项目 a>1 0图象
定义域 ___________ 值域 R (0，＋∞)
项目 a>1 0单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减
最值 无最大、最小值 奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数 共点性 图象过定点________，即x＝1时，y＝0 (1，0)
项目 a>1 0函数值的特点 当x∈(0，1)时，y∈___________； 当x∈[1，＋∞)时，y∈___________ 当x∈(0，1)时，y∈___________；
当x∈[1，＋∞)时，y∈__________
对称性 (－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
【教用·微提醒】 (1)当0(2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴．
(3)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．
√
[典例讲评] 1．(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝loga x和y＝logb x的图象，则( )
A．0C．a>b>1 D．b>a>1
(2)已知 f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足 f (－5)＝1，试画出函数 f (x)的图象．
(1)B [作直线y＝1(图略)，其与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1．故选B．]
(2)[解] 因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f (x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
[母题探究] 把本例(2)改为f (x)＝|log2(x＋1)|＋2，试画出其图象．
[解] 第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示．
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．
① ②
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示．
③ ④
发现规律 函数图象的变换规律
(1)作y＝f (|x|)的图象时，保留y＝f (x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f (|x|)的图象与y＝f (x)(x>0)的图象关于____对称．
(2)作y＝| f (x)|的图象时，保留y＝f (x)的_______________图象不变，把______________以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f (－x)与y＝f (x)的图象关于____对称，y＝－f (x)与y＝f (x)的图象关于___对称，y＝－f (－x)与y＝f (x)的图象关于____对称．
y轴
x轴及上方
x轴下方图象
y轴
x轴
原点
[学以致用] 1．(1)函数 f (x)＝loga(2x＋1)(a>0，且a≠1)的图象一定过点( )
A． B．(1，0)
C．(0，0) D．(0，1)
√
(2)已知函数 f (x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1C．0D．0√
(1)C (2)D [(1)因为对数函数y＝loga x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，
所以令2x＋1＝1，解得x＝0，
此时f (0)＝loga1＝0，
即f (x)的图象过定点(0，0)．
故选C．
(2)因为函数 f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以00，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1探究2 比较对数值的大小
[典例讲评] 【链接教材P133例3】
2．(源自北师大版教材)比较下列各题中两个数的大小：
(1)log25.3，log24.7；
(2)log0.27，log0.29；
(3)log3π，logπ3；
(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．
[解] (1)因为2>1，所以函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上单调递增．由5.3>4.7，得log25.3>log24.7．
(2)因为0<0.2<1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上单调递减．
由7<9，得log0.27>log0.29．
(3)因为3>1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上单调递增．
由π>3，得log3π>log33＝1．
同理可得1＝logππ>logπ3．
因此log3π>logπ3．
(4)当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上单调递增，
此时由3.1<5.2，得loga3.1当0此时由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2．
【教材原题·P133例3】
例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
[解] (1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2>1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4<8.5，所以
log23.4(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3<1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8<2.7，
所以log0.31.8>log0.32.7．
(3)loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．
当a>1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1<5.9，
所以loga5.1当0所以loga5.1>loga5.9．
发现规律 比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的____或用________转化．
(3)底数和真数都不同，找______．
图象
换底公式
中间量
[学以致用] 【链接教材P135练习T2】
2．比较下列各组值的大小：
(1)log5；
(2)lo2；
(3)log23与log54．
[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增，而<，所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，所以log5(2)法一(单调性法)：由于lo，lo，
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，且，所以0>log2，所以，所以lo2．
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝及y＝的图象，由图易知：．
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54．
【教材原题·P135练习T2】比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg 0.6，lg 0.8；
(2)log0.56，log0.54；
(3)logm5，logm7．
[解] (1)y＝lg x为增函数，∵0.6<0.8，
∴lg 0.6(2)y＝log0.5x为减函数，∵6>4，∴log0.56(3)当m>1时，y＝logmx为增函数．
∵5<7，∴logm5当0∵5<7，
∴logm5>logm7．
探究3 解对数不等式
[典例讲评] 3．解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0，且a≠1)．
[解] (1)原不等式等价于
解得所以不等式的解集为．
(2)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)．
当a>1时，不等式等价于无解．
当0不等式等价于解得x>4．
综上可知，当a>1时，解集为 ；
当04}．
反思领悟 常见的对数不等式的3种类型
(1)形如loga x>logab的不等式，借助y＝loga x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如loga x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝loga x的单调性求解．
(3)形如loga x>logb x的不等式，可利用图象求解．
[学以致用] 【链接教材P141习题4.4T12】
3．若－10，且a≠1)，求实数a的取值范围．
[解] ∵－1当a>1时，；
当0a，则0综上所述，实数a的取值范围是．
【教材原题·P141习题4.4T12】已知＜1，求实数a的取值范围．
[解] ∵loga当a>1时，loga当0又＜1 ＜ a＞0，
＜1 ＜1 0≤a＜1，∴a的取值范围是．
【教用·备选题】 解下列关于x的不等式：
(1)lo(4－x)；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
[解] (1)由题意可得
解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于解得x>4．
当0解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0应用迁移 随堂评估自测
1．下列图象对应的函数可能是对数函数的是( )
√
A [对数函数的定义域为(0，＋∞)，四个选项中最有可能是对数函数的是A选项．
故选A．]
A B
C D
√
2．下列不等式成立的是( )
A．log32＜log23＜log25
B．log32＜log25＜log23
C．log23＜log32＜log25
D．log23＜log25＜log32
A [由题意，对数函数y＝log3x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
故1＝log22＜log23＜log25，log32＜log33＝1，即log32＜log23＜log25．故选A．]
3．若a>0，且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点______．
(2，1) [令loga(x－1)＝0，得x＝2，此时y＝1．
∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2，1)．]
(2，1)
4．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
(2，7] [由题意可得lg (2x－4)≤lg 10，
∴0<2x－4≤10，
即2(2，7]
1．知识链：
2．方法链：分类讨论法、数形结合法．
3．警示牌：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝，y＝，y＝，y＝的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示] 作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小为a4>a3>1>a2>a1>0．
2．比较对数值大小的常用方法有哪些？
[提示] (1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法．
3．如何解对数不等式loga f (x)>loga g(x)(a>0，且a≠1)
[提示] 分01两类分别求解．
当0loga g(x) 0当a>1时，loga f (x)>loga g(x) f (x)>g(x)>0．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(三十五) 对数函数的图象和性质(一)
√
一、选择题
1．函数y＝log0.25x与y＝log4x的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
A [由y＝log0.25x得y＝lox＝－log4x，
所以函数y＝log0.25x与y＝log4x的图象关于x轴对称．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．已知 f (x)＝log3x，则f ，f (2)的大小关系是( )
A．f >f >f (2) B．f C．f >f (2)>f D．f (2)>f >f
B [因为f (x)＝log3x是增函数，且<<2，故 f < f < f (2)．故选B．]
题号
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√
3．若函数 f (x)＝loga x＋1(a＞0，且a≠1)的图象过定点A(m，n)，则m＋n＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
C [由对数函数的性质可知，f (x)＝loga x＋1(a＞0，且a≠1)过定点A(1，1)，则m＋n＝2．故选C．]
√
题号
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4．若log3aA．0C．b>a>1 D．a>b>1
B [∵y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，且log31＝0，
∴由log3a√
题号
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√
√
5．(多选)若0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
BCD [∵y＝loga(x＋5)的图象过定点(－4，0)且单调递减，∴此函数图象不过第一象限．故选BCD．]
题号
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二、填空题
6．比较大小：
(1)log22________log2；
(2)log8π________logπ8．
(1)> (2)< [(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，且2＞，所以log22＞log2．
(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π＜8，所以log8π＜log88＝1．
同理1＝logππ＜logπ8，所以log8π＜logπ8．]
>
<
题号
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7．若实数a满足则a的取值范围为_________．
[根据对数函数的性质，由loga ＞1，可得＜a＜1；
由＜1，得a＞．
综上，＜a＜1．]
题号
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8．已知函数 f (x)＝是R上的减函数，则a的
取值范围是________．
[由题意可得，函数y＝(2a－3)x＋2在(－∞，1]上单调递减，函数y＝logax在(1，＋∞)上单调递减，且(2a－3)×1＋2≥loga1，即
有解得≤a＜1．]
题号
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三、解答题
9．(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？
(2)在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象(不要求写作法)；
(3)设函数y＝与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M与0的大小关系．
题号
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[解] (1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位长度得到的．
(2)在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象，如图所示．
题号
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(3)不妨设x1＜x2，则1＜x1＜2，2＜x2＜3．
∴M＝(x1－2)(x2－2)＜0．
题号
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10．已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数 f (x)＝与g(x)＝logb x的图象可能是( )
√
A B
C D
B [因为log2a＋log2b＝0，
所以log2(ab)＝0，所以ab＝1．
当a＞1时，0＜b＜1，
函数 f (x)＝与g(x)＝logb x均为减函数，四个图象均不满足；
当0＜a＜1时，b＞1，
函数 f (x)＝与g(x)＝logb x均为增函数，排除ACD．故在同一坐标系中的图象可能是B．]
题号
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11．设a＞0，a≠1，若函数 f (x)＝ax满足 f (2)＞f (3)，则不等式loga(x－1)＞0的解集为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(2，＋∞)
D．(3，＋∞)
√
题号
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A [∵f (2)＞f (3)，∴指数函数f (x)＝ax在R上单调递减，即0＜a＜1．
∴函数y＝loga(x－1)在其定义域上为减函数．
∴由loga(x－1)＞0＝loga1，得解得x∈(1，2)，
故不等式loga(x－1)＞0的解集为(1，2)．故选A．]
√
题号
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12．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．b>c>a
题号
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B [因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c．故选B．]
题号
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13．已知函数 f (x)＝|lg x|，若f (m)＝f (n)(n＜m)，则2m＋3n的取值范围为_____________．
[2，＋∞) [因为函数f (x)＝|lg x|，
若f (m)＝f (n)，则|lg m|＝|lg n|，
因为n＜m，所以n＜1＜m，lg m＝－lg n，
所以lg m＋lg n＝lg (mn)＝0，所以mn＝1，
则2m＋3n≥2＝2，当且仅当2m＝3n且mn＝1，即m＝时取等号．]
[2，＋∞)
题号
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14．已知函数 f (x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式 f (x)≤g(x)中x的取值范围．
[解] (1)由解得1∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
题号
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(2)不等式 f (x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于解得≤x<3．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为．
题号
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15．若不等式x2－logm x<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由x2－logm x<0，得x2要使x2内的图象在y＝x2图象的上方，于是0∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm＝logmm，
∴≤m，即≤m．又0即实数m的取值范围是．
[点评] 数形结合是求解此类问题的关键，注意y＝logm x的图象随m的变化的趋势．
题号
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谢 谢！课时分层作业(三十五) 对数函数的图象和性质(一)
一、选择题
1．函数y＝log0.25x与y＝log4x的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
2．已知f (x)＝log3x，则f ，f (2)的大小关系是( )
A．f >f >f (2)
B．f C．f >f (2)>f
D．f (2)>f >f
3．若函数f (x)＝logax＋1(a＞0，且a≠1)的图象过定点A(m，n)，则m＋n＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
4．若log3aA．0C．b>a>1 D．a>b>1
5．(多选)若0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
6．比较大小：
(1)log22________log2；
(2)log8π________logπ8．
7．若实数a满足则a的取值范围为_________．
8．已知函数f (x)＝是R上的减函数，则a的取值范围是________．
三、解答题
9．(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？
(2)在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象(不要求写作法)；
(3)设函数y＝与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M与0的大小关系．
10．已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f (x)＝与g(x)＝logbx的图象可能是( )
A B
C D
11．设a＞0，a≠1，若函数f (x)＝ax满足f (2)＞f (3)，则不等式loga(x－1)＞0的解集为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
12．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
13．已知函数f (x)＝|lg x|，若f (m)＝f (n)(n＜m)，则2m＋3n的取值范围为________．
14．已知函数f (x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f (x)≤g(x)中x的取值范围．
15．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
课时分层作业(三十五)
1．A [由y＝log0.25x得y＝lox＝－log4x，
所以函数y＝log0.25x与y＝log4x的图象关于x轴对称．故选A．]
2．B [因为f(x)＝log3x是增函数，且<2，故f(3．C [由对数函数的性质可知，f(x)＝logax＋1(a>0，且a≠1)过定点A(1，1)，则m＋n＝2．故选C．]
4．B [∵y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，且log31＝0，
∴由log3a5．BCD [∵y＝loga(x＋5)的图象过定点(－4，0)且单调递减，∴此函数图象不过第一象限．故选BCD．]
6．(1)> (2)< [(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，且2>，所以log22>log2．
(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π<8，
所以log8π同理1＝logππ7．(，1) [根据对数函数的性质，由loga>1，可得由loa<1，得a>．综上，8． [由题意可得，函数y＝(2a－3)x＋2在(－∞，1]上单调递减，函数y＝logax在(1，＋∞)上单调递减，且(2a－3)×1＋2≥loga1，即有≤a<1．]
9．解：(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位长度得到的．
(2)在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象，如图所示．
(3)不妨设x1∴M＝(x1－2)(x2－2)<0．
10．B [因为log2a＋log2b＝0，
所以log2(ab)＝0，所以ab＝1．
当a>1时，0函数f(x)＝(x与g(x)＝logbx均为减函数，四个图象均不满足；
当01，
函数f(x)＝(x与g(x)＝logbx均为增函数，排除ACD．故在同一坐标系中的图象可能是B．]
11．A [∵f(2)>f(3)，∴指数函数f(x)＝ax在R上单调递减，即0∴函数y＝loga(x－1)在其定义域上为减函数．
∴由loga(x－1)>0＝loga1，得解得x∈(1，2)，
故不等式loga(x－1)>0的解集为(1，2)．故选A．]
12．B [因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c．故选B．]
13．[2，＋∞) [因为函数f(x)＝|lg x|，
若f(m)＝f(n)，则|lg m|＝|lg n|，
因为n所以lg m＋lg n＝lg(mn)＝0，所以mn＝1，
则2m＋3n≥2，当且仅当2m＝3n且mn＝1，即m＝，n＝时取等号．]
14．解：(1)由解得1∴函数φ(x)的定义域为{x|1(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a>1时，不等式等价于
解得1②当0解得≤x<3．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为．
15．解：
由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm，
∴，即≤m．
又0即实数m的取值范围是．
[点评] 数形结合是求解此类问题的关键，注意y＝logmx的图象随m的变化的趋势．
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