4.4.3 不同函数增长的差异
[学习目标] 1．了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型．(数据分析、直观想象) 2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(数据分析、数学建模)
探究1 几个函数模型增长差异的比较
问题1 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x 22 24 26 28 210 212 214 216
y＝ 2 4 8 16 32 64 128 256
y＝log2x 2 4 6 8 10 12 14 16
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问题2 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x 20 24 28 210 214 220
y＝2x 2 216 2256 21 024 216 384 21 048 576
y＝x100 1 2400 2800 21 000 21 400 22 000
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[新知生成]
三种函数模型的增长差异
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 ______ ______ ______
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与___平行 随x增大逐渐近似与___平行 保持固定的增长速度
增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度________，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度________
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有_____________
[典例讲评] 1．(1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 025x B．y＝2 025
C．y＝log2 025x D．y＝2 025x
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
[尝试解答] _________________________________________________________
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常见的函数模型及其增长特点
线性函 数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变
指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”
对数函 数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓
幂函数 模型 幂函数模型y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间
[学以致用] 【链接教材P139练习T1】
1．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f 1(x)＝x2，f 2(x)＝4x，f 3(x)＝log2x，f 4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f 1(x)＝x2 B．f 2(x)＝4x
C．f 3(x)＝log2x D．f 4(x)＝2x
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探究2 函数增长速度的比较
[典例讲评] 2．函数f (x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且x1
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f (6)，g(6)，f (2 025)，g(2 025)的大小．
[尝试解答] _________________________________________________________
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由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[学以致用] 【链接教材P141习题4.4T11】
2．已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)借助图象，比较f (x)和g(x)的大小．
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探究3 函数模型的选择
[典例讲评] 3．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[尝试解答] _________________________________________________________
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几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快， 即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
[学以致用] 【链接教材P154练习T1】
3．科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是1 cm3，2秒后染料扩散的体积是3 cm3，染料扩散的体积y与时间x(单位：秒)的关系有两种函数模型可供选择：①y＝m·3x，②y＝mlog3x＋b，其中m，b均为常数．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)若染料扩散的体积达到5 cm3，至少需要多少秒？
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1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
2．(多选)以下四种说法中，错误的是 ( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
3．已知164．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
x 2 2.99 4 5 6.002
y 4 8.02 15.99 32 64.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝；③y＝log2x；④y＝2x．其中最接近的一个是________(只填序号)．
1．知识链：
2．方法链：转化法．
3．警示牌：不理解三种函数增长的差异．
指数爆炸与生活哲学
指数函数的爆炸性增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？
4.4.3 不同函数增长的差异
[探究建构] 探究1
问题1 提示：幂函数y比对数函数y＝log2x增长快，而且快很多．
问题2 提示：当x的值充分大时，指数函数y＝2x比幂函数y＝x100增长快，而且快很多．
新知生成 增函数 增函数 增函数 y轴 x轴 越来越快 越来越慢 ax>kx>logax
典例讲评 1．(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸性增长，并且随a值的增大，增长速度变快．故选A．
(2)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，可知指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数．]
学以致用 1．D [显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x．故选D．]
探究2
典例讲评 2．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x．
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1所以x1<6x2．
从图象上可以看出，当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
所以f(2 025)>g(2 025)．
又因为g(2 025)>g(6)，
所以f(2 025)>g(2 025)>g(6)>f(6)．
学以致用 2．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f(x)＝ln x．
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
探究3
典例讲评 3．解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
学以致用 3．解：(1)因为函数y＝m·3x中，y随x的增长而增长，且增长的速度越来越快，函数y＝mlog3x＋b中，y随x的增长而增长，且增长的速度越来越慢，
根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即y＝mlog3x＋b，
由题意可得
所以该模型的解析式为：
y＝2log23log3x＋1＝2log2x＋1．
(2)由(1)知：y＝2log2x＋1，
由题意知：y5，即2log2x＋15，则有2log2x4，所以log2x2，所以x4，所以至少需要4秒．
[应用迁移]
1．B [D中一次函数的增长速度不变；AC中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
2．ABC [对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于BC，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不一定成立．故选ABC．]
3．>log2x [作出f(x)和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0，4)内，>log2x；x＝4或x＝16时，log2x；
在(4，16)内，log2x．]
4．④ [由表格数据增长越来越快，代入数据验证可知其中最接近的一个是y＝2x．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
[学习目标] 1．了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型．(数据分析、直观想象) 2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(数据分析、数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？
问题2．函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)的增长速度有什么不同？
探究建构 关键能力达成
探究1 几个函数模型增长差异的比较
问题1 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x 22 24 26 28 210 212 214 216
2 4 8 16 32 64 128 256
y＝log2x 2 4 6 8 10 12 14 16
提示：幂函数y＝比对数函数y＝log2x增长快，而且快很多．
问题2 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x 20 24 28 210 214 220
y＝2x 2 216 2256 21 024 216 384 21 048 576
y＝x100 1 2400 2800 21 000 21 400 22 000
提示：当x的值充分大时，指数函数y＝2x比幂函数y＝x100增长快，而且快很多．
[新知生成]
三种函数模型的增长差异
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 ______ ______ ______
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与____平行 随x增大逐渐近似与____平行 保持固定的增长速度
增函数
增函数
增函数
y轴
x轴
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度_________，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度_________ 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有_____________ 越来越快
越来越慢
ax>kx>logax
√
[典例讲评] 1．(1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 025x
B．y＝2 025
C．y＝log2 025x
D．y＝2 025x
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.20 7.40
√
(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸性增长，并且随a值的增大，增长速度变快．故选A．
(2)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，可知指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数．]
反思领悟 常见的函数模型及其增长特点
线性函 数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变
指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”
对数函 数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓
幂函数 模型 幂函数模型y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间
√
[学以致用] 【链接教材P139练习T1】
1．四人赛跑，假设他们跑过的路程 f i(x)(其中i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是 f 1(x)＝x2，f 2(x)＝4x，f 3(x)＝log2x，f 4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f 1(x)＝x2 B．f 2(x)＝4x
C．f 3(x)＝log2x D．f 4(x)＝2x
D [显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x)＝2x．故选D．]
【教材原题·P139练习T1】三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
其中关于x呈指数增长的变量是________．
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
y2
y2 [指数型函数呈爆炸性增长．
从表格中可以看出，三个变量y1，y2，y3的值随着x的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．]
探究2 函数增长速度的比较
[典例讲评] 2．函数f (x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f (6)，g(6)，f (2 025)，
g(2 025)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f (x)＝2x．
(2)因为f (1)>g(1)，f (2)g(10)，
所以1所以x1<6x2．
从图象上可以看出，当x1所以f (6)当x>x2时，f (x)>g(x)，
所以f (2 025)>g(2 025)．
又因为g(2 025)>g(6)，
所以f (2 025)>g(2 025)>g(6)>f (6)．
反思领悟 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[学以致用] 【链接教材P141习题4.4T11】
2．已知函数 f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)借助图象，比较 f (x)和g(x)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f (x)＝ln x．
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f (x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)．
【教材原题·P141习题4.4T11】假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
(1)求函数P1＝f (t)的解析式；
(2)求函数P2＝g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
[解] (1)因为P1是按直线上升的房价，设f (t)＝kt＋b，t≥0，
由f (0)＝k×0＋b＝20，f (10)＝k×10＋b＝40，
可得k＝2，b＝20，
即P1＝f (t)＝2t＋20，t≥0．
(2)因为P2是按指数增长的房价，设g(t)＝a0at，t≥0，
由g(0)＝a0a0＝20，g(10)＝a0a10＝40，
可得a0＝20，a＝，
即P2＝g(t)＝，t≥0．
(3)由(1)和(2)，当t＝5时，P1＝30，P2＝20；
当t＝15时，P1＝50，P2＝40；
当t＝20时，P1＝60，P2＝80．
则表格如下：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 40 80
则图象为：
根据表格和图象可知：
房价按函数P1＝f (t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2＝g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例．
探究3 函数模型的选择
[典例讲评] 3．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解] 作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
反思领悟 几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快， 即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
[学以致用] 【链接教材P154练习T1】
3．科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是1 cm3，2秒后染料扩散的体积是3 cm3，染料扩散的体积y与时间x(单位：秒)的关系有两种函数模型可供选择：①y＝m·3x，②y＝mlog3x＋b，其中m，b均为常数．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)若染料扩散的体积达到5 cm3，至少需要多少秒？
[解] (1)因为函数y＝m·3x中，y随x的增长而增长，且增长的速度越来越快，函数y＝mlog3x＋b中，y随x的增长而增长，且增长的速度越来越慢，
根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即y＝mlog3x＋b，
由题意可得解得
所以该模型的解析式为：
y＝2log23log3x＋1＝2log2x＋1．
(2)由(1)知：y＝2log2x＋1，
由题意知：y≥5，即2log2x＋1≥5，则有2log2x≥4，所以log2x≥2，所以x≥4，
所以至少需要4秒．
【教材原题·P154练习T1】某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝pqx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？
[解] 若按模型y＝ax2＋bx＋c，将(1，52)，(2，61)，(3，68)代入，
得解得所以y＝－x2＋12x＋41．
若按模型y＝pqx＋r，将(1，52)，(2，61)，(3，68)代入，
得解得
所以y＝－．
模型比较：
比较发现，采用模型y＝pqx＋r与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际．
x 4 5 6
y＝－x2＋12x＋41 73 76 77
73.4 77.7 81
实际人数 74 78 83
【教用·备选题】 为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)
(40≤v≤120)的数据关系如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：
Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，
Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv．
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
[解] (1)该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合；
若选择第二种函数模型，代入(40，5.2)得5.2＝0.04×40＋b，解得b＝3.6，
∴Q(v)＝0.04v＋3.6，此时Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，与实际数据相差较大，故第二种不符合；
经观察，第三种函数模型最符合实际，
代入(40，5.2)，可得0.000 025×403－0.004×402＋c×40＝5.2，即1.6－6.4＋c×40＝5.2，解得c＝0.25，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v，
此时，Q(60)＝6，Q(90)＝8.325，Q(100)＝10，Q(120)＝15.6，符合题意，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v．
(2)设总耗油量为W，
∵W＝×Q＝0.002 5v2－0.4v＋25
＝0.002 5(v－80)2＋9，40≤v≤120，
当v＝80时，W取得最小值，为9，
∴这辆车应以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少．
应用迁移 随堂评估自测
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
√
B [D中一次函数的增长速度不变；AC中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
√
2．(多选)以下四种说法中，错误的是 ( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
√
√
ABC [对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于BC，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不一定成立．故选ABC．]
3．已知16>log2x [作出f (x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0，4)内>log2x；
x＝4或x＝16时＝log2x；
在(4，16)内在(16，20)内>log2x．]
>log2x
4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
x 2 2.99 4 5 6.002
y 4 8.02 15.99 32 64.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝；③y＝log2x；④y＝2x．其中最接近的一个是________(只填序号)．
④ [由表格数据增长越来越快，代入数据验证可知其中最接近的一个是y＝2x．]
④
1．知识链：
2．方法链：转化法．
3．警示牌：不理解三种函数增长的差异．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
如何描述三种函数模型的增长差异？
[提示] 直线上升、指数爆炸、对数增长．
对于一次函数y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长量固定不变．
指数爆炸与生活哲学
指数函数的爆炸性增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
阅读材料 拓展数学视野
有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(三十七) 不同函数增长的差异
√
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
D [对数型函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意．]
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2．下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是( )
A．y＝10×1.05x
B．y＝20＋x2
C．y＝30＋lg (x＋1)
D．y＝50x
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A [因为指数函数y＝1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，
比幂函数y＝x2，对数函数y＝lg (x＋1)，一次函数y＝50x增长的速度快，
所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是y＝10×1.05x．故选A．]
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3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，函数①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝alogbt中能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是( )
A．① B．② C．③ D．④
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
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B [根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数，而Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt，在a≠0时，均为单调函数，这与所提供的数据不符，故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数是Q＝at2＋bt＋c．故选B．]
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4．函数 f (x)＝的图象大致为( )
A B
C D
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C [函数f (x)＝x≠0}，
当x＜0时，x3＜0，3x＜1，所以f (x)＞0，
当x＞0时，3x－1＞0，x3＞0，
随x的增大，y＝3x－1的增长速度会越来越快，会超过并远远大于y＝x3的增长速度，故当x→＋∞时，f (x)→0．由于ABD不满足以上条件，故函数 f (x)＝的图象大致为C．故选C．]
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5．(多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲的速度快
D．甲先到达终点
CD [由题图可知，甲的路程增长图象比乙的要“陡”，因此甲的速度要比乙的快；甲、乙跑的路程相同，但甲用的时间要少，即甲先到达终点．]
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二、填空题
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
y＝x2 [当x变大时，x比ln x增长要快，
∴y＝x2比y＝x ln x增长要快．]
y＝x2
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7．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应选择的方案分别是____________．
乙，甲，丙 [将投资金额分别代入甲、乙、丙的解析式，计算比较y值的大小可求得结果．]
乙，甲，丙
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8．若x∈(0，＋∞)，则使log2x<2x(2，4)
(0，2)∪(4，＋∞)
(2，4) (0，2)∪(4，＋∞) [在同一平面直角坐标系中作出y＝2x，y＝x2，y＝log2x在(0，＋∞)上的图象如图．
由图得，若log2x<2x若log2x4．]
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三、解答题
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%．
哪个方案较好？
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[解] 方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10×(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
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10．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
√
A B C D
A [分别画出y＝2x，y＝x2的图象(图略)，由图象可知，两图象有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除BC；当x<－1时，y<0，故排除D．
故选A．]
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11．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A．(，2)
B．(1，)
C．
D．
√
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C [当x>0时，函数y＝4x的图象如图所示，若当0＜x≤时，不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，所以0＜a＜1．因为当y＝logax的图象与y＝4x的图象交于点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1，故选C．]
√
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12．(多选)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，给出的下列说法正确的是( )
A．此指数函数的底数为2
B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2
C．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月
D．设野生水葫芦蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所需的
时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3
√
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ABD [易知该指数函数的解析式为f (x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f (5)＝32>30，所以B正确；由f (x1)＝＝4和f (x2)＝＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设
＝log26＝t3，所以D正确．]
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13．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_____；B对应_____；C对应_____；D对应____．
(4)
(1)
(3)
(2)
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(4) (1) (3) (2) [A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；CD容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
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14．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求如下：(1)函数的图象接近图示；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx＋b(k>0)；②y＝＋b(k>0)；③y＝klog2＋n(k>0)．
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(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数)．
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[解] (1)对于模型①，当k>0时，匀速增长；
对于模型②，当k>0时，先慢后快增长；
对于模型③，当k>0时，先快后慢增长．
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选模型③y＝klog2
＋n(k＞0)．
(2)将(0，0)，(30，3)代入解析式得到
即
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解得k＝3，n＝－3，
即y＝3log2－3．
当x＝90时，y＝3log2(6＋2)－3＝6，
满足每天得分最高不超过6分的条件．
所以函数的解析式为
y＝
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(3)由y＝3log2－3≥4.5，得log2≥2.5＝，
得＝4≈5.657，得x≥54.86，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟．
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15．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的．则对于函数①y＝lg x＋1，②y＝，符合该公司奖励方案的函数模型是哪一个？(参考数据：
lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7)
[解] y＝lg x＋1在区间[4，10]上单调递增，当x＝10时，ymax＝2．
作出y＝lg x＋1与y＝的图象，如图所示．
由图知lg x＋1<在[4，10]上恒成立．
故函数y＝lg x＋1符合公司的要求．
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谢 谢！课时分层作业(三十七) 不同函数增长的差异
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
2．下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是( )
A．y＝10×1.05x B．y＝20＋x2
C．y＝30＋lg (x＋1) D．y＝50x
3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
根据上表数据，函数①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝alogbt中能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
4．函数f (x)＝的图象大致为( )
A B
C D
5．(多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲的速度快
D．甲先到达终点
二、填空题
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
7．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应选择的方案分别是________．
8．若x∈(0，＋∞)，则使log2x<2x三、解答题
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%．
哪个方案较好？
10．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
A B C D
11．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A．(，2) B．(1，)
C． D．
12．(多选)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，给出的下列说法正确的是( )
A．此指数函数的底数为2
B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2
C．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月
D．设野生水葫芦蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3
13．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应________；C对应________；D对应________．
14．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求如下：(1)函数的图象接近图示；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx＋b(k>0)；②y＝＋b(k>0)；③y＝klog2＋n(k>0)．
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数)．
15．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的．则对于函数①y＝lg x＋1，②y＝，符合该公司奖励方案的函数模型是哪一个？(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7)
课时分层作业(三十七)
1．D [对数型函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意．]
2．A [因为指数函数y＝1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，
比幂函数y＝x2，对数函数y＝lg(x＋1)，一次函数y＝50x增长的速度快，
所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是y＝10×1.05x．故选A．]
3．B [根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数，
而Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt，在a≠0时，均为单调函数，这与所提供的数据不符，
故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数是Q＝at2＋bt＋c．故选B．]
4．C [函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，
当x<0时，x3<0，3x<1，所以f(x)>0，
当x>0时，3x－1>0，x3>0，
随x的增大，y＝3x－1的增长速度会越来越快，会超过并远远大于y＝x3的增长速度，故当x→＋∞时，f(x)→0．由于ABD不满足以上条件，故函数f(x)＝的图象大致为C．故选C．]
5．CD [由题图可知，甲的路程增长图象比乙的要“陡”，因此甲的速度要比乙的快；甲、乙跑的路程相同，但甲用的时间要少，即甲先到达终点．]
6．y＝x2 [当x变大时，x比ln x增长要快，
∴y＝x2比y＝xln x增长要快．]
7．乙，甲，丙 [将投资金额分别代入甲、乙、丙的解析式，计算比较y值的大小可求得结果．]
8．(2，4) (0，2)∪(4，＋∞) [在同一平面直角坐标系中作出y＝2x，y＝x2，y＝log2x在(0，＋∞)上的图象如图．
由图得，若log2x<2x若log2x4．]
9．解：方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10×(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
10．A [分别画出y＝2x，y＝x2的图象(图略)，由图象可知，两图象有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除BC；当x<－1时，y<0，故排除D．
故选A．]
11．
C [当x>0时，函数y＝4x的图象如图所示，若当012．ABD [易知该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以B正确；由f(x1)＝＝4和f(x2)＝＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设＝2，＝3，＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正确．]
13．(4) (1) (3) (2) [A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；CD容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
14．解：(1)对于模型①，当k>0时，匀速增长；
对于模型②，当k>0时，先慢后快增长；
对于模型③，当k>0时，先快后慢增长．
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选模型③y＝klog2(＋2)＋n(k>0)．
(2)将(0，0)，(30，3)代入解析式得到
解得k＝3，n＝－3，即y＝3log2(＋2)－3．
当x＝90时，y＝3log2(6＋2)－3＝6，
满足每天得分最高不超过6分的条件．
所以函数的解析式为
y＝
(3)由y＝3log2(＋2)－3≥4.5，得log2(，得≈5.657，得x≥54.86，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟．
15．解：y＝lg x＋1在区间[4，10]上单调递增，当x＝10时，ymax＝2．作出y＝lg x＋1与y＝的图象，如图所示．
由图知lg x＋1<在[4，10]上恒成立．
故函数y＝lg x＋1符合公司的要求．
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