4.5.1 函数的零点与方程的解
[学习目标] 1．了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点三者之间的联系．(直观想象) 2．了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数．(逻辑推理)
探究1 函数零点的概念
问题1 回想一下，二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是如何定义的？二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点与其图象与x轴交点的横坐标存在怎样的关系？
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____________________________________________________________________
[新知生成]
1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使__________________叫做函数y＝f (x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有____ 函数y＝f (x)的图象与___有公共点．
[典例讲评] 1．求下列函数的零点：
(1)f (x)＝
(2)f (x)＝(lg x)2－lg x．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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函数零点的求法
(1)代数法：求方程f (x)＝0的实数解．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[学以致用] 1．(多选)若函数f (x)＝ax＋b只有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．－ B．0
C． D．－3
____________________________________________________________________
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探究2 函数零点存在定理
问题2 观察函数f (x)＝x2＋2x－3的图象：
(1)f (x)在区间(－4，－2)上有零点吗？f (－4)f (－2)的值和0有什么关系？
(2)f (x)在区间(0，2)上有零点吗？f (0)f (2)的值与0有什么关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
问题3 如果函数f (x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f (a)f (b)<0，那么f (x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？请画草图辅助说明．
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____________________________________________________________________
[新知生成]
函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有___________________，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内____有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
[典例讲评] 2．(1)已知y＝f (x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是( )
A．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(a，b)内有零点，则有f (a)f (b)<0
B．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)>0，则其在(a，b)内没有零点
C．若y＝f (x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，则其在(a，b)内有零点
D．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，则其在(a，b)内有零点
(2)函数f (x)＝lg x－的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，10)
C．(10，100) D．(100，＋∞)
[尝试解答] _________________________________________________________
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确定函数f (x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)f (b)<0．若f (a)f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T2】
2．(源自北师大版教材)判定方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内解的存在性，并说明理由．
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探究3 函数零点个数问题
判断函数的零点个数
[典例讲评] 【链接教材P143例1】
3．判断方程x＋ln x＝3的实数解的个数．
[尝试解答] _________________________________________________________
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根据零点个数求参数范围
[典例讲评] 4．函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有两个零点，则实数b的取值范围是( )
A．0
C．b<0 D．－1[尝试解答] _________________________________________________________
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判断函数零点个数的常用方法
(1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的个数就是函数f (x)零点的个数．
(2)图象法：直接作出函数f (x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f (x)零点的个数．
(3)f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f (x)零点的个数．
[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T3、P160复习参考题4T4】
3．(1)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)＋x－3的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)若函数y＝|x2－4x＋3|－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．
1．(多选)函数f (x)＝(x2－1)(x＋1)的零点是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．(多选)(教材P155习题4.5T2改编)已知函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
y －0.2 1.3 0.9 －0.5 －1
下列区间中函数y＝f (x)一定有零点的是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
3．已知函数f (x)＝loga(2x－1)－1的零点是2，则a＝________．
4．函数f (x)＝的零点个数是________．
1．知识链：
2．方法链：定理法、方程法、数形结合法．
3．警示牌：零点不能理解成点；可将零点个数问题转化成函数图象交点个数的问题．
4.5.1 函数的零点与方程的解
[探究建构] 探究1
问题1 提示：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是指使得ax2＋bx＋c＝0的实数x．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是其图象与x轴交点的横坐标．
新知生成 1．f(x)＝0的实数x
2．零点 x轴
典例讲评 1．解：(1)当x0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2．
所以函数f(x)的零点为－3和e2．
(2)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
∴函数f(x)的零点是1，10．
学以致用 1．AB [由题意知3a＋b＝0，∴b＝－3a，a≠0，
∴g(x)＝－3ax2－ax＝－ax(3x＋1)，要使g(x)＝0，则x＝－或x＝0．故选AB．]
探究2
问题2 提示：(1)有零点，f(－4)f(－2)<0．
(2)有零点，f(0)f(2)<0．
问题3 提示：一定有，至少有一个．草图如下．
新知生成 连续不断 f(a)f(b)<0 至少 f(c)＝0
典例讲评 2．(1)D (2)B [(1)选项A，y＝f(x)＝x2在区间[－1，1]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(－1，1)内有零点0，但是有f(－1)f(1)>0，A错误；
选项B，y＝f(x)＝x2在区间[－1，1]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(－1)f(1)>0，但是其在(－1，1)内有零点0，B错误；
选项C，y＝f(x)在区间(1，2)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(1)f(2)<0，但是其在(1，2)内没有零点，C错误；
选项D，依据函数零点存在定理可知，若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则其在(a，b)内有零点，D正确．故选D．
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在定义域内单调递增，f(1)＝－1<0，f(10)＝1－>0，
∴函数f(x)在(1，10)内存在零点．]
学以致用 2．解：令函数f(x)＝4x3＋x－15，
由于函数y＝4x3，y＝x－15在R上都是增函数，
则函数f(x)在R上是增函数，而
f(1)＝4×13＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×23＋2－15＝19>0，
因此函数f(x)在(1，2)内有零点，
所以方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内有解．
探究3
典例讲评 3．解：
法一：(数形结合法)令f(x)＝x－3＋ln x，令f(x)＝0，
则ln x＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
故原方程只有一个解．
法二：(函数零点存在定理)设f(x)＝x－3＋ln x，
因为f(3)＝ln 3>0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln<0，
所以f(3)f(2)<0，
说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2，3)内有零点．
又f(x)＝x－3＋ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以原方程只有一个解．
典例讲评 4．B [作出函数f(x)的图象如图所示．
令g(x)＝0，可得f(x)＝b，画出直线y＝b，可得当－1学以致用 3．(1)B (2)a>1或a＝0 [(1)令g(x)＝0，得f(x)＝－x＋3，画出函数f(x)和y＝－x＋3的图象，如图所示：
函数g(x)的零点个数即f(x)和y＝－x＋3的图象的交点个数，结合图象知有2个交点，故函数g(x)有2个零点．故选B．
(2)由题意知：函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，作出函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示．
若函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，则a>1或a＝0．所以实数a的取值范围是a>1或a＝0．]
[应用迁移]
1．AC [令f(x)＝0，解得x＝±1，所以函数的零点是－1和1．故选AC．]
2．AC [因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(1)<0，f(2)>0，f(3)>0，f(4)<0，函数在区间(1，2)和(3，4)上一定有零点，故选AC．]
3.3 [由题意得f(2)＝loga3－1＝0，解得a＝3．]
4.2 [当x0时，由x2－2＝0，解得x＝－，
当x>0时，由ln x＝0，解得x＝1，
所以函数f(x) 的零点个数是2．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
[学习目标] 1．了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点三者之间的联系．(直观想象) 2．了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．函数零点的概念是什么？
问题2．函数零点存在定理如何表述？
问题3．方程的解、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 函数零点的概念
问题1 回想一下，二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是如何定义的？二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点与其图象与x轴交点的横坐标存在怎样的关系？
提示：二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是指使得ax2＋bx＋c＝0的实数x．二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是其图象与x轴交点的横坐标．
[新知生成]
1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使_______________叫做函数y＝f (x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有____ 函数y＝f (x)的图象与____有公共点．
【教用·微提醒】 函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
f (x)＝0的实数x
零点
x轴
[典例讲评] 1．求下列函数的零点：
(1) f (x)＝
(2) f (x)＝(lg x)2－lg x．
[解] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2．
所以函数 f (x)＝的零点为－3和e2．
(2)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，∴函数f (x)的零点是1，10．
反思领悟 函数零点的求法
(1)代数法：求方程 f (x)＝0的实数解．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f (x)＝0，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
√
[学以致用] 1．(多选)若函数f (x)＝ax＋b只有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．－ B．0
C． D．－3
AB [由题意知3a＋b＝0，∴b＝－3a，a≠0，
∴g(x)＝－3ax2－ax＝－ax(3x＋1)，要使g(x)＝0，则x＝－或x＝0．故选AB．]
√
探究2 函数零点存在定理
问题2 观察函数 f (x)＝x2＋2x－3的图象：
(1) f (x)在区间(－4，－2)上有零点吗？f (－4) f (－2)
的值和0有什么关系？
(2) f (x)在区间(0，2)上有零点吗？f (0) f (2)的值与0有什么关系？
提示：(1)有零点，f (－4) f (－2)<0．
(2)有零点，f (0)f (2)<0．
问题3 如果函数f (x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且 f (a) f (b)<0，那么 f (x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？请画草图辅助说明．
提示：一定有，至少有一个．草图如下．
[新知生成]
函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有___________，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内____有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
连续不断
f (a) f (b)<0
至少
f (c)＝0
【教用·微提醒】
1．①函数 f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)
f (b)<0．这两个条件缺一不可．
2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号．
[典例讲评] 2．(1)已知y＝f (x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是( )
A．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(a，b)内有零点，则有f (a) f (b)<0
B．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f (a) f (b)>0，则其在(a，b)内没有零点
C．若y＝f (x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f (a) f (b)<0，则其在(a，b)内有零点
D．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f (a) f (b)<0，则其在(a，b)内有零点
√
√
(2)函数f (x)＝lg x－的零点所在的区间是( )
A．(0，1)
B．(1，10)
C．(10，100)
D．(100，＋∞)
(1)D (2)B [(1)选项A，y＝f (x)＝x2在区间[－1，1]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(－1，1)内有零点0，但是有f (－1) f (1)>0，A错误；
选项B，y＝f (x)＝x2在区间[－1，1]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (－1) f (1)>0，但是其在(－1，1)内有零点0，B错误；
选项C，y＝f (x)＝在区间(1，2)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (1) f (2)<0，但是其在(1，2)内没有零点，C错误；
选项D，依据函数零点存在定理可知，若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a) f (b)<0，则其在(a，b)内有零点，D正确．故选D．
(2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x)在定义域内单调递增，f (1)＝－1<0，f (10)＝1－>0，
∴函数f (x)在(1，10)内存在零点．]
反思领悟 确定函数f (x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)f (b)<0．若f (a)f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T2】
2．(源自北师大版教材)判定方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内解的存在性，并说明理由．
[解] 令函数f (x)＝4x3＋x－15，
由于函数y＝4x3，y＝x－15在R上都是增函数，
则函数f (x)在R上是增函数，而
f (1)＝4×13＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×23＋2－15＝19>0，
因此函数f (x)在(1，2)内有零点，
所以方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内有解．
【教材原题·P155习题4.5T2】已知函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
函数y＝f (x)在哪几个区间内一定有零点？为什么？
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064
[解] 由对应值表可得f (2) f (3)＜0，f (3) f (4)＜0，f (4) f (5)＜0，
由函数零点存在定理可知 f (x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内一定有零点．
【教用·备选题】 “定义在R上的函数 f (x)满足 f (0) f (2)>0，且
f (x)在区间(0，2)上存在零点”，请写出一个符合要求的函数_________________________．
f (x)＝(x－1)2(答案不唯一) [ f (x)＝(x－1)2的零点为1∈(0，2)，且
f (0)＝1，f (2)＝1满足f (0)f (2)>0，故f (x)＝(x－1)2符合题意．]
f (x)＝(x－1)2(答案不唯一)
探究3 函数零点个数问题
角度1 判断函数的零点个数
[典例讲评] 【链接教材P143例1】
3．判断方程x＋ln x＝3的实数解的个数．
[解] 法一：(数形结合法)令f (x)＝x－3＋ln x，令f (x)＝0，
则ln x＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，
即函数f (x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
故原方程只有一个解．
法二：(函数零点存在定理)设 f (x)＝x－3＋ln x，
因为f (3)＝ln 3>0，f (2)＝－1＋ln 2＝ln <0，
所以f (3) f (2)<0，
说明函数f (x)＝x－3＋ln x在区间(2，3)内有零点．
又f (x)＝x－3＋ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以原方程只有一个解．
【教材原题·P143例1】
例1 求方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数．
分析：可以先借助计算工具画出函数y＝ln x＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．
[解] 设函数 f (x)＝ln x＋2x－6，利用计算工具，列出函数y＝f (x)的对应值表(表4.5-1)，并画出图象(图4.5-2)．
表4.5-1
x y
1 －4
2 －1.306 9
3 1.098 6
4 3.386 3
x y
5 5.609 4
6 7.791 8
7 9.945 9
8 12.079 4
9 14.197 2
由表4.5-1和图4.5-2可知，f (2)<0，f (3)>0，则f (2)f (3)<0．由函数零点存在定理可知，函数f (x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内
至少有一个零点．
容易证明，函数f (x)＝ln x＋2x－6，x∈(0，＋∞)是增函
数，所以它只有一个零点，即相应方程ln x＋2x－6＝0只
有一个实数解．
角度2 根据零点个数求参数范围
[典例讲评] 4．函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有两个零点，则实数b的取值范围是( )
A．0C．b<0 D．－1√
B [作出函数f (x)＝的图象如图所示．
令g(x)＝0，可得f (x)＝b，画出直线y＝b，可得当－1反思领悟 判断函数零点个数的常用方法
(1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的个数就是函数f (x)零点的个数．
(2)图象法：直接作出函数f (x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f (x)零点的个数．
(3) f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f (x)零点的个数．
√
[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T3、P160复习参考题4T4】
3．(1)已知函数 f (x)＝则函数g(x)＝f (x)＋x－3的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)若函数y＝|x2－4x＋3|－a有两个零点，则实数a的取值范围是___________．
a>1或a＝0
(1)B (2)a>1或a＝0 [(1)令g(x)＝0，得f (x)＝－x＋3，
画出函数 f (x)和y＝－x＋3的图象，如图所示：
函数g(x)的零点个数即 f (x)和y＝－x＋3的图象的交点
个数，结合图象知有2个交点，故函数g(x)有2个零点．故选B．
(2)由题意知：函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，作出函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示．
若函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，则
a>1或a＝0．所以实数a的取值范围是a>1或a＝0．]
1．【教材原题·P155习题4.5T3】已知函数 f (x)＝x3－2x＋1，求证：方程 f (x)＝x在(－1，2)内至少有两个实数解．
[解] 由f (x)＝x得x3－3x＋1＝0．
令g(x)＝x3－3x＋1，则g(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，g(1)＝1－3＋1＝－1＜0，g(2)＝8－6＋1＝3＞0，
∴g(－1)g(1)＜0，g(1)g(2)＜0，
∴g(x)在(－1，1)内至少有一个零点，在(1，2)内至少有一个零点，
∴g(x)在(－1，2)内至少有两个零点，即方程f (x)＝x在(－1，2)内至少有两个实数解．
2．【教材原题·P160复习参考题4T4】已知函数f (x)＝求使方程f (x)＝k的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围．
[解] 作出f (x)的图象如图，方程f (x)＝k的实数解的个数等于直线y＝k与y＝f (x)图象的交点个数．
∵f (x)＝
当x≤0时，f (x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
函数在(－∞，－1)上单调递减，在[－1，0]上单调递增，f (x)min＝
f (－1)＝－4，f (0)＝－3，
当x＞0时，f (x)＝－2＋ln x，函数在(0，＋∞)
上单调递增．
∴当实数解的个数为1时，k＜－4；
当实数解的个数为2时，k＞－3或k＝－4；
当实数解的个数为3时，－4＜k≤－3．
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)函数f (x)＝(x2－1)(x＋1)的零点是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
√
AC [令f (x)＝0，解得x＝±1，所以函数的零点是－1和1．故选AC．]
√
√
2．(多选)(教材P155习题4.5T2改编)已知函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
下列区间中函数y＝f (x)一定有零点的是( )
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
AC [因为函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，且 f (1)<0，
f (2)>0，f (3)>0，f (4)<0，函数在区间(1，2)和(3，4)上一定有零点，故选AC．]
√
x 1 2 3 4 5
y －0.2 1.3 0.9 －0.5 －1
3．已知函数 f (x)＝loga(2x－1)－1的零点是2，则a＝________．
3 [由题意得 f (2)＝loga3－1＝0，解得a＝3．]
3
4．函数 f (x)＝的零点个数是________．
2 [当x≤0时，由x2－2＝0，解得x＝－，
当x>0时，由ln x＝0，解得x＝1，
所以函数 f (x)＝ 的零点个数是2．]
2
1．知识链：
2．方法链：定理法、方程法、数形结合法．
3．警示牌：零点不能理解成点；可将零点个数问题转化成函数图象交点个数的问题．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数的零点、相应方程的解及图象之间存在怎样的内在联系？
[提示] 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
2．函数零点存在定理满足的条件有哪些？
[提示] 定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a)·f (b)<0．
3．探求函数零点个数的方法有哪些？
[提示] 解方程法；数形结合法；定理法．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
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课时分层作业(三十八) 函数的零点与方程的解
√
一、选择题
1．函数f (x)＝log3(x－1)－2的零点为( )
A．10 B．9 C．(10，0) D．(9，0)
A [令f (x)＝log3(x－1)－2＝0，即log3(x－1)＝2＝log332，所以x－1＝32，因此x＝10，所以函数f (x)＝log3(x－1)－2的零点为10．故选A．]
题号
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√
2．函数 f (x)＝－x－2的零点所在的区间为( )
A．(－3，－2) B．(－2，－1)
C．(－1，0) D．(0，1)
C [因为f (x)＝－x－2是连续的减函数，
f (－3)＝＞0，f (－2)＝＞0，
f (－1)＝＞0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝＜0，
有f (－1)f (0)＜0，所以f (x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C．]
题号
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√
3．方程|lg x|＋x－2＝0的解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由|lg x|＋x－2＝0，得|lg x|＝2－x，
在同一平面直角坐标系内作出y＝|lg x|与y＝2－x的图象，
如图，两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解．
故选C．]
√
题号
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4．已知 f (x)＝2ax－1＋3a，f (0)＜f (1)，且 f (x)在(1，2)内存在零点，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
题号
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C [因为f (0)＜f (1)，故－1＋3a＜2a－1＋3a，即a＞0．
而f (x)在(1，2)内存在零点，
故即解得＜a＜．故选C．]
√
题号
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√
√
5．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是( )
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
BCD [当a＝0时，函数y＝ax2－x－2a有唯一零点，故A不正确；
当a≠0时，由ax2－x－2a＝0，Δ＝1＋8a2>0，可知函数一定有两个零点，故BC正确，所以函数的零点个数是1或2，故D正确．故选BCD．]
题号
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二、填空题
6．已知函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分取值如下表所示：
则函数y＝f (x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为________．
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
f (x) －3.51 1.02 2.37 1.56 －0.38 1.23 2.7 3.5 4.9
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题号
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3 [由题表中数据可得f (－2)f (－1.5)<0，则f (x)在(－2，－1.5)上至少存在一个零点，f (－0.5)f (0)<0，则f (x)在(－0.5，0)上至少存在一个零点，f (0)f (0.5)<0，则f (x)在(0，0.5)上至少存在一个零点，
故函数y＝f (x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为3．]
题号
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7．请写出同时满足以下条件的一个函数：______________________．
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点．
f (x)＝x2－1(答案不唯一)
题号
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8．函数f (x)＝2x＋x－5在(t，t＋1)上存在零点，则整数t的值为________．
1 [ f (x)＝2x＋x－5在R上单调递增，由函数零点存在定理可知，
f (t)<0，f (t＋1)>0，由于f (1)<0，f (2)>0，故整数t＝1．]
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三、解答题
9．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝x2－2x．
(1)求f (x)的解析式，并画出f (x)的图象；
(2)设g(x)＝f (x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)分别有一个零点？两个零点？三个零点？
题号
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[解] (1)当x≥0时，f (x)＝x2－2x．
设x＜0可得－x＞0，则f (－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x．
∵函数f (x)为奇函数，则f (x)＝－f (－x)＝－x2－2x．∴f (x)＝
函数的图象如图所示：
题号
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(2)由g(x)＝f (x)－k＝0可得f (x)＝k，
结合函数的图象可知：
①当k＜－1或k＞1时，y＝k与y＝f (x)的图象有1个交点，即g(x)＝f (x)－k有1个零点；
②当k＝－1或k＝1时，y＝k与y＝f (x)的图象有2个交点，即g(x)＝f (x)－k有2个零点；
③当－1＜k＜1时，y＝k与y＝f (x)的图象有3个交点，
即g(x)＝f (x)－k有3个零点．
【教用·备选题】
判断函数f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数．
[解] 法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0，
∴f (0)·f (2)<0，
∴f (x)在(0，2)上必定存在零点．
又f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上单调递增，∴f (x)有且只有一个零点．
法二：令f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2＝0，
即2－2x＝lg (x＋1)，
在同一平面直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图，如图所示，
由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象
有且只有一个交点，
即f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点．
题号
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10．若一次函数f (x)＝kx＋b有一个零点－2，则函数g(x)＝bx2－kx的图象可能是( )
√
A B
C D
B [因为一次函数f (x)＝kx＋b有一个零点－2，
所以－2k＋b＝0(k≠0)，即b＝2k，
对于g(x)＝bx2－kx，令g(x)＝0，则bx2－kx＝0，则x(bx－k)＝0，
即x(2kx－k)＝0，解得x＝0或x＝0.5，
所以g(x)有两个零点，分别为0和0.5，符合题意的只有B选项．]
题号
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11．函数f (x)＝ln x＋2x－5的零点为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
√
C [因为f (x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上单调递增，
且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3＋1>0，
即x0∈(2，3)，所以k＝2．
故选C．]
√
题号
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12．(教材P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是( )
A．aB．cC．bD．c题号
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C [由已知条件得f (x)的零点可以看成y＝2x与y＝4－x图象的交点的横坐标，
g(x)的零点可以看成y＝ex与y＝4－x图象的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x与y＝4－x图象的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系下分别画出y＝2x，y＝ex，
y＝ln x，y＝4－x的函数图象，如图所示，可知
c>a>b．故选C．]
题号
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13．已知 f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 012个，则 f (x)的零点的个数为( )
A．1 011 B．1 012
C．2 024 D．2 025
√
D [∵f (x)为奇函数且在(0，＋∞)内有1 012个零点，
∴在(－∞，0)内也有1 012个零点，
又∵f (0)＝0，∴共有2 024＋1＝2 025(个)零点．故选D．]
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14．已知函数f (x)＝x2－bx＋3．
(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x)的零点；
(2)若函数f (x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求实数b的取值范围．
题号
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[解] (1)由f (0)＝f (4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f (x)＝x2－4x＋3，令f (x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1．
所以f (x)的零点是1和3．
(2)因为f (x)的零点一个大于1，另一个小于1，其图象如图．
需f (1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4．
故实数b的取值范围为(4，＋∞)．
题号
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15．【链接教材P156习题4.5T13】若函数 f (x)＝2ax2－x－1在区间
(0，1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
[解] 若函数f (x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个根，
若a＝0，则方程2ax2－x－1＝0可化为－x－1＝0，
得x＝－1 (0，1)，不成立．
若a≠0，设方程的两根为x1，x2，
且Δ＝(－1)2＋8a＝1＋8a≥0，得a≥－，且a≠0，
当－≤a<0时，
有
故x1<0，x2<0，不符合题意；
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若a>0，则函数图象开口向上，
又f (0)＝－1<0，
若函数在(0，1)上恰有一个零点，
则f (1)＝2a－1－1>0，所以a>1．
综上，a>1．
[点评] (1) f (x)＝2ax2－x－1未必是二次函数，故要分a＝0和a≠0两类求解；(2) f (x)＝0在(0，1)内有一个零点，而不是 f (x)＝0有一个零点，要数形结合求解．
题号
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【教材原题·P156习题4.5T13】有一道题“若函数 f (x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答：由 f (－1) f (1)＝(24a－5)(24a＋3)＜0，解得－＜a＜．所以，实数a的取值范围是．上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
[解] 上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论a＝0和a≠0两种情况；而a≠0时，在区间(－1，1)内的零点可能不是“变号零点”．
正确解答如下：
(1)当a＝0时，f (x)＝4x－1，
令f (x)＝0得4x－1＝0，解得x＝∈(－1，1)．
∴当a＝0时，f (x)在(－1，1)内恰有一个零点．
(2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a．
①若Δ＝0，即a＝－，则函数f (x)的图象与x轴交于点，
∴x＝是(－1，1)内的唯一零点．
②若Δ＞0，即a＞－，且a≠0，
则
解得－＜a＜，且a≠0；
当f (－1)＝0，即a＝时，f (x)＝5x2＋4x－1，令f (x)＝0，解得x1＝－1，x2＝，
∴x＝是(－1，1)内的唯一零点；
当f (1)＝0，即a＝－时，f (x)＝－3x2＋4x－1，令f (x)＝0，解得x1＝1，x2＝，
∴x＝是(－1，1)内的唯一零点．
综上可得，a的取值范围是．
谢 谢！课时分层作业(三十八) 函数的零点与方程的解
一、选择题
1．函数f (x)＝log3(x－1)－2的零点为( )
A．10 B．9
C．(10，0) D．(9，0)
2．函数f (x)＝－x－2的零点所在的区间为( )
A．(－3，－2) B．(－2，－1)
C．(－1，0) D．(0，1)
3．方程|lg x|＋x－2＝0的解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．已知f (x)＝2ax－1＋3a，f (0)＜f (1)，且f (x)在(1，2)内存在零点，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是( )
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
二、填空题
6．已知函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分取值如下表所示：
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
f (x) －3.51 1.02 2.37 1.56 －0.38 1.23 2.7 3.5 4.9
则函数y＝f (x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为________．
7．请写出同时满足以下条件的一个函数：________．
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点．
8．函数f (x)＝2x＋x－5在(t，t＋1)上存在零点，则整数t的值为________．
三、解答题
9．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝x2－2x．
(1)求f (x)的解析式，并画出f (x)的图象；
(2)设g(x)＝f (x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)分别有一个零点？两个零点？三个零点？
10．若一次函数f (x)＝kx＋b有一个零点－2，则函数g(x)＝bx2－kx的图象可能是( )
A B
C D
11．函数f (x)＝ln x＋2x－5的零点为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
12．(教材P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是( )
A．aC．b13．已知f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 012个，则f (x)的零点的个数为( )
A．1 011 B．1 012
C．2 024 D．2 025
14．已知函数f (x)＝x2－bx＋3．
(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x)的零点；
(2)若函数f (x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求实数b的取值范围．
15．【链接教材P156习题4.5T13】若函数f (x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
课时分层作业(三十八)
1．A [令f(x)＝log3(x－1)－2＝0，即log3(x－1)＝2＝log332，所以x－1＝32，因此x＝10，所以函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为10．故选A．]
2．C [因为f(x)＝(x－x－2是连续的减函数，
f(－3)＝>0，f(－2)＝>0，
f(－1)＝>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－<0，
有f(－1)f(0)<0，所以f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C．]
3．C [由|lg x|＋x－2＝0，得|lg x|＝2－x，
在同一平面直角坐标系内作出y＝|lg x|与y＝2－x的图象，
如图，两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解．
故选C．]
4．C [因为f(0)0．
而f(x)在(1，2)内存在零点，
故．故选C．]
5．BCD [当a＝0时，函数y＝ax2－x－2a有唯一零点，故A不正确；
当a≠0时，由ax2－x－2a＝0，Δ＝1＋8a2>0，可知函数一定有两个零点，故BC正确，所以函数的零点个数是1或2，故D正确．故选BCD．]
6．3 [由题表中数据可得f(－2)f(－1.5)<0，则f(x)在(－2，－1.5)上至少存在一个零点，f(－0.5)f(0)<0，则f(x)在(－0.5，0)上至少存在一个零点，f(0)f(0.5)<0，则f(x)在(0，0.5)上至少存在一个零点，
故函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为3．]
7．f(x)＝x2－1(答案不唯一)
8．1 [f(x)＝2x＋x－5在R上单调递增，由函数零点存在定理可知，
f(t)<0，f(t＋1)>0，由于f(1)<0，f(2)>0，
故整数t＝1．]
9．解：(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x．
设x<0可得－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x．
∵函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x．
∴f(x)＝
函数的图象如图所示：
(2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k，
结合函数的图象可知：
①当k<－1或k>1时，y＝k与y＝f(x)的图象有1个交点，即g(x)＝f(x)－k有1个零点；
②当k＝－1或k＝1时，y＝k与y＝f(x)的图象有2个交点，即g(x)＝f(x)－k有2个零点；
③当－110．B [因为一次函数f(x)＝kx＋b有一个零点－2，
所以－2k＋b＝0(k≠0)，即b＝2k，
对于g(x)＝bx2－kx，令g(x)＝0，则bx2－kx＝0，则x(bx－k)＝0，
即x(2kx－k)＝0，解得x＝0或x＝0.5，
所以g(x)有两个零点，分别为0和0.5，符合题意的只有B选项．]
11．C [因为f(x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上单调递增，
且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，
即x0∈(2，3)，所以k＝2．
故选C．]
12．C [由已知条件得f(x)的零点可以看成y＝2x与y＝4－x图象的交点的横坐标，
g(x)的零点可以看成y＝ex与y＝4－x图象的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x与y＝4－x图象的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系下分别画出y＝2x，y＝ex，y＝ln x，y＝4－x的函数图象，如图所示，可知c>a>b．故选C．]
13．D [∵f(x)为奇函数且在(0，＋∞)内有1 012个零点，
∴在(－∞，0)内也有1 012个零点，
又∵f(0)＝0，∴共有2 024＋1＝2 025(个)零点．故选D．]
14．解：
(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1．
所以f(x)的零点是1和3．
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，其图象如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4．
故实数b的取值范围为(4，＋∞)．
15．解：若函数f(x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个根，
若a＝0，则方程2ax2－x－1＝0可化为－x－1＝0，
得x＝－1 (0，1)，不成立．
若a≠0，设方程的两根为x1，x2，
且Δ＝(－1)2＋8a＝1＋8a≥0，得a≥－，且a≠0，
当－≤a<0时，有
故x1<0，x2<0，不符合题意；
若a>0，则函数图象开口向上，
又f(0)＝－1<0，
若函数在(0，1)上恰有一个零点，
则f(1)＝2a－1－1>0，所以a>1．
综上，a>1．
[点评] (1)f(x)＝2ax2－x－1未必是二次函数，故要分a＝0和a≠0两类求解；(2)f(x)＝0在(0，1)内有一个零点，而不是f(x)＝0有一个零点，要数形结合求解．
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