4.5.2 用二分法求方程的近似解
[学习目标] 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(数学抽象) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，借助信息技术，用二分法求方程的近似解．(逻辑推理、数学运算)
探究1 二分法的概念
问题1 有8个质量不均匀的小球，只有一个比别的都重，为了找出这个小球，某同学在天平的两端各放了4个小球，发现天平右端较低，于是他把右端的4个小球均分成两组，重新放在天平两端，此时他又发现天平左端较低，于是他把左端的两个球重新置于天平两端，每端一球，发现天平左端较低，于是找到了较重的小球．
上述寻找较重小球的试验体现了什么思想方法？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且___________________的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点____________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[典例讲评] 1．(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
(2)已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T1】
1．用二分法求如图所示的函数f (x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
探究2 用二分法求函数零点的近似值
问题2 已知函数f (x)＝x3－3在区间(1，2)内存在零点，如何用二分法缩小零点所在区间的范围？
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[新知生成]
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证___________________．
2．求区间(a，b)的中点_．
3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则_就是函数的零点；
(2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈________)，则令b＝c；
(3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈________)，则令a＝c．
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
[典例讲评] 【链接教材P146例2】
2．用二分法求2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解(精确度为0.2)．
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________
利用二分法求方程近似解的过程图示
[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T4、T5】
2．(多选)用二分法求函数f (x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f (x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
根据上述数据，可得f (x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度为0.05)为( )
A．0.625 B．0.093 75
C．0.125 D．0.096
1．用二分法求函数f (x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
2．(教材P155习题4.5T1改编)已知函数f (x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
3．用二分法研究函数f (x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (1)>0，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈______(填区间)．
4．用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f (x)的近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
1．知识链：
2．方法链：化归法、逼近法．
3．警示牌：二分法并不适用于求所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的．
4.5.2 用二分法求方程的近似解
[探究建构] 探究1
问题1 提示：一分为二．
新知生成 f(a)f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点
典例讲评 1．(1)ACD (2)A [(1)二分法的理论依据是函数零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项ACD零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．故选ACD．
(2)由题意可知x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则Δ＝36－4c＝0，∴c＝9．故选A．]
学以致用 1．C [由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)f(b)0，故不可以用二分法求该零点．]
探究2
问题2 提示：取区间(1，2)的中点值1.5；计算f(1.5)的值；验证f(1.5)f(2)<0是否成立，若成立，则f(x)的零点在区间(1.5，2)内，否则在区间(1，1.5)内．
新知生成 1．f(a)f(b)<0
2．c
3．(1)c (2)(a，c) (3)(c，b)
典例讲评 2．解：令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0．
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1，2) x1＝1.5 f(x1)≈0.33>0
(1，1.5) x2＝1.25 f(x2)≈－0.37<0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)≈－0.035<0
(1.375，1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解可取为1.375．
学以致用 2．BCD [已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)内，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以0.093 75，0.096，0.125都符合题意．]
[应用迁移]
1．B [根据二分法的步骤知，当区间长度|a－b|小于精确度ε时，便可结束计算．故选B．]
2．D [函数f(x)的图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点的个数为3．故选D．]
3． [因为f >0，f (0)f <0，
所以下一次计算可得x0∈．]
4.1．56(答案不唯一) [f(1.562 5)＝0.003>0，
f(1.556 2)<0，
且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，
∴区间(1.556 2，1.562 5)内的任意实数均是函数f(x)的零点，不妨取1.56．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
[学习目标] 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(数学抽象) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，借助信息技术，用二分法求方程的近似解．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．二分法的概念是什么？
问题2．用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 二分法的概念
问题1 有8个质量不均匀的小球，只有一个比别的都重，为了找出这个小球，某同学在天平的两端各放了4个小球，发现天平右端较低，于是他把右端的4个小球均分成两组，重新放在天平两端，此时他又发现天平左端较低，于是他把左端的两个球重新置于天平两端，每端一球，发现天平左端较低，于是找到了较重的小球．
上述寻找较重小球的试验体现了什么思想方法？
提示：一分为二．
[新知生成]
二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且_____________的函数y＝ f (x)，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点____________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【教用·微提醒】 用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点0，但不能用二分法求解．
f (a) f (b)<0
一分为二
逐步逼近零点
[典例讲评] 1．(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
√
√
√
(2)已知 f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是
( )
A．9 B．8 C．7 D．6
√
(1)ACD (2)A [(1)二分法的理论依据是函数零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项ACD零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．故选ACD．
(2)由题意可知x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则Δ＝36－4c＝0，∴c＝9．故选A．]
反思领悟 运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T1】
1．用二分法求如图所示的函数f (x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
√
C [由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f (a) f (b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f (a) f (b)≥0，故不可以用二分法求该零点．]
【教材原题·P155习题4.5T1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是_______．(填写上所有符合条件的图号)
①③ [用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求．]
①③
探究2 用二分法求函数零点的近似值
问题2 已知函数 f (x)＝x3－3在区间(1，2)内存在零点，如何用二分法缩小零点所在区间的范围？
提示：取区间(1，2)的中点值1.5；计算f (1.5)的值；验证 f (1.5) f (2)<0是否成立，若成立，则f (x)的零点在区间(1.5，2)内，否则在区间(1，1.5)内．
[新知生成]
给定精确度ε，用二分法求函数 y＝f (x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证____________．
2．求区间(a，b)的中点_．
3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则_就是函数的零点；
(2)若f (a) f (c)<0(此时x0∈______ )，则令b＝c；
(3)若f (c) f (b)<0(此时x0∈______ )，则令a＝c．
f (a) f (b)<0
c
c
(a，c)
(c，b)
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
【教用·微提醒】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点．
(2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分．
[典例讲评] 【链接教材P146例2】
2．用二分法求2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解(精确度为0.2)．
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
[解] 令f (x)＝2x＋x－4，则f (1)＝2＋1－4<0，f (2)＝22＋2－4>0．
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解可取为1.375．
区间 区间中点值xn f (xn)的值及符号
(1，2) x1＝1.5 f (x1)≈0.33>0
(1，1.5) x2＝1.25 f (x2)≈－0.37<0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f (x3)≈－0.035<0
(1.375，1.5)
【教材原题·P146例2】
例2 借助信息技术，用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1)．
[解] 原方程即2x＋3x－7＝0，令f (x)＝2x＋3x－7，用信息技术画出函数y＝f (x)的图象(图4.5-4)，并列出它的对应值表(表4.5-3)．
表4.5-3
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y －6 －2 3 10 21 40 75 142 273
观察图4.5-4或表4.5-3，可知f (1) f (2)<0，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0．
取区间(1，2)的中点x1＝1.5，用信息技术算得f (1.5)≈0.33．
因为f (1) f (1.5)<0，所以x0∈(1，1.5)．
再取区间(1，1.5)的中点x2＝1.25，用信息技术算得f (1.25)≈－0.87．因为f (1.25) f (1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.437 5)．
由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.375．
反思领悟 利用二分法求方程近似解的过程图示
[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T4、T5】
2．(多选)用二分法求函数 f (x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
根据上述数据，可得 f (x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度为0.05)为( )
A．0.625 B．0.093 75 C．0.125 D．0.096
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f (x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
√
√
√
BCD [已知 f (0.093 75)<0，f (0.125)>0，则函数 f (x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)内，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以0.093 75，0.096，0.125都符合题意．]
1．【教材原题·P155习题4.5T4】利用信息技术，用二分法求函数
f (x)＝ln x－的零点(精确度为0.1)．
[解] f (2)＝ln 2－1≈－0.31＜0，f (3)＝ln 3－≈0.43＞0，
∵f (2) f (3)＜0，
∴f (x)在区间(2，3)内存在一个零点x0，
下面用二分法求函数 f (x)＝ln x－在区间(2，3)内的零点，取区间
(2，3)的中点x1＝2.5，用计算器可算得 f (2.5)≈0.12，
∵f (2) f (2.5)＜0，
∴x0∈(2，2.5)，
再取(2，2.5)的中点x2＝2.25，用计算器可算得f (2.25)≈－0.08，
∵f (2.25) f (2.5)＜0，
∴x0∈(2.25，2.5)，
同理可得x0∈(2.25，2.375)，x0∈(2.312 5，2.375)，
∵|2.375－2.3 125|＝0.062 5＜0.1，
∴函数f (x)的零点为2.375．
2．【教材原题·P155习题4.5T5】利用信息技术，用二分法求方程0.8x－1＝ln x的近似解(精确度为0.1)．
[解] 原方程可化为0.8x－1－ln x＝0，
令f (x)＝0.8x－1－ln x，
用计算器算得f (0.5)≈0.59，
f (1)＝－0.2，
∵f (0.5) f (1)＜0，
∴这个方程在区间(0.5，1)内有解x0，
下面用二分法求方程0.8x－1＝ln x在区间(0.5，1)内的近似解，
取区间(0.5，1)的中点x1＝0.75，用计算器可算得f (0.75)≈0.13，
∵f (0.75) f (1)＜0，
∴x0∈(0.75，1)，
再取(0.75，1)的中点x2＝0.875，用计算器可算得f (0.875)≈－0.04，
∵f (0.875) f (0.75)＜0，
∴x0∈(0.75，0.875)，
同理可得x0∈(0.812 5，0.875)，
∵|0.812 5－0.875|＝0.062 5＜0.1，
∴原方程的近似解可取为0.812 5．
【教用·备选题】 已知方程2x＋2x＝5．
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1)．
参考数据：
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
[解] (1)令f (x)＝2x＋2x－5．
因为函数f (x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f (x)＝2x＋2x－5至多有一个零点，即该方程最多有一解．
因为f (1)＝21＋2×1－5＝－1<0，
f (2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值符号
(1，2) 1.5 f (1.5)>0
(1，1.5) 1.25 f (1.25)<0
(1.25，1.5) 1.375 f (1.375)>0
(1.25，1.375) 1.312 5 f (1.312 5)>0
(1.25，1.312 5)
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数的零点近似值为1.312 5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5．
应用迁移 随堂评估自测
1．用二分法求函数 f (x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
√
B [根据二分法的步骤知，当区间长度|a－b|小于精确度ε时，便可结束计算．故选B．]
√
2．(教材P155习题4.5T1改编)已知函数 f (x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为( )
A．4，4
B．3，4
C．5，4
D．4，3
D [函数 f (x)的图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点的个数为3．故选D．]
3．用二分法研究函数f (x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (1)>0，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈
_________(填区间)．
[因为f >0，f (0)f <0，
所以下一次计算可得x0∈．]
4．用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取_________________．
x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f (x)的近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
1.56(答案不唯一)
1.56(答案不唯一) [ f (1.562 5)＝0.003>0，
f (1.556 2)<0，
且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，
∴区间(1.556 2，1.562 5)内的任意实数均是函数f (x)的零点，不妨取1.56．]
1．知识链：
2．方法链：化归法、逼近法．
3．警示牌：二分法并不适用于求所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是什么？
[提示] 函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．
2．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
[提示] 当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
3．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
[提示] 精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(三十九) 用二分法求方程的近似解
√
一、选择题
1．用二分法求函数f (x)＝x＋lg x－2的零点，可以取的初始区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
B [因为y＝x，y＝lg x是增函数，故f (x)是增函数，其零点至多有一个．又f (1)＝－1，f (2)＝lg 2>0，故用二分法求其零点，可以取的初始区间是(1，2)．]
题号
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√
2．下列函数中，只能用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝－x
D [由x＋7＝0得x＝－7；由5x－1＝0得x＝0；由log3x＝0得x＝1；由－x＝0，不能直接求解，因此需要用二分法求函数零点．故选D．]
题号
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√
3．用二分法研究函数f (x)＝x3－2x＋2的零点时，通过计算得f (－1)＞0，f (－2)＜0，则下一步应计算f (x1)，则x1＝( )
A．0 B．－ C．－ D．－
C [因为f (－1)＞0，f (－2)＜0，且函数f (x)＝x3－2x＋2的图象连续不断，所以函数f (x)＝x3－2x＋2在区间(－2，－1)内有零点，
所以下一步应计算f (x1)，x1＝，故选C．]
√
题号
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4．在用二分法求函数 f (x)零点的近似值时，第一次所取的区间是
(－2，4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．(1，4) B．(－2，1) C． D．
D [∵第一次所取的区间是(－2，4)，∴第二次所取的区间可能为(－2，1)，(1，4)，∴第三次所取的区间可能为．]
√
题号
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√
5．(多选)某同学用二分法求函数f (x)＝2x＋3x－7的零点时，计算出如下结果：f (1.5)≈0.33，f (1.25)≈－0.87，f (1.375)≈－0.28，f (1.437 5)
≈0.02，f (1.406 25)≈－0.13．下列说法正确的有( )
A．f (x)的零点在区间(1.375，1.406 25)内
B．f (x)的零点在区间(1.25，1.437 5)内
C．精确到0.1的近似值为1.4
D．精确到0.1的近似值为1.5
题号
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BC [易知f (x)是增函数，因为f (1.375)≈－0.28<0，f (1.437 5)≈0.02>0，所以零点在(1.375，1.437 5)内，所以A错误；f (1.25)≈－0.87<0，
f (1.437 5)≈0.02>0，所以零点在(1.25，1.437 5)内，B正确；又1.437 5和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．故选BC．]
题号
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二、填空题
6．已知函数f (x)＝x3－2x－2，f (1)f (2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则 f (x0)＝________．
－1.625 [由题意，x0＝1.5，f (x0)＝f (1.5)＝－1.625．]
－1.625
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7．在用二分法求方程f (x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，
f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为___________________．(精确度为0.1)
0.687 5(答案不唯一) [∵f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，
∴方程的解在区间(0.687 5，0.75)内，
而|0.75－0.687 5|<0.1，
∴方程的一个近似解可取为0.687 5．]
0.687 5(答案不唯一)
题号
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8．一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测________次．
6 [第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；
第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；
第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；
第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次．]
6
题号
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三、解答题
9．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f (x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f (0)＝________，f (1)＝________，f (2)＝________，f (3)＝________．
题号
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所以 f (x)在区间________内存在零点x0．填表：
区间 中点m f (m)的符号 区间长度
题号
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[解] 将x＝0，1，2，3分别代入f (x)的解析式中，则f (0)＝－5，f (1)＝－1，f (2)＝9，f (3)＝31．
f (x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
区间 中点m f (m)的符号 区间长度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
题号
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因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取1.187 5．
区间 中点m f (m)的符号 区间长度
(1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 1.156 25 ＋ 0.062 5
题号
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10．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围为( )
A． B．
C．[0，ε) D．[0，2ε)
√
B [真实零点与近似值x0误差最小是0，误差最大时真实零点靠近a或b，又b－，所以近似值x0与真实零点的误差的取值范围是．故选B．]
题号
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11．已知定义在[a，b]上的增函数 f (x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，又 f ＝0，则函数 f (x)的零点为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
√
题号
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C [由f (x)在[a，b]上单调递增得f (a)＜0，f (b)＞0，
又a＋＞a恒成立，∴解得∴f (x)的零点为．故选C．]
√
题号
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12．函数 f (x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
f (1)＝－2，f (1.5)＝0.625，
f (1.25)＝－0.984，f (1.375)＝－0.260，
f (1.437 5)＝0.165，f (1.406 25)＝－0.052，
那么方程f (x)＝0的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.41 D．1.44
题号
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C [由所给数据可知，函数f (x)在区间(1，1.5)内有一个零点，
因为f (1.5)＝0.625>0，f (1.25)＝－0.984<0，
所以零点在(1.25，1.5)内，
因为|1.25－1.5|＝0.25>0.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.375，
因为f (1.375)＝－0.260<0，f (1.5)＝0.625>0，
所以零点在区间(1.375，1.5)内，
题号
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因为|1.375－1.5|＝0.125>0.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.437 5，
因为f (1.437 5)＝0.165>0，f (1.375)＝－0.260<0，
所以零点在区间(1.375，1.437 5)内，
因为|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，满足精确度，
因为f (1.406 25)＝－0.052<0，
所以零点在(1.406 25，1.437 5)内，
所以方程的一个近似解为1.41．]
题号
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13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设 f (x)＝lg x＋x－2，算得f (1)<0，f (2)>0．在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是1.8，那么他又取的x的4个值依次是_________________________．
1.5，1.75，1.875，1.812 5 [第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．所以又取的4个x的值依次是1.5，1.75，1.875，1.812 5．]
1.5，1.75，1.875，1.812 5
题号
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14．已知函数 f (x)＝ln x＋2x－6．
(1)证明 f (x)有且只有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于．
[解] (1)证明：令x1>x2>0，则f (x1)－f (x2)＝ln ＋2(x1－x2)，且>1，x1－x2>0，∴f (x1)>f (x2)，即f (x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x)至多有一个零点．
又f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，∴f (2) f (3)<0，即f (x)在(2，3)内有一个零点．∴f (x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
题号
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(2)∵f (2)<0，f (3)>0，取x1＝，则 f ＝ln －1<0，
∴f (3) f <0，即f (x)的零点x0∈．
取x2＝，则 f ＝ln >0，
∴f <0，∴x0∈，
又，∴满足题意的区间为．
题号
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15．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？
(1)当a＝12时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？
(2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？
[解] (1)第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：
①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上．
(ⅰ)若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
(ⅱ)若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．
题号
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②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能．
(ⅰ)若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
(ⅱ)若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
题号
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(ⅲ)若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是偏轻还是偏重)．
显然对于以上两种情况的任意一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重．
(2)将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；
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从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；
将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；
从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”．
综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”．
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谢 谢！课时分层作业(三十九) 用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．用二分法求函数f (x)＝x＋lg x－2的零点，可以取的初始区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
2．下列函数中，只能用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝－x
3．用二分法研究函数f (x)＝x3－2x＋2的零点时，通过计算得f (－1)＞0，f (－2)＜0，则下一步应计算f (x1)，则x1＝( )
A．0 B．－
C．－ D．－
4．在用二分法求函数f (x)零点的近似值时，第一次所取的区间是(－2，4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．(1，4) B．(－2，1)
C． D．
5．(多选)某同学用二分法求函数f (x)＝2x＋3x－7的零点时，计算出如下结果：f (1.5)≈0.33，f (1.25)≈－0.87，f (1.375)≈－0.28，f (1.437 5)≈0.02，f (1.406 25)≈－0.13．下列说法正确的有( )
A．f (x)的零点在区间(1.375，1.406 25)内
B．f (x)的零点在区间(1.25，1.437 5)内
C．精确到0.1的近似值为1.4
D．精确到0.1的近似值为1.5
二、填空题
6．已知函数f (x)＝x3－2x－2，f (1)f (2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f (x0)＝________．
7．在用二分法求方程f (x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
8．一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测________次．
三、解答题
9．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f (x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f (0)＝________，f (1)＝________，f (2)＝________，f (3)＝________．
所以f (x)在区间________内存在零点x0．填表：
区间 中点m f (m)的符号 区间长度
10．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围为( )
A． B．
C．[0，ε) D．[0，2ε)
11．已知定义在[a，b]上的增函数f (x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，又f ＝0，则函数f (x)的零点为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
12．函数f (x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
f (1)＝－2，f (1.5)＝0.625，
f (1.25)＝－0.984，f (1.375)＝－0.260，
f (1.437 5)＝0.165，f (1.406 25)＝－0.052，
那么方程f (x)＝0的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.41 D．1.44
13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f (x)＝lg x＋x－2，算得f (1)<0，f (2)>0．在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是1.8，那么他又取的x的4个值依次是____________．
14．已知函数f (x)＝ln x＋2x－6．
(1)证明f (x)有且只有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于．
15．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？
(1)当a＝12时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？
(2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？
课时分层作业(三十九)
1．B [因为y＝x，y＝lg x是增函数，故f(x)是增函数，其零点至多有一个．又f(1)＝－1，f(2)＝lg 2>0，故用二分法求其零点，可以取的初始区间是(1，2)．]
2．D [由x＋7＝0得x＝－7；由5x－1＝0得x＝0；由log3x＝0得x＝1；由(x－x＝0，不能直接求解，因此需要用二分法求函数零点．故选D．]
3．C [因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－2x＋2的图象连续不断，
所以函数f(x)＝x3－2x＋2在区间(－2，－1)内有零点，
所以下一步应计算f(x1)，x1＝，故选C．]
4．D [∵第一次所取的区间是(－2，4)，∴第二次所取的区间可能为(－2，1)，(1，4)，∴第三次所取的区间可能为(－2，－，(－，1)，(1，，(，4)．]
5．BC [易知f(x)是增函数，因为f(1.375)≈－0.28<0，f(1.437 5)≈0.02>0，所以零点在(1.375，1.437 5)内，所以A错误；f(1.25)≈－0.87<0，f(1.437 5)≈0.02>0，所以零点在(1.25，1.437 5)内，B正确；又1.437 5和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．故选BC．]
6．－1.625 [由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625．]
7．0．687 5(答案不唯一) [∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，
∴方程的解在区间(0.687 5，0.75)内，
而|0.75－0.687 5|<0.1，
∴方程的一个近似解可取为0.687 5．]
8．6 [第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；
第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；
第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；
第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次．]
9．解：将x＝0，1，2，3分别代入f(x)的解析式中，则f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31．
f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
(1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 1.156 25 ＋ 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取1.187 5．
10．B [真实零点与近似值x0误差最小是0，误差最大时真实零点靠近a或b，又b－，所以近似值x0与真实零点的误差的取值范围是．故选B．]
11．C [由f(x)在[a，b]上单调递增得f(a)<0，f(b)>0，
又a＋>a恒成立，∴
∴f(x)的零点为．故选C．]
12．C [由所给数据可知，函数f(x)在区间(1，1.5)内有一个零点，
因为f(1.5)＝0.625>0，f(1.25)＝－0.984<0，
所以零点在(1.25，1.5)内，
因为|1.25－1.5|＝0.25>0.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.375，
因为f(1.375)＝－0.260<0，f(1.5)＝0.625>0，
所以零点在区间(1.375，1.5)内，
因为|1.375－1.5|＝0.125>0.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.437 5，
因为f(1.437 5)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，
所以零点在区间(1.375，1.437 5)内，
因为|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，满足精确度，
因为f(1.406 25)＝－0.052<0，
所以零点在(1.406 25，1.437 5)内，
所以方程的一个近似解为1.41．]
13．1．5，1.75，1.875，1.812 5 [第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．所以又取的4个x的值依次是1.5，1.75，1.875，1.812 5．]
14．解：(1)证明：令x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝ln＋2(x1－x2)，且>1，x1－x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，即f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)至多有一个零点．
又f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(2)f(3)<0，即f(x)在(2，3)内有一个零点．
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝，
则f(－1<0，
∴f(3)f(<0，即f(x)的零点x0∈(，3)．
取x2＝，则f(>0，
∴f(<0，∴x0∈(，
又，
∴满足题意的区间为(．
15．解：(1)第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：
①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上．
(ⅰ)若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
(ⅱ)若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．
②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能．
(ⅰ)若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
(ⅱ)若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
(ⅲ)若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是偏轻还是偏重)．
显然对于以上两种情况的任意一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重．
(2)将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；
从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；
将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；
从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”．
综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”．
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