4.5.3 函数模型的应用
[学习目标] 1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算) 2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析)
探究1 应用已知函数模型解决实际问题
[典例讲评] 【链接教材P148例3】
1．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt．若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从110 ℃下降到40 ℃，大约需要的时间为(参考数据：ln 2≈0.69)( )
A．39分钟 B．41分钟
C．43分钟 D．45分钟
[尝试解答] _________________________________________________________
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已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
[学以致用] 【链接教材P161复习参考题4T9】
1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步得到遏制，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)( )
A．60 B．62
C．66 D．69
探究2 自建确定性函数模型解决实际问题
[典例讲评] 【链接教材P149例4】
2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的．已知到今年为止，森林面积为a．
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[尝试解答] _________________________________________________________
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在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[学以致用] 【链接教材P150练习T1】
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约为1 000，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
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探究3 拟合数据构建函数模型解决实际问题
[典例讲评] 【链接教材P150例5、P152例6】
3．某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察试验得到该生物覆盖面积y(单位：平方米)与所经过月数x(x∈N)的下列数据：
x 0 2 3 4
y 4 25 62.5 156.25
为描述该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过的月数x(x∈N)的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝k·ax(k>0，a>1)；y＝p＋q(p>0)；y＝ax2＋bx＋c．
(1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；
(2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？
(参考数据：lg 2≈0.301 0)
[尝试解答] _________________________________________________________
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函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[学以致用] 【链接教材P156习题4.5T12】
3．数据显示，某新创业的IT公司2023年上半年五个月的收入情况如表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入/万元 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根据上述数据，在建立该公司2023年月收入y(万元)与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y＝与y＝供选择．
(1)你认为哪个函数模型较好，建立坐标系画出散点图，并结合散点图简单说明理由；
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月开始，该公司的月收入会超过100万元？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，月份取整数)
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1．某研究小组在一项试验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
2．(教材P150练习T1改编)某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x-1 D．y＝a(1＋5%)x
3．燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度(单位：m/s)可以表示为函数v＝10log2，其中O表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度v＝20 m/s时，它的耗氧量为( )
A．30 B．60
C．40 D．80
4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
1．知识链：
2．方法链：转化法．
3．警示牌：实际应用题易忘记定义域和结论．
4.5.3 函数模型的应用
[探究建构] 探究1
典例讲评 1．B [由题意知θ0＝30，θ1＝110，θ＝40，
∴40＝30＋(110－30)e-0.05t，∴e-0.05t，
∴－0.05t＝ln，∴0.05t＝ln 8＝3ln 2，
∴t60×ln 2≈60×0.69≈41．故选B．]
学以致用 1．B [∵I(t*)0.9K，
∴1＋，
则－0.24(t*－53)＝ln－ln 9≈－2.2，
解得t*≈62．]
探究2
典例讲评 2．解：(1)由题意得a(1－p%)10＝，
则(1－p%)10＝，解得p%＝．
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，得，
解得m＝5．
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
，得，
解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年．
学以致用 2．解：(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为
1 000＋1 000×8%＝1 080，
两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约为1 000，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
(3)令1 000×1.08x3×1 000，得1.08x3，两边取常用对数得
lg 1.08xlg 3，即xlg 1.08lg 3，
考虑到lg 1.08>0，故x，
故x，
因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，
所以x≈14.3．
所以约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．
探究3
典例讲评 3．解：(1)显然函数y＝k·ax(k>0，a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律，
函数y＝p＋q(p>0)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，
由表中数据知该生物增长的速度越来越快，因此函数y＝p＋q(p>0)不符合题意，
若选择函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)，则有解得，x∈N．
当x＝3时，y＝62.5；当x＝4时，y＝156.25，
所给数据均满足函数y＝4×．
若选择函数模型y＝ax2＋bx＋c，则c＝4，
解得a＝9，b＝－7.5，
y＝9x2－7.5x＋4，而当x＝4时，y＝118，与给定的数据相差太大，不符合题意，
所以函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)更适合，函数解析式为y＝4×，x∈N．
(2)由(1)知，y＝4×，x∈N，设约经过x个月，此生物能覆盖整个池塘，
则4×＝8 000，解得x＝ 000＝≈8.294．
所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘．
学以致用 3．解：(1)根据表格提供的数据，画出散点图以及函数y的图象：
观察发现，这些点基本上是落在函数y图象上或附近，因此用y这一函数模型．
(2)当100时，2x＝300，
∵28＝256<300，29＝512>300，且1x12，x∈N，∴x＝9，
∴大约在9月份该公司的月收入会超过100万元．
[应用迁移]
1．D [由题图知，该函数可能是y＝log2t．故选D．]
2．D [经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；……经过x年，y＝a(1＋5%)x．]
3．C [因为v＝10log2，将v＝20 m/s代入，
则20＝10log2，则2＝log2，所以22，
所以O＝22×10＝40，故选C．]
4．甲 [将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8．由于10更接近10.2，所以选用甲模型．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.3 函数模型的应用
[学习目标] 1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算) 2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．应用指数型函数模型、对数型函数模型解决实际问题时应注意些什么？
问题2．建立函数模型解决实际问题的流程是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 应用已知函数模型解决实际问题
[典例讲评] 【链接教材P148例3】
1．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-kt．若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从110 ℃下降到40 ℃，大约需要的时间为(参考数据：ln 2≈0.69)( )
A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟
√
B [由题意知θ0＝30，θ1＝110，θ＝40，
∴40＝30＋(110－30)e-0.05t，∴e-0.05t＝，
∴－0.05t＝ln ，∴0.05t＝ln 8＝3ln 2，
∴t＝＝60×ln 2≈60×0.69≈41．故选B．]
【教材原题·P148例3】
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T．R．Malthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型
y＝y0er t，
其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数．
(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型．
(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符．
(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和增长率r．
[解] (1)由题意可设1950年为t＝0，则y0＝55 196．根据马尔萨斯人口增长模型，有
67 207＝55 196e9r，
由计算工具得
r≈0.021 876．
因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
y＝55 196e0.021 876t，t∈[0，9]．
(2)分别取t＝1，2，…，8，由y＝55 196e0.021 876t可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如表4.5-4所示．
表4.5-4
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
计算所得人口总数/万 56 417 57 665 58 940 60 243 61 576 62 938 64 330 65 753
实际人口总数/万 56 300 57 482 58 796 60 266 61 465 62 828 64 563 65 994
根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y＝55 196e0.021 876t(t∈[0，9])的图象(图4.5-6)．
由表4.5-4和图4.5-6可以看出，所得模型与
1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(3)将y＝130 000代入y＝55 196e0.021 876t，
由计算工具得t≈39.16．
所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿．
反思领悟 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
√
[学以致用] 【链接教材P161复习参考题4T9】
1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步得到遏制，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)( )
A．60 B．62
C．66 D．69
B [∵I(t*)＝＝0.9K，
∴1＋，
则－0.24(t*－53)＝ln ＝－ln 9≈－2.2，
解得t*≈62．]
【教材原题·P161复习参考题4T9】
某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e-kt，其中P0，k是正的常数，如果在前5 h消除了10%的污染物，那么
(1)10 h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)
(3)画出P关于t变化的函数图象．
[解] (1)当t＝0时，P＝P0·e-k·0＝P0，
当t＝5时，＝90%，即e-5k＝0.9．
∴k＝－ln 0.9，当t＝10时，
＝e-10k＝(e-5k)2＝0.92＝0.81，
即10 h后，还剩81%的污染物．
(2)设污染物减少50%需要花t h，则有e-kt＝0.5，两边取以e为底的对数，得－kt＝ln 0.5．
∴t＝－≈33(h)，即污染物减少50%大约需要花33 h．
(3)图象大致如图所示．
探究2 自建确定性函数模型解决实际问题
[典例讲评] 【链接教材P149例4】
2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的．已知到今年为止，森林面积为a．
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝，
则(1－p%)10＝，解得p%＝．
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，得，
解得m＝5．
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
，得，
解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年．
【教材原题·P149例4】
例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)建立数学模型．
[解] 设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0
y＝k(1－p)x(k∈R，
且k≠0；0由碳14的半衰期为5 730年，得
k(1－p)5 730＝k．
于是1－p＝，所以y＝k．
由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，
k＝55.2%k，即＝0.552．
解得x＝log 0.552．
由计算工具得x≈4 912．
因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．
反思领悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝
N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[学以致用] 【链接教材P150练习T1】
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约为1 000，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)依题意，一年后这种鸟类的个数为
1 000＋1 000×8%＝1 080，
两年后这种鸟类的个数为
1 080＋1 080×8%≈1 166．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约为1 000，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得
lg 1.08x≥lg 3，即x lg 1.08≥lg 3，
考虑到lg 1.08>0，故x≥，故x≥，
因为lg 108＝lg (33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以
x≥≈14.3．所以约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．
【教材原题·P150练习T1】已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．
(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
[解] (1)已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．若按1650年世界人口为5亿，年增长率为0.3%，则y＝5e0.003t，当y＝10时，解得t≈231．所以1881年世界人口约是1650年的2倍．同理，按1970年人口的年增长率2.1%，33年后即2003年世界人口约是1970年的2倍．
(2)马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数r表示人口的年平均增长率．这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异．
探究3 拟合数据构建函数模型解决实际问题
[典例讲评] 【链接教材P150例5、P152例6】
3．某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察试验得到该生物覆盖面积y(单位：平方米)与所经过月数x(x∈N)的下列数据：
x 0 2 3 4
y 4 25 62.5 156.25
为描述该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过的月数x(x∈N)的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝k·ax(k>0，a>1)；y＝p＋q(p>0)；y＝ax2＋bx＋c．
(1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；
(2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？
(参考数据：lg 2≈0.301 0)
[解] (1)显然函数y＝k·ax(k>0，a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律，
函数y＝p＋q(p>0)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，
由表中数据知该生物增长的速度越来越快，因此函数y＝p＋q(p>0)不符合题意，
若选择函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)，则有解得，x∈N．
当x＝3时，y＝62.5；当x＝4时，y＝156.25，
所给数据均满足函数y＝4×．
若选择函数模型y＝ax2＋bx＋c，则c＝4，
解得a＝9，b＝－7.5，y＝9x2－7.5x＋4，而当x＝4时，y＝118，与给定的数据相差太大，不符合题意，
所以函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)更适合，函数解析式为y＝4×，x∈N．
(2)由(1)知，y＝4×，x∈N，设约经过x个月，此生物能覆盖整个池塘，
则4×＝8 000，解得x＝ 000＝≈8.294．
所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘．
【教材原题·P150例5】
例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
[解] 设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x-1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表4.5-5)．
表4.5-5
x 方案一 方案二 方案三 y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
1 40 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
x 方案一 方案二 方案三 y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
x 方案一 方案二 方案三 y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214 748 364.8 107 374 182.4
再画出三个函数的图象(图4.5-7)．
由表4.5-5和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下(表4.5-6)．
表4.5-6
方案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．
【教材原题·P152例6】
例6 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x．
不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
[解] 借用信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图4.5-8)．观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
下面通过计算确认上述判断．
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1 000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．
令f (x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1 000]，利用信息技术画出它的图象(图4.5-9)．
由图象可知函数 f (x)在区间[10，1 000]上单调递减，因此
f (x)≤f (10)≈－0.316 7<0，
即log7x＋1<0.25x．
所以，当x∈[10，1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%．
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．
反思领悟 函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[学以致用] 【链接教材P156习题4.5T12】
3．数据显示，某新创业的IT公司2023年上半年五个月的收入情况如表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入/万元 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根据上述数据，在建立该公司2023年月收入y(万元)与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y＝与y＝供选择．
(1)你认为哪个函数模型较好，建立坐标系画出散点图，并结合散点图简单说明理由；
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月开始，该公司的月收入会超过100万元？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，月份取整数)
[解] (1)根据表格提供的数据，画出散点图以及函数y＝与y＝的图象：
观察发现，这些点基本上是落在函数y＝
图象上或附近，因此用y＝这一函数模型．
(2)当＝100时，2x＝300，
∵28＝256<300，29＝512>300，且1≤x≤12，x∈N，∴x＝9，
∴大约在9月份该公司的月收入会超过100万元．
【教材原题·P156习题4.5T12】
某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
平均体 重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)的函数关系，并写出这个函数的解析式．
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的平均体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y＝a·bx
得
用计算器算得a≈2，b≈1.02．
由此得到一个函数模型：y＝2×1.02x．
将已知数据代入上述函数关系式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性平均体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝，由计算器算得y≈63.98．
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．
【教用·备选题】 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖速度在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的关系为：
x/小时 2 3 4 5 6 8
y/百万个 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，
现有以下三种模型供选择：
①y＝alog2x＋b，②y＝，③y＝2x－a＋b．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用(4，4)和(8，4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个．
[解] (1)依题意，所选函数必须满足三个条件：
①定义域包含[2，＋∞)；
②增函数；
③随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．
因为函数y＝a＋b的定义域为[3，＋∞)，x＝2时无意义，故不符合实际的函数模型；函数y＝2x-a＋b随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故不符合实际的函数模型．因为函数y＝a log2x＋b可以同时符合上述条件，所以应该选择函数y＝a log2x＋b．
(2)依题意知
解得
所以y＝log2x＋3．
令y＝log2x＋3≥5，
解得x≥16．
所以至少再经过14个小时，细菌数量达到5百万个．
应用迁移 随堂评估自测
1．某研究小组在一项试验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
√
D [由题图知，该函数可能是y＝log2t．故选D．]
√
2．(教材P150练习T1改编)某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x-1 D．y＝a(1＋5%)x
D [经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；……经过x年，y＝a(1＋5%)x．]
√
3．燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度(单位：m/s)可以表示为函数v＝10log2，其中O表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度v＝20 m/s时，它的耗氧量为( )
A．30 B．60
C．40 D．80
C [因为v＝10log2，
将v＝20 m/s代入，
则20＝10log2，则2＝log2，所以22＝，
所以O＝22×10＝40，故选C．]
4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
甲 [将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8．由于10更接近10.2，所以选用甲模型．]
甲
1．知识链：
2．方法链：转化法．
3．警示牌：实际应用题易忘记定义域和结论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[提示] 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
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课时分层作业(四十) 函数模型的应用
√
一、选择题
1．下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型y＝kax(k∈R，a>0，a≠1)的是
( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其质量间的函数关系
B [竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系，A错误；
我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系，B正确；
如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度与时间t的函数关系是反比例函数关系，C错误；
信件的邮资与其质量间的函数关系是分段函数关系，D错误．故选B．]
题号
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√
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f (x)的图象大致为( )
D [由题设可知y＝(1＋10%)x＝1.1x，由1.1>1，结合指数函数的图象知，D符合要求．故选D．]
A B
C D
题号
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√
3．在环境检测中人们常用声强级LI＝10lg 表示声音的强弱，其中I代表声强(单位：W/m2)，I0为基础声强，其值约为10-12W/m2，某环境检测点检测到某一时段的声强约为10-4.5W/m2，则这一时段的声强级约为( )
A．55 B．65
C．75 D．85
C [由题意知：I0＝10-12W/m2，I＝10-4.5W/m2，
∴LI＝10lg ＝10lg 107.5＝7.5×10＝75．故选C．]
√
题号
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4．某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度h(单位：米)与飞行时间t(单位：秒)之间的关系可以近似用函数h＝a log3t＋b来表示．已知飞行器发射后2秒时的高度为10米，6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要( )
A．15秒 B．16秒
C．18秒 D．20秒
题号
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C [由h＝alog3t＋b，当t＝2时，h＝10；当t＝6时，h＝30，
所以
解得a＝20，b＝10－20log32．设达到50米的高度需要t秒，则20log3t＋10－20log32＝50，解得t＝18，所以达到50米的高度需要18秒．故选C．]
√
题号
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5．测量地震级别的里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的( )
A．10倍 B．100倍
C．1 000倍 D．10 000倍
题号
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D [由条件可知6＝lg 1 000－lg A0 A0＝10-3，设里氏9级地震的最大振幅为A1，里氏5级地震最大振幅为A2，
所以 A1＝106，A2＝102，
所以＝10 000．故选D．]
题号
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二、填空题
6．生物学家为了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝alog2，其中a是残留系数，则大约经过____年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的．(参考数据：≈1.41，答案保留一位小数)
7.5
7.5 [当t＝2时，y＝alog2＝2a，
由alog2，得t＝6－1≈7.5．]
题号
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7．研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响．当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5 ℃．若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约_________℃．(结果保留整数，参考数据：lg 2≈0.301)
3
题号
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3 [设目前大气中二氧化碳的含量为a，
依题意，当二氧化碳的含量为1.25a时，地球平均温度上升0.5 ℃，
当二氧化碳的含量为a×1.252时，地球平均温度上升(0.5×2) ℃，
依次类推，当大气中二氧化碳的含量为a×1.25n时，地球平均温度上升(0.5×n) ℃，令a×1.25n＝4a，即1.25n＝4，
则n＝≈6，
所以到2050年，地球平均温度将上升约0.5×6＝3(℃)．]
题号
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8．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x．
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
④
题号
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④ [画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④．]
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三、解答题
9．某医药研究所研发出一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝kat(t≥1，a>0，k，a是常数)的图象，且A(1，8)，B(7，1)．
(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗有效，
求某病人服药一次后，治疗有效时长为多久？
题号
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[解] (1)当0≤t<1时，y＝8t，
当t≥1时，把A(1，8)，B(7，1)代入y＝kat，
得解得故y＝
(2)当0≤t<1时，令8t≥2，得t≥，治疗有效时长为1－(h)；
当t≥1时，令8×≥2，得t≤5，治疗有效时长为5－1＝4(h)，
故病人服药一次后，治疗有效时长为(h)．
题号
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10．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16 h B．20 h
C．24 h D．26 h
√
C [由题意可知，当x＝0时，y＝192；当x＝22时，y＝48，
∴解得则当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24．]
题号
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11．已知某种污染物的浓度C(单位：摩尔/升)与时间t(单位：天)的关系满足指数模型C＝C0ek(t-1)，其中C0是初始浓度(即t＝1时该污染物的浓度)，k是常数，第2天(即t＝2)测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度为9C0，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
√
题号
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B [由题意可得则e2k＝3，解得k＝．
令C0ek(n-1)＝9C0，即＝9C0，所以＝9，
所以(n－1)＝ln 9＝2ln 3，解得n＝5．故选B．]
√
题号
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12．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过
t min后剩余的细沙量为y cm3，且y＝ae－bt(b为常数)，经过8 min后，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经
过的时间为( )
A．8 min B．16 min
C．24 min D．26 min
题号
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C [依题意有ae-8b＝a，即e-8b＝，
两边取对数得－8b＝ln ＝－ln 2，所以b＝，
得到y＝，
当容器中上方的细沙只有开始时的时，则有a，
所以，
两边取对数得－t＝ln ＝－3ln 2，所以t＝24．故选C．]
题号
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13．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃板的块数为______．
(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
7 [设至少需要x块玻璃板，由题意知<，即<，
两边取对数，得lg 即x(1－2lg 3)>lg 2，x>≈6.57，∴x＝7．]
7
题号
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14．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18 m2，经过3个月其覆盖面积约为27 m2．现水葫芦覆盖面积y(单位：m2)与经过x(x∈N＋)个月的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝loga(x＋1)＋q(a>1)可供选择．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；
(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？
题号
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[解] (1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝loga(x＋1)＋q(a＞1)的增长速度越来越慢，
∴依题意应选函数y＝kax(k>0，a>1)，
则解得
故y＝8×(x∈N＋)．
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(2)由(1)知，当x＝0时，y＝8，
设经过x个月，该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则8×≥8×100，
则≥100，
故x≥≈≈11.36，
∵x∈N＋，故x＝12．
即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍．
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15．在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次试验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的3组数据如下表所示．
x 2 3 5
y 3.5 4.5 5.5
(1)当x≥2时，根据表中数据分别用模型y＝loga(x＋c)＋b和y＝m＋k建立y关于x的函数解析式；
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由．(参考数据：≈7.5)
(3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量．
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[解] (1)当x≥2时，y＝loga(x＋c)＋b，
由图表数据可得loga(2＋c)＋b＝3.5，
loga(3＋c)＋b＝4.5，loga(5＋c)＋b＝5.5，
联立上式，解方程可得a＝2，b＝3.5，c＝－1，则y＝log2(x－1)＋3.5；
当x≥2时，y＝m＋k，
由图表数据可得m＋k＝3.5，
m＋k＝4.5，m＋k＝5.5，
联立上式，解方程可得m＝，n＝－，k＝3，则y＝＋3．
题号
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(2)考虑①y＝log2(x－1)＋3.5，由x＝9，
可得y＝log28＋3.5＝6.5，而|6.5－6.2|＝0.3<0.5，
可得模型①y＝log2(x－1)＋3.5是“理想函数模型”；
考虑②y＝＋3，由x＝9，可得
y＝×＋3＝＋3≈3.75＋3＝6.75，
而|6.75－6.2|＝0.55>0.5，所以模型②不是“理想函数模型”．
(3)由(2)可得x＝17时，y＝log2(17－1)＋3.5＝4＋3.5＝7.5(百万个)．
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谢 谢！课时分层作业(四十) 函数模型的应用
一、选择题
1．下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型y＝kax(k∈R，a>0，a≠1)的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其质量间的函数关系
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f (x)的图象大致为( )
A B
C D
3．在环境检测中人们常用声强级LI＝10lg 表示声音的强弱，其中I代表声强(单位：W/m2)，I0为基础声强，其值约为10-12W/m2，某环境检测点检测到某一时段的声强约为10-4.5W/m2，则这一时段的声强级约为( )
A．55 B．65
C．75 D．85
4．某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度h(单位：米)与飞行时间t(单位：秒)之间的关系可以近似用函数h＝alog3t＋b来表示．已知飞行器发射后2秒时的高度为10米，6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要( )
A．15秒 B．16秒
C．18秒 D．20秒
5．测量地震级别的里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的( )
A．10倍 B．100倍
C．1 000倍 D．10 000倍
二、填空题
6．生物学家为了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝alog2，其中a是残留系数，则大约经过________年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的．(参考数据：≈1.41，答案保留一位小数)
7．研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响．当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5 ℃．若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约__________℃．(结果保留整数，参考数据：lg 2≈0.301)
8．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x．
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
三、解答题
9．某医药研究所研发出一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝kat(t≥1，a>0，k，a是常数)的图象，且A(1，8)，B(7，1)．
(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗有效，求某病人服药一次后，治疗有效时长为多久？
10．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16 h B．20 h
C．24 h D．26 h
11．已知某种污染物的浓度C(单位：摩尔/升)与时间t(单位：天)的关系满足指数模型C＝C0ek(t-1)，其中C0是初始浓度(即t＝1时该污染物的浓度)，k是常数，第2天(即t＝2)测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度为9C0，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
12．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏(如图)上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t min后剩余的细沙量为y cm3，且y＝ae－bt(b为常数)，经过8 min后，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为( )
A．8 min B．16 min
C．24 min D．26 min
13．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃板的块数为________．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
14．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18 m2，经过3个月其覆盖面积约为27 m2．现水葫芦覆盖面积y(单位：m2)与经过x(x∈N＋)个月的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝loga(x＋1)＋q(a>1)可供选择．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；
(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？
15．在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次试验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的3组数据如下表所示．
x 2 3 5
y 3.5 4.5 5.5
(1)当x≥2时，根据表中数据分别用模型y＝loga(x＋c)＋b和y＝m＋k建立y关于x的函数解析式；
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由．(参考数据：≈7.5)
(3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量．
课时分层作业(四十)
1．B [竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系，A错误；
我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系，B正确；
如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度与时间t的函数关系是反比例函数关系，C错误；
信件的邮资与其质量间的函数关系是分段函数关系，D错误．故选B．]
2．D [由题设可知y＝(1＋10%)x＝1.1x，由1.1>1，结合指数函数的图象知，D符合要求．故选D．]
3．C [由题意知：I0＝10-12W/m2，I＝10-4.5W/m2，
∴LI＝10lg＝10lg 107.5＝7.5×10＝75．故选C．]
4．C [由h＝alog3t＋b，当t＝2时，h＝10；当t＝6时，h＝30，
所以
解得a＝20，b＝10－20log32．设达到50米的高度需要t秒，则
20log3t＋10－20log32＝50，解得t＝18，所以达到50米的高度需要18秒．故选C．]
5．D [由条件可知6＝lg 1 000－lg A0 A0＝10-3，设里氏9级地震的最大振幅为A1，里氏5级地震最大振幅为A2，
所以 A1＝106，A2＝102，
所以＝10 000．故选D．]
6．7.5 [当t＝2时，y＝alog2＝2a，
由alog2a，得t＝6－1≈7.5．]
7．3 [设目前大气中二氧化碳的含量为a，
依题意，当二氧化碳的含量为1.25a时，地球平均温度上升0.5 ℃，
当二氧化碳的含量为a×1.252时，地球平均温度上升(0.5×2) ℃，
依次类推，当大气中二氧化碳的含量为a×1.25n时，地球平均温度上升(0.5×n) ℃，
令a×1.25n＝4a，即1.25n＝4，
则n＝≈6，
所以到2050年，地球平均温度将上升约0.5×6＝3(℃)．]
8．④ [画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④．
]
9．解：(1)当0≤t<1时，y＝8t，
当t≥1时，把A(1，8)，B(7，1)代入y＝kat，
得
故y＝
(2)当0≤t<1时，令8t≥2，得t≥，
治疗有效时长为1－(h)；
当t≥1时，令8t≥2，得t≤5，
治疗有效时长为5－1＝4(h)，
故病人服药一次后，治疗有效时长为(h)．
10．C [由题意可知，当x＝0时，y＝192；当x＝22时，y＝48，
∴则当x＝33时，y＝e33k+b＝(e11k)3·eb＝(3×192＝24．]
11．B [由题意可得则e2k＝3，解得k＝．
令C0ek(n-1)＝9C0，即C0＝9C0，所以＝9，
所以(n－1)＝ln 9＝2ln 3，解得n＝5．故选B．]
12．C [依题意有ae-8b＝a，即e-8b＝，
两边取对数得－8b＝ln ＝－ln 2，所以b＝，
得到y＝a，
当容器中上方的细沙只有开始时的时，则有aa，
所以，
两边取对数得－＝－3ln 2，所以t＝24．故选C．]
13．7 [设至少需要x块玻璃板，
由题意知(1－，
即(，
两边取对数，得lg(，
即x(lg 9－lg 10)<－lg 2，
即x(1－2lg 3)>lg 2，
x>≈6.57，
∴x＝7．]
14．解：(1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝loga(x＋1)＋q(a>1)的增长速度越来越慢，
∴依题意应选函数y＝kax(k>0，a>1)，
则
故y＝8×(x(x∈N+)．
(2)由(1)知，当x＝0时，y＝8，
设经过x个月，该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则8×(x≥8×100，
则(x≥100，
故x≥lo≈11.36，
∵x∈N+，故x＝12．
即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍．
15．解：(1)当x≥2时，y＝loga(x＋c)＋b，
由图表数据可得loga(2＋c)＋b＝3.5，
loga(3＋c)＋b＝4.5，loga(5＋c)＋b＝5.5，
联立上式，解方程可得a＝2，b＝3.5，c＝－1，
则y＝log2(x－1)＋3.5；
当x≥2时，y＝m＋k，
由图表数据可得m＋k＝3.5，
m＋k＝4.5，m＋k＝5.5，
联立上式，解方程可得m＝，n＝－，k＝3，
则y＝＋3．
(2)考虑①y＝log2(x－1)＋3.5，由x＝9，
可得y＝log28＋3.5＝6.5，而
|6.5－6.2|＝0.3<0.5，
可得模型①y＝log2(x－1)＋3.5是“理想函数模型”；
考虑②y＝＋3，由x＝9，可得
y＝＋3
≈3.75＋3＝6.75，
而|6.75－6.2|＝0.55>0.5，
所以模型②不是“理想函数模型”．
(3)由(2)可得x＝17时，
y＝log2(17－1)＋3.5＝4＋3.5＝7.5(百万个)．
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