类型1 指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．掌握指数与对数的运算性质，提升数学运算素养．
【例1】 计算下列各式的值．
；
(2)2lg 5＋lg 4－eln 2－log34×log43．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
类型2 指数函数、对数函数的图象及应用
1．函数y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0，1)点，后者恒过(1，0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象．
2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
【例2】 (多选)已知ax＝b－x，函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是( )
A B
C D
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
类型3 指数函数、对数函数的性质及应用
1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，提升数学运算和逻辑推理素养．
【例3】 (1)若0
A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)设函数f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f (x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上单调递增
B．奇函数，且在(0，1)上单调递减
C．偶函数，且在(0，1)上单调递增
D．偶函数，且在(0，1)上单调递减
(3)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f (x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
类型4 函数的零点与方程的解
1．函数的零点就是相应方程的解，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程解的求解或两函数图象交点个数问题．函数零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方法，注意其使用条件：(1)连续性．(2)异号性．
2．掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．
【例4】 (1)已知a是函数h(x)＝2x－8的零点，则函数f (x)＝ax＋ln x－5的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)已知函数f (x)＝若方程f (x)－2x＝0恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1) B．[－1，2)
C．[－2，2) D．[0，2]
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
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类型5 函数的实际应用
1．本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解题的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
2．掌握函数建模方法，提升数学建模素养．
【例5】 【链接教材P154练习T2】
近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速．某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量．将2020年记为第0年，统计数据如下表所示：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
时间t/年 0 1 2 3 4
年销售数量Q/万片 100 150 225 337.5 506.25
(1)在平面直角坐标系中，以t为横轴，Q为纵轴，根据表格中的数据画出散点图．
(2)为了描述年销售数量Q与时间t的关系，现有以下三种数学模型供选择：
①Q＝at＋b；②Q＝kat；③Q＝klogat＋b．
(ⅰ)根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；
(ⅱ)根据(ⅰ)中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2 000万片？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
[尝试解答] _________________________________________________________
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章末重构拓展
例1 解：(1)原式＝
＝1－2＋．
(2)原式＝lg 25＋lg 4－2－log34×
＝lg 100－2－1＝－1．
例2 AB [因为ax＝b－x，即ax＝，所以a＝，
当a>1时，则0指数函数y＝bx在R上单调递减，且过点(0，1)；
对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增且过点(1，0)，将y＝logax的图象关于y轴对称得到y＝loga(－x)的图象，
则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减且过点(－1，0)，故A符合题意；
当01，
同理可得，指数函数y＝bx在R上单调递增，且过点(0，1)，
y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增且过点(－1，0)，故B符合题意．故选AB．]
例3 (1)C (2)A [(1)因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误；
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误；
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y在R上单调递减，故，D错误．故选C．
(2)由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln，易知y－1在(0，1)上单调递增，故f(x)在(0，1)上单调递增．]
(3)解：①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a，3a]上单调递增．
又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3．
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－．
令t＝log3x，因为1x3，
所以0log3x1，即0t1．
所以y，
所以所求函数的值域为．
例4 (1)B (2)B [(1)由题意，a是函数h(x)＝2x－8的零点，
即2a－8＝0，解得a＝3，
所以函数f(x)＝3x＋ln x－5，
又由f(x)＝3x＋ln x－5在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝1＋ln 2>0，可得f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理，可得函数f(x)＝3x＋ln x－5的零点所在的区间为(1，2)．故选B．
(2)令g(x)＝f(x)－2x，
因为方程f(x)－2x＝0恰有三个不同的实根，
所以可得函数g(x)恰有三个不同的零点．
如图，作出函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象，
结合函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象可知－1a<2，故选B．]
例5 解：(1)
(2)(ⅰ)由散点图可知，年销售数量呈指数型增长，
故选择函数模型Q＝kat合适；
将(0，100)，(1，150)分别代入Q＝kat，
得所以Q＝100·，
当t＝2时，Q＝225；当t＝3时，Q＝337.5；当t＝4时，Q＝506.25，
所以Q＝100·．
(ⅱ)令100·>2 000，则>20，
则t>lo≈7.39，
所以预测该公司芯片的年销售数量在2028年会首次超过2 000万片．
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
章末重构拓展
第四章
指数函数与对数函数
巩固层·知识重构
提升层·题型探究
类型1 指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．掌握指数与对数的运算性质，提升数学运算素养．
【例1】 计算下列各式的值．
；
(2)2lg 5＋lg 4－eln 2－log34×log43．
[解] (1)原式＝
＝1－2＋．
(2)原式＝lg 25＋lg 4－2－log34×
＝lg 100－2－1＝－1．
类型2 指数函数、对数函数的图象及应用
1．函数y＝ax及y＝loga x(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0，1)点，后者恒过(1，0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象．
2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
【例2】 (多选)已知ax＝b－x，函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是( )
√
√
A B
C D
AB [因为ax＝b-x，即ax＝，所以a＝，
当a>1时，则0指数函数y＝bx在R上单调递减，且过点(0，1)；
对数函数y＝loga x在(0，＋∞)上单调递增且过点(1，0)，将y＝loga x的图象关于y轴对称得到y＝loga(－x)的图象，
则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减且过点(－1，0)，故A符合题意；
当01，
同理可得，指数函数y＝bx在R上单调递增，且过点(0，1)，
y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增且过点(－1，0)，故B符合题意．故选AB．]
类型3 指数函数、对数函数的性质及应用
1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，提升数学运算和逻辑推理素养．
【例3】 (1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)设函数f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f (x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上单调递增
B．奇函数，且在(0，1)上单调递减
C．偶函数，且在(0，1)上单调递增
D．偶函数，且在(0，1)上单调递减
√
√
(3)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数 f (x)＝loga x在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(loga x)2－loga＋2的值域．
(1)C (2)A [(1)因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误；
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误；
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误．故选C．
(2)由题意可得，函数f (x)的定义域为(－1，1)，且f (－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f (x)，故f (x)为奇函数．又f (x)＝ln ＝ln ，易知y＝－1在(0，1)上单调递增，故f (x)在(0，1)上单调递增．]
(3)[解] ①因为loga3>loga2，所以f (x)＝logax在[a，3a]上单调递增．
又f (x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3．
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－＋2＝
．
令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1．
所以y＝∈，所以所求函数的值域为．
类型4 函数的零点与方程的解
1．函数的零点就是相应方程的解，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程解的求解或两函数图象交点个数问题．函数零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方法，注意其使用条件：(1)连续性．(2)异号性．
2．掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．
【例4】 (1)已知a是函数h(x)＝2x－8的零点，则函数 f (x)＝ax＋ln x－5的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)已知函数 f (x)＝若方程 f (x)－2x＝0恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1) B．[－1，2)
C．[－2，2) D．[0，2]
√
√
(1)B (2)B [(1)由题意，a是函数h(x)＝2x－8的零点，
即2a－8＝0，解得a＝3，
所以函数f (x)＝3x＋ln x－5，
又由f (x)＝3x＋ln x－5在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝－2＜0，
f (2)＝1＋ln 2＞0，可得f (1)f (2)＜0，根据函数零点存在定理，可得函数f (x)＝3x＋ln x－5的零点所在的区间为(1，2)．故选B．
(2)令g(x)＝f (x)－2x，
因为方程f (x)－2x＝0恰有三个不同的实根，
所以可得函数g(x)＝ 恰有三个不同的零点．
如图，作出函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象，
结合函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象可知－1≤a<2，故选B．]
类型5 函数的实际应用
1．本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解题的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
2．掌握函数建模方法，提升数学建模素养．
【例5】 【链接教材P154练习T2】
近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速．某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量．将2020年记为第0年，统计数据如下表所示：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
时间t/年 0 1 2 3 4
年销售数量Q/万片 100 150 225 337.5 506.25
(1)在平面直角坐标系中，以t为横轴，Q为纵轴，根
据表格中的数据画出散点图．
(2)为了描述年销售数量Q与时间t的关系，现有以下
三种数学模型供选择：
①Q＝at＋b；②Q＝kat；③Q＝klogat＋b．
(ⅰ)根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；
(ⅱ)根据(ⅰ)中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2 000万片？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
[解] (1)
(2)(ⅰ)由散点图可知，年销售数量呈指数型增长，
故选择函数模型Q＝kat合适．
将(0，100)，(1，150)分别代入Q＝kat，
得 解得所以Q＝100·，
当t＝2时，Q＝225；当t＝3时，Q＝337.5；当t＝4时，Q＝506.25，
所以Q＝100·．
(ⅱ)令100·＞2 000，则＞20，
则≈≈7.39，
所以预测该公司芯片的年销售数量在2028年会首次超过2 000万片．
【教材原题·P154练习T2】由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加．2008～2018年的11年，上市的肉鸡数量如下：
时间/ 年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
肉鸡 数量/ 吨 7 690 7 850 8 000 8 150 8 310 8 460 8 620 8 770 8 920 9 080 9 230
同期该地的人口数如下：
时间/ 年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
人口 数/万 100.0 101.2 102.4 103.6 104.9 106.1 107.4 108.7 110.0 111.3 112.7
(1)分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数；
(2)如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？
(3)按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议？
[解] (1)取自变量x为0，1，2，…，10，…，对应年份为2008，2009，2010，…，2018，…，肉鸡数量为y1(单位：吨)，人口数为y2(单位：万)，依据表画出y1与x，y2与x的对应点的散点图，如图1、图2．
由图1、图2知，y1与x，y2与x均大致为线性关系．
设y1＝a1x＋b1，y2＝a2x＋b2，将(0，7 690)，(2，8 000)代入y1＝a1x＋b1，
得解得
所以y1＝155x＋7 690．
将(0，100)，(5，106.1)代入y2＝a2x＋b2，
得解得
所以y2＝1.22x＋100．
(2)2017年人均消费肉鸡
≈8.16(kg)，
2018年人均消费肉鸡
≈8.19(kg)＞8.16(kg)，
所以2018年能满足市场的需求．
(3)保持现状即可．
【点评】 本题考查一次函数在实际中的应用，此题最后一问为开放性问题，可从不同角度分析(如从人均消费的肉鸡数量或从健康的角度减少人均消费的肉鸡数量)均可，它考查了学生数学建模的数学素养，本题属于中档题．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
章末综合测评(四) 指数函数与对数函数
16
17
18
19
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若1＜a＜2，则＋的化简结果是( )
A．1 B．－1
C．3－2a D．2a－3
C [因为1＜a＜2，则2－a＞0，
所以＝1－a＋|2－a|＝1－a＋2－a＝3－2a．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
2．已知ax＝4，loga3＝y，则ax＋y＝( )
A．5 B．6
C．7 D．12
D [由loga3＝y，得ay＝3，故ax＋y＝ax·ay＝4×3＝12．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3．函数 f (x)＝lg x＋x2－5的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
√
B [令f (x)＝lg x＋x2－5＝0，则lg x＝5－x2，
在同一直角坐标系中作出y＝lg x，y＝5－x2的图象，如图：
由图可知，y＝lg x与y＝5－x2的图象有1个交点，
则函数f (x)＝lg x＋x2－5有1个零点．故选B．]
【教用·备选题】
下列函数中，是偶函数且不存在零点的是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝x4(x＞0)
D．y＝|x|＋1
√
D [对于A，函数y＝x2的定义域为R，(－x)2＝x2，y＝x2是偶函数，存在零点x＝0，A不符合题意；
对于B，函数y＝的定义域是[0，＋∞)，不是偶函数，B不符合题意；
对于C，函数y＝x4(x＞0)不是偶函数，C不符合题意；
对于D，函数y＝|x|＋1的定义域为R，|－x|＋1＝|x|＋1，y＝|x|＋1是偶函数，没有零点，D符合题意．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
13
14
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18
19
4．若a＝30.1，b＝log0.72，c＝(π－1)0，则( )
A．a＞c＞b B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．c＞b＞a
A [因为a＝30.1＞1＝c，b＝log0.72＜0，所以a＞c＞b．故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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18
19
5．若2x＝5，lg 2≈0.301 0，则x的值约为( )
A．2.301 B．2.322
C．2.507 D．2.699
√
B [2x＝5，则x＝log25＝log210－log22＝－1≈2.322．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
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16
17
18
19
6．函数 f (x)＝log2(x2－x－2)的单调递减区间是( )
A．
B．(－∞，－1)
C．
D．(2，＋∞)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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13
14
15
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17
18
19
B [由题意可得x2－x－2＝(x－2)(x＋1)＞0，解得x＞2或x＜－1，
由y＝x2－x－2＝，
则其在(－∞，－1)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
故f (x)＝log2(x2－x－2)的单调递减区间是(－∞，－1)．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)是增函数，那么函数 f (x)＝loga的图象大致是( )
√
A B
C D
B [依题设知a>1，且 f (x)的定义域为(1，＋∞)，
∴f (x)在(1，＋∞)上单调递减．故选B．]
题号
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8．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e-KD表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)( )
A．0.2 B．0.18
C．0.15 D．0.14
√
C [依题意得，＝40%＝e-6K，化成对数式，－6K＝ln ＝ln 2－ln 5
≈－0.9，
解得，K≈0.15．故选C．]
题号
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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a＝lg 2，b＝lg 3，则( )
A．a＋b＝lg 6 B．＝log34
C．2＋＝log212 D．b－a＝lg
√
√
题号
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AD [对于A选项：lg 6＝lg 2＋lg 3＝a＋b，A正确；
对于B选项：log34＝≠，B错误；
对于C选项：log212＝log24＋log23＝2＋，C错误；
对于D选项：lg ＝lg 3－lg 2＝b－a，D正确．故选AD．]
题号
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10．已知函数 f (x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则( )
A．f (x)的定义域是(－6，4)
B．f (x)有最大值
C．不等式 f (x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D．f (x)在(0，4)上单调递减
√
√
√
题号
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ABD [因为f (x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，
由解得－6所以f (x)的定义域是(－6，4)，故A正确；
f (x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)＝log2(x＋6)(4－x)＝log2(－x2－2x＋24)，
y＝－x2－2x＋24的对称轴为直线x＝－1，
所以y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减；
又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，
所以f (x)有最大值为f (－1)＝2log25，故BD正确；
f (x)＜4，即log2(－x2－2x＋24)＜4，
所以log2(－x2－2x＋24)＜4＝log216，
所以解得x∈(－6，－4)∪(2，4)，故C错误．故选ABD．]
题号
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11．已知正实数x，y满足<，则下列结论一定正确的是( )
A．<
B．x3C．ln (y－x＋1)>0
D．2x-y<
√
√
题号
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BC [∵正实数x，y满足<，
∴log2x－易知f (x)＝log2x－在(0，＋∞)上单调递增，故x∴>，x3∴y－x>0，y－x＋1>1，ln (y－x＋1)>0，故C正确；2x-y<20＝1，故D不一定正确．
故选BC．]
题号
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．＝______．
8 [＝4×2＝8．]
8
题号
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13．已知实数x满足不等式2(log2x)2－5log2x＋2≤0，则函数 f (x)＝log2·log2最大值是________．
[由2(log2x)2－5log2x＋2≤0，解得≤log2x≤2，
f (x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝≤log2x≤2，当log2x＝时，f (x)取得最大值．]
题号
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14．已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)－a＝0恰有两个不同的实数根，则a的值是________．
1或－1 [因为f (x)＝
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数y＝f (x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调
递减，在(1，3)上单调递增，且f (1)＝－1，f (3)＝1，
又因为关于x的方程f (x)＝a恰有两个不同的实数根，
结合图象可得a＝1或－1．]
1或－1
题号
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)(1)计算－2×()0÷
；
(2)计算log68＋2log6．
题号
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[解] －2×()0÷
＝
＝
＝
＝＝0．
题号
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(2)log68＋2log6
＝
＝2－2＋log62＋log63＝1．
题号
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16．(本小题满分15分)已知指数函数 f (x)＝a x(a＞0，且a≠1)过点(m，n)．在①＋＝0，②函数y＝x2－2x＋4的顶点坐标为(m，n)，③函数y＝logb x＋3(b＞0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题．
(1)求 f (x)的解析式，判断并证明g(x)＝f (x)＋的奇偶性；
(2)解不等式：loga(1＋x)＜loga(2－x)．
注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．
[解] (1)由①可知，＋＝0，即解得由②可知，函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，则由③可知，函数y＝logbx＋3(b＞0，且b≠1)过定点(1，3)，则
题号
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综上，三个条件中任选一个，均有即f (x)＝a x过点(1，3)，
即a＝3，f (x)＝3x．
g(x)为偶函数．证明如下：
g(x)＝f (x)＋＝3x＋3-x，x∈R，
g(－x)＝f (－x)＋＝3x＋3-x＝g(x)，
∴g(x)为偶函数．
题号
1
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(2)loga(1＋x)＜loga(2－x)，
即log3(1＋x)＜log3(2－x)，
可化为2－x＞1＋x＞0，∴－1＜x＜．
即不等式loga(1＋x)＜loga(2－x)的解集为．
题号
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17．(本小题满分15分)设函数 f (x)＝log2(ax－bx)，且 f (1)＝1，f (2)＝log212．
(1)求a，b的值；
(2)求函数 f (x)的零点；
(3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．
[解] (1)由已知得得
解得a＝4，b＝2．
(2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)，令f (x)＝0，得4x－2x＝1，
即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝，
又2x>0，所以2x＝，解得x＝log2 ．
所以函数 f (x)的零点为log2 ．
题号
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(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，
则g(t)＝t2－t＝，t∈[1，16]，
所以g(t)∈[0，240]．
所以g(x)在[0，4]上的值域为[0，240]．
题号
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18．(本小题满分17分)【教材原题·P161复习参考题4T12】对于函数f (x)＝a－(a∈R)．
(1)探索函数f (x)的单调性；
(2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数？
题号
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[解] (1)函数f (x)的定义域为R，而y＝2x为增函数，
则y＝为减函数，故f (x)＝a－是增函数．
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝．
因为x1＜x2，所以，则＞0，所以f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)，
所以f (x)在R上为增函数．
题号
1
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(2)假设存在实数a，使f (x)为奇函数，则f (0)＝0，
所以a－＝0，解得a＝1，
当a＝1时，f (x)＝1－，其定义域为R，
f (－x)＝＝＝－f (x)，
则f (x)为奇函数，故存在实数a＝1满足题意．
题号
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19．(本小题满分17分)某医学研究所研发出一种药物．据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量y(单位：毫克)与开始注射后的时间t(单位：小时)之间近似满足如图所示的曲线，y与t的函数关系为y＝mat(a＞0且a≠1)．根据图中提供的信息：
题号
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(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；
(2)据测定，每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？(结果保留小数点后两位)；
(3)第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，每毫升血液中药物含量为多少毫克？(结果保留小数点后两位)．
(参考值：ln 2≈0.69，ln 5≈1.61)
题号
1
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[解] (1)当0≤t≤时，设y＝kt，将代入y＝kt，得2＝k，解得k＝4，此时，y＝4t；
当t＞时，y＝mat(a＞0且a≠1)，将，(1，1)代入y＝mat，得解得此时，y＝4×＝41-t．
综上，y＝
题号
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19
(2)当0＜t≤时，4t≥0.08，解得0.02≤t≤0.5，
当t＞时，41-t≥0.08，即t≤，
而≈2.83，故0.5＜t≤2.83．
又2.83－0.02＝2.81，
所以，药效时间为2.81小时．
题号
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(3)完成第二次注射1小时后，
每升血液中第一次注射药物的含量y1＝4-3＝0.015 625(毫克)，
每升血液中第二次注射药物的含量y2＝4-0.5＝0.5(毫克)，
所以此时两次注射药物后的药物含量为0.52毫克．
谢 谢！