章末综合测评4　指数函数与对数函数（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

章末综合测评(四)　指数函数与对数函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若1＜a＜2，则＋的化简结果是(　　)
A．1 　 B．－1
C．3－2a 　 D．2a－3
2．已知ax＝4，loga3＝y，则ax＋y＝(　　)
A．5 　 B．6
C．7 　 D．12
3．函数f (x)＝lg x＋x2－5的零点个数为(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
4．若a＝30.1，b＝log0.72，c＝(π－1)0，则(　　)
A．a＞c＞b 　 B．c＞a＞b
C．a＞b＞c 　 D．c＞b＞a
5．若2x＝5，lg 2≈0.301 0，则x的值约为(　　)
A．2.301 　 B．2.322
C．2.507 　 D．2.699
6．函数f (x)＝log2(x2－x－2)的单调递减区间是(　　)
A． 　 B．(－∞，－1)
C． 　 D．(2，＋∞)
7．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)是增函数，那么函数f (x)＝loga的图象大致是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
8．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)(　　)
A．0.2 　 B．0.18
C．0.15 　 D．0.14
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a＝lg 2，b＝lg 3，则(　　)
A．a＋b＝lg 6 　 B．＝log34
C．2＋＝log212 　 D．b－a＝lg
10．已知函数f (x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　　)
A．f (x)的定义域是(－6，4)
B．f (x)有最大值
C．不等式f (x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D．f (x)在(0，4)上单调递减
11．已知正实数x，y满足<，则下列结论一定正确的是(　　)
A．< 　 B．x3C．ln (y－x＋1)>0 　 D．2x-y<
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．41＋log42＝________．
13．已知实数x满足不等式2(log2x)2－5log2x＋2≤0，则函数f (x)＝log2·log2最大值是________．
14．已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)－a＝0恰有两个不同的实数根，则a的值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)(1)计算－2×()0÷；
(2)计算log68＋2log6．
16．(本小题满分15分)已知指数函数f (x)＝ax(a＞0，且a≠1)过点(m，n)．在①＋＝0，②函数y＝x2－2x＋4的顶点坐标为(m，n)，③函数y＝logbx＋3(b＞0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题．
(1)求f (x)的解析式，判断并证明g(x)＝f (x)＋的奇偶性；
(2)解不等式：loga(1＋x)＜loga(2－x)．
注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．
17．(本小题满分15分)设函数f (x)＝log2(ax－bx)，且f (1)＝1，f (2)＝log212．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f (x)的零点；
(3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．
18．(本小题满分17分)【教材原题·P161复习参考题4T12】对于函数f (x)＝a－(a∈R)．
(1)探索函数f (x)的单调性；
(2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数？
19．(本小题满分17分)某医学研究所研发出一种药物．据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量y(单位：毫克)与开始注射后的时间t(单位：小时)之间近似满足如图所示的曲线，y与t的函数关系为y＝mat(a＞0且a≠1)．根据图中提供的信息：
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；
(2)据测定，每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？(结果保留小数点后两位)；
(3)第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，每毫升血液中药物含量为多少毫克？(结果保留小数点后两位)．
(参考值：ln 2≈0.69，ln 5≈1.61)
章末综合测评(四)
1．C　[因为10，
所以＝1－a＋|2－a|＝1－a＋2－a＝3－2a．故选C．]
2．D　[由loga3＝y，得ay＝3，故ax+y＝ax·ay＝4×3＝12．故选D．]
3．B　[
令f(x)＝lg x＋x2－5＝0，则lg x＝5－x2，
在同一直角坐标系中作出y＝lg x，y＝5－x2的图象，如图：
由图可知，y＝lg x与y＝5－x2的图象有1个交点，
则函数f(x)＝lg x＋x2－5有1个零点．故选B．]
4．A　[因为a＝30.1>1＝c，b＝log0.72<0，所以a>c>b．故选A．]
5．B　[2x＝5，则x＝log25＝log210－log22＝－1≈2.322．故选B．]
6．B　[由题意可得x2－x－2＝(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，
由y＝x2－x－2＝(x－，
则其在(－∞，－1)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)＝log2(x2－x－2)的单调递减区间是(－∞，－1)．
故选B．]
7．B　[依题设知a>1，且f(x)的定义域为(1，＋∞)，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．故选B．]
8．C　[依题意得，＝40%＝e-6K，化成对数式，－6K＝ln ＝ln 2－ln 5≈－0.9，
解得，K≈0.15．故选C．]
9．AD　[对于A选项：lg 6＝lg 2＋lg 3＝a＋b，A正确；
对于B选项：log34＝，B错误；
对于C选项：log212＝log24＋log23＝2＋，C错误；
对于D选项：lg＝lg 3－lg 2＝b－a，D正确．故选AD．]
10．ABD　[因为f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，
由解得－6所以f(x)的定义域是(－6，4)，故A正确；
f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)＝log2(x＋6)(4－x)＝log2(－x2－2x＋24)，
y＝－x2－2x＋24的对称轴为直线x＝－1，
所以y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减；
又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，
所以f(x)有最大值为f(－1)＝2log25，故BD正确；
f(x)<4，即log2(－x2－2x＋24)<4，
所以log2(－x2－2x＋24)<4＝log216，
所以解得x∈(－6，－4)∪(2，4)，故C错误．故选ABD．]
11．BC　[∵正实数x，y满足log2x＋lo，
∴log2x－．
易知f(x)＝log2x－在(0，＋∞)上单调递增，故x∴，x3∴y－x>0，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x-y<20＝1，故D不一定正确．
故选BC．]
12．8　[＝4×2＝8．]
13．　[由2(log2x)2－5log2x＋2≤0，解得≤log2x≤2，
f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x－2≤log2x≤2，
当log2x＝时，f(x)取得最大值．]
14．1或－1　[因为f(x)＝
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数y＝f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递减，在(1，3)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，
又因为关于x的方程f(x)＝a恰有两个不同的实数根，
结合图象可得a＝1或－1．]
15．解：－2×()0÷
＝
＝
＝
＝＝0．
(2)log68＋2log6
＝
＝2－2＋log62＋log63＝1．
16．解：(1)由①可知，＝0，即由②可知，函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，则由③可知，函数y＝logbx＋3(b>0，且b≠1)过定点(1，3)，则
综上，三个条件中任选一个，均有即f(x)＝ax过点(1，3)，
即a＝3，f(x)＝3x．
g(x)为偶函数．证明如下：
g(x)＝f(x)＋＝3x＋3-x，x∈R，
g(－x)＝f(－x)＋＝3x＋3-x＝g(x)，
∴g(x)为偶函数．
(2)loga(1＋x)即log3(1＋x)可化为2－x>1＋x>0，∴－1即不等式loga(1＋x)17．解：(1)由已知得
解得a＝4，b＝2．
(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，
令f(x)＝0，得4x－2x＝1，
即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝，
又2x>0，所以2x＝，解得x＝log2．
所以函数f(x)的零点为．
(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，
则g(t)＝t2－t＝，t∈[1，16]，
所以g(t)∈[0，240]．
所以g(x)在[0，4]上的值域为[0，240]．
18．解：(1)函数f(x)的定义域为R，而y＝2x为增函数，
则y＝为减函数，故f(x)＝a－是增函数．
证明：任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝(a－．
因为x10，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在R上为增函数．
(2)假设存在实数a，使f(x)为奇函数，则f(0)＝0，
所以a－＝0，解得a＝1，
当a＝1时，f(x)＝1－，其定义域为R，
f(－x)＝＝＝－f(x)，
则f(x)为奇函数，故存在实数a＝1满足题意．
19．解：(1)当0≤t≤时，设y＝kt，将(，2)代入y＝kt，得2＝k，
解得k＝4，此时，y＝4t；
当t>时，y＝mat(a>0且a≠1)，将(，2)，(1，1)代入y＝mat，得
此时，y＝4×(t＝41-t．综上，y＝
(2)当0当t>时，41-t≥0.08，即t≤，
而≈2.83，故0.5又2.83－0.02＝2.81，
所以，药效时间为2.81小时．
(3)完成第二次注射1小时后，
每升血液中第一次注射药物的含量y1＝4-3＝0.015 625(毫克)，
每升血液中第二次注射药物的含量y2＝4-0.5＝0.5(毫克)，
所以此时两次注射药物后的药物含量为0.52毫克．
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