5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
[学习目标] 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理) 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
探究1 正弦函数、余弦函数的周期
问题 观察下面正弦函数的图象，可以发现横坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．如何用数学语言描述这一现象？
____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________
[新知生成]
1．函数的周期性
一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个_________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_____________________，那么函数f (x)就叫做周期函数．_________叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个__________，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
3．正弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
4．余弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
[典例讲评] 【链接教材P201例2】
1．求下列函数的最小正周期T：
(1)f (x)＝7sin 2x，x∈R；
(2)f (x)＝cos ；
(3)f (x)＝|sin x|．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
(3)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[学以致用] 【链接教材P203练习T1、T2】
1．(1)若函数f (x)＝cos 的最小正周期为π，则ω＝( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
(2)函数y＝|cos x|的最小正周期为________．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 正弦函数、余弦函数的奇偶性
[新知生成]
函数 y＝sin x y＝cos x
图象 图象关于____对称 图象关于_轴对称
奇偶性 ______ ______
对称性 对称中心为_________________； 对称轴x＝ 对称中心为； 对称轴x＝________
[典例讲评] 2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝x2cos ；
(3)f (x)＝．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称．
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
3．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[学以致用] 【链接教材P203练习T3】
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 三角函数奇偶性与周期性的综合应用
[典例讲评] 3．定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
[母题探究]
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f 的值为________．
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，f ＝－f (x)，＝1，则f 的值为________．
处理三角函数奇偶性和周期性的综合应用问题立足一点：把待求向已知转化．
(1)周期性的作用在于大化小．
(2)奇偶性的作用在于负化正．
两者相互作用，便可把待求转化到已知区间中，最终用代入法求值．
[学以致用] 【链接教材P203练习T4】
3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是( )
A B
C D
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－2)＝3，则f (2 024)＝________．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．设函数f (x)＝sin ，则f (x)的最小正周期为( )
A． B．π
C．2π D．4π
2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
3．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________．
4．(教材P203练习T4改编)已知f (x)为奇函数，且周期为，若f ＝－1，则f ＝________．
1．知识链：
2．方法链：定义法、公式法、数形结合法．
3．警示牌：求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期时，误认为T＝．
第1课时 周期性与奇偶性
[探究建构] 探究1
问题 提示：sin(x＋2kπ)＝sin x，其中k∈Z．
新知生成 1．非零常数T f(x＋T)＝f(x) 非零常数T
2．最小的正数
3．周期函数
4．周期函数
典例讲评 1．解：(1)因为7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函数的定义知，y＝7sin 2x的最小正周期为π．
(2)法一(定义法)：
∵f (x)＝cos ＝cos
＝cos ＝f (x＋π)，
即f (x＋π)＝f (x)，
∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵f (x)＝cos ，∴ω＝2．
又T＝＝π．∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
(3)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期为π．
法二(图象法)：
作出函数f (x)＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π．
学以致用 1．(1)D (2)π [(1)因为f(x)的最小正周期为π，所以π，解得ω＝±2．
(2)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的最小正周期为π．]
探究2
新知生成 原点 y 奇函数 偶函数 (kπ，0)(k∈Z) kπ＋，k∈Z (k∈Z) kπ，k∈Z
典例讲评 2．解：(1)显然x∈R，f (x)＝cos x，
f (－x)＝cos ＝cos x＝f (x)，
∴函数f (x)是偶函数．
(2)f (x)＝x2cos ＝－x2sin x，
∵任意x∈R，都有－x∈R．
又f (－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f (x)，
∴函数f (x)＝x2cos 是奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
学以致用 2．解：(1)f(x)＝xsin(π－x)＝xsin x的定义域为R．由于f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，故f(x)为偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，
由已知可得f(x)＝sin xcos x．
因为f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
探究3
典例讲评 3．D [
＝f ＝sin ．]
母题探究 1．－ [
＝f ＝－sin ．]
2. 1 [∵f ＝－f (x)，
∴f (x＋π)＝－f ＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴f (x)的周期T＝π，
∴f ＝1．]
学以致用 3．(1)B (2)3 [(1)由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2．故选B．
(2)∵f(x)为周期是3的偶函数，
∴f(2 024)＝f(3×674＋2)＝f(2)＝f(－2)＝3．]
[应用迁移]
1．D [函数f(x)＝sin4π．故选D．]
2．A [∵f(x)＝sin(－x)＝－sin x，∴f(－x)＝sin x．
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故选A．]
3.0 [因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，
所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]
4.1 [∵T，且f(x)为奇函数，
∴f
＝－(－1)＝1．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
[学习目标] 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理) 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．周期函数的定义是什么？
问题2．如何利用周期函数的定义求正弦、余弦函数的周期？
问题3．正弦、余弦函数是否具有奇偶性？
探究建构 关键能力达成
探究1 正弦函数、余弦函数的周期
问题 观察下面正弦函数的图象，可以发现横坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．如何用数学语言描述这一现象？
提示：sin (x＋2kπ)＝sin x，其中k∈Z．
[新知生成]
1．函数的周期性
一般地，设函数 f (x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f (x)就叫做周期函数．__________叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个__________，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
非零常数T
f (x＋T)＝f (x)
非零常数T
最小的正数
3．正弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
4．余弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
周期函数
周期函数
【教用·微提醒】 (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期．
(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期．
[典例讲评] 【链接教材P201例2】
1．求下列函数的最小正周期T：
(1) f (x)＝7sin 2x，x∈R；
(2) f (x)＝cos ；
(3) f (x)＝|sin x|．
[解] (1)因为7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函数的定义知，y＝7sin 2x的最小正周期为π．
(2)法一(定义法)：
∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f (x＋π)，
即f (x＋π)＝f (x)，
∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵f (x)＝cos ，∴ω＝2．
又T＝＝π．∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
(3)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期为π．
法二(图象法)：
作出函数f (x)＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π．
【教材原题·P201例2】
例2 求下列函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x，x∈R；
(3)y＝2sin ，x∈R．
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式
f (x＋T)＝f (x)而求出相应的周期．
对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x＋T)＝cos 2x，x∈R；
对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出
sin ＝sin ，x∈R．
[解] (1) x∈R，有3sin (x＋2π)＝3sin x．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．
(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，即
cos (z＋2π)＝cos z，
于是cos (2x＋2π)＝cos 2x，
所以cos 2(x＋π)＝cos 2x，x∈R．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
(3)令z＝，
由x∈R得z∈R，
且y＝2sin z的周期为2π，即
2sin (z＋2π)＝2sin z，
于是2sin ＝2sin ，
所以2sin ＝2sin ．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
反思领悟 求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
(3)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
√
[学以致用] 【链接教材P203练习T1、T2】
1．(1)若函数 f (x)＝cos 的最小正周期为π，则ω＝( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
(2)函数y＝|cos x|的最小正周期为________．
π
(1)D (2)π [(1)因为f (x)的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝±2．
(2)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的最小正周期为π．]
1．【教材原题·P203练习T1】等式sin ＝sin 是否成立？如果这个等式成立，能否说π是正弦函数y＝sin x，x∈R的一个周期？为什么？
[解] 等式sin ＝sin 成立，但不能说是正弦函数y＝sin x，x∈R的一个周期．
因为不满足周期函数的定义，即对定义域内任意x，sin 不一定等于sin x，如sin ≠sin ，所以不是正弦函数y＝sin x，x∈R的一个周期．
2．【教材原题·P203练习T2】求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验：
(1)y＝sin x，x∈R；
(2)y＝cos 4x，x∈R；
(3)y＝cos ，x∈R；
(4)y＝sin ，x∈R．
[解] (1)因为y＝f (x)＝sin x＝sin ＝sin ，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为．
函数的图象如图所示：
(2)因为y＝f (x)＝cos 4x＝cos (4x＋2π)＝，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为．函数的图象如图所示：
(3)因为y＝f (x)＝cos
＝cos cos ＝f (x＋π)．
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．函数的图象如图所示：
(4)因为y＝f (x)＝sin ＝sin ＝sin ＝f (x＋6π)，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为6π．函数的图象如图所示：
探究2 正弦函数、余弦函数的奇偶性
[新知生成]
函数 y＝sin x y＝cos x
图象 图象关于____对称 图象关于__轴对称
奇偶性 ______ ______
对称性 对称中心为____________； 对称轴x＝______________ 对称中心为_______________；
对称轴x＝_________
原点
y
奇函数
偶函数
(kπ，0)(k∈Z)
kπ，k∈Z
[典例讲评] 2．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝sin ；
(2) f (x)＝x2cos ；
(3) f (x)＝．
[解] (1)显然x∈R，f (x)＝cos x，
f (－x)＝cos ＝cos x＝f (x)，
∴函数 f (x)是偶函数．
(2) f (x)＝x2cos ＝－x2sin x，
∵任意x∈R，都有－x∈R．
又 f (－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f (x)，
∴函数 f (x)＝x2cos 是奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
反思领悟
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称．
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
3．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[学以致用] 【链接教材P203练习T3】
2．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝x sin (π－x)；
(2) f (x)＝cos sin ．
[解] (1) f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定义域为R．由于f (－x)＝
－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)为偶函数．
(2) f (x)的定义域为R，
由已知可得f (x)＝sin x cos x．
因为f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．
【教材原题·P203练习T3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
(1)y＝2sin x；(2)y＝1－cos x；(3)y＝x＋sin x；(4)y＝－sin x cos x．
[解] (1) f (x)＝2sin x，函数的定义域为R，
∴f (－x)＝2sin (－x)＝－2sin x＝－f (x)，∴函数是奇函数．
(2) f (x)＝1－cos x，函数的定义域为R，
∴f (－x)＝1－cos (－x)＝1－cos x＝f (x)，∴函数是偶函数．
(3) f (x)＝x＋sin x，函数的定义域为R，
∴f (－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f (x)，
∴函数是奇函数．
(4) f (x)＝－sin x cos x，函数的定义域为R，
∴f (－x)＝－sin (－x)cos (－x)＝sin x cos x＝－f (x)．
∴函数是奇函数．
√
探究3 三角函数奇偶性与周期性的综合应用
[典例讲评] 3．定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若 f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则 f ＝( )
A．－ B． C．－ D．
D [
＝f ＝sin ．]
[母题探究]
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则
f 的值为________．
－ [
＝f ＝－sin ．]
－
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，f ＝－f (x)，＝1，则f 的值为________．
1 [∵f ＝－f (x)，
∴f (x＋π)＝－f ＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴f (x)的周期T＝π，
∴f ＝1．]
1
反思领悟 处理三角函数奇偶性和周期性的综合应用问题立足一点：把待求向已知转化．
(1)周期性的作用在于大化小．
(2)奇偶性的作用在于负化正．
两者相互作用，便可把待求转化到已知区间中，最终用代入法求值．
[学以致用] 【链接教材P203练习T4】
3．(1)设函数 f (x)(x∈R)满足 f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是( )
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且 f (－2)＝3，则 f (2 024)＝_____．
√
3
(1)B (2)3 [(1)由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
(2)∵f (x)为周期是3的偶函数，
∴f (2 024)＝f (3×674＋2)＝f (2)＝f (－2)＝3．]
√
【教用·备选题】
1．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (2＋x)＝f (－x)，若f (－1)＝2，则f (2 025)＝( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
B [因为定义在R上的奇函数f (x)满足f (2＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)，所以f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，
所以f (x)是周期为4的周期函数．
所以f (2 025)＝f (1)＝－f (－1)＝－2．]
2．已知f (x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f (x)＝1－sin x，求当x∈时f (x)的解析式．
[解] 当x∈时，3π－x∈，
因为x∈时，f (x)＝1－sin x，
所以f (3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x．
又f (x)是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x)＝f (－x)＝f (x)，
所以f (x)的解析式为f (x)＝1－sin x，x∈．
【教材原题·P203练习T4】设函数f (x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f (x)＝(x－1)2．求f (3)，f 的值．
[解] 由题意可知，f (3)＝f (2＋1)＝f (1)＝(1－1)2＝0；
f ．
应用迁移 随堂评估自测
1．设函数 f (x)＝sin ，则 f (x)的最小正周期为( )
A． B．π
C．2π D．4π
√
D [函数 f (x)＝sin 的最小正周期T＝＝4π．故选D．]
2．函数 f (x)＝sin (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
A [∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．故选A．]
√
3．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝_____．
0 [因为f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，
所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]
0
4．(教材P203练习T4改编)已知f (x)为奇函数，且周期为，若f ＝－1，则f ＝________．
1 [∵T＝，且f (x)为奇函数，
∴f
＝－(－1)＝1．]
1
1．知识链：
2．方法链：定义法、公式法、数形结合法．
3．警示牌：求函数y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期时，误认为T＝．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？
[提示] 不一定．若T≠0，则f (x)是周期函数，否则不是．
2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
[提示] 函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝．
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(四十九) 周期性与奇偶性
√
一、选择题
1．函数 f (x)＝sin 2x是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
A [函数f (x)＝sin 2x的定义域为R，且f (－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f (x)，
所以函数是奇函数，不是偶函数．故选A．]
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√
2．已知函数f (x)＝cos ，则下列各等式成立的是( )
A．f (2π－x)＝f (x)
B．f (2π＋x)＝f (x)
C．f (－x)＝－f (x)
D．f (－x)＝f (x)
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D [ f (2π－x)＝cos ＝cos ＝＝－f (x)，故A错误；f (2π＋x)＝＝cos ＝－cos ＝－f (x)，故B错误；
f (－x)＝cos ＝cos ＝f (x)，所以f (x)为偶函数，故C错误，D正确．故选D．]
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3．函数y＝f (x)是定义在R上周期为2的奇函数，若 f (－0.5)＝－1，则 f (2.5)＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．0.5
B [ f (x)是周期为2的奇函数，
f (－0.5)＝－f (0.5)＝－1，f (0.5)＝1，
所以f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (0.5)＝1．
故选B．]
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4．函数y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
D [因为T＝≤2，
所以k≥4π，又k∈Z，所以正整数k的最小值为13．]
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5．(多选)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝sin 2x
B．y＝sin |x|
C．y＝cos
D．y＝sin
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AC [对于A，函数y＝sin 2x既是奇函数，函数的最小正周期也为π，故A正确；
对于B，函数y＝sin |x|不是周期函数，故B错误；
对于C，y＝cos ＝－sin 2x既是奇函数，函数的最小正周期也为π，故C正确；
对于D，函数y＝sin ＝cos 2x为偶函数，故D错误．故选AC．]
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二、填空题
6．写出一个最小正周期为2的奇函数 f (x)＝___________________．
sin πx(答案不唯一) [基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f (x)＝sin ωx且T＝f (x)＝sin πx．]
sin πx(答案不唯一)
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7．若函数 f (x)＝3cos 的最小正周期为π，则常数a＝ ____．
±2 [根据余弦函数的性质，可知周期T＝＝π，所以|a|＝2，即a＝±2．]
±2
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8．设f (x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f (x)＝则f ＝________．
[
＝f ＝sin ．]
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三、解答题
9．已知函数y＝sin x＋．
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求出其最小正周期．
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[解] (1)y＝sin x＋
＝
该函数的图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π．
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10．图象为如图的函数可能是( )
√
A．y＝x·cos x
B．y＝x·sin x
C．y＝x·|cos x|
D．y＝x·2x
A [根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x既不是奇函数也不是偶函数，由此可排除B，D；当x＞0时，y＝x·|cos x|≥0，由此可排除C．故选A．]
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11．函数f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，则f (－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
√
B [可构造g(x)＝x3＋sin x(x∈R)，则g(x)＝x3＋sin x(x∈R)为奇函数，由g(－x)＝－g(x)得f (－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1，又f (a)＝g(a)＋1＝2，所以g(a)＝1．所以f (－a)＝0．]
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12．(多选)下列x∈R的函数是偶函数的是( )
A．y＝sin (sin x)
B．y＝cos (sin x)
C．y＝cos (cos x)
D．y＝sin (cos x)
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BCD [因为函数的定义域为R，
对于选项A：因为sin [sin (－x)]＝sin (－sin x)＝－sin (sin x)，
可知y＝sin (sin x)是奇函数，故A错误；
对于选项B：因为cos [sin (－x)]＝cos (－sin x)＝cos (sin x)，
所以y＝cos (sin x)是偶函数，故B正确；
对于选项C：因为cos [cos (－x)]＝cos (cos x)，
所以y＝cos (cos x)是偶函数，故C正确；
对于选项D：因为sin [cos (－x)]＝sin (cos x)，
所以y＝sin (cos x)是偶函数，故D正确．故选BCD．]
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13．若函数f (x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函数，则φ＝________．
或－ [∵函数f (x)＝sin (2x＋φ)在R上是偶函数，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<π，∴φ＝(k＝0时)，或φ＝－(k＝－1时)．]
或－
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14．若定义在R上的函数 f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13．
(1)证明：函数f (x)是周期函数；
(2)若 f (1)＝2，求 f (99)的值．
[解] (1)证明：因为f (x)·f (x＋2)＝13，所以f (x＋2)＝，所以
f (x＋4)＝＝f (x)，所以函数f (x)是周期为4的周期函数．
(2)由(1)得f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝．
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15．已知函数f (x)＝cos x，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值．
[解] 因为f (1)＝cos ，
f (2)＝cos ，
f (3)＝cos π＝－1，
f (4)＝cos ，
f (5)＝cos ，f (6)＝cos 2π＝1，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0，
即每连续六项的和均为0．
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)
＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－1．
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谢 谢！课时分层作业(四十九) 周期性与奇偶性
一、选择题
1．函数f (x)＝sin 2x是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
2．已知函数f (x)＝cos ，则下列各等式成立的是( )
A．f (2π－x)＝f (x)
B．f (2π＋x)＝f (x)
C．f (－x)＝－f (x)
D．f (－x)＝f (x)
3．函数y＝f (x)是定义在R上周期为2的奇函数，若f (－0.5)＝－1，则f (2.5)＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．0.5
4．函数y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
5．(多选)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝sin 2x B．y＝sin |x|
C．y＝cos D．y＝sin
二、填空题
6．写出一个最小正周期为2的奇函数f (x)＝________．
7．若函数f (x)＝3cos 的最小正周期为π，则常数a＝ ________．
8．设f (x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f (x)＝则f ＝________．
三、解答题
9．已知函数y＝sin x＋．
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求出其最小正周期．
10．图象为如图的函数可能是( )
A．y＝x·cos x B．y＝x·sin x
C．y＝x·|cos x| D．y＝x·2x
11．函数f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，则f (－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
12．(多选)下列x∈R的函数是偶函数的是( )
A．y＝sin (sin x) B．y＝cos (sin x)
C．y＝cos (cos x) D．y＝sin (cos x)
13．若函数f (x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函数，则φ＝________．
14．若定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13．
(1)证明：函数f (x)是周期函数；
(2)若f (1)＝2，求f (99)的值．
15．已知函数f (x)＝cos x，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值．
课时分层作业(四十九)
1．A [函数f(x)＝sin 2x的定义域为R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，
所以函数是奇函数，不是偶函数．故选A．]
2．D [f(2π－x)＝cos(＝－f(x)，故A错误；f(2π＋x)＝cos(＝－f(x)，故B错误；f(－x)＝cos＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C错误，D正确．故选D．]
3．B [f(x)是周期为2的奇函数，
f(－0.5)＝－f(0.5)＝－1，f(0.5)＝1，
所以f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(0.5)＝1．
故选B．]
4．D [因为T＝≤2，
所以k≥4π，又k∈Z，所以正整数k的最小值为13．]
5．AC [对于A，函数y＝sin 2x既是奇函数，函数的最小正周期也为π，故A正确；
对于B，函数y＝sin|x|不是周期函数，故B错误；
对于C，y＝cos(2x－＝－sin 2x既是奇函数，函数的最小正周期也为π，故C正确；
对于D，函数y＝sin(2x＋＝cos 2x为偶函数，故D错误．故选AC．]
6．sin πx(答案不唯一) [基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝ f(x)＝sin πx．]
7．±2 [根据余弦函数的性质，可知周期T＝＝π，所以|a|＝2，即a＝±2．]
8． [f(－×(－3)＋．]
9．解：(1)y＝|sin x|
＝
该函数的图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π．
10．A [根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x既不是奇函数也不是偶函数，由此可排除B，D；当x>0时，y＝x·|cos x|≥0，由此可排除C．故选A．]
11．B [可构造g(x)＝x3＋sin x(x∈R)，则g(x)＝x3＋sin x(x∈R)为奇函数，由g(－x)＝－g(x)得f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1，又f(a)＝g(a)＋1＝2，所以g(a)＝1．所以f(－a)＝0．]
12．BCD [因为函数的定义域为R，
对于选项A：因为sin[sin(－x)]＝sin(－sin x)＝－sin(sin x)，
可知y＝sin(sin x)是奇函数，故A错误；
对于选项B：因为cos[sin(－x)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)，
所以y＝cos(sin x)是偶函数，故B正确；
对于选项C：因为cos[cos(－x)]＝cos(cos x)，
所以y＝cos(cos x)是偶函数，故C正确；
对于选项D：因为sin[cos(－x)]＝sin(cos x)，
所以y＝sin(cos x)是偶函数，故D正确．故选BCD．]
13． [∵函数f(x)＝sin(2x＋φ)在R上是偶函数，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<π，∴φ＝(k＝0时)，或φ＝－(k＝－1时)．]
14．解：(1)证明：因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由(1)得f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝．
15．解：因为f(1)＝cos，f(2)＝cos，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos，
f(5)＝cos，f(6)＝cos 2π＝1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
即每连续六项的和均为0．
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝－1．
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