第2课时 单调性与最值
[学习目标] 1．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(数学运算) 2．能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．(逻辑推理、数学运算)
探究1 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
问题1 观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象，当x由－增大到时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
____________________________________________________________________
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问题2 观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，当x由－π增大到π时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
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[新知生成]
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 __________ __________
单调性 在上单调递增，在上单调递减 在_________________上单调递增，在_______________上单调递减
最值 当x＝时，ymax＝1；当x＝时，ymin＝－1 当x＝___时，ymax＝1； 当x＝______时，ymin＝－1
[典例讲评] 【链接教材P207例5】
1．求函数y＝2sin 的单调区间．
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究]
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
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2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
____________________________________________________________________
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求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合法：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[学以致用] 【链接教材P207练习T3、T5】
1．求下列函数的单调区间：
(1)y＝sin ；
(2)y＝2cos ．
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探究2 利用三角函数的单调性比较大小
[典例讲评] 【链接教材P206例4】
2．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°与cos 110°．
[尝试解答] _________________________________________________________
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比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
[学以致用] 【链接教材P207练习T4】
2．(源自湘教版教材)利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；
(2)cos ，cos ．
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探究3 正、余弦函数的最值(值域)问题
[典例讲评] 【链接教材P205例3】
3．求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
(1)y＝－4sin x＋5；
(2)y＝cos2x－sin x＋1．
[尝试解答] _________________________________________________________
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三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的______，注意对a分正负进行讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得_____的范围，然后求得__________________________________的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝______，转化为二次函数y＝__________求最值，t的范围需要根据______来确定．
[学以致用] 【链接教材P207练习T2、P213习题5.4T4、P214习题5.4T10】
3．(1)函数y＝cos ，x∈的值域是( )
A． B．
C． D．
(2)函数y＝sin2x－4sin x的最大值为________．
____________________________________________________________________
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1．(教材P207练习T3改编)下列命题中正确的是( )
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
4．函数f (x)＝cos 的单调递减区间是____________．
1．知识链：
2．方法链：整体代换、换元法．
3．警示牌：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围．
第2课时 单调性与最值
[探究建构] 探究1
问题1 提示：当x由－时，曲线逐渐上升，sin x的值由－1增大到1．
当x由时，曲线逐渐下降，sin x的值由1减小到－1．
问题2 提示：当x由－π增大到0时，曲线逐渐上升，cos x的值由－1增大到1．
当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，cos x的值由1减小到－1．
新知生成 [－1，1] [－1，1] [－π＋2kπ，2kπ] [2kπ，π＋2kπ] ＋2kπ 2kπ π＋2kπ
典例讲评 1．解：令z＝x－，则y＝2sin z．
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增时，
函数y＝2sin也单调递增．
由z∈(k∈Z)，
得x－(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin 的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin 的单调递减区间为(k∈Z)．
母题探究 1．解：由例题知f(x)＝2sin(k∈Z)．
又∵x∈[0，2π]，∴0xx2π，
∴函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调递增区间为，
同理函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调递减区间为．
2．解：y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin 的单调递增区间为，k∈Z．
学以致用 1．解：(1)y＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝sin 的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是，k∈Z．
(2)由2kπ≤3x－≤2kπ＋π，k∈Z，得，k∈Z，
由2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，得，k∈Z，
所以函数y＝2cos 的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是，k∈Z．
探究2
典例讲评 2．解：(1)cos ，cos ，
因为0<<π，
又y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos ，
即cos ．
(2)因为cos 1＝sin ，又0<－1<1<，且y＝sin x在上单调递增，
所以sin
(3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，
cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°＝sin(－20°)．
因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin(－20°)即cos 110°学以致用 2．解：(1)由于－，
且y＝sin x在区间上单调递增，
因此sin(－1)>sin(－1.1)．
(2)由于π<<2π，且y＝cos x在区间[π，2π]上单调递增，因此cos．
探究3
典例讲评 3．解：(1)函数y＝－4sin x＋5取最大值和最小值时，y＝sin x正好取最小值和最大值，
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝9；
当x＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝1．
(2)令t＝sin x，则cos2x＝1－sin2x＝1－t2，
所以y＝－t2－t＋2，t∈[－1，1]．
所以y＝－t2－t＋2＝－，t∈[－1，1]．
当t＝－，即sin x＝－，x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax；
当t＝1，即sin x＝1，x＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝0．
发现规律 (1)有界性 (2)ωx＋φ sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ)) (3)sin x at2＋bt＋c 定义域
学以致用 3．(1)C (2)5 [(1)当0x时，，
∴－1≤cos ．故选C．
(2)y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4．
∵－1sin x1，
∴当sin x＝－1时，y取到最大值5．]
[应用迁移]
1．D [对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为，k∈Z，故B错误，D正确．]
2．C [∵y＝2－sin x，∴当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．]
3．> [sin，
因为0<，y＝sin x在上单调递增，所以sin，即sin．]
4．(k∈Z) [令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f (x)＝cos 的单调递减区间是(k∈Z)．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 单调性与最值
[学习目标] 1．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(数学运算) 2．能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．正弦、余弦函数的单调区间分别是什么？
问题2．正弦、余弦函数的最值分别是多少？
探究建构 关键能力达成
探究1 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
问题1 观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象，当x由－增大到时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
提示：当x由－增大到时，曲线逐渐上升，sin x的值由－1增大到1．
当x由增大到时，曲线逐渐下降，sin x的值由1减小到－1．
问题2 观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，当x由－π增大到π时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？
提示：当x由－π增大到0时，曲线逐渐上升，cos x的值由－1增大到1．
当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，cos x的值由1减小到－1．
[新知生成]
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 __________ __________
[－1，1]
[－1，1]
正弦函数 余弦函数
单调性 在__________________上单调递增，在__________________上单调递减 在__________________上单调递增，在__________________上单调递减
最值 当x＝__________时，ymax＝1；当x＝__________时，ymin＝－1 当x＝___时，ymax＝1；
当x＝______时，ymin＝－1
[－π＋2kπ，2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
＋2kπ
2kπ
π＋2kπ
[典例讲评] 【链接教材P207例5】
1．求函数y＝2sin 的单调区间．
[解] 令z＝x－，则y＝2sin z．
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增时，
函数y＝2sin 也单调递增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin 的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin 的单调递减区间为(k∈Z)．
[母题探究]
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
[解] 由例题知f (x)＝2sin 的单调递增区间为 (k∈Z)．
又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，∴函数 f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递增区间为，
同理函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为．
2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
[解] y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin 的单调递增区间为，k∈Z．
【教材原题·P207例5】
例5 求函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
分析：令z＝，x∈[－2π，2π]，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数y＝sin z在某个区间上单调递增，则函数y＝在相应的区间上也一定单调递增．
[解] 令z＝，x∈[－2π，2π]，则z∈．
因为y＝sin z，z∈的单调递增区间是，且由
－，得－．
所以，函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是．
反思领悟 求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合法：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[学以致用] 【链接教材P207练习T3、T5】
1．求下列函数的单调区间：
(1)y＝sin ；
(2)y＝2cos ．
[解] (1)y＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝sin 的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是，k∈Z．
(2)由2kπ≤3x－≤2kπ＋π，k∈Z，得，k∈Z，
由2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，得，k∈Z，
所以函数y＝2cos 的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是，k∈Z．
1．【教材原题·P207练习T3】下列关于函数y＝4sin x，x∈[0，2π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在及上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递增，在及上单调递减
√
C [因为y＝4sin x，x∈[0，2π]，
所以函数的单调性和正弦函数y＝sin x的单调性相同，
所以函数在及上单调递增，在上单调递减．故选C．]
2．【教材原题·P207练习T5】求函数y＝3sin ，x∈[0，π]的单调递减区间．
[解] 令z＝2x＋，x∈[0，π]，则z∈．
因为y＝3sin z，z∈的单调递减区间是，
且由，得．
所以函数y＝3sin ，x∈[0，π]的单调递减区间为．
探究2 利用三角函数的单调性比较大小
[典例讲评] 【链接教材P206例4】
2．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°与cos 110°．
[解] (1)cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因为0<<<π，
又y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos >cos ，
即cos >cos ．
(2)因为cos 1＝sin ，又0<－1<1<，且y＝sin x在上单调递增，所以sin (3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，
cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°＝sin(－20°)．
因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin(－20°)即cos 110°【教材原题·P206例4】
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)cos 与cos ．
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．
[解] (1)因为－<－<－<0，正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，所以sin >sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ．
因为0<<<π，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，
所以cos >cos ，即cos >cos ．
反思领悟 比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
[学以致用] 【链接教材P207练习T4】
2．(源自湘教版教材)利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；
(2)cos ，cos ．
[解] (1)由于－<－1.1<－1<，
且y＝sin x在区间上单调递增，
因此sin (－1)>sin (－1.1)．
(2)由于π<<<2π，且y＝cos x在区间[π，2π]上单调递增，因此cos √
【教用·备选题】
下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°A [因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较
sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小．因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin 11°即sin 11°【教材原题·P207练习T4】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)cos π与cos ；
(2)sin 250°与sin 260°．
[解] (1)cos ＝cos ，∵0＜π＜π＜π，且y＝cos x在(0，π)内单调递减，
∴cos π＞cos ，即cos π＞cos ．
(2)∵90°＜250°＜260°＜270°，且y＝sin x在内单调递减，∴sin 250°＞sin 260°．
探究3 正、余弦函数的最值(值域)问题
[典例讲评] 【链接教材P205例3】
3．求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
(1)y＝－4sin x＋5；
(2)y＝cos2x－sin x＋1．
[解] (1)函数y＝－4sin x＋5取最大值和最小值时，y＝sin x正好取最小值和最大值，
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝9；
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝1．
(2)令t＝sin x，
则cos2x＝1－sin2x＝1－t2，
所以y＝－t2－t＋2，t∈[－1，1]．
所以y＝－t2－t＋2＝－，t∈[－1，1]．
当t＝－，即sin x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝；
当t＝1，即sin x＝1，
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝0．
【教材原题·P205例3】
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1)y＝cos x＋1，x∈R；
(2)y＝－3sin 2x，x∈R．
[解] 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
(1)使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合
{x|x＝2kπ，k∈Z}；
使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝
cos x，x∈R取得最小值的x的集合
{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
函数y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．
(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合．
由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ．
所以，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是．
同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是．
函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．
发现规律 三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的______，注意对a分正负进行讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得_______的范围，然后求得________________________的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝______，转化为二次函数y＝__________求最值，t的范围需要根据______来确定．
有界性
ωx＋φ
sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))
sin x
at2＋bt＋c
定义域
√
[学以致用] 【链接教材P207练习T2、P213习题5.4T4、P214习题5.4T10】
3．(1)函数y＝cos ，x∈的值域是( )
A． B．
C． D．
(2)函数y＝sin2x－4sin x的最大值为________．
5
(1)C (2)5 [(1)当0≤x≤时，，
∴－1≤cos ．故选C．
(2)y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4．
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1时，y取到最大值5．]
【教用·备选题】 求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sin x＋；
(2)y＝cos2x－sin x，x∈．
[解] (1)y＝－sin2x＋sin x＋＋2．
因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝，
即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；
当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－．
(2)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－．
因为－，所以－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝．
1．【教材原题·P207练习T2】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值．
(1)y＝2sin x，x∈R；
(2)y＝2－cos ，x∈R．
[解] (1)当sin x＝1，
即x∈时，函数取得最大值2；
当sin x＝－1，即x∈时，函数取得最小值－2．
(2)当cos ＝2kπ＋π，k∈Z，即x∈{x|x＝6kπ＋3π，k∈Z}时，函数取得最大值3；
当cos ＝2kπ，k∈Z，即当x∈{x|x＝6kπ，k∈Z}时，函数取得最小值1．
2．【教材原题·P213习题5.4T4】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1)y＝1－cos x，x∈R；
(2)y＝3sin ，x∈R；
(3)y＝－cos ，x∈R；
(4)y＝sin ，x∈R．
[解] (1)由x＝2kπ＋π，k∈Z，得使y取得最大值的x的集合是{x|x＝6k＋3，k∈Z}，ymax＝；
由x＝2kπ，k∈Z，得使y取得最小值的x的集合是{x|x＝6k，k∈Z}，ymin＝．
(2)由2x＋＝2kπ＋，k∈Z，得使y取得最大值的x的集合是，ymax＝3；
由2x＋＝2kπ－，k∈Z，得使y取得最小值的x的集合是，ymin＝－3．
(3)由＝2kπ＋π，k∈Z，得使y取得最大值的x的集合是，ymax＝；
由＝2kπ，k∈Z，得使y取得最小值的x的集合是，ymin＝－．
(4)由＝2kπ＋，k∈Z，得使y取得最大值的x的集合是，ymax＝；
由＝2kπ－，k∈Z，得使y取得最小值的x的集合是，ymin＝－．
3．【教材原题·P214习题5.4T10】求下列函数的值域：
(1)y＝sin x，x∈；
(2)y＝cos ，x∈．
[解] (1)当x∈时，y＝sin x单调递增，y∈；
当x∈时，y＝sin x单调递减，y∈；
因此y＝sin x，x∈的值域为．
(2)当x∈时，x＋∈，
y＝cos 单调递减，y∈；
因此y＝cos ，x∈的值域为．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P207练习T3改编)下列命题中正确的是( )
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
√
D [对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为，k∈Z，故B错误，D正确．]
√
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
C [∵y＝2－sin x，∴当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．]
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
＞ [＝sin ＝sin ，
因为0＜＜＜，y＝sin x在上单调递增，所以sin ＜sin ，
即sin ＞sin ．]
＞
4．函数 f (x)＝cos 的单调递减区间是______________________．
(k∈Z) [令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f (x)＝cos 的单调递减区间是(k∈Z)．]
(k∈Z)
1．知识链：
2．方法链：整体代换、换元法．
3．警示牌：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间？
[提示] 把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．如何利用函数单调性比较sin α与sin β的大小关系？
[提示] 比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？
[提示] 单调性法、配方法或换元法等．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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课时分层作业(五十) 单调性与最值
√
一、选择题
1．函数y＝－cos x，x∈(0，2π)的单调性是( )
A．在(0，π]上单调递增，在[π，2π)上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在[π，2π)上单调递增，在(0，π]上单调递减
D．在上单调递增，在上单调递减
A [函数y＝－cos x的单调递减区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．∵x∈(0，2π)，∴y＝－cos x在(0，π]上单调递增，在[π，2π)上单调递减．故选A．]
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√
2．函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
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B [由y＝sin x的单调性知，在上函数单调递增，在上函数单调递减，
又sin ，sin ＝1，sin >，
故y∈．故选B．]
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3．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f (x)＝单调递增的区间是( )
A． B．
C． D．
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A [法一(常规求法)：令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．取k＝0，则．因为
，所以区间是函数f (x)的单调递增区间．故选A．
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法二(判断单调性法)：当0＜x＜时，－＜x－＜，所以 f (x)在上单调递增，故A正确；当＜x＜π时，＜x－＜，所以
f (x)在上不单调，故B不正确；当π＜x＜时，＜x－＜，所以 f (x)在上单调递减，故C不正确；当＜x＜2π时，＜x－＜，所以f (x)在上不单调，故D不正确．
故选A．]
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4．函数y＝4cos2x＋4cos x－2的值域是( )
A．[－2，6] B．[－3，6]
C．[－2，4] D．[－3，8]
B [y＝4cos2x＋4cos x－2＝(2cos x＋1)2－3．
因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝－时，ymin＝－3，当cos x＝1时，ymax＝6，因此值域是[－3，6]．故选B．]
√
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√
5．(多选)下列不等式中成立的是( )
A．sin 1B．cos >cos 2
C．cos (－70°)>sin 18°
D．sin >sin
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AC [对于A，因为0<1<<，y＝sin x在上单调递增，所以sin 1对于B，因为<2<<π，y＝cos x在上单调递减，所以cos
对于C，cos (－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故C正确；
对于D，sin ＝sin ，sin ＝sin >sin ，故D错误．故选AC．]
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二、填空题
6．函数y＝sin x－|sin x|的值域是________．
[－2，0] [当0≤sin x≤1时，y＝sin x－sin x＝0，当－1≤sin x＜0时，y＝2sin x，又－2≤2sin x＜0，所以函数的值域为[－2，0]．]
[－2，0]
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7．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________．
sin 3y＝sin x在上单调递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin (π－3)故sin 3sin 3题号
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8．若函数y＝sin x在区间[0，a]上单调递增，则a的取值范围为________．
[因为函数y＝sin x在区间上单调递增，所以[0，a]
，
所以0
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三、解答题
9．已知函数 f (x)＝cos ，x∈，求：
(1) f (x)的最大值和最小值；
(2) f (x)的单调递减区间．
题号
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[解] (1)∵x∈，
∴2x－∈，
易知y＝cos x在上单调递增，
在上单调递减，
故当2x－＝0，即x＝时，f (x)max＝1．
当2x－，即x＝时，f (x)min＝－．
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(2)由函数y＝cos x的图象知，y＝cos x在上的单调递减区间为．
令0≤2x－，解得，故f (x)的单调递减区间为．
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10．函数y＝sin 的单调递减区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
√
A [＝－sin ，要求函数y＝sin 的单调递减区间，即求函数y＝的单调递增区间．
令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．故选A．]
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11．设函数 f (x)＝2sin ．若对任意x∈R，都有f (x1)≤f (x)≤
f (x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2 C．1 D．
√
B [由题意f (x)的周期T＝＝4，
对任意x∈R，都有f (x1)≤f (x)≤f (x2)成立，则f (x1)是函数最小值，f (x2)是函数最大值，因此|x1－x2|的最小值为周期的一半，所以|x1－x2|min
＝2．故选B．]
√
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12．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin αC．cos αcos β
B [因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β>，所以0<－β
<α<，
所以cos α题号
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13．若函数f (x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝___，f (x)在上的值域为_______．
[0，1] [根据题意知 f (x)在x＝处取得最大值1，
∴sin ＝1，∴＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z．
[0，1]
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又0＜ω＜2，∴ω＝．
又f (x)＝sin x，x∈，∴x∈，
∴当，即x＝时，f (x)max＝1．
当x＝0，即x＝0时，f (x)min＝0，
∴f (x)在上的值域为[0，1]．]
题号
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14．已知函数 f (x)＝sin ．
(1)若g(x)＝f ，求函数g(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，函数y＝2af (x)＋b的最大值为1，最小值为－3，求实数a，b的值．
题号
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[解] (1)依题意，g(x)＝f ＝sin ＝－sin ，
由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
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(2)当x∈时，2x－∈，
则sin ∈，即－1≤f (x)≤－，
令f (x)＝t∈，则y＝2at＋b，显然a≠0，
当a＜0时，函数y＝2at＋b在上单调递减，
于是解得
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当a＞0时，函数y＝2at＋b在上单调递增，
于是解得
所以实数a，b的值为或
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15．已知函数 f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[解] 由f (x)是偶函数，
得φ＝kπ＋，k∈Z．
因为0≤φ≤π，所以φ＝．
由f (x)的图象关于点M对称，得f ＝0．
因为f ＝sin ＝cos ，
所以cos ＝0．
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又因为ω>0，所以＋kπ，k∈N，即ω＝k，k∈N．
当k＝0时，ω＝，此时f (x)＝sin 在上单调递减；
当k＝1时，ω＝2，此时f (x)＝sin 在上单调递减；
当k≥2时，ω≥，此时f (x)＝sin 在上不是单调函数．
综上，ω＝或ω＝2．
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谢 谢！课时分层作业(五十) 单调性与最值
一、选择题
1．函数y＝－cos x，x∈(0，2π)的单调性是( )
A．在(0，π]上单调递增，在[π，2π)上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在[π，2π)上单调递增，在(0，π]上单调递减
D．在上单调递增，在上单调递减
2．函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f (x)＝单调递增的区间是( )
A． B．
C． D．
4．函数y＝4cos2x＋4cos x－2的值域是( )
A．[－2，6] B．[－3，6]
C．[－2，4] D．[－3，8]
5．(多选)下列不等式中成立的是( )
A．sin 1cos 2
C．cos (－70°)>sin 18° D．sin >sin
二、填空题
6．函数y＝sin x－|sin x|的值域是________．
7．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为____________．
8．若函数y＝sin x在区间[0，a]上单调递增，则a的取值范围为________．
三、解答题
9．已知函数f (x)＝cos ，x∈，求：
(1)f (x)的最大值和最小值；
(2)f (x)的单调递减区间．
10．函数y＝sin 的单调递减区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
11．设函数f (x)＝2sin ．若对任意x∈R，都有f (x1)≤f (x)≤f (x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2
C．1 D．
12．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin αC．cos αcos β
13．若函数f (x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________，f (x)在上的值域为________．
14．已知函数f (x)＝sin ．
(1)若g(x)＝f ，求函数g(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，函数y＝2af (x)＋b的最大值为1，最小值为－3，求实数a，b的值．
15．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
课时分层作业(五十)
1．A [函数y＝－cos x的单调递减区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．∵x∈(0，2π)，∴y＝－cos x在(0，π]上单调递增，在[π，2π)上单调递减．故选A．]
2．B [由y＝sin x的单调性知，在[]上函数单调递增，在[]上函数单调递减，
又sin，sin＝1，sin，
故y∈[，1]．故选B．]
3．A [法一(常规求法)：令－＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ，k∈Z．取k＝0，则－，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A．
法二(判断单调性法)：当0故选A．]
4．B [y＝4cos2x＋4cos x－2＝(2cos x＋1)2－3．
因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝－时，ymin＝－3，当cos x＝1时，ymax＝6，因此值域是[－3，6]．故选B．]
5．AC [对于A，因为0<1<，y＝sin x在(0，上单调递增，所以sin 1对于B，因为<π，y＝cos x在(，π)上单调递减，所以cos对于C，cos(－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故C正确；
对于D，sin，sin，故D错误．故选AC．]
6．[－2，0] [当0≤sin x≤1时，y＝sin x－sin x＝0，当－1≤sin x<0时，y＝2sin x，又－2≤2sin x<0，所以函数的值域为[－2，0]．]
7．sin 3y＝sin x在(0，上单调递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)故sin 38．(0，] [因为函数y＝sin x在区间[0，]上单调递增，所以[0，a] [0，]，
所以09．解：(1)∵x∈，∴2x－，
易知y＝cos x在上单调递增，
在上单调递减，
故当2x－＝0，即x＝时，f(x)max＝1．
当2x－，即x＝时，f(x)min＝－．
(2)由函数y＝cos x的图象知，y＝cos x在．
令0≤2x－，解得，故f(x)的单调递减区间为．
10．A [y＝sin(，要求函数y＝sin(－2x)的单调递减区间，即求函数y＝sin(2x－的单调递增区间．
令－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋kπ，k∈Z．故选A．]
11．B [由题意f(x)的周期T＝＝4，
对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)是函数最小值，f(x2)是函数最大值，因此|x1－x2|的最小值为周期的一半，所以|x1－x2|min＝2．故选B．]
12．B [因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β>，所以0<，
所以cos α13． [0，1] [根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，
∴sin＝1，∴，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z．
又0<ω<2，∴ω＝．
又f(x)＝sin x，x∈，∴，
∴当，即x＝时，f(x)max＝1．
当x＝0，即x＝0时，f(x)min＝0，
∴f(x)在上的值域为[0，1]．]
14．解：(1)依题意，g(x)＝f(，
由2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(2)当x∈[－，0]时，2x－，－]，
则sin(2x－∈[－1，－]，即－1≤f(x)≤－，
令f(x)＝t∈[－1，－]，则y＝2at＋b，显然a≠0，
当a<0时，函数y＝2at＋b在[－1，－]上单调递减，
于是
当a>0时，函数y＝2at＋b在[－1，－]上单调递增，
于是
所以实数a，b的值为
15．解：由f(x)是偶函数，得φ＝kπ＋，k∈Z．
因为0≤φ≤π，所以φ＝．
由f(x)的图象关于点M(，0)对称，得f(＝0．
因为f(，
所以cos＝0．
又因为ω>0，所以＋kπ，k∈N，
即ω＝k，k∈N．
当k＝0时，ω＝，此时f(x)＝sin(在[0，]上单调递减；
当k＝1时，ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋在[0，]上单调递减；
当k≥2时，ω≥，此时f(x)＝sin(ωx＋在[0，]上不是单调函数．
综上，ω＝或ω＝2．
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