第3课时 两角和与差的正切公式
[学习目标] 1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(逻辑推理) 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(数学运算) 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(数学运算)
探究1 两角和与差的正切公式
问题1 由两角和的正弦、余弦公式如何得到两角和的正切公式？
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问题2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
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[新知生成]
1．两角和的正切公式
tan (α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋，简记作T(α＋β)．
2．两角差的正切公式
tan (α－β)＝，其中α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α－β)．
[典例讲评] 【链接教材P218例3、P219例4】
1．(源自人教B版教材)求下列各式的值．
(1)tan 75°；
(2)；
(3)．
[尝试解答] _________________________________________________________
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公式T(α±β)的正用、逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan ＝1，tan ，tan ＝等．
要特别注意tan 之间的互化或变形．
[学以致用] 1．(1)若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝( )
A． B．
C． D．
(2)计算：＝________．
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探究2 公式的变形应用
[新知生成]
1．T(α＋β)的变形
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)；
tan αtan β＝1－．
2．T(α－β)的变形
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)；
tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan (α－β)；
tan αtan β＝－1．
[典例讲评] 2．求值：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°·tan 22°；
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)．
[尝试解答] _________________________________________________________
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若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．
[学以致用] 【链接教材P254复习参考题5T12】
2．已知△ABC中，tan A tan B－tan A－tan B＝，则C的大小为________．
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探究3 公式的综合应用
[典例讲评] 【链接教材P229习题5.5T13】
3．设α，β∈，tan α，tan β是一元二次方程x2＋3x＋4＝0的两个实根，求α＋β的值．
[尝试解答] _________________________________________________________
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探究利用公式T(α±β)求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．
(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
[学以致用] 3．(源自苏教版教材)如图，有三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝．
____________________________________________________________________
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1．若tan α＝3，tan β＝，则tan (α－β)＝( )
A．3 B．－3
C． D．－
2．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个实根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
3．(教材P229习题5.5T13改编)在△ABC中，tan A＋tan B＝p，tan A tan B＝1－p，其中p≠0，则角C＝________．
4．计算tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝________．
1．知识链：
2．方法链：整体意识．
3．警示牌：公式中加减符号易记错．
第3课时 两角和与差的正切公式
[探究建构] 探究1
问题1 提示：tan(α＋β)，
分子分母同除以cos αcos β，弦化切可得．
问题2 提示：用“－β”替换tan(α＋β)中的角β．
典例讲评 1．解：(1)tan 75°＝tan(45°＋30°)
．
(2)tan(17°＋43°)＝tan 60°．
(3)因为tan 45°＝1，所以
＝tan(45°－15°)＝tan 30°．
学以致用 1．(1)A (2)1 [(1)tan β＝tan [(α＋β)－α]
．
(2)原式tan(60°－15°)＝tan 45°＝1．]
探究2
典例讲评 2．解：(1)∵tan 67°－tan 22°
＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1．
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2．
学以致用 2． [依题意有，
即tan(A＋B)＝－．
又因为0
所以C＝π－A－B．]
探究3
典例讲评 3．解：由题设知tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，
所以tan(α＋β)．
因为tan α＋tan β<0，tan αtan β>0，
且α，β∈，
所以tan α<0，tan β<0，
所以α＋β∈(－π，0)，故α＋β＝－．
学以致用 3．证明：由题图可知tan α，tan β，
从而得tan(α＋β)1．
因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)．
故α＋β．
[应用迁移]
1．C [tan(α－β)．故选C．]
2．A [∵tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个实根，
∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，
则tan(α＋β)－3，故选A．]
3． [因为tan A＋tan B＝p，tan Atan B＝1－p，
所以tan(A＋B)1，
因为04.1 [由tan(α＋β)的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得：
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时 两角和与差的正切公式
[学习目标] 1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(逻辑推理) 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(数学运算) 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．两角和与差的正切公式是什么？如何推导？
问题2．两角和与差的正切公式的常用变形有哪些？
探究建构 关键能力达成
探究1 两角和与差的正切公式
问题1 由两角和的正弦、余弦公式如何得到两角和的正切公式？
提示：tan (α＋β)＝，
分子分母同除以cos αcos β，弦化切可得．
问题2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
提示：用“－β”替换tan (α＋β)中的角β．
[新知生成]
1．两角和的正切公式
tan (α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋，简记作T(α＋β)．
2．两角差的正切公式
tan (α－β)＝，其中α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，简记作
T(α－β)．
【教用·微提醒】 只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立．
[典例讲评] 【链接教材P218例3、P219例4】
1．(源自人教B版教材)求下列各式的值．
(1)tan 75°；
(2)；
(3)．
[解] (1)tan 75°＝tan (45°＋30°)
＝＝2＋．
(2)＝tan (17°＋43°)＝tan 60°＝．
(3)因为tan 45°＝1，所以＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝．
【教材原题·P218例3(节选)】
例3 已知sin α＝－，α是第四象限角，求tan 的值．
[解] 由sin α＝－，α是第四象限角，得cos α＝＝＝，tan α＝．于是tan ＝＝－7．
【教材原题·P219例4(节选)】
例4 利用和(差)角公式计算下列各式的值：
．
[解] 由公式T(α＋β)及tan 45°＝1，得
＝tan (45°＋15°)
＝tan 60°
＝．
反思领悟 公式T(α±β)的正用、逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan ＝1，tan ，tan ＝等．
要特别注意tan 之间的互化或变形．
[学以致用] 1．(1)若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝( )
A． B． C． D．
(2)计算：＝________．
√
1
(1)A (2)1 [(1)tan β＝tan [(α＋β)－α]＝．
(2)原式＝＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1．]
探究2 公式的变形应用
[新知生成]
1．T(α＋β)的变形
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)；
tan αtan β＝1－．
2．T(α－β)的变形
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)；
tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan (α－β)；
tan αtan β＝－1．
[典例讲评] 2．求值：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°·tan 22°；
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)．
[解] (1)∵tan 67°－tan 22°
＝tan (67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1．
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2．
反思领悟 若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．
[学以致用] 【链接教材P254复习参考题5T12】
2．已知△ABC中，tan A tan B－tan A－tan B＝，则C的大小为________．
[依题意有＝－，
即tan (A＋B)＝－．
又因为0所以C＝π－A－B＝．]
【教材原题·P254复习参考题5T12】
(1)证明tan α＋tan β＝tan (α＋β)－tan αtan βtan (α＋β)；
(2)求tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值；
(3)若α＋β＝，求(1－tan α)(1－tan β)的值；
(4)求的值．
[解] (1)证明：∵tan (α＋β)＝，
∴tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)＝tan (α＋β)－tan αtan β
tan (α＋β)＝右边，
∴tan α＋tan β＝tan (α＋β)－tan αtan βtan (α＋β)．
(2)tan 60°＝tan (20°＋40°)＝＝，
∴tan 20°＋tan 40°＝－tan 20°tan 40°，
∴tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝．
(3)∵tan (α＋β)＝＝tan ＝－1，
∴tan α＋tan β－tan αtan β＋1＝0．
∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α tan β＝2．
(4)∵tan 120°＝－tan 60°＝－，
tan 20°＋tan 40°＝tan (20°＋40°)(1－tan 20°·tan 40°)
＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝－tan 20°tan 40°．
∴＝＝－．
探究3 公式的综合应用
[典例讲评] 【链接教材P229习题5.5T13】
3．设α，β∈，tan α，tan β是一元二次方程x2＋3x＋4＝0的两个实根，求α＋β的值．
[解] 由题设知tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，
所以tan (α＋β)＝＝．
因为tan α＋tan β<0，tan αtan β>0，
且α，β∈，
所以tan α<0，tan β<0，
所以α＋β∈(－π，0)，故α＋β＝－．
【教材原题·P229习题5.5T13】在△ABC中，已知tan A，tan B是x的方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两个实根，求∠C．
[解] ∵tan A，tan B是x的方程x2＋p(x＋1)＋1＝0，
即x2＋px＋p＋1＝0的两个实根．
∴tan A＋tan B＝－p，tan A tan B＝p＋1，Δ≥0，
∴tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝＝－1．
由于0＜C＜π，∴C＝．
反思领悟 探究利用公式T(α±β)求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．
(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
[学以致用] 3．(源自苏教版教材)如图，有三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝．
[证明] 由题图可知tan α＝，tan β＝，
从而得tan (α＋β)＝＝1．
因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)．
故α＋β＝．
【教用·备选题】
1．若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β．
[解] ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
∴＝－1，∴tan (α＋β)＝－1．
∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π)，∴α＋β＝．
2．(源自北师大版教材)已知tan α＝2，tan β＝，其中0<α<<β<π．求：
(1)tan (α－β)；
(2)α＋β．
[解] (1)tan (α－β)＝＝＝7．
(2)tan (α＋β)＝＝1．
因为0<α<<β<π，所以<α＋β<．故α＋β＝．
【教用·备选题】
3．设tan α，tan β是方程ax2－(2a＋1)x＋a＋2＝0(a≠0)的两个实根，求证：tan (α＋β)的最小值是－．
[证明] 因为tan α，tan β是方程ax2－(2a＋1)x＋a＋2＝0(a≠0)的两个实根，
所以Δ＝(2a＋1)2－4a(a＋2)≥0，
解得a≤且a≠0，
又tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
所以tan (α＋β)＝，
所以tan (α＋β)的最小值是－，得证．
应用迁移 随堂评估自测
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan (α－β)＝( )
A．3 B．－3
C． D．－
√
C [tan (α－β)＝．故选C．]
2．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个实根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
A [∵tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个实根，
∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，
则tan (α＋β)＝＝－3，故选A．]
√
3．(教材P229习题5.5T13改编)在△ABC中，tan A＋tan B＝p，tan A tan B＝1－p，其中p≠0，则角C＝________．
[因为tan A＋tan B＝p，tan A tan B＝1－p，
所以tan (A＋B)＝＝1，
因为0
4．计算tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝________．
1 [由tan (α＋β)＝的变形
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)得：
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)
＝1－tan 10°tan 35°，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1．]
1
1．知识链：
2．方法链：整体意识．
3．警示牌：公式中加减符号易记错．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能分析一下T(α±β)公式的特征吗？
[提示] 公式的右边为分式形式，其中分子为tan α，tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
公式中左边的加减号与右边分子上的加
减号相同，与分母上的加减号相反．
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(五十四) 两角和与差的正切公式
√
一、选择题
1．＝( )
A． B．－ C． D．－
D [原式＝＝tan (45°－105°)＝－tan 60°＝－．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．已知α∈，sin α＝－，则tan ＝( )
A．－7 B．－ C． D．7
B [∵α∈，sin α＝－，
∴cos α＝，∴tan α＝－．
∴tan ．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．已知角θ的终边经过点(3，－4)，将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tan β＝( )
A．－ B．7
C． D．－7
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B [角θ的终边经过点(3，－4)，则tan θ＝－，
将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tan β＝tan ＝7．故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝( )
A．tan 19° B．1
C．－tan 19° D．－1
B [因为tan 45°＝tan (13°＋32°)＝＝1，
所以tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝1．故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是( )
A．A＋B＝2C
B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B
D．cos B＝sin A
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
CD [∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，
∴tan (A＋B)＝，∴选项A，B错误；
∵tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝，
∴tan A tan B＝，①
又tan A＋tan B＝，②
∴联立①②解得tan A＝tan B＝，
∴cos B＝sin A，故选项C，D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β＝________．
[∵tan (α＋β)＝＝4，
且tan α＋tan β＝2，
∴＝4，解得tan αtan β＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．＝ ________．
－ [tan 375°＝tan (360°＋15°)＝tan 15°，tan 135°＝
tan (180°－45°)＝－tan 45°，
故原式＝－＝－tan (45°－15°)＝－．]
－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β的值为________．
[由题意得1＋tan β＋tan α＋3tan βtan α＝4，
则tan β＋tan α＋tan βtan α＝，
故tan (α＋β)＝＝．
因为α，β是锐角，所以α＋β∈(0，π)，故α＋β＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为．
求：(1)tan (α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] (1)由条件得cos α＝，cos β＝．
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝．
因此tan α＝＝7，tan β＝．
∴tan (α＋β)＝＝－3．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)∵tan 2β＝tan (β＋β)＝，
∴tan (α＋2β)＝＝－1．
∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
√
A [∵tan A＋tan B＝，tan A tan B＝，
∴tan (A＋B)＝，
∴tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝－，
∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形．]
题号
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11．(2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝( )
A．2＋1 B．2－1 C． D．1－
√
B [因为＝，
所以＝ tan α＝1－，
所以tan ＝2－1．
故选B．]
√
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12．已知α，β∈，且＝tan β，则( )
A．α－β＝ B．β－α＝C．α＋β＝ D．β－α＝
B [由＝tan β，得＝tan β，
即＝tan β，则tan ＝tan β，
又α，β∈，则＜α＋＜，故α＋＝β，即β－α＝．故选B．]
题号
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13．(多选)已知α，β∈，且sin β＝2cos (α＋β)sin α，则以下结论正确的是( )
A．tan (α＋β)＝3tan α
B．tan β有最大值
C．tan β有最大值
D．tan β有最小值
√
√
题号
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AC [对于A，因为sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α，
又sin β＝2cos (α＋β)sin α，
所以sin (α＋β)cos α＝3cos (α＋β)sin α，
则tan (α＋β)＝3tan α，故A正确；
对于BCD，令tan α＝t，
则tan (α＋β)＝3tan α＝3t，
题号
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因为α，β∈，所以tan α＞0，则t＞0，
所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝，
当且仅当3t＝，即t＝，tan α＝，tan (α＋β)＝，即α＝β＝时取等号，所以tan β有最大值，故C正确，BD错误．
故选AC．]
【点评】 本题解决的关键是，充分利用β＝(α＋β)－α这一式子，结合正弦函数的和差公式得到tan (α＋β)＝3tan α，从而得解．
题号
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14．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，求α＋β＋γ的值．
[解] ∵tan (α＋β)＝，
tan (α＋β＋γ)＝＝1，
∵α，β，γ∈，∴α＋β∈(0，π)，又tan (α＋β)＝>0，∴α＋β∈，∴α＋β＋γ∈(0，π)，∴α＋β＋γ＝．
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15．是否存在两个锐角α和β使得两个条件：
①α＋β＝，②tan tan ＝2－同时成立，若存在？求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 假设存在两个锐角α和β，使得两个条件
①α＋β＝，②tan tan ＝2－同时成立，
由，可得tan ＝，
即＝，∵tan tan ＝2－，∴＝，
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化简得tan ＋tan ＝3－，由可得或
∵α，β∈(0，π)，∴或
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即或
这与α和β都是锐角矛盾，
因此不存在两个锐角α和β使得两个条件：
①α＋β＝，②tan tan ＝2－同时成立．
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谢 谢！课时分层作业(五十四) 两角和与差的正切公式
一、选择题
1．＝( )
A． B．－
C． D．－
2．已知α∈，sin α＝－，则tan ＝( )
A．－7 B．－
C． D．7
3．已知角θ的终边经过点(3，－4)，将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tan β＝( )
A．－ B．7
C． D．－7
4．tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝( )
A．tan 19° B．1
C．－tan 19° D．－1
5．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是( )
A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
二、填空题
6．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β＝________．
7．＝ ________．
8．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β的值为________．
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为．
求：(1)tan (α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
10．角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
11．(2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝( )
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
12．已知α，β∈，且＝tan β，则( )
A．α－β＝ B．β－α＝
C．α＋β＝ D．β－α＝
13．(多选)已知α，β∈，且sin β＝2cos (α＋β)sin α，则以下结论正确的是( )
A．tan (α＋β)＝3tan α
B．tan β有最大值
C．tan β有最大值
D．tan β有最小值
14．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，求α＋β＋γ的值．
15．是否存在两个锐角α和β使得两个条件：
①α＋β＝，②tan tan ＝2－同时成立，若存在？求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
课时分层作业(五十四)
1．D [原式＝＝tan(45°－105°)＝－tan 60°＝－．
故选D．]
2．B [∵α∈(－，0)，sin α＝－，
∴cos α＝，∴tan α＝－．
∴tan(α＋．]
3．B [角θ的终边经过点(3，－4)，则tan θ＝－，
将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tan β＝tan(θ－＝7．故选B．]
4．B [因为tan 45°＝tan(13°＋32°)＝＝1，
所以tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝1．故选B．]
5．CD [∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，
∴tan(A＋B)＝，∴选项A，B错误；
∵tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，
∴tan Atan B＝，①
又tan A＋tan B＝，②
∴联立①②解得tan A＝tan B＝，
∴cos B＝sin A，故选项C，D正确．]
6． [∵tan(α＋β)＝＝4，
且tan α＋tan β＝2，
∴＝4，解得tan αtan β＝．]
7．－ [tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°，
故原式＝－＝－tan(45°－15°)＝－．]
8． [由题意得1＋tan α＋3tan βtan α＝4，
则tan β＋tan α＋，
故tan(α＋β)＝．
因为α，β是锐角，所以α＋β∈(0，π)，故α＋β＝．]
9．解：(1)由条件得cos α＝，cos β＝．
∵α，β为锐角，∴sin α＝，
sin β＝．
因此tan α＝＝7，tan β＝．
∴tan(α＋β)＝＝－3．
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝，
∴tan(α＋2β)＝＝－1．
∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝．
10．A [∵tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形．]
11．B [因为，
所以，
所以tan－1．
故选B．]
12．B [由＝tan β，得＝tan β，
即＝tan β，则tan(α＋＝tan β，
又α，β∈(0，，则，故α＋＝β，即β－α＝．
故选B．]
13．AC [对于A，因为sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α，
又sin β＝2cos(α＋β)sin α，
所以sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α，
则tan(α＋β)＝3tan α，故A正确；
对于BCD，令tan α＝t，
则tan(α＋β)＝3tan α＝3t，
因为α，β∈(0，，所以tan α>0，则t>0，
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝，
当且仅当3t＝，即t＝，tan α＝，tan(α＋β)＝，即α＝β＝时取等号，所以tan β有最大值，故C正确，BD错误．
故选AC．]
[点评] 本题解决的关键是，充分利用β＝(α＋β)－α这一式子，结合正弦函数的和差公式得到tan(α＋β)＝3tan α，从而得解．
14．解：∵tan(α＋β)＝，
tan(α＋β＋γ)＝＝1，
∵α，β，γ∈(0，，∴α＋β∈(0，π)，
又tan(α＋β)＝>0，∴α＋β∈(0，，
∴α＋β＋γ∈(0，π)，∴α＋β＋γ＝．
15．解：假设存在两个锐角α和β，使得两个条件
①α＋β＝，②tan 同时成立，
由，可得tan，
即，∵tan ，
∴，化简得tan ，
由可得
∵α，β∈(0，π)，
∴
这与α和β都是锐角矛盾，
因此不存在两个锐角α和β使得两个条件：
①α＋β＝，②tan 同时成立．
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