5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换
[学习目标] 1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理) 2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算) 3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，能推导出三角函数的积化和差、和差化积公式．(逻辑推理)
探究1 半角公式
问题 回顾二倍角公式，思考如何用cos α表示，cos2，tan2？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
半角公式
(1)sin ＝；
(2)cos ＝；
(3)tan ＝；
(4)tan ＝＝．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)已知sin α＝，求下列条件下sin ，cos ，tan 的值：
(1)0<α<；
(2)角α在第一象限．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题．
[学以致用] 【链接教材P226练习T2】
1．(1)若sin θ＝<θ<3π，则tan ＋cos ＝( )
A．3＋ B．3－
C．3＋ D．3－
(2)已知sin α＝－，α∈，则tan ＝______．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 化简问题
[典例讲评] 2．设θ∈(0，π)，化简：．
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
[学以致用] 2．设α∈，化简：．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 三角恒等式的证明
[典例讲评] 【链接教材P225例8】
3．(源自湘教版教材)当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异．
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[学以致用] 【链接教材P226练习T4】
3．已知cos θ＝．求证：
tan2．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．(教材P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝( )
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
2．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B．
C．－ D．
3．sin ＝( )
A． B．
C．2－ D．
4．已知锐角θ终边上一点P的坐标为(3，4)，则tan ＝________．
1．知识链：
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：半角公式符号的判断．
第1课时 简单的三角恒等变换
[探究建构] 探究1
问题 提示：sin2，cos2，tan2．
新知生成 (1)± (2)± (3)± (4)
典例讲评 1．解：(1)当0<α<时，0<．
又sin α，
所以cos α，
所以sin ，
cos ，
tan ．
(2)当角α在第一象限时，2kπ<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ<(k∈Z)．
当k为偶数时，角在第一象限，故由(1)可得
sin ，cos ，tan ．
当k为奇数时，角在第三象限，此时有
sin ，cos ，tan ．
学以致用 1．(1)B (2)－ [(1)因为sin θ<θ<3π，
所以cos θ＝－，
因为，所以sin<0，cos<0，
所以sin，
cos，
所以tan3，
则tan，故选B．
(2)法一：因为sin α＝－，α∈，
所以cos α＝－．
因为α∈，所以∈，
所以tan <0．
所以tan ＝－＝－．
法二：因为sin α＝－，α∈，
所以cos α＝－．
所以tan ．]
探究2
典例讲评 2．解：原式＝
．
因为0<θ<π，所以0<，
所以cos >0，
所以原式＝－cos θ．
学以致用 2．解：∵α∈，
∴cos α>0，cos <0，
故原式
．
探究3
典例讲评 3．证明：当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，利用二倍角公式及sin2 1，
可得sin α＝2sin． ①
cos α＝cos2 ． ②
将①②两式相除，可得
tan α．
学以致用 3．证明：tan2
．
[应用迁移]
1．C [∵sin α，cos α，∴tan －2．]
2．D [cos2，由于sin 2α，所以cos2，故选D．]
3．B [因为0<，
所以sin．故选B．]
4． [由三角函数定义可知：sin θ＝，cos θ＝，
则tan ．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换
[学习目标] 1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理) 2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算) 3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，能推导出三角函数的积化和差、和差化积公式．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何用cos α表示sin2，cos2和tan2？
问题2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？
问题3．教材P225例8体现了哪些数学思想？
探究建构 关键能力达成
探究1 半角公式
问题 回顾二倍角公式，思考如何用cos α表示，cos2 ，tan2 ？
提示：sin2 cos2 tan2 ．]
【教材原题·P225例7】
例7 试以cos α表示sin2，cos2，tan2．
[解] α是的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以代替α，得
cos α＝1－2sin2，
所以sin2． ①
在倍角公式cos 2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，得cos α＝2cos2－1，
所以cos2． ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2．
【教材原题·P226练习T1】求证：tan ．
[证明] tan ＝．
tan ．
所以tan ＝＝．
[新知生成]
半角公式
(1)sin ＝___________；
(2)cos ＝___________；
(3)tan ＝___________；
(4)tan ＝________＝________．
【教用·微提醒】 半角公式中的“±”号由的终边所在象限决定．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)已知sin α＝，求下列条件下sin ，cos ，tan 的值：
(1)0<α<；
(2)角α在第一象限．
[解] (1)当0<α<时，0<<．
又sin α＝，所以cos α＝＝＝，
所以sin ＝＝＝，
cos ＝＝＝，
tan ．
(2)当角α在第一象限时，2kπ<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ<当k为偶数时，角在第一象限，故由(1)可得
sin ，cos ，tan ．
当k为奇数时，角在第三象限，此时有
sin ，cos ，tan ．
反思领悟 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题．
[学以致用] 【链接教材P226练习T2】
1．(1)若sin θ＝<θ<3π，则tan ＋cos ＝( )
A．3＋ B．3－
C．3＋ D．3－
(2)已知sin α＝－，α∈，则tan ＝______．
√
－
(1)B (2)－ [(1)因为sin θ＝<θ<3π，
所以cos θ＝－＝－，
因为<<，所以sin <0，cos <0，
所以sin ＝－＝－，cos ＝－＝－，
所以tan ＝3，则tan ＋cos ，故选B．
(2)法一：因为sin α＝－，α∈，
所以cos α＝－．
因为α∈，所以∈，
所以tan <0．
所以tan ＝－＝－．
法二：因为sin α＝－，α∈，
所以cos α＝－．
所以tan ．]
【教材原题·P226练习T2】已知cos θ＝，且270°＜θ＜360°，试求sin 和cos 的值．
[解] ∵270°＜θ＜360°，∴135°＜＜180°，
∴sin ＞0，cos ＜0．
∴sin ＝＝＝，cos ＝＝－＝－．
【教用·备选题】 在△ABC中，若cos A＝，cos B＝，求sin ，cos ，tan 的值．
[解] 因为A，B，C均为三角形的内角，
所以sin A＝＝，sin B＝＝，
所以cos C＝－cos (A＋B)＝sin A sin B－cos Acos B＝，
所以sin ＝＝＝，
cos ＝＝＝，
tan ．
探究2 化简问题
[典例讲评] 2．设θ∈(0，π)，化简：．
[解] 原式＝
＝＝－．
因为0＜θ＜π，所以0＜＜，
所以cos ＞0，所以原式＝－cos θ．
反思领悟 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
[学以致用] 2．设α∈，化简：．
[解] ∵α∈∈，
∴cos α>0，cos <0，
故原式＝＝＝＝－cos ．
探究3 三角恒等式的证明
[典例讲评] 【链接教材P225例8】
3．(源自湘教版教材)当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝．
[证明] 当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，利用二倍角公式及sin2＋cos2＝1，
可得sin α＝2sin cos ． ①
cos α＝cos2－sin2． ②
将①②两式相除，可得tan α＝．
【教材原题·P225例8】
例8 求证：
(1)sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]；
(2)sin θ＋sin φ＝2sin cos ．
证明：(1)因为
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin αcos β，
即sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]．
(2)由(1)可得
sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin αcos β． ①
设α＋β＝θ，α－β＝φ，
那么α＝．
把α，β的值代入①，即得
sin θ＋sin φ＝2sin cos ．
反思领悟 证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异．
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[学以致用] 【链接教材P226练习T4】
3．已知cos θ＝．求证：
tan2．
[证明] tan2．
【教材原题·P226练习T4】 求证：
(1)cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]；
(2)cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]；
(3)sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]．
[证明] (1)[sin(α＋β)－sin(α－β)]＝[sin α cos β＋cos αsin β－sin αcos β＋cos αsin β]＝cos αsin β．
(2)[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝[cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋
sin αsin β]＝cos αcos β．
(3)－[cos (α＋β)－cos (α－β)]
＝－[cos αcos β－sin αsin β－cos αcos β－sin αsin β]＝sin αsin β．等式成立．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝( )
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
√
C [∵sin α＝，cos α＝，
∴tan ＝－2．]
√
2．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B．
C．－ D．
D [，由于sin 2α＝，所以cos2，故选D．]
√
3．sin ＝( )
A． B．
C．2－ D．
B [因为0<<，所以sin ＝＝＝．故选B．]
4．已知锐角θ终边上一点P的坐标为(3，4)，则tan ＝________．
[由三角函数定义可知：sin θ＝，cos θ＝，则tan ．]
1．知识链：
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：半角公式符号的判断．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．tan 与sin α，cos α存在怎样的等量关系？
[提示] tan ．
2．如何用cos α表示sin2，cos2？
[提示] sin2，cos2．
3．如何用tan 表示sin α，cos α及tan α？
[提示] sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中α≠2kπ＋π(k∈Z)．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(五十六) 简单的三角恒等变换
√
一、选择题
1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
D [由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2，又α为锐角，所以sin >0，所以sin ，故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．若π<α<2π，则化简 的结果是( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
C [∵π<α<2π，∴<<π，∴cos <0，原式＝＝＝
－cos ．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
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13
14
15
√
3．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝( )
A．－ B． C．2 D．－2
A [∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－，∴tan ＝－3，
∴．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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13
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15
4．若sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan 的值为( )
A．2
B．
C．－2
D．－
题号
2
1
3
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5
6
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15
A [由sin α＋sin β＝sin ＋sin ＝2sin cos ，
cos α＋cos β＝cos ＋cos ＝2cos cos ，
两式相除得tan ＝2．
故选A．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
√
5．(多选)下列各式与tan α相等的是( )
A． B．
C． D．
BD []
题号
2
1
3
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5
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15
二、填空题
6．α为第三象限角，则＝________．
0 [∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴0．]
0
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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11
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15
7．若tan α＝3，则sin 2α＝________．
[
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
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14
15
8．已知sin，则cos2＝________．
[因为 cos ＝sin ＝sin ，
所以cos2
＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
三、解答题
9．化简：．
[解] 因为π<α<，所以<<，所以cos <0，sin >0，
所以原式＝＋
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
＝
＝－
＝－cos ．
题号
2
1
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5
6
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15
10．已知sin (α＋β)sin (α－β)＝，sin α＋sin β＝m，则sin α－sin β＝
( )
A． B．
C．－ D．－
√
A [因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
所以sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β
＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β＝sin2α－sin2β，
由sin(α＋β)sin (α－β)＝，可得sin2α－sin2β＝，
因为sin α＋sin β＝m，
所以sin α－sin β＝．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
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13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
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9
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15
11．(多选)若cos α＝－，则的值可能为( )
A．
B．2
C．－
D．－2
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
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13
14
15
CD [
＝
＝，
∵cos α＝－，∴sin α＝±，
题号
2
1
3
4
5
6
8
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14
15
当cos α＝－，sin α＝－时，
原式＝；
当cos α＝－，sin α＝时，
原式＝＝－2．
故选CD．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
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15
12．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比t＝≈0.618，现给出三倍角公式cos 3α＝4cos3α－3cos α，则t与sin 18°的关系式正确的为( )
A．2t＝3sin 18° B．t＝2sin 18°
C．t＝3sin 18° D．t＝4sin 18°
题号
2
1
3
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5
6
8
7
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15
B [因为cos 3α＝4cos3α－3cos α，
所以cos 54°＝4cos318°－3cos18°，
又cos 54°＝sin 36°＝2sin 18°cos 18°，
所以4cos318°－3cos18°＝2sin 18°cos 18°，
化简得4cos218°－3＝2sin18°，
可得4(1－sin218°)－3＝2sin18°，
即4sin218°＋2sin18°－1＝0，
解得sin 18°＝ (负值舍去)，所以t＝2sin 18°．故选B．]
题号
2
1
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4
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15
13．已知tan ＝2，则的值为__________．
－ [法一：因为tan ＝2，
所以－tan ．
－
题号
2
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法二：tan θ＝，
则．]
题号
2
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15
14．已知α，β是锐角，α＋β≠，且满足3sin β＝sin (2α＋β)．
(1)求证：tan (α＋β)＝2tan α；
(2)求tan β的最大值，并求取得最大值时tan α的值．
题号
2
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15
[解] (1)证明：由3sin β＝sin (2α＋β)得：3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，
即3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)·cos α＋cos (α＋β)sin α，
即sin (α＋β)cos α＝2cos (α＋β)sin α，
因为α，β是锐角，α＋β≠，
所以，
即tan (α＋β)＝2tan α．
题号
2
1
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4
5
6
8
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15
(2)因为α是锐角，所以tan α>0，
tan β＝tan [(α＋β)－α]＝，
而＋2tan α≥2，
当且仅当＝2tan α时取等号，此时tan α＝，故tan β≤，
所以当tan α＝时，(tan β)max＝．
[点评] 分析已知角β、(2α＋β)与待求角(α＋β)、α间的关系是解题的切入点．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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11
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13
14
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15．(教材P230习题5.5T18改编)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
cos215°＋cos215°－sin15°sin 15°；
cos280°＋cos2(－50°)－sin80°sin (－50°)；
cos2170°＋cos2(－140°)－sin170°sin (－140°)．
(1)求出这个常数；
(2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
[解] (1)cos215°＋cos215°－sin15°sin 15°
＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos30°－(1－cos 30°)
＝1＋．
(2)推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝．
证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
题号
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cos2α＋cos2β－sin αsin β
＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin (30°－α)
＝cos2α＋－sin α
＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝．
[点评] 本题重在考查学生从特殊到一般的归纳能力，关键是抓住角之间的联系，进而求解．
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谢 谢！课时分层作业(五十六) 简单的三角恒等变换
一、选择题
1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
2．若π<α<2π，则化简 的结果是( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
3．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝( )
A．－ B．
C．2 D．－2
4．若sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan 的值为( )
A．2 B．
C．－2 D．－
5．(多选)下列各式与tan α相等的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
6．α为第三象限角，则＝________．
7．若tan α＝3，则sin 2α＝________．
三、解答题
9．化简：．
10．已知sin (α＋β)sin (α－β)＝，sin α＋sin β＝m，则sin α－sin β＝( )
A． B．
C．－ D．－
11．(多选)若cos α＝－，则的值可能为( )
A． B．2
C．－ D．－2
12．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比t＝≈0.618，现给出三倍角公式cos 3α＝4cos3α－3cos α，则t与sin 18°的关系式正确的为( )
A．2t＝3sin 18° B．t＝2sin 18°
C．t＝3sin 18° D．t＝4sin 18°
13．已知tan ＝2，则的值为__________．
14．已知α，β是锐角，α＋β≠，且满足3sin β＝sin (2α＋β)．
(1)求证：tan (α＋β)＝2tan α；
(2)求tan β的最大值，并求取得最大值时tan α的值．
15．(教材P230习题5.5T18改编)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
cos215°＋cos215°－sin15°sin 15°；
cos280°＋cos2(－50°)－sin80°sin (－50°)；
cos2170°＋cos2(－140°)－sin170°sin (－140°)．
(1)求出这个常数；
(2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
课时分层作业(五十六)
1．D [由题意，cos α＝，得sin2，又α为锐角，所以sin>0，所以sin，故选D．]
2．C [∵π<α<2π，∴<π，∴cos <0，原式＝．故选C．]
3．A [∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－，∴tan＝－3，
∴．]
4．A [由sin α＋sin β＝sin(，
cos α＋cos β＝cos(
＝2cos，
两式相除得tan＝2．
故选A．]
5．BD [tan α＝，故选BD．]
6．0 [∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴＝0．]
7． [sin 2α＝2sin αcos α＝．]
8． [因为 cos(，
所以cos2(．]
9．解：因为π<α<，所以，
所以cos <0，sin >0，所以原式
＝
＝
＝－
＝－．
10．A [因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
所以sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β
＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β＝sin2α－sin2β，
由sin(α＋β)sin(α－β)＝，可得sin2α－sin2β＝，
因为sin α＋sin β＝m，
所以sin α－sin β＝．
故选A．]
11．CD [
＝，
∵cos α＝－，∴sin α＝±，
当cos α＝－，sin α＝－时，
原式＝；
当cos α＝－，sin α＝时，
原式＝＝－2．
故选CD．]
12．B [因为cos 3α＝4cos3α－3cos α，
所以cos 54°＝4cos318°－3cos 18°，
又cos 54°＝sin 36°＝2sin 18°cos 18°，
所以4cos318°－3cos 18°＝2sin 18°cos 18°，
化简得4cos218°－3＝2sin 18°，
可得4(1－sin218°)－3＝2sin 18°，
即4sin218°＋2sin 18°－1＝0，
解得sin 18°＝ (负值舍去)，所以t＝2sin 18°．故选B．]
13．－ [法一：因为tan ＝2，所以
＝
＝
＝．
法二：tan θ＝，
则．]
14．解：(1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得：3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)·cos α＋cos(α＋β)·sin α，
即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
因为α，β是锐角，α＋β≠，
所以，
即tan(α＋β)＝2tan α．
(2)因为α是锐角，所以tan α>0，
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝，
而，
当且仅当＝2tan α时取等号，此时tan α＝，
故tan β≤，
所以当tan α＝时，(tan β)max＝．
[点评] 分析已知角β、(2α＋β)与待求角(α＋β)、α间的关系是解题的切入点．
15．解：(1)cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°
＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos 30°－(1－cos 30°)
＝1＋．
(2)推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－
．
证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
cos2α＋cos2β－sin αsin β
＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin(30°－α)
＝cos2α＋(sin α)
＝cos2α＋sin2α
＝．
[点评] 本题重在考查学生从特殊到一般的归纳能力，关键是抓住角之间的联系，进而求解．
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