5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
[学习目标] 1．理解匀速圆周运动的数学模型．(数学建模) 2．理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响．(直观想象) 3．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(逻辑推理)
探究1 匀速圆周运动的数学模型
问题1 回顾三角函数的概念，在单位圆中正弦函数、余弦函数是如何定义的？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
问题2 如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，筒车M从点P0运动到点P．设点P距离水面的高度为H，则H由哪些量决定？如何将点P距离水面的高度H表示为时间t(s)的函数？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[典例讲评] 【链接教材P238例2】
1．如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度2 rad/s做匀速圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型函数，求解时注意结合正弦函数的定义．
[学以致用] 【链接教材P241习题5.6T6、T7】
1．水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度为4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗做上记号(图中点A)，经过60秒该水斗到达水车最顶端(图中点B)，再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在的范围是( )
A．(0，4) B．(4，8)
C．(8，10) D．(10，12)
探究2 A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
问题3 在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝sin ，y＝sin 一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
问题4 观察下图，你能发现什么？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
问题5 在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝2sin x，y＝sin x在[－π，π]上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
1．φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
3．A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
[典例讲评] 2．(1)(源自湘教版教材)填空：
①为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向________平移________个单位长度；
②为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向________平移________个单位长度；
③将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
(2)由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin 的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
三角函数图象变换的途径一(先平移后伸缩)和途径二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度分别是，平移方向是一致的．
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
[学以致用] 【链接教材P239练习T2】
2．(1)(源自北师大版教材)有以下四种变换方式：
①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；
②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；
③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度；
④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度．
其中能将函数y ＝sin x的图象变为函数y＝sin 的图象的是( )
A．①④ B．①③
C．②④ D．②③
(2)为了得到y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．(教材P240习题5.6T1改编)为了得到函数y＝的图象，只需将余弦函数y＝cos x图象上各点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．(源自北师大版教材)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象上各点( )
A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
3．为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 5x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．如图，在平面直角坐标系Oxy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，射线OA为终边的角为α，则点A的坐标是________，从A点出发，以恒定的角速度ω逆时针转动，经过t秒转动到点点B在y轴上的投影为点C，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系为________．
1．知识链：
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：探究平移变换时，需要保证x的系数为1．
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[探究建构] 探究1
问题1 提示：如图，sin α＝y，cos α＝x．
问题2 提示：H由以下量决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，筒车的初始位置P0以及所经过的时间t．点P距离水面的高度H关于时间t(s)的函数为H＝rsin(ωt＋φ)＋h(其中OP0为终边的角为φ)．
典例讲评 1．解：由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＋2t．
根据三角函数的定义，得点P的纵坐标
y＝|OP|sin ∠POx＝20sin ，即所求纵坐标y关于时间t的函数关系为y＝20sin ．
学以致用 1．B [
以水面与水车的交线为x轴，过水车轴垂直水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，水斗从A转到B，则转过的角为，从点B开始，记水斗经过时间x(分钟)后距离水面高度y满足关系：y＝8sin ＋4，又当x＝11＋分钟时，y＝8sin ＋4＝8sin ＋4∈(4，8)．故选B．]
探究2
问题3 提示：通过“五点法”画出函数y＝sin x，y＝sin ，y＝sin 在一个周期内的简图，如图．
观察图象，可以发现：
y＝sin 的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的纵坐标不变、横坐标减去得到，也就是将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到．
y＝sin 的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的纵坐标不变、横坐标加上得到，也就是将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到．
问题4 提示：由图象我们可以看到，从y＝sin x到y＝sinx，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sinx的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sinx的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
问题5 提示：函数y＝sin x，y＝2sin x，ysin x的周期都是2π，在[－π，π]上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如图所示．
观察图象，可以看出：
y＝2sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的横坐标不变、纵坐标乘以2(到x轴的距离放大到原来的2倍)得到．因而y＝2sin x的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为2和－2，值域变成了[－2，2]，也就是说“振动幅度”扩大到y＝sin x的2倍．
类似地，y＝sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的横坐标不变、纵坐标乘以得到．因而y＝sin x的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为和－，值域变为，“振动幅度”缩小为y＝sin x的．
新知生成 1．左 右 |φ|
2．缩短 伸长
3．伸长 缩短 A
典例讲评 2．(1)左 (2)
[(1)为了得到函数y＝sin 的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可；
为了得到y＝sin ＝sin 的图象，只需把y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度即可；
把y＝sin x的图象向右平移个单位长度后，即为y＝的图象，再把各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象．
(2)y＝3sin x的图象
y＝3sin 的图象
y＝3sin 的图象．
y＝3sin x的图象
y＝3sin x的图象
y＝3sin ＝3sin 的图象．]
发现规律 (1)|φ|
学以致用 2．(1)A (2) [(1)①y＝sin x的图象向左平移个单位长度可变为y＝sin 的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到y＝sin 的图象；②同①，y＝sin x的图象平移、伸缩后变换为y＝sin 的图象；③y＝sin x的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，可变为y＝sin 2x的图象，再把曲线向右平移个单位长度，变为y＝sin ＝sin 的图象；④同③，y＝sin x的图象伸缩、平移后可变换为y＝sin ＝sin 的图象．故选A．
(2)y＝sin，只需把y＝cos x的图象向右平移的图象．]
[应用迁移]
1．D [把y＝cos x上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos 的图象．故选D．]
2．D [先将函数y＝sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，
横坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，
再将函数y＝sin 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，即将函数y＝sin 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin 的图象．故选D．]
3．A [为了得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 5x的图象向左平移个单位长度即可．故选A．]
4．
[设A，则cos α，sin α，
所以x0＝rcos α，y0＝rsin α，即A．
经过t秒，以射线OB为终边的角为ωt＋α，则B，rsin，
所以点C的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝rsin．]
1 / 1(共84张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.6 函数 y＝A sin (ωx＋φ)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象
第1课时 函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
[学习目标] 1．理解匀速圆周运动的数学模型．(数学建模) 2．理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响．(直观想象) 3．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．匀速圆周运动的数学模型有何特点？
问题2．φ对y＝sin (x＋φ)(其中φ≠0)的图象有何影响？
问题3．ω对y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0 且ω≠1)的图象有何影响？
问题4．A对y＝A sin (ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象有何影响？
探究建构 关键能力达成
探究1 匀速圆周运动的数学模型
问题1 回顾三角函数的概念，在单位圆中正弦函数、余弦函数是如何定义的？
提示：如图，sin α＝y，cos α＝x．
问题2 如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，筒车M从点P0运动到点P．设点P距离水面的高度为H，则H由哪些量决定？如何将点P距离水面的高度H表示为时间t(s)的函数？
提示：H由以下量决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，筒车的初始位置P0以及所经过的时间t．点P距离水面的高度H关于时间t(s)的函数为H＝r sin (ωt＋φ)＋h(其中OP0为终边的角为φ)．
[典例讲评] 【链接教材P238例2】
1．如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度2 rad/s做匀速圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系．
[解] 由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝＋2t．
根据三角函数的定义，得点P的纵坐标
y＝|OP|sin ∠POx＝20sin ，即所求纵坐标y关于时间t的函数关系为y＝20sin ．
【教材原题·P238例2】
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1)．
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．
[解] 如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
(1)设t＝0 min时，游客甲位于点P(0，－55)，以OP为终边的角为－；根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得
H＝55sin ＋65，0≤t≤30．
(2)当t＝5时，
H＝55sin ＋65＝37.5．
所以，游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5 m．
(3)如图5.6-10，设甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB＝．经过t min后甲距离地面的高度为H1＝55sin ＋65，点B相对于点A始终落后 rad，此时乙距离地面的高度为H2＝55sin ＋65．则甲、乙距离地面的高度差h＝|H1－H2|＝55，利用sin θ＋sin φ＝2sin cos ，可得h＝110，0≤t≤30．
当，即t≈7.8(或22.8)时，h的最大值为110sin
≈7.2．
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m．
反思领悟 匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型函数，求解时注意结合正弦函数的定义．
√
[学以致用] 【链接教材P241习题5.6T6、T7】
1．水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度为4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗做上记号(图中点A)，经过60秒该水斗到达水车最顶端(图中点B)，再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在的范围是( )
A．(0，4) B．(4，8)
C．(8，10) D．(10，12)
B [以水面与水车的交线为x轴，过水车轴垂直水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，水斗从A转到B，则转过的角为，从点B开始，记水斗经过时间x(分钟)后距离水面高度y满足关系：y＝8sin ＋4，又当x＝11＋分钟时，y＝8sin ＋4＝8sin ＋4∈(4，8)．故选B．]
1．【教材原题·P241习题5.6T6】某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)
的函数，则d＝________ ，t∈[0，60]．
10sin [如图，∵∠AOB＝×2π＝，
∴由圆的几何性质得d＝2×5×sin ∠AOB＝10sin ．]
10sin
2．【教材原题·P241习题5.6T7】如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K．
(1)求A，ω，φ，K的值(φ精确到0.000 1)；
(2)盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点
(精确到0.01 s)
[解] (1)由题图可知d的最大值为3＋2.2＝5.2，最小值为2.2－3＝
－0.8，所以A＋K＝5.2，－A＋K＝－0.8，
解得K＝2.2，A＝3．
因为筒车每分钟转1.5圈，
所以ω＝，
所以d＝3sin ＋2.2．
又当t＝0时，d＝0，所以3sin φ＋2.2＝0，
所以sin φ＝－，所以φ≈－0.823 2．
(2)由(1)知，d＝3sin ＋2.2，
当t－0.823 2＝＋2kπ，k∈Z时，盛水筒到达最高点，解得t≈15.24＋40k，k∈Z．
又t≥0，当k＝0时，t取最小值15.24，
即盛水筒出水后至少经过15.24 s就可到达最高点．
探究2 A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
问题3 在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝sin ，y＝sin 一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系．
提示：通过“五点法”画出函数y＝sin x，y＝sin ，y＝sin 在一个周期内的简图，如图．
观察图象，可以发现：
y＝sin 的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的纵坐标不变、横坐标减去得到，也就是将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到．
y＝sin 的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的纵坐标不变、横坐标加上得到，也就是将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到．
问题4 观察下图，你能发现什么？
提示：由图象我们可以看到，从y＝sin x到y＝sin x，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sin x的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sin x的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
问题5 在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝2sin x，y＝sin x在[－π，π]上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系．
提示：函数y＝sin x，y＝2sin x，y＝sin x的周期都是2π，在[－π，π]上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如图所示．
观察图象，可以看出：
y＝2sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的横坐标不变、纵坐标乘以2(到x轴的距离放大到原来的2倍)得到．因而y＝2sin x的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为2和－2，值域变成了[－2，2]，也就是说“振动幅度”扩大到y＝sin x的2倍．
类似地，y＝sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的横坐标不变、纵坐标乘以得到．因而y＝sin x的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为和－，值域变为，“振动幅度”缩小为y＝sin x的．
[新知生成]
1．φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响
左
右
|φ|
2．ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
缩短
伸长
3．A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
伸长
缩短
A
[典例讲评] 2．(1)(源自湘教版教材)填空：
①为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向________平移________个单位长度；
②为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向________平移________个单位长度；
③将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_______________．
左
右
y＝sin
(2)由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin 的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．
(1)左 右 y＝sin (2) [(1)为了得到函数y＝sin 的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可；
为了得到y＝sin ＝sin 的图象，只需把y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度即可；
把y＝sin x的图象向右平移个单位长度后，即为y＝的图象，再把各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝
sin 的图象．
(2)y＝3sin x的图象
y＝3sin 的图象
y＝3sin 的图象．
y＝3sin x的图象
y＝3sin x的图象
y＝3sin ＝3sin 的图象．]
发现规律 三角函数图象变换的途径一(先平移后伸缩)和途径二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度分别是___，平移方向是一致的．
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
|φ|
[学以致用] 【链接教材P239练习T2】
2．(1)(源自北师大版教材)有以下四种变换方式：
①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；
②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；
③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度；
④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度．
其中能将函数y ＝sin x的图象变为函数y＝sin 的图象的是( )
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
√
(2)为了得到y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．
(1)A (2) [(1)①y＝sin x的图象向左平移个单位长度可变为y＝sin 的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到y＝sin 的图象；②同①，y＝sin x的图象平移、伸缩后变换为y＝sin 的图象；③y＝sin x的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，可变为y＝sin 2x的图象，再把曲线向右平移个单位长度，变为y＝sin ＝sin 的图象；④同③，y＝sin x的图象伸缩、平移后可变换为y＝sin ＝
sin 的图象．故选A．
(2)y＝sin ＝cos ＝＝cos ，只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即可得到y＝sin 的图象．]
【教材原题·P239练习T2】(1)已知函数y＝3sin 的图象为C．
(1)为了得到函数y＝3sin 的图象，只要把C上所有的点( )
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
√
(2)为了得到函数y＝3sin 的图象，只要把C上所有的点( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
√
(3)为了得到函数y＝4sin 的图象，只要把C上所有的点( )
A．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
√
(1)C (2)B (3)C [(1)因为y＝3sin ＝3sin ，所以只要把函数y＝3sin 图象上所有的点向右平行移动个单位长度，即可得到函数y＝3sin 的图象．故选C．
(2)为了得到函数y＝3sin 的图象，只需把函数y＝3sin 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．故选B．
(3)为了得到函数y＝4sin 的图象，只要把函数y＝3sin 图象上所有的点纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变．故选C．]
【教用·备选题】 要得到y＝cos 的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
√
A [＝cos ＝cos ＝
cos ．
若设 f (x)＝sin 2x＝cos ，
则 f ＝cos ，
所以向左平移个单位长度．]
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P240习题5.6T1改编)为了得到函数y＝的图象，只需将余弦函数y＝cos x图象上各点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
√
D [把y＝cos x上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝
cos 的图象．故选D．]
√
2．(源自北师大版教材)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象上各点( )
A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
D [先将函数y＝sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，
再将函数y＝sin 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，即将函数y＝sin 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝
sin 的图象．故选D．]
√
3．为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 5x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
A [为了得到函数y＝sin ＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 5x的图象向左平移个单位长度即可．故选A．]
4．如图，在平面直角坐标系Oxy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，射线OA为终边的角为α，则点A的坐标是_________________，从A点出发，以恒定的角速度ω逆时针转动，经过t秒转动到点点B在y轴上的投影为点C，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系为_______________________．
y＝r sin
y＝r sin [设A，则＝cos α，＝sin α，
所以x0＝r cos α，y0＝r sin α，即A．
经过t秒，以射线OB为终边的角为ωt＋α，则B
，
所以点C的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝．]
1．知识链：
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：探究平移变换时，需要保证x的系数为1．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能描述一下由函数y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝
A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种不同的变换途径吗？
[提示] (1)y＝sin x的图象
y＝sin (x＋φ)的图象
y＝sin (ωx＋φ)的图象y＝A sin (ωx＋φ)的图象．
(2)y＝sin x的图象y＝sin ωx的图象y＝＝sin (ωx＋φ)的图象y＝A sin (ωx＋φ)的图象．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(五十八) 函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
√
一、选择题
1．(源自北师大版教材)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝
sin 的图象上的每个点( )
A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
B [将函数y＝sin 的图象上的每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，即可得到函数y＝sin 的图象．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．将函数y＝cos 的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是( )
A．y＝4cos B．y＝4cos
C．y＝4sin D．y＝－4sin
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
A [将函数y＝cos 的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos ，即y＝cos 的图象，
再把函数y＝cos 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数y＝cos 的图象，
然后再把函数y＝cos 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数y＝4cos 的图象．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
D [因为y＝2sin 3x＝2sin ，所以把函数y＝2sin 图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象．故选D．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．已知某垂直于地面放置的时钟时针长度为6 cm，时针绕中心点O匀速旋转，记时针端点P到点O所在水平面的距离为d，当d＝3 cm时，时针指向的数字不可能是( )
A．2 B．4
C．5 D．8
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C [假设距离d与时间t之间的关系为d(t)＝|A cos ωt|(t∈[0，12])，可易得A＝6，
则时针每小时转rad，即ω＝，
所以d(t)＝(t∈[0，12])，
当d＝3时，解得t＝2，4，8，10．故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)为了得到函数y＝sin x的图象，只要把函数y＝sin 图象上所有的点( )
A．向右平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变
C．横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度
D．横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
AC [由题意可得y＝sin ＝sin ，
把函数y＝sin 图象上所有的点向右平移个单位长度后，
再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin x的图象，故A正确；
把y＝sin 图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，
再把所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数y＝sin x的图象，故C正确．故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g＝__________．
[将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)＝2sin 的图象，则g＝2sin ＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．已知函数 f (x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin ωx的图象，则φ的可能取值为__________________
(写出一个满足条件的答案即可)．
－(答案不唯一) [由题意，函数f (x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝cos (ωx＋2φ)的图象，要得到g(x)＝sin ωx＝cos 的图象，只需2φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，故φ的值可能为－(答案不唯一)．]
－(答案不唯一)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．已知点A在单位圆上以 rad/s的速度逆时针方向匀速运动，每间隔10 s记录一次点A的纵坐标，经过一小时的记录发现纵坐标始终只有两个值y1和y2，则y1 y2＝________．
－ [由题意可得，点A每间隔10 s转过的角度为π，
设点A从(1，0)开始转动，记录的纵坐标为cos π，cos π，cos π，
…，cos π，n∈N*，所以纵坐标的可能取值为－，1，
所以y1y2＝－．]
－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．已知函数f (x)＝3sin (2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] (1)将函数f (x)＝3sin (2x＋φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝3sin ＝3sin ．
因为图象平移后关于y轴对称，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，因为φ∈，所以φ＝．
所以f (x)＝3sin ．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝再把所得曲线上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝的图象，再把所得曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数f (x)＝的图象．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝的图象，则f (x)＝( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
√
B [依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到
f (x)的图象，所以y＝y＝的图象f(x)＝
sin 的图象．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速直线运动时传感器所在点距离地面的高度h，已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度h(单位：英寸)关于时间t(单位：秒)的函数解析式为( )
A．h(t)＝8cos 4πt＋8，t∈[0，＋∞)
B．h(t)＝8cos 4πt，t∈[0，＋∞)
C．h(t)＝8sin 4πt＋8，t∈[0，＋∞)
D．h(t)＝8sin 4πt，t∈[0，＋∞)
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
A [以轮胎轴承中心为原点，分别以过原点且平行于地面的所在直线为x轴，垂直于地面的所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，
可设h(t)＝A cos ωt＋B(A＞0，ω＞0)，由轮胎内径为16英寸可得，轮胎的半径是8英寸，所以A＝8，
当t＝0时，将(0，16)代入解得B＝8，又轴承每秒转动2圈，则轴承的角速度为ω＝＝4π rad/s，
则h(t)＝8cos 4πt＋8，t∈[0，＋∞)．故选A．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
12．(多选)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与以O为圆心，1为半径的圆交于点A，射线OA绕点O逆时针旋转2θ后交圆O于点B，若点B的纵坐标为y，设y＝f (θ)，则( )
A．α＝
B．f (θ)＝sin
C．函数y＝f (θ)的单调递增区间为，k∈Z
D．f (θ)的对称中心为，k∈Z
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
BC [对于A，由题意知cos α＝，sin α＝－，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，故A错误；
对于B，由题意f (θ)＝sin (2θ＋α)＝sin ＝sin ，故B正确；
对于C，由－＋2kπ≤2θ－＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤θ≤＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝f (θ)的单调递增区间为，k∈Z，故C正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于D，由2θ－＝kπ，k∈Z，得θ＝，k∈Z，
所以f (θ)的对称中心为，k∈Z，故D错误．
故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．把函数f (x)＝2cos 的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)＝的图象，则m的最小值是________．
[把函数 f (x)＝2cos 的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到g(x)＝＝2cos 的图象，又g(x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ＝2cos ，所以2m－＋2kπ，k∈Z，得m＝－＋kπ，k∈Z，因为m>0，所以当k＝1时，m最小，此时m＝π－．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h m．
(1)求h关于θ的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h关于t的函数解析式．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] (1)如图，过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M．
当θ>时，∠BOM＝θ－．
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin ＝5.6－4.8cos θ．
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
则h关于θ的函数解析式为h＝－4.8cos θ＋5.6(θ≥0)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是rad/s，
∴t s转过的弧度数为t，
∴h＝－4.8cos ＋5.6，t∈[0，＋∞)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与f (x)＝sin x＋cos x构成“互为生成函数”的有( )
A．f 1(x)＝sin x＋
B．f 2(x)＝(sin x＋cos x)
C．f 3(x)＝sin x
D．f 4(x)＝2cos
√
√
AD [ f (x)＝sin x＋cos x＝sin ．
A．∵f 1(x)＝sin x＋，∴将f 1(x)图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度即可与f (x)图象重合；
B．∵f 2(x)＝(sin x＋cos x)＝× sin ＝，∴f 2(x)图象无法经过平移与f (x)图象重合；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C．∵f 3(x)＝sin x，∴f 3(x)图象无法经过平移与f (x)图象重合；
D．∵f 4(x)＝2cos ＝sin ＋2cos2＝sin x＋cos x＋1＝sin ∴将f 4(x)图象向下平移1个单位长度，与f (x)图象重合．故A，D中函数与f (x)构成“互为生成函数”．故选AD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢！课时分层作业(五十八) 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
一、选择题
1．(源自北师大版教材)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象上的每个点( )
A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
2．将函数y＝cos 的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是( )
A．y＝4cos B．y＝4cos
C．y＝4sin D．y＝－4sin
3．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．已知某垂直于地面放置的时钟时针长度为6 cm，时针绕中心点O匀速旋转，记时针端点P到点O所在水平面的距离为d，当d＝3 cm时，时针指向的数字不可能是( )
A．2 B．4
C．5 D．8
5．(多选)为了得到函数y＝sin x的图象，只要把函数y＝sin 图象上所有的点( )
A．向右平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变
C．横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度
D．横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度
二、填空题
6．将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g＝__________．
7．已知函数f (x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin ωx的图象，则φ的可能取值为________(写出一个满足条件的答案即可)．
8．已知点A在单位圆上以 rad/s的速度逆时针方向匀速运动，每间隔10 s记录一次点A的纵坐标，经过一小时的记录发现纵坐标始终只有两个值y1和y2，则y1y2＝________．
三、解答题
9．已知函数f (x)＝3sin (2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
10．(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝的图象，则f (x)＝( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
11．某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速直线运动时传感器所在点距离地面的高度h，已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度h(单位：英寸)关于时间t(单位：秒)的函数解析式为( )
A．h(t)＝8cos 4πt＋8，t∈[0，＋∞)
B．h(t)＝8cos 4πt，t∈[0，＋∞)
C．h(t)＝8sin 4πt＋8，t∈[0，＋∞)
D．h(t)＝8sin 4πt，t∈[0，＋∞)
12．(多选)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与以O为圆心，1为半径的圆交于点A，射线OA绕点O逆时针旋转2θ后交圆O于点B，若点B的纵坐标为y，设y＝f (θ)，则( )
A．α＝
B．f (θ)＝sin
C．函数y＝f (θ)的单调递增区间为，k∈Z
D．f (θ)的对称中心为，k∈Z
13．把函数f (x)＝2cos 的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)＝的图象，则m的最小值是________．
14．如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h m．
(1)求h关于θ的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h关于t的函数解析式．
15．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与f (x)＝sin x＋cos x构成“互为生成函数”的有( )
A．f 1(x)＝sin x＋
B．f 2(x)＝(sin x＋cos x)
C．f 3(x)＝sin x
D．f 4(x)＝2cos
课时分层作业(五十八)
1．B [将函数y＝sin(x－，纵坐标不变，即可得到函数y＝sin(2x－的图象．故选B．]
2．A [将函数y＝cos(2x＋个单位长度，得到函数y＝cos[2(x－]，即y＝cos(2x－的图象，
再把函数y＝cos(2x－的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数y＝cos(4x－的图象，
然后再把函数y＝cos(4x－的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数y＝4cos(4x－的图象．故选A．]
3．D [因为y＝2sin 3x＝2sin，所以把函数y＝2sin个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象．故选D．]
4．C [假设距离d与时间t之间的关系为d(t)＝|Acos ωt|(t∈[0，12])，可易得A＝6，
则时针每小时转rad，即ω＝，
所以d(t)＝(t∈[0，12])，
当d＝3时，解得t＝2，4，8，10．故选C．]
5．AC [由题意可得y＝sin，
把函数y＝sin个单位长度后，
再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin x的图象，故A正确；
把y＝sin图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，
再把所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数y＝sin x的图象，故C正确．故选AC．]
6． [将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)＝2sin的图象，
则g．]
7．－(答案不唯一) [由题意，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝cos(ωx＋2φ)的图象，要得到g(x)＝sin ωx＝cos(ωx－的图象，
只需2φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，故φ的值可能为－(答案不唯一)．]
8．－ [由题意可得，点A每间隔10 s转过的角度为π，
设点A从(1，0)开始转动，记录的纵坐标为cosπ，cosπ，cosπ，…，cosπ，n∈N*，
所以纵坐标的可能取值为－，1，所以y1y2＝－．]
9．解：(1)将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝3sin＋φ)．
因为图象平移后关于y轴对称，
所以(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为φ∈，所以φ＝．
所以f(x)＝3sin．
(2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin，再把所得曲线上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图象，再把所得曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数f(x)＝3sin的图象．
10．B [依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到f (x)的图象，所以y＝y＝的图象f (x)＝sin 的图象．]
11．A [以轮胎轴承中心为原点，分别以过原点且平行于地面的所在直线为x轴，垂直于地面的所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，
可设h(t)＝Acos ωt＋B(A>0，ω>0)，由轮胎内径为16英寸可得，轮胎的半径是8英寸，所以A＝8，
当t＝0时，将(0，16)代入解得B＝8，又轴承每秒转动2圈，则轴承的角速度为ω＝＝4π rad/s，
则h(t)＝8cos 4πt＋8，t∈[0，＋∞)．故选A．]
12．BC [对于A，由题意知cos α＝，sin α＝－，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，故A错误；
对于B，由题意f(θ)＝sin(2θ＋α)＝sin(2θ－，故B正确；
对于C，由－＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝f(θ)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，故C正确；
对于D，由2θ－＝kπ，k∈Z，得θ＝，k∈Z，
所以f(θ)的对称中心为(，0)，k∈Z，故D错误．
故选BC．]
13． [把函数f(x)＝2cos的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到g(x)＝2cos的图象，又g(x)＝2sin，所以2m－＋2kπ，k∈Z，得m＝－＋kπ，k∈Z，因为m>0，所以当k＝1时，m最小，此时m＝π－．]
14．解：
(1)如图，过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M．
当θ>时，∠BOM＝θ－．
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin(θ－＝5.6－4.8cos θ．
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
则h关于θ的函数解析式为h＝－4.8cos θ＋5.6(θ≥0)．
(2)点在☉O上逆时针运动的角速度是rad/s，
∴t s转过的弧度数为t，
∴h＝－4.8cos ＋5.6，t∈[0，＋∞)．
15．AD [f(x)＝sin x＋cos x＝．
A．∵f1(x)＝，∴将f1(x)图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度即可与f(x)图象重合；
B．∵f2(x)＝(sin x＋cos x)＝，∴f2(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合；
C．∵f3(x)＝sin x，∴f3(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合；
D．∵f4(x)＝2cos ＋1，∴将f4(x)图象向下平移1个单位长度，与f(x)图象重合．
故A，D中函数与f(x)构成“互为生成函数”．故选AD．]
1 / 1
