第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用
[学习目标] 1．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．(直观想象) 2．能够根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式．(直观想象、数学运算) 3．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质．(数学运算)
探究1 “五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
[典例讲评] 【链接教材P237例1】
1．已知函数f (x)＝sin ，作出f (x)在一个周期内的图象(将给定的表格填全，并描点画图)．
2x＋
x
f (x)
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”．
[学以致用] 【链接教材P240习题5.6T2】
1．已知函数f (x)＝cos ，在给定坐标系中作出函数f (x)在[0，π]上的图象．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
[典例讲评] 2．如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一个零点”的数据代入“ωx＋φ＝0＋2kπ，k∈Z”(要注意正确判断“第一个零点”的位置)求得φ，选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z．
(2)五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
[学以致用] 【链接教材P241习题5.6T4】
2．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，，求f (x)的解析式．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用
[典例讲评] 3．已知函数f (x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
(1)求ω的值；
(2)将函数f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，求实数k的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
研究y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f (θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f (θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间．
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝A sin t的性质．
[学以致用] 【链接教材P255复习参考题5T21】
3．(多选)已知函数f (x)＝sin ，以下命题中为真命题的是( )
A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f (x)的一个零点
C．函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f (x)在上单调递增
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．(2024·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且，则ω＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(教材P241习题5.6T4改编)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
3．(多选)设函数f (x)＝cos ，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的一个周期为－2π
B．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x＋π)的一个零点为x＝
D．f (x)在上单调递减
4．已知函数f (x)＝sin 2x－cos 2x，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f (x)的最大值是2；
②f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数；
③f (x)的图象关于直线x＝对称；
④f (x)在上单调递增．
1．知识链：
2．方法链：五点法作图、换元法．
3．警示牌：求φ值时单调递增区间上的零点和单调递减区间上的零点的区别．
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)
图象及性质的应用
[探究建构] 探究1
典例讲评 1．解：
2x＋ 0 π 2π
x －
f(x) 0 1 0 －1 0
图象如图：
学以致用 1．解：f(x)＝cos，列表如下．
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) 1 0 －1 0
图象如图．
探究2
典例讲评 2．解：法一(逐一定参法)：
由题图知A＝3， Tπ，
∴ω2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，根据图象趋势，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ，∴y＝3sin．
法二(五点对应法)：
由题图知A＝3．
∵图象过点，
∴
∴y＝3sin．
法三(图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin，即y＝3sin．
学以致用 2．解：由题图知f (x)min＝0，且f (x)max＝4，
所以A＝＝2，
又T＝＝π，知ω＝2．
又f ＝4，得sin ＝1，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
则φ＝2kπ＋，k∈Z，
又，所以φ＝，
故函数f (x)＝2sin ＋2．
探究3
典例讲评 3．解：(1)f (x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－
＝sin 2ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin ．
因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为，
所以函数y＝f (x)的最小正周期T＝π，
所以T＝＝π，解得ω＝1．
(2)由(1)得f (x)＝sin ，将函数y＝f (x)的图象向左平移个单位长度后，
得到y＝sin ＝cos 2x的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x的图象，故g(x)＝cos x，
因为x∈，
当x＝时，函数g(x)取得最小值，g；
当x＝0时，函数g(x)取得最大值，g(0)＝1，
故g(x)∈．
因为函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，所以k＝g(x)有解，
所以实数k的取值范围为．
学以致用 3．ABD [令2x＋(k∈Z)，得x，k∈Z．当k＝0时，x，即函数f(x)的图象关于直线x对称，选项A正确；令2x＋kπ(k∈Z)，得x，k∈Z，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋，故f(x)在上单调递增，选项D正确．故选ABD．]
[应用迁移]
1．B [因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min，所以f(x)的最小正周期T＝2×π，所以ω2．]
2．A [由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2．
由函数图象经过点，可得2sin ＝2，
所以2×＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为，所以φ＝－，
所以函数的解析式为y＝2sin ．]
3．ABC [因为T＝2π，故－2π也是f (x)的一个周期，A正确；＝cos ＝cos 3π＝－1，故B正确；由f (x＋π)＝cos ＝＝0，得x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故C正确；函数f (x)＝cos 的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位长度得到，如图可知，f (x)在上先单调递减后单调递增，D错误．
4．②③ [因为f(x)＝sin 2x－cos 2x，
所以函数f(x)的最大值为，故①错误；
又fsin 2x，
令g(x)sin 2x，
则g(－x)sin(－2x)＝－sin 2x＝－g(x)，故②正确；
又f，故③正确；
当x∈时，2x－，
所以根据正弦函数的单调性可知函数f(x)在上不单调，故④错误．故正确的有②③．]
1 / 1(共97张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.6 函数 y＝A sin (ωx＋φ)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象
第2课时 函数 y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用
[学习目标] 1．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．(直观想象) 2．能够根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式．(直观想象、数学运算) 3．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象？
问题2．如何根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式？
探究建构 关键能力达成
探究1 “五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
[典例讲评] 【链接教材P237例1】
1．已知函数 f (x)＝sin ，作出 f (x)在一个周期内的图象(将给定的表格填全，并描点画图)．
x
f (x)
[解]
0 π 2π
x
f (x) 0 1 0 －1 0
图象如图：
【教材原题·P237例1】
例1 画出函数y＝2sin 的简图．
[解] 先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数y＝sin 的图象；最后把曲线上
各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数
y＝2sin 的图象，如图5.6-7所示．
下面用“五点法”画函数y＝2sin 在一个周期内的图象．
令X＝3x－，则x＝．列表(表5.6-1)，描点画图(图5.6-8)．
表5.6-1
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
反思领悟 用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”．
[学以致用] 【链接教材P240习题5.6T2】
1．已知函数 f (x)＝cos ，在给定坐标系中作出函数 f (x)在[0，π]上的图象．
[解] f (x)＝cos ，列表如下．
0 π
x 0 π
f (x) 1 0 －1 0
图象如图．
【教材原题·P240习题5.6T2】画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：
(1)y＝4sin x；
(2)y＝cos 3x；
(3)y＝3sin ；
(4)y＝2cos ．
[解] (1)
0 π 2π
x 0 π 2π 3π 4π
描点连线得如图①，
(2)
3x 0 π 2π
x 0
0 0
描点连线得如图②，
(3)
0 π 2π
x
描点连线得如图③，
(4)
0 π 2π
x
描点连线得如图④，
探究2 求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
[典例讲评] 2．如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] 法一(逐一定参法)：
由题图知A＝3，T＝＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ)．
∵点在函数图象上，根据图象趋势，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
又，∴φ＝，∴y＝3sin ．
法二(五点对应法)：
由题图知A＝3．
∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin ．
法三(图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin ，即y＝3sin ．
反思领悟 给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一个零点”的数据代入“ωx＋φ＝0＋2kπ，k∈Z”(要注意正确判断“第一个零点”的位置)求得φ，选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z．
(2)五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
[学以致用] 【链接教材P241习题5.6T4】
2．已知函数 f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，，求f (x)的解析式．
[解] 由题图知 f (x)min＝0，且 f (x)max＝4，
所以A＝＝2，
又T＝＝π，知ω＝2．
又 f ＝4，得sin ＝1，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
则φ＝2kπ＋，k∈Z，又，所以φ＝，
故函数 f (x)＝2sin ＋2．
【教材原题·P241习题5.6T4】 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，
0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为__________________．
y＝2sin
y＝2sin [由题图可知A＝2，，
∴T＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin (2x＋φ)．
∵函数的图象过点，
把点的坐标代入函数的解析式，
得2＝2sin ，∴φ－＝2kπ＋，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝，
∴此函数的解析式是y＝2sin ．]
√
【教用·备选题】 函数f (x)＝2sin (ωx－φ)(ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．2， D．4，－
C [由题图知，，
解得T＝π，ω＝＝2．
由点在函数 f (x)的图象上，
得 f ＝2sin ＝2，则sin ＝1，
则－φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝－2kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<π，则φ＝．故选C．]
探究3 函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用
[典例讲评] 3．已知函数 f (x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
(1)求ω的值；
(2)将函数 f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，求实数k的取值范围．
[解] (1) f (x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－
＝sin 2ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin ．
因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为，
所以函数y＝f (x)的最小正周期T＝π，
所以T＝＝π，解得ω＝1．
(2)由(1)得f (x)＝sin ，将函数y＝f (x)的图象向左平移个单位长度后，
得到y＝sin ＝cos 2x的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x的图象，故g(x)＝cos x，
因为x∈，
当x＝时，函数g(x)取得最小值，g；
当x＝0时，函数g(x)取得最大值，g(0)＝1，
故g(x)∈．
因为函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，所以k＝g(x)有解，
所以实数k的取值范围为．
反思领悟 研究y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则 f (θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则 f (θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间．
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝A sin t的性质．
[学以致用] 【链接教材P255复习参考题5T21】
3．(多选)已知函数f (x)＝sin ，以下命题中为真命题的是( )
A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f (x)的一个零点
C．函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f (x)在上单调递增
√
√
√
ABD [令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝，k∈Z．当k＝0时，x＝，即函数 f (x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝，k∈Z，当k＝0时，x＝即x＝－是函数 f (x)的一个零点，选项B正确；2x＋，故函数 f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故 f (x)在上单调递增，选项D正确．故选ABD．]
【教材原题·P255复习参考题5T21】 已知函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a的最大值为1．
(1)求常数a的值；
(2)求函数f (x)的单调递减区间；
(3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合．
[解] (1)由题意，函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a，
化简得，f (x)＝sin x cos ＋cos x sin ＋sin x cos －cos x sin ＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin ＋a，
因为sin 的最大值为1，
所以2×1＋a＝1，解得a＝－1．
(2)由(1)可知f (x)＝2sin －1．
根据三角函数的性质可得，
2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f (x)的单调递减区间为，k∈Z．
(3)由题意，f (x)≥0，
即2sin －1≥0，
可得sin ．
所以2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f (x)≥0成立的x的取值集合是．
应用迁移 随堂评估自测
1．(2024·北京高考)设函数 f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，
f (x2)＝1，且，则ω＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
√
B [因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min
＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．]
√
2．(教材P241习题5.6T4改编)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
A [由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2．
由函数图象经过点，可得2sin ＝2，
所以2×＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为，所以φ＝－，
所以函数的解析式为y＝2sin ．]
√
3．(多选)设函数f (x)＝cos ，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的一个周期为－2π
B．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x＋π)的一个零点为x＝
D．f (x)在上单调递减
√
√
ABC [因为T＝2π，故－2π也是f (x)的一个周期，A正确；＝
cos ＝cos 3π＝－1，故B正确；由f (x＋π)＝cos ＝＝0，得x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故C正确；函数f (x)＝cos 的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位长度得到，如图可知，f (x)在上先单调递减后单调递增，D错误．
故选ABC．]
4．已知函数 f (x)＝sin 2x－cos 2x，则下列说法正确的是________．
(填序号)
① f (x)的最大值是2；
② f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数；
③ f (x)的图象关于直线x＝对称；
④ f (x)在上单调递增．
②③
②③ [因为 f (x)＝sin 2x－cos 2x＝sin ，
所以函数f (x)的最大值为，故①错误；
又 f ＝sin ＝sin 2x，令g(x)＝sin 2x，
则g(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－g(x)，故②正确；
又 f ＝sin ＝sin ＝，故③正确；
当x∈时，2x－∈，
所以根据正弦函数的单调性可知函数 f (x)在上不单调，故④错误．故正确的有②③．]
1．知识链：
2．方法链：五点法作图、换元法．
3．警示牌：求φ值时单调递增区间上的零点和单调递减区间上的零点的区别．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．作函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象时，其五个关键点有何特征？
[提示] “五点法”中的五个点分别为函数的三个零点和两个最值点．
2．求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
[提示] 逐一定参法；五点对应法；图象变换法．
3．在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？
[提示] 采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性质求解．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(五十九) 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用
√
一、选择题
1．(2023·天津高考)已知函数 f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，
f (x)的一个周期为4，则 f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝sin B．f (x)＝cos
C．f (x)＝sin D．f (x)＝cos
B [对于A，f (x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝
－1，所以函数f (x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin 和y＝cos 的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．已知函数 f (x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于( )
A．1 B．2
C．4 D．8
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B [函数f (x)＝A sin (A>0)的最小正周期T＝＝6．
∵函数f (x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，
∴＝，∴A＝2．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．已知函数 f (x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝－ B．ω＝1，φ＝
C．ω＝2，φ＝－ D．ω＝2，φ＝
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B [由题意得＝π，
即T＝＝2π，可得ω＝1，
所以f (x)＝2sin (x＋φ)，
又f ＝2sin ＝－2，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，可得φ＝2kπ＋，k∈Z，又－＜φ＜，故φ＝．故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．已知函数 f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则函数 f (x)( )
A．图象关于直线x＝－对称
B．图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．在区间上的值域为(1，3)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C [由题图可得A＝×(5－1)＝2，
B＝×(5＋1)＝3，
∴f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋3，
又f (x)的图象过点(0，2)，∴f (0)＝2sin φ＋3＝2，
∴sin φ＝－，
∵，∴φ＝－，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
∴f (x)＝2sin ＋3，
∵f (x)的图象过点，
∴f ＝2sin ＋3＝1，
可得sin ＝1，
∴＝2kπ＋，k∈Z，可得ω＝2＋12k，k∈Z，
由题图可知＞，∴T＞，即＞，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
∴0＜ω＜3，∴ω＝2，
∴f (x)＝2sin ＋3，
对于A，f ＝2sin ＋3＝2，不是最值，
则f (x)的图象不关于直线x＝－对称，错误；
对于B，f ＝2sin ＋3＝4≠3，错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于C，2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f (x)的单调递减区间为，k∈Z．
k＝0时，f (x)在上单调递减，
，正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于D，∵x∈，
∴2x－∈(－π，0)，可得sin ，
∴f (x)∈[1，3)，D错误．故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)已知函数f (x)＝sin x cos x－cos2x＋，则下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的图象关于点对称
B．函数f (x)图象的一条对称轴是直线x＝－
C．f 是奇函数
D．f (x)在上单调递增
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
BC [ f (x)＝sin x cos x－cos2x＋
＝sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x＝sin ．
对于A，当x＝时，f ＝sin ，故A错误；
对于B，当x＝－时，f ＝sin ＝－1，故B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于C，f ＝sin (2x－π)＝－sin 2x，故该函数为奇函数，故C正确；
对于D，由于x∈，所以2x－∈，函数在该区间上不单调，故D错误．故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．函数f (x)＝sin x＋a cos x的图象关于点对称，则a的值为________．
－ [∵为f (x)的对称中心，
∴f ＝0，即sin ＋a cos ＝0，
即a＝0，∴a＝－．]
－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．(2021·全国甲卷)已知函数 f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f ＝________．
－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
－ [法一(五点作图法)：由题图可知(T为f (x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故 f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×，得φ＝－，
即 f (x)＝2cos ，
所以 f ＝2cos ＝－．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
法二(代点法)：由题意知，(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2．又点在函数f (x)的图象上，所以＝0，所以2×＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f (x)＝所以f ＝2cos ＝－2cos ＝－．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
法三(平移法)：由题意知，(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2．函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是，对应函数f (x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到的，所以 f (x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos ＝
2cos ，所以f ＝＝－2cos ＝－．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．已知函数 f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图如图所示，则 f (x)＝______________，方程f (x)＝m(m为常
数，且12sin
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2sin [根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图，可得A＝2．再把点(0，1)的坐标代入，可得2sin φ＝1，∴sin φ＝，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z，
又，∴φ＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
根据五点法可得ω·＝π，∴ω＝2，
∴函数f (x)＝2sin ．
易得它的一个顶点坐标为，且f (π)＝1，
∴由图象可得方程f (x)＝m(m为常数，且1题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．已知函数 f (x)＝2cos2ω1x＋sinω2x，再从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．
(1)求 f (0)；
(2)写出 f (x)的最小正周期及一条对称轴方程(只写结果)；
(3)求函数 f (x)在上的最大值和最小值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] 若选①ω1＝1，ω2＝2．
(1) f (x)＝2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin ＋1，
∴f (0)＝sin ＋1＝×＋1＝2．
(2)∵f (x)＝sin ＋1，
∴f (x)的最小正周期T＝＝π，
一条对称轴方程为x＝(答案不唯一)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(3)∵0≤x≤，
∴，
∴函数f (x)在上的最大值为sin ＋1＝＋1，
函数f (x)在上的最小值为sin ＋1＝0．
若选②ω1＝1，ω2＝1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(1) f (x)＝2cos2x＋sin x＝2－2sin2x＋sin x＝，
∴f (0)＝＝2．
(2)∵f (x)＝，
∴f (x)的最小正周期T＝2π，一条对称轴方程为x＝(答案不唯一)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(3)∵0≤x≤，∴0≤sin x≤1，
∴函数f (x)在上的最大值为，
函数f (x)在上的最小值为＝1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数 f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则＝( )
A．1 B． C． D．3
√
A [由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3．
又因为函数图象关于点中心对称，所以＝kπ，k∈Z，且b＝2，所以ω＝－k，k∈Z，取k＝4，可得ω＝，所以f (x)＝sin ＋2，所以f ＝sin ＋2＝1．
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．若函数 f (x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f ，则
f ＝( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
√
D [由f 得，直线x＝是函数 f (x)图象的对称轴，所以f ＝±3．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f ＝( )
A．－ B．－
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
D [由题意得，解得ω＝2，易知x＝是 f (x)的最小值点，所以＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是 f (x)＝sin ＝sin ＝＝sin ，故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．已知函数 f (x)＝sin (ω>0)，f ，且 f (x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．
[依题意知f (x)＝sin (ω>0)，
f ，且f (x)在区间上有最小值，无最大值，
∴f (x)的图象关于直线x＝对称，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
即关于直线x＝对称，
∴＋2kπ，k∈Z，
又即0<ω<12，∴ω＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．某同学用“五点法”画函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin (ωx＋φ) 0 2 －2 0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(1)将上表数据补充完整，填写在相应位置，并写出函数y＝f (x)的解析式；
(2)将函数y＝f (x)图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求使g(x)≥0成立的x的取值集合．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] (1)由表格知：A＝2且＝π，
即T＝2π，故ω＝＝1，
由ω×，得φ＝－．
则 f (x)＝2sin ，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
所以表格补充如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin (ωx＋φ) 0 2 0 －2 0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)由题设g(x)＝f ＝2sin ≥0，
即2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即使g(x)≥0成立的x的取值集合为．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．已知函数 f (x)＝sin x，函数g(x)的图象可以由函数f (x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)得到．若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，求实数ω的取值范围．
[解] 将函数f (x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝
sin 的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)，得到g(x)＝sin 的图象．
若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，
则ωx－∈，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
所以4π<ωπ－≤5π，
得<ω≤．
故实数ω的取值范围是．
[点评] 解答y＝A sin (ωx＋φ)在某个区间上的零点个数问题，常采用数形结合的方法求解．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢！课时分层作业(五十九) 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用
一、选择题
1．(2023·天津高考)已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝sin B．f (x)＝cos
C．f (x)＝sin D．f (x)＝cos
2．已知函数f (x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于( )
A．1 B．2
C．4 D．8
3．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝－ B．ω＝1，φ＝
C．ω＝2，φ＝－ D．ω＝2，φ＝
4．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则函数f (x)( )
A．图象关于直线x＝－对称
B．图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．在区间上的值域为(1，3)
5．(多选)已知函数f (x)＝sin x cos x－cos2x＋，则下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的图象关于点对称
B．函数f (x)图象的一条对称轴是直线x＝－
C．f 是奇函数
D．f (x)在上单调递增
二、填空题
6．函数f (x)＝sin x＋a cos x的图象关于点对称，则a的值为________．
7．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．
8．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图如图所示，则f (x)＝________，方程f (x)＝m(m为常数，且1三、解答题
9．已知函数f (x)＝2cos2ω1x＋sinω2x，再从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．
(1)求f (0)；
(2)写出f (x)的最小正周期及一条对称轴方程(只写结果)；
(3)求函数f (x)在上的最大值和最小值．
10．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则＝( )
A．1 B．
C． D．3
11．若函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f ，则f ＝( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
12．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f ＝( )
A．－ B．－
C． D．
13．已知函数f (x)＝sin (ω>0)，f ，且f (x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．
14．某同学用“五点法”画函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin (ωx＋φ) 0 2 －2 0
(1)将上表数据补充完整，填写在相应位置，并写出函数y＝f (x)的解析式；
(2)将函数y＝f (x)图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求使g(x)≥0成立的x的取值集合．
15．已知函数f (x)＝sin x，函数g(x)的图象可以由函数f (x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)得到．若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，求实数ω的取值范围．
课时分层作业(五十九)
1．B [对于A，f(x)＝sin(x)，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sin π＝0，所以函数f(x)＝sin(x)的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f(x)＝cos(x)，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cos π＝－1，所以函数f(x)＝cos(x)的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin(＝8，均不符合题意，故排除C，D．故选B．]
2．B [函数f(x)＝Asin((A>0)的最小正周期T＝＝6．
∵函数f(x)＝Asin((A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，
∴，∴A＝2．故选B．]
3．B [由题意得＝π，
即T＝＝2π，可得ω＝1，
所以f(x)＝2sin(x＋φ)，
又f(＋φ)＝－2，
所以，k∈Z，可得φ＝2kπ＋，k∈Z，
又－，故φ＝．故选B．]
4．C [由题图可得A＝×(5－1)＝2，
B＝×(5＋1)＝3，
∴f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋3，
又f(x)的图象过点(0，2)，∴f(0)＝2sin φ＋3＝2，
∴sin φ＝－，
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin(ωx－＋3，
∵f(x)的图象过点(－，1)，
∴f(－＋3＝1，
可得sin(＝1，
∴，k∈Z，可得ω＝2＋12k，k∈Z，
由题图可知，∴T>，即，
∴0<ω<3，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x－＋3，
对于A，f(－＋3＝2，不是最值，
则f(x)的图象不关于直线x＝－对称，错误；
对于B，f(＋3＝4≠3，错误；
对于C，2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z．
k＝0时，f(x)在[]上单调递减，
(]，正确；
对于D，∵x∈(－，
∴2x－∈(－π，0)，可得sin(2x－∈[－1，0)，
∴f(x)∈[1，3)，D错误．故选C．]
5．BC [f(x)＝sin xcos x－
＝
＝．
对于A，当x＝时，f(，故A错误；
对于B，当x＝－时，f(－＝－1，故B正确；
对于C，f(x－＝sin(2x－π)＝－sin 2x，故该函数为奇函数，故C正确；
对于D，由于x∈(－，所以2x－，函数在该区间上不单调，故D错误．故选BC．]
6．－ [∵(，0)为f(x)的对称中心，
∴f(＝0，即sin＝0，
即a＝0，∴a＝－．]
7．- [法一(五点作图法)：由题图可知(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×，得φ＝－，
即f(x)＝2cos，
所以f．
法二(代点法)：由题意知，(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2．又点在函数f(x)的图象上，所以2cos＝0，所以2×＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos，所以f．
法三(平移法)：由题意知，(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2．函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是，对应函数f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到的，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)＝2cos[2，所以f．]
8．2sin(2x＋ [根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<在一个周期内的简图，可得A＝2．再把点(0，1)的坐标代入，可得2sin φ＝1，∴sin φ＝，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝．
根据五点法可得ω·＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)＝2sin(2x＋．
易得它的一个顶点坐标为(，2)，且f(π)＝1，
∴由图象可得方程f(x)＝m(m为常数，且19．解：若选①ω1＝1，ω2＝2．
(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝＋1，
∴f(0)＝＋1＝2．
(2)∵f(x)＝＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
一条对称轴方程为x＝(答案不唯一)．
(3)∵0≤x≤，∴，
∴函数f(x)在＋1，
函数f(x)在＋1＝0．
若选②ω1＝1，ω2＝1．
(1)f(x)＝2cos2x＋sin x＝2－2sin2x＋sin x＝2，
∴f(0)＝＝2．
(2)∵f(x)＝，
∴f(x)的最小正周期T＝2π，一条对称轴方程为x＝(答案不唯一)．
(3)∵0≤x≤，∴0≤sin x≤1，
∴函数f(x)在，
函数f(x)在＝1．
10．A [由函数的最小正周期T满足又因为函数图象关于点中心对称，所以＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－k，k∈Z，取k＝4，可得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，
所以f＋2＝1．
故选A．]
11．D [由f(－x)得，直线x＝是函数f(x)图象的对称轴，所以f(＝±3．]
12．D [由题意得，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin(2x＋，f(－，故选D．]
13． [依题意知f(x)＝sin(ωx＋(ω>0)，
f(，且f(x)在区间(上有最小值，无最大值，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称，
即关于直线x＝对称，
∴＋2kπ，k∈Z，
又，
即0<ω<12，∴ω＝．]
14．解：(1)由表格知：A＝2且＝π，
即T＝2π，故ω＝＝1，
由ω×，得φ＝－．
则f(x)＝2sin(x－，
所以表格补充如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 0
(2)由题设g(x)＝f(x－≥0，
即2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
所以2kπ＋，k∈Z，
即使g(x)≥0成立的x的取值集合为．
15．解：将函数f(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin(x－的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)，得到g(x)＝sin(ωx－的图象．
若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，
则ωx－，ωπ－，
所以4π<ωπ－≤5π，
得．
故实数ω的取值范围是(]．
[点评] 解答y＝Asin(ωx＋φ)在某个区间上的零点个数问题，常采用数形结合的方法求解．
1 / 1
