5.7 三角函数的应用
[学习目标] 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义．(数学抽象) 2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模)
探究1 简谐运动
问题 如图，某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如表所示．
t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0
(1)表格中的数据具有什么特点？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
(2)具有该特点的数据可以借助什么模型来刻画？试根据这些数据确定位移y关于时间t的函数解析式．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
2．简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0．
(1)A就是这个简谐运动的____，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的________；
(2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)简谐运动的频率由公式f ＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
(4)_____称为相位；x＝0时的相位φ称为____．
[典例讲评] 1．(源自苏教版教材)在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．求：
(1)物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；
(2)该物体在t＝5 s时的位置．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律．主要体现在单摆、弹簧振子、电流、机械波等问题．
[学以致用] 【链接教材P244练习T1】
1．(1)(多选)某弹簧振子在振动过程中时间t(单位：s)与位移y(单位：m)满足解析式y＝10cos ，则下列关于该简谐运动的说法中正确的是( )
A．振幅为10 B．周期为
C．频率为 D．初相为
(2)如图是电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (A>0，ω>0)，t∈[0，＋∞)的图象，则当t＝ s时，电流强度是______A．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 三角函数在实际生活中的应用
[典例讲评] 【链接教材P245例1】
2．(源自苏教版教材)一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P到水面的距离z(单位：m．在水面下，则z为负数)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义注明函数的定义域．
[学以致用] 【链接教材P249习题5.7T1】
2．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t)＝10－2sin ，t∈[0，24]．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 数据拟合模型的应用
[典例讲评] 【链接教材P246例2】
3．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天时刻t与浪高数据的平均值如表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．
[学以致用] 3．一物体相对于某一固定位置的位移y(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．已知简谐运动f (x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
2．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h，低潮时水深9 m，高潮时水深15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数图象可以近似地看成函数y＝A sin (ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )
A．y＝3sin t＋12 B．y＝－3sin t＋12
C．y＝3sin t＋12 D．y＝3cos t＋12
3．(教材P243问题2改编)如图表示电流强度I与时间t的关系I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，t∈[0，＋∞)在一个周期内的图象，则该函数的解析式可以是( )
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
4．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的周期T＝________s．
1．知识链：
2．方法链：数学建模、数形结合．
3．警示牌：选择三角函数模型时，最后结果记得回归实际问题．
正弦型函数与信号处理
两个周期相同的正弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数．而且，不难看出，这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数．
那么，不同周期的正弦型函数相加，结果会怎样呢？图①是函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x的图象，由此你能发现什么？
①
可以看出，f (x)的图象呈现的还是周期性变化(事实上，f (x)仍是一个周期函数)．不过，相对于正弦曲线来说，f (x)的图象变化更加丰富．
那么，这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如图②所示是函数f (x)＝的图象，如图③所示是某种信号的波形，两者相似吗？
②
③
事实上，在现代社会中，信号处理是非常关键的技术．这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息．
5.7 三角函数的应用
[探究建构] 探究1
问题 (1)提示：表格中的数据具有周而复始、循环往复的特点．
(2)提示：其变化规律可以用y＝A sin (ωt＋φ)来刻画．由数据表可知，A＝20．振子的周期为0.60 s，所以T＝＝0.6，解得ω＝．
所以y＝20sin ，
因为t＝0时，y＝－20.0．
所以sin φ＝－1，φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为φ∈，
所以φ＝－．
所以位移y关于时间t的函数解析式为
y＝20sin ．
新知生成 2．(1)振幅 最大距离 (2) (3) (4)ωx＋φ 初相
典例讲评 1．解：(1)设x和t之间的函数关系为x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0，0φ<2π)．
则由T3，可得ω．
当t＝0时，有x＝3sin φ＝3，即sin φ＝1．
又0φ<2π，可得φ．
因此所求函数关系为x＝3sin ，
即x＝3cos ．
(2)令t＝5，得x＝3cos ＝－1.5，故该物体在t＝5 s时的位置是在O点的左侧且距O点1.5 cm处．
学以致用 1．(1)AC (2)5 [(1)∵y＝10cos，t∈[0，＋∞)，
故振幅为10，周期为T，
频率为f，初相为－，故A，C正确，B，D错误．故选AC．
(2)由题图可知，A＝10，
周期T＝2×，所以ω＝＝100π，
所以I＝10sin ．
当t＝ s时，I＝10sin ＝5(A)．]
探究2
典例讲评 2．解：(1)如图，建立平面直角坐标系．
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
由OP在t s内所转过的角为t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为t＋φ，故P点纵坐标为3sin ，
则z＝3sin ＋2．
当t＝0时，z＝0，可得sin φ＝－．
因为－<φ<0，所以φ≈－0.73，
故所求函数关系式为z＝3sin ＋2．
(2)令z＝3sin ＋2＝5，
得sin＝1．
取t－0.73＝，解得t≈5.5．
故点P第一次到达最高点大约需要5.5 s．
学以致用 2．解：(1)因为f (t)＝10－2sin ，t∈[0，24]，
所以，
－1≤sin ≤1，
当t＝2时，sin ＝1；
当t＝14时，sin ＝－1，
所以f (t)在[0，24]上的最大值为12，最小值为8．
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．
(2)依题意，得当f (t)>11时实验室需要降温．
故有10－2sin >11，
即sin <－．
又0≤t≤24，因此<<，
解得10故在10时至18时实验室需要降温．
探究3
典例讲评 3．解：(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π．
由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω．
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，
又|φ|<π，得φ＝0．
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sin t＋1(0t24)．
(3)由y＝0.4sin t＋10.8，得sin ＋2kπ(k∈Z)，即12k－1t12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0，24]，所以0t7，或11t19，或23t24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
学以致用 3．y＝－4cos t，t∈[0，＋∞) [设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t，t∈[0，＋∞)．]
[应用迁移]
1．A [由已知函数的图象经过点(0，1)，则2sin φ＝1，
∵|φ|<，∴φ，而最小正周期T6，故选A．]
2．A [根据题意，由ω＝，排除选项C，D．当t＝3时，3sin t＋12＝3sin ＋12＝15，符合题意，－3sin t＋12＝－3sin ＋12＝9．不符合题意，故选项B错误．故选A．]
3．C [由题图得A＝300，T＝2×，
∴ω＝＝100π，∴I＝300sin (100πt＋φ)．
代入点，得sin ＝0，取φ＝，
∴I＝300sin [0，＋∞)．故选C．]
4.1．5 [振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，
所以T＝1.5 s．]
1 / 1(共81张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.7 三角函数的应用
[学习目标] 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义．(数学抽象) 2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．在简谐运动中，y＝A sin (ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？
问题2．解三角函数应用题有哪四步？
探究建构 关键能力达成
探究1 简谐运动
问题 如图，某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如表所示．
t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0
(1)表格中的数据具有什么特点？
提示：表格中的数据具有周而复始、循环往复的特点．
(2)具有该特点的数据可以借助什么模型来刻画？试根据这些数据确定位移y关于时间t的函数解析式．
提示：其变化规律可以用y＝A sin (ωt＋φ)来刻画．由数据表可知，A＝20．振子的周期为0.60 s，所以T＝＝0.6，解得ω＝．
所以y＝20sin ，
因为t＝0时，y＝－20.0．
所以sin φ＝－1，φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为φ∈，
所以φ＝－．
所以位移y关于时间t的函数解析式为
y＝20sin ．
[新知生成]
1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
2．简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0．
(1)A就是这个简谐运动的____，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的________；
振幅
最大距离
(2)简谐运动的周期是T＝___，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)简谐运动的频率由公式 f ＝___＝___给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
(4)______称为相位；x＝0时的相位φ称为____．
ωx＋φ
初相
【教用·微提醒】 如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝，应先变成y＝sin ＝sin ．
[典例讲评] 1．(源自苏教版教材)在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．已知振幅为
3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．求：
(1)物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；
(2)该物体在t＝5 s时的位置．
[解] (1)设x和t之间的函数关系为x＝3sin (ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)．
则由T＝＝3，可得ω＝．
当t＝0时，有x＝3sin φ＝3，即sin φ＝1．
又0≤φ<2π，可得φ＝．
因此所求函数关系为x＝3sin ，
即x＝3cos ．
(2)令t＝5，得x＝3cos ＝－1.5，故该物体在t＝5 s时的位置是在O点的左侧且距O点1.5 cm处．
反思领悟 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律．主要体现在单摆、弹簧振子、电流、机械波等问题．
√
[学以致用] 【链接教材P244练习T1】
1．(1)(多选)某弹簧振子在振动过程中时间t(单位：s)与位移y(单位：m)满足解析式y＝10cos ，则下列关于该简谐运动的说法中正确的是( )
A．振幅为10 B．周期为
C．频率为 D．初相为
√
(2)如图是电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝
A sin (A>0，ω>0)，t∈[0，＋∞)的图象，则当t＝ s时，电流强度是______A．
5
(1)AC (2)5 [(1)∵y＝10cos [0，+∞)，
故振幅为10，周期为T＝，
频率为f ＝，初相为－，故A，C正确，B，D错误．故选AC．
(2)由题图可知，A＝10，
周期T＝2×，所以ω＝＝100π，
所以I＝10sin ．
当t＝ s时，I＝10sin ＝5(A)．]
【教材原题·P244练习T1】 某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2)写出这个简谐运动的函数解析式．
[解] (1)根据题干图象可知，A＝3，T＝2×(3.2－1.2)＝4．
根据T＝，可得f ＝．
所以这个简谐运动的振幅是3，周期是4，频率是．
(2)设简谐运动的函数解析式为y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
根据(1)可知A＝3，T＝4．
根据最小正周期计算公式T＝，可得ω＝．
可得y＝3cos ．
根据中点坐标公式可求得BC中点坐标为(2.2，0)．
所以y＝3cos 的一个顶点坐标为(2.2，－3)．
故－3＝3cos ，得×2.2＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
即φ＝2kπ－(k∈Z)，
所以y＝3cos ＝3cos ．
探究2 三角函数在实际生活中的应用
[典例讲评] 【链接教材P245例1】
2．(源自苏教版教材)一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P到水面的距离z(单位：m．在水面下，则z为
负数)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
[解] (1)如图，建立平面直角坐标系．
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
由OP在t s内所转过的角为t，可知以Ox为始边，
OP为终边的角为t＋φ，故P点纵坐标为3sin ，
则z＝3sin ＋2．
当t＝0时，z＝0，可得sin φ＝－．
因为－<φ<0，所以φ≈－0.73，
故所求函数关系式为z＝3sin ＋2．
(2)令z＝3sin ＋2＝5，
得sin ＝1．
取t－0.73＝，解得t≈5.5．
故点P第一次到达最高点大约需要5.5 s．
【教材原题·P245例1】
例1 如图5.7-3，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b．
(1)求这一天6～14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[解] (1)由图5.7-3可知，这段时间的最大温差是20 ℃．
(2)由图5.7-3可以看出，从6～14时的图象是函数
y＝A sin (ωx＋φ)＋b ①
的半个周期的图象，所以A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20．
因为＝14－6，所以ω＝．
将A＝10，b＝20，ω＝，x＝6，y＝10代入①式，可得φ＝．
综上，所求解析式为y＝10sin ＋20，x∈[6，14]．
反思领悟 解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义注明函数的定义域．
[学以致用] 【链接教材P249习题5.7T1】
2．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t)＝10－2sin ，t∈[0，24]．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
[解] (1)因为f (t)＝10－2sin ，t∈[0，24]，
所以，
－1≤sin ≤1，
当t＝2时，sin ＝1；
当t＝14时，sin ＝－1，
所以f (t)在[0，24]上的最大值为12，最小值为8．
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．
(2)依题意，得当f (t)>11时实验室需要降温．
故有10－2sin >11，
即sin <－．
又0≤t≤24，因此<<，
解得10故在10时至18时实验室需要降温．
【教材原题·P249习题5.7T1】 天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父(型)变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．下图是一造父变星的亮度随时间的周期变化图，此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？
[解] 根据图象得周期为5.5－0＝5.5，
最亮时约是3.7等星，最暗时约是4.4等星．
探究3 数据拟合模型的应用
[典例讲评] 【链接教材P246例2】
3．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天时刻t与浪高数据的平均值如表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[解] (1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适．
令A>0，ω>0，|φ|<π．
由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝．
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin ＋1，
又|φ|<π，得φ＝0．
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sin t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sin t＋1≥0.8，得sin ．则－＋2kπ≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
【教材原题·P246例2】
例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报．
表5.7-2
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值(精确到0.001 m)．
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船这一天何时能进入港口？在港口能待多久？
(3)某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少．如果这条船一直卸货，那么港口水深将在某一时刻与这条船需要的安全水深相等．为了安全，这条船需要在这一时刻前至少0.4 h停止卸货并驶离港口，那么该船最好在什么时间停止卸货并驶离港口？
分析：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性．根据表5.7-2中的数据画出散点图，如图5.7-4．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝A sin (ωx＋φ)＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以确定A，ω，φ，h的值．
[解] (1)以时间x(单位：h)为横坐标，水深y(单位：m)为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图5.7-4)．根据图象，可以考虑用函数y＝A sin (ωx＋φ)＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：
A＝2.5，h＝5，T＝12.4，φ＝0；
由T＝＝12.4，得ω＝．
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝2.5sin x＋5近似描述．
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(表5.7-3)：
表5.7-3
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深/m 5.000 6.213 7.122 7.497 7.245 6.428 5.253 4.014 3.023 2.529 2.656 3.372
时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
水深/m 4.497 5.748 6.812 7.420 7.420 6.812 5.748 4.497 3.372 2.656 2.529 3.023
(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5 m，所以当y≥5.5时就可以进港．令
2.5sin x＋5＝5.5，
sin x＝0.2．
由计算器可得
如图5.7-5，在区间[0，12]内，函数y＝2.5sin x＋5的图象与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此x≈0.201 4，或π－x≈0.201 4．
解得xA≈0.397 5，xB≈5.802 5．
由函数的周期性易得：
xC≈12.4＋0.397 5＝12.797 5，
xD≈12.4＋5.802 5＝18.202 5．
因此，货船可以在零时30分左右进港，5时45分左右出港；或在13时左右进港，18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．
(3)设在x h时货船的安全水深为y m，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．
在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点(图5.7-6)．
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为(7.016，3.995)，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货并驶离港口．
反思领悟 三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．
[学以致用] 3．一物体相对于某一固定位置的位移y(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为___________________________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
y＝－4cos
y＝－4cos [设y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝，即y＝－4cos
[0，＋∞)．]
【教用·备选题】 (源自湘教版教材)已知某海滨浴场的浪高y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记作y＝f (t)．下表是某日各时刻的浪高数据：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f (t)可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b．
(1)根据以上数据，求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，试依据(1)的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动．
[解] (1)由表中数据可知T＝12，f (t)的最大值为1.5，最小值为0.5，
所以ω＝，A＝＝1，
所以f (t)＝cos t＋1(t≥0)．
(2)由(1)可知f (t)＝cos t＋1(t≥0)，由cos t＋1>1，得cos t>0，
所以2kπ－因为8≤t≤20，所以k＝1，9所以一天内从9：00至15：00，共有6个小时可以冲浪．
应用迁移 随堂评估自测
1．已知简谐运动 f (x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
√
A [由已知函数的图象经过点(0，1)，则2sin φ＝1，
∵，∴φ＝，而最小正周期T＝＝6，故选A．]
2．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h，低潮时水深
9 m，高潮时水深15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数图象可以近似地看成函数y＝A sin (ωt＋φ)
＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )
A．y＝3sin t＋12 B．y＝－3sin t＋12
C．y＝3sin t＋12 D．y＝3cos t＋12
√
A [根据题意，由ω＝，排除选项C，D．当t＝3时，3sin t＋12＝3sin ＋12＝15，符合题意，－3sin t＋12＝
－3sin ＋12＝9．不符合题意，故选项B错误．故选A．]
√
3．(教材P243问题2改编)如图表示电流强度I与时间t的关系I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，t∈[0，＋∞)在一个周期内的图象，则该函数的解析式可以是( )
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
C [由题图得A＝300，T＝2×，
∴ω＝＝100π，∴I＝300sin (100πt＋φ)．
代入点，得sin ＝0，取φ＝，
∴I＝300sin [0，＋∞)．故选C．]
4．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的周期T＝________s．
1.5 [振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在
6 s内振动了4个周期，
所以T＝1.5 s．]
1.5
1．知识链：
2．方法链：数学建模、数形结合．
3．警示牌：选择三角函数模型时，最后结果记得回归实际问题．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？
[提示] 在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝A sin (ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．
2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
[提示]
正弦型函数与信号处理
两个周期相同的正弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数．而且，不难看出，这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数．
那么，不同周期的正弦型函数相加，结果会怎样呢？图①是函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x的图象，由此你能发现什么？
阅读材料 拓展数学视野
①
可以看出，f (x)的图象呈现的还是周期性变化(事实上，f (x)仍是一个周期函数)．不过，相对于正弦曲线来说，f (x)的图象变化更加丰富．
那么，这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如图②所示是函数f (x)＝的图象，如图③所示是某种信号的波形，两者相似吗？
②
③
事实上，在现代社会中，信号处理是非常关键的技术．这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
课时分层作业(六十) 三角函数的应用
√
一、选择题
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
C [根据题干图象得函数的最小值为2，
有－3＋k＝2，k＝5，则最大值为3＋k＝8．]
√
2．(多选)如图是某质点做简谐运动的部分图象，位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，π))，则( )
A．该简谐运动的初相为
B．该简谐运动的周期为3
C．第4秒该质点的位移为－2 cm
D．当t∈时，位移y随着时间t的增大而减小
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
√
BD [由题图可知，t＝1时，y＝－4，t＝0时，y＝2，所以A＝4，
sin φ＝．
因为φ∈(0，π)，所以φ＝或φ＝．
因为t＝1时，y＝－4，所以ω＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以ω＝2kπ＋或ω＝2kπ＋，k∈Z．
由题图可知周期T满足2解得<ω<π，所以ω＝，此时φ＝，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
关系式为y＝4sin ，该简谐运动的初相为，周期为T＝＝3，A不正确，B正确；
当t＝4时，y＝4sin ＝－4，位移是－4 cm，C不正确；
令x＝，
当t∈时，x＝∈，
结合y＝sin x的简图(图略)可得，y＝sin x在区间上单调递减，D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
二、填空题
3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝．]
三、解答题
4．某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，已知该摩天轮从最低位置开始运行，乘客距离地面的距离H(单位：米)会随摩天轮的运行时间t(单位：分钟)的变化而变化．经长期观察，曲线H＝f (t)可近似看成函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0)的图象．在运行一圈的时间里，观察得到了如下的数据：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，求在运行的一圈里最佳观赏的时长．
t/分钟 0 3 4.5 6 9 12 13.5
H/米 12 34 56 78 100 78 56
[解] 由题意知，H最小值为12，最大值为100，
所以解得A＝44，h＝56．
周期为T＝2(9－0)＝18，
又T＝，所以ω＝，由题意可得，初相φ＝－，
所以f (t)＝44sin ＋56．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
令f (t)＝44sin ＋56>34，t∈[0，18]，
即cos t<，所以所以3所以在运行的一圈里最佳观赏时长为15－3＝12(分钟)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
√
5．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图①)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt．图②是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )
A．200 B．400
C．200π D．400π
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
D [由题图可得，ω>0，T＝4×，即，则ω＝400π．]
6．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝a cos
B．y＝a cos ＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－a cos ＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝a cos －3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
C [当x＝1时图象处于最低点，当x＝7时图象处于最高点．又当x∈[1，7]时，函数是单调递增的，当x∈[7，12]时，函数是单调递减的，结合选项知，C正确．故选C．]
7．(多选)潮汐现象，是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为y＝
A cos ＋6(ω>0)，其中y(单位：m)为港口水深，x(单位：h)为时间，0≤x≤24，观察到水位最高点和最低点的平均时间间隔为6 h，且中午12点时的水位为8 m，为保证安全，当水深不小于8 m时，应开放船只出入，则下列说法正确的是( )
A．ω＝
B．最高水位为12 m
C．该港口从上午8点开始首次开放船只出入
D．一天内开放出入时长为4 h
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
√
AC [依题意＝6，所以ω＝，A选项正确；
当x＝12时，y＝A cos ＋6＝8，解得A＝4，所以最高水位为10 m，B选项错误；
由上可知y＝4cos ＋6，令y≥8，解得8≤x≤12或20≤x≤24，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8 h，C选项正确，D选项错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
8．某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24小时)之内呈周期性变化，且符合函数 f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋k，
其中 f (t)为水深(单位：米)，t为时间(单位：小时)，t∈[0，24)．研究小组绘制了水深图，部分信息如图．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(1)求 f (t)的解析式；
(2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底距离)，问：
①该船满载时一天之内何时能进出港口？
②该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港；为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，最迟在几点之前离港才能确保安全？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[解] (1)由题意得A＝＝5，T＝2×(8－2)＝12＝，∴ω＝．
当t＝2时f (t)最大，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
又φ∈，
∴φ＝，
∴f (t)＝2sin ．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(2)①由题意得2sin ＋5≥4.5＋1.5，
即sin ，
∴2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z．
∵t∈[0，24)，
∴k＝0或k＝1．
∴0≤t≤4或12≤t≤16，
∴该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
②空载时水深至少要4米，由2sin ＋5≥2.5＋1.5得
sin ，
∴2kπ－≤2kπ＋，k∈Z．
∴12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z．
又t∈[0，24)，∴0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t<24．
因为6－0.5＝5.5，
所以最多滞留到五点半可确保安全离港．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
谢 谢！课时分层作业(六十) 三角函数的应用
一、选择题
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
2．(多选)如图是某质点做简谐运动的部分图象，位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，π))，则( )
A．该简谐运动的初相为
B．该简谐运动的周期为3
C．第4秒该质点的位移为－2 cm
D．当t∈时，位移y随着时间t的增大而减小
二、填空题
3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm．
三、解答题
4．某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，已知该摩天轮从最低位置开始运行，乘客距离地面的距离H(单位：米)会随摩天轮的运行时间t(单位：分钟)的变化而变化．经长期观察，曲线H＝f (t)可近似看成函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0)的图象．在运行一圈的时间里，观察得到了如下的数据：
t/分钟 0 3 4.5 6 9 12 13.5
H/米 12 34 56 78 100 78 56
由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，求在运行的一圈里最佳观赏的时长．
5．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图①)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt．图②是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )
A．200 B．400
C．200π D．400π
6．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝a cos
B．y＝a cos ＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－a cos ＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝a cos －3
7．(多选)潮汐现象，是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为y＝A cos ＋6(ω>0)，其中y(单位：m)为港口水深，x(单位：h)为时间，0≤x≤24，观察到水位最高点和最低点的平均时间间隔为6 h，且中午12点时的水位为8 m，为保证安全，当水深不小于8 m时，应开放船只出入，则下列说法正确的是( )
A．ω＝
B．最高水位为12 m
C．该港口从上午8点开始首次开放船只出入
D．一天内开放出入时长为4 h
8．某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24小时)之内呈周期性变化，且符合函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋k，其中f (t)为水深(单位：米)，t为时间(单位：小时)，t∈[0，24)．研究小组绘制了水深图，部分信息如图．
(1)求f (t)的解析式；
(2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底距离)，问：
①该船满载时一天之内何时能进出港口？
②该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港；为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，最迟在几点之前离港才能确保安全？
课时分层作业(六十)
1．C [根据题干图象得函数的最小值为2，
有－3＋k＝2，k＝5，则最大值为3＋k＝8．]
2．BD [由题图可知，t＝1时，y＝－4，t＝0时，y＝2，所以A＝4，sin φ＝．
因为φ∈(0，π)，所以φ＝．
因为t＝1时，y＝－4，所以ω＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以ω＝2kπ＋，k∈Z．
由题图可知周期T满足2解得<ω<π，所以ω＝，此时φ＝，
关系式为y＝4sin(，该简谐运动的初相为，周期为T＝＝3，A不正确，B正确；
当t＝4时，y＝4sin(＝－4，位移是－4 cm，C不正确；
令x＝，
当t∈[]时，x＝]，
结合y＝sin x的简图(图略)可得，y＝sin x在区间[]上单调递减，D正确．故选BD．]
3． [由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝．]
4．解：由题意知，H最小值为12，最大值为100，
所以解得A＝44，h＝56．
周期为T＝2(9－0)＝18，
又T＝，所以ω＝，由题意可得，初相φ＝－，
所以f(t)＝44sin(＋56．
令f(t)＝44sin(＋56>34，t∈[0，18]，
即cos，所以，
所以3所以在运行的一圈里最佳观赏时长为15－3＝12(分钟)．
5．D [由题图可得，ω>0，T＝4×，即，则ω＝400π．]
6．C [当x＝1时图象处于最低点，当x＝7时图象处于最高点．又当x∈[1，7]时，函数是单调递增的，当x∈[7，12]时，函数是单调递减的，结合选项知，C正确．故选C．]
7．AC [依题意＝6，所以ω＝，A选项正确；
当x＝12时，y＝Acos(＋6＝8，解得A＝4，所以最高水位为10 m，B选项错误；
由上可知y＝4cos(＋6，令y≥8，解得8≤x≤12或20≤x≤24，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8 h，C选项正确，D选项错误．故选AC．]
8．解：(1)由题意得A＝＝2，k＝＝5，T＝2×(8－2)＝12＝，∴ω＝．
当t＝2时f(t)最大，∴2×，k∈Z，
又φ∈(－，
∴φ＝，
∴f(t)＝2sin(＋5，t∈[0，24)．
(2)①由题意得2sin(＋5≥4.5＋1.5，
即sin(，
∴2kπ＋，k∈Z，
解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z．
∵t∈[0，24)，
∴k＝0或k＝1．
∴0≤t≤4或12≤t≤16，
∴该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口．
②空载时水深至少要4米，由2sin(，∴2kπ－，k∈Z．∴12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z．
又t∈[0，24)，∴0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t<24．
因为6－0.5＝5.5，
所以最多滞留到五点半可确保安全离港．
1 / 1
