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2025年秋季浙教版八年级开学摸底考试数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：七年级下册全册+八年级上册前三章
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．在一些美术字中，有一些汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B． C．2，2，4 D．2，3，6
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．垂直于同一直线的两直线平行
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．丽江古城又名大研镇，位于云南省的丽江市，坐落于玉龙雪山下．始建于宋末元初，地处云贵高原，海拔余米，全城面积达平方公里，自古就是远近闻名的集市和重镇．丽江是中国历史文化名城之一，也是我国首批进入世界文化遗产名录的古城．“五一”期间相关部门对到丽江观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是
B．扇形统计图中的为
C．样本中选择公共交通出行的有人
D．若“五一”期间到丽江观光的游客大约有万人，则选择自驾方式出行的大约有万人
7．如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23八年级上·浙江温州·开学考试）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，点是边上的中点，连接，过点作交的延长线于点，设长为，长为，则下列代数式的值不变的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知，，则（ ）
A． B．3 C． D．1
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分．
11．因式分解： ．
12．（21-22八年级上·浙江绍兴·开学考试）满足不等式的最小整数解是 ．
13．（22-23八年级上·浙江金华·开学考试）关于的分式方程有增根，则的值是 ．
14．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ．
15．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 ．
16．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．
三、解答题：本题共8小题，17-21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分．
17．（1）解方程组：
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（1）如图，用三角板过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交直线于点．
（2）线段，的大小关系为______．（填“”“”或“”）
（3）过点作的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
19．（1）化简：
（2）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
20．端午至，粽香起，承千年习俗；艾叶悬，龙舟竞，续华夏文明．学校食堂的张师傅为了解全校学生对A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对全校学生进行抽样调查（每名学生只选一种最喜爱的粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中，B种粽子所在扇形的圆心角是______；
(2)补全条形统计图，扇形统计图中C种粽子所占百分比是______；
(3)已知全校有2800名学生，请估计全校喜爱A种粽子的学生的人数．
21．如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使．
(1)求证：；
(2)求证：．
22．（23-24八年级上·浙江嘉兴·开学考试）定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线．
(1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数；
(2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数．
23．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如．细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：．
(2)已知的三边长满足条件：，判断的形状，并说明理由．
24．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积；
(2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）中小学教育资源及组卷应用平台
2025年秋季浙教版八年级开学摸底考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．在一些美术字中，有一些汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B． C．2，2，4 D．2，3，6
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，算术平方根，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
利用三角形的三边关系定理进行分析即可．
【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，符合题意；
C、，不能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．垂直于同一直线的两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了真假命题，熟记课本中的定理和相关图形的性质是关键；
根据对顶角相等、平行线的性质和判定逐项判断即得答案.
【详解】解：A、对顶角相等，故原命题是真命题；
B、如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是真命题；
C、如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是真命题；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故原命题是假命题；
故选：D.
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方及合并同类项，据此逐项计算即可得出答案．
【详解】A. 和不是同类项，不能进行加减运算，故该选项不正确；
B. ，故该选项不正确；
C. ，故该选项不正确；
D. ，故该选项正确，
故选：D．
5．如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步解题即可．
【详解】解：∵等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
6．丽江古城又名大研镇，位于云南省的丽江市，坐落于玉龙雪山下．始建于宋末元初，地处云贵高原，海拔余米，全城面积达平方公里，自古就是远近闻名的集市和重镇．丽江是中国历史文化名城之一，也是我国首批进入世界文化遗产名录的古城．“五一”期间相关部门对到丽江观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是
B．扇形统计图中的为
C．样本中选择公共交通出行的有人
D．若“五一”期间到丽江观光的游客大约有万人，则选择自驾方式出行的大约有万人
【答案】A
【分析】本题主要考查了统计图的实际应用，根据统计图的信息关联找出有用的信息是解题的关键；用自驾人数2000除以其所占总人数百分率即可得出样本容量；用单位减去公共交通与自驾的百分比即可得出的值；用样本容量乘以公共交通占总人数的百分率即可得出实际人数；用万人乘以自驾人数占样本容量的百分率即可得出实际人数，按照以上方法依次求出答案，然后进一步对比即可．
【详解】解：A：本次抽样调查的样本容量是，选项A错误；
B：扇形统计图中，选项B正确；
C：样本中选择公共交通出行的人约有：（人），选项C正确；
D：万游客中选择自驾方式出行的约有：（万人），选项D正确．
故选：A．
7．如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
故选：C．
8．（22-23八年级上·浙江温州·开学考试）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键．
将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可求解．
【详解】解：变形为
由题意得：，
解得：
故选：B
9．如图，在中，，，点是边上的中点，连接，过点作交的延长线于点，设长为，长为，则下列代数式的值不变的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．先根据直角三角形的性质得到，，结合已知求得，再利用勾股定理求得，进而可求解．
【详解】解：∵在中，，点是边上的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，即的值不变，
故选：C．
10．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知，，则（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可．
【详解】解：∵，
，
∴．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分．
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解．利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12．（21-22八年级上·浙江绍兴·开学考试）满足不等式的最小整数解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解．先求出不等式的解集，再求出整数解即可．
【详解】解：解不等式，得，
所以最小整数解是．
故答案为：．
13．（22-23八年级上·浙江金华·开学考试）关于的分式方程有增根，则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
∵方程有增根，
∴，
把代入得，
解得，
故答案为：2．
14．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴是直角三角形，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：．
15．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 ．
【答案】8
【分析】先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再根据一组数据中，各组的频率和是1可得第六组的频率，由此即可得．
【详解】解：由题意得：第一组到第四组的频率和是，
∵第五组的频率是，
∴第六组的频率为，
∴第六组的频数为．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了频率与频数，熟练掌握各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1是解题关键．
16．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．
【答案】5或
【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键；
设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可．
【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，
由题意得，，，，
所以，，
∵，
∴，
当时，则，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
当时，则，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
综上，动点M的运动速度是2或 ；
故答案为：5或．
三、解答题：本题共8小题，17-21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分．
17．（1）解方程组：
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用加减法进行解方程，即可作答．
（2）分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：（1），
由，得③
，得，
解得．
将代入②，，
∴，
∴原方程组的解为；
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得．
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示不等式组的解集如图所示：
18．（1）如图，用三角板过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交直线于点．
（2）线段，的大小关系为______．（填“”“”或“”）
（3）过点作的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】本题考查了用三角板画垂线，尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据三角板作垂线的方法即可作图；
（2）根据垂线段最短即可说理；
（3）尺规作，那么由同位角相等，两直线平行即可说理．
【详解】解：（1）如解图1，直线即为所作：
（2）由垂线段最短可得：；
（3）如解图2，直线即为所作：
19．（1）化简：
（2）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】（1）；（2），当时，原式=2
【分析】题目主要考查分式的化简求值，异分母分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先通分，化为同分母的分式减法计算即可；
（2）先计算括号内分式减法，再将除法化为乘法计算，最后代入求值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
，
∵，
当时
原式．
20．端午至，粽香起，承千年习俗；艾叶悬，龙舟竞，续华夏文明．学校食堂的张师傅为了解全校学生对A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对全校学生进行抽样调查（每名学生只选一种最喜爱的粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中，B种粽子所在扇形的圆心角是______；
(2)补全条形统计图，扇形统计图中C种粽子所占百分比是______；
(3)已知全校有2800名学生，请估计全校喜爱A种粽子的学生的人数．
【答案】(1)
(2)，补全图见详解
(3)估计名
【分析】本题考查了从统计图中获取信息，扇形统计图圆心角，画条形统计图，样本估计总体等；
（1）由B种粽子所占百分比，即可求解；
（2）抽样调查的学生为（名），C种粽子所占百分比为人数除以总人数，求出喜爱A种粽子的学生的人数名；
（3）喜爱A种粽子所占百分比，即可求解；
能从统计图中获取正确的信息，会利用样本估计总体是解题的关键．
【详解】（1）解：B种粽子所在扇形的圆心角为：
，
故答案为：；
（2）解：抽样调查的学生为：（名），
C种粽子所占百分比：，
故答案为：；
喜爱A种粽子的学生的人数为：（名），
补全图，如下，
（3）解：由题意得
（名），
答：估计全校喜爱A种粽子的学生的人数名．
21．如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）等腰直角三角形，得到，进而得到，再根据，即可得证；
（2）根据全等三角形的对应角相等，得到，进而得到，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
又∵，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（23-24八年级上·浙江嘉兴·开学考试）定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线．
(1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数；
(2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数．
【答案】(1)图见解析（答案不唯一）
(2)或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
（1）根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可得；
（2）先根据等腰三角形的性质可得，，，再设，根据三角形的内角和定理、三角形的外角性质可得，，，则，然后分两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一）
（2）解：∵，，
∴是等腰三角形，，，
∵，
∴是等腰三角形，，
又∵线段，是的三分线，
∴是等腰三角形，
设，
∴，
，
，
∴，
则分以下两种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，即，解得；
②当时，是等腰三角形，
则，即，解得；
综上，的度数为或．
23．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如．细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：．
(2)已知的三边长满足条件：，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，勾股定理的逆定理的应用；
（1）把化为，再进一步分解因式即可；
（2）把原式化为，再进一步把左边分解因式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：是直角三角形．
理由：，
∴，
∴，
∴，
是的三边长，
，
，即，
是直角三角形．
24．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积；
(2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
【答案】(1)①484；②立方厘米；
(2)4厘米，或7厘米，或8厘米
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高．
（1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可；
②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米），
∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）；
故答案为：484；
②如图，设，，
∵能折成一个无盖长方体纸盒，且，
∴，
∴，，
即，
∴，
∴，
∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；
（2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米，
展开方式1如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
该方程无解；
展开方式2如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
∴；
展开方式3如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
∴，
展开方式4如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
∴，
展开方式5如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
∴，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米．
