第1课时 空间向量及其线性运算
1.空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝（ ）
A. B. C. D.
2.下列命题中为真命题的是（ ）
A.在四边形ABCD中，一定有＋＝
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面
C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
3.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，与向量的模相等的向量有（ ）
A.7个 B.3个 C.5个 D.6个
4.（2024·开封月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋（－）＝（ ）
A. B.C. D.
5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则＝（ ）
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
6.（多选）（2024·洛阳质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的是（ ）
A.（－）－ B.（＋）－
C.（－）＋ D.（－）－
7.如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，与是 向量，与是 向量.（用相等、相反填空）
8.（2024·杭州月考）已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝ .
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y（＋），则x＝ ，y＝ .
10.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式：
（1）＋；
（2）＋＋；
（3）＋－.
11.（2024·泉州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝（ ）
A.1 B.
C. D.2
12.（多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有（ ）
A.＋与＋是一对相反向量
B.－与－是一对相反向量
C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D.－与－是一对相反向量
13.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－＝ .
14.（2024·广州月考）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）化简＋＋；
（2）若＋x＋＋＋＝0，则x可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）
15.光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则＋＋＝ .
16.（2024·苏州月考）在平面四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.
（1）拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明；
（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，E，F分别为AB，A1C的中点，利用上述（1）的结论表示.
第1课时 空间向量及其线性运算
1.C ＋－＝＋＝＋＝.
2.B 对于选项A，只有平行四边形才满足；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；对于选项D，在空间中向量a与向量b不相等，有可能它们的模相等，但方向不同，故选B.
3.A ｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜.
4.C 因为－＝，（－）＝＝，所以＋（－）＝＋＝.故选C.
5.A 因为M是A1C1的中点，所以＝＋－＝－＋＝－＋＝－＋（＋）＝－＋＝－a＋b＋c.故选A.
6.ABC 对于选项A，（－）－＝－＝；对于选项B，（＋）－＝＋＝；对于选项C，（－）＋＝＋＝；对于选项D，（－）－＝（－）－＝＋＝，故选A、B、C.
7.相等 相反 解析：由相等向量与相反向量的定义知：与是相等向量，与是相反向量.
8. 解析：法一 ＋－＝（＋）－＝－＝.
法二 ＋－＝＋（－）＝＋＝.
9.1 解析：因为＝＋＝＋＝＋（＋），所以x＝1，y＝.
10.解：（1）＋＝.
（2）∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝－＝－＝.
（3）＝＝2，则＋＝＋＝，
∴＋－＝－＝0.
11.B 因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋（－），所以2＝＋＋，所以＝＋＋，所以x＝，2y＝，3z＝，解得x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝＋＋＝.
12.ACD ∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－（＋），同理可得＋＝－（＋），故＋＋＋＝－（＋＋＋），∴A、C正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－（－），∴D正确.
13.0 解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝，故＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
14.解：（1）＋＋
＝＋＋
＝＋＝.
（2）因为＝，＝.
所以＋x＋＋＋
＝＋x＋＋＋＝0.
所以＋x＋＝0，
所以x＝.
又因为＝＝＝，
所以x可以是，，，中的任一个.
15. 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，且＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.
16.解：（1）在空间四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.证明如下：
＝＋＋＝＋＋＝（＋）＋＋（＋）＝＋＋＋＋＝＋.
（2）由（1）的结论可得＝＋＝＋.
3 / 31.1.1 空间向量及其线性运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念 数学抽象、直观想象
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程 数学抽象、直观想象
3.掌握空间向量的线性运算及其运算律，体会数学运算在研究几何问题中的作用 逻辑推理、数学运算
第1课时 空间向量及其线性运算
章前图展示的是一个滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？
【问题】 （1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
（2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？
知识点一 空间向量的有关概念
1.定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量.
2.长度：空间向量的 叫做空间向量的长度或 .
3.表示法：
4.几个特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为 的向量 0
单位向量 模为 的向量 ｜a｜＝1或｜｜＝1
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量叫做a的相反向量 －a
相等向量 方向 且模 的向量 a＝b或 ＝
共线向量或平 行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合（规定：零向量与任意向量平行） a∥b或 ∥
提醒 单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
知识点二 空间向量的线性运算
加法、减法 数乘
几何 形式
代数 形式 ＝ ＝a＋b， ＝ ＝a－b 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c 结合律：λ（μ a）＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μ a，λ（a＋b）＝λa＋λb
【想一想】
1.空间向量线性运算的结果还是向量吗？
2.由数乘λa＝0，可否得出λ＝0？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）零向量与任意向量平行.（ ）
（2）向量的长度与向量的长度相等.（ ）
（3）若a＝－b，则｜a｜＝｜b｜.（ ）
（4）5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝3a－2b.（ ）
2.化简－＋所得的结果是（ ）
A. B. C.0 D.
3.（多选）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，下列向量相等的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
题型一 空间向量的概念辨析
【例1】 （多选）下列命题为真命题的是（ ）
A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.空间中任意两个单位向量必相等
通性通法
空间向量的概念辨析
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反.
【跟踪训练】
（2024·烟台月考）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中：
（1）试写出与是相等向量的所有向量；
（2）试写出的相反向量.
题型二 空间向量的加法、减法运算
【例2】 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，化简＋－＋，并在图中标出化简结果的向量.
通性通法
空间向量加法、减法运算的两个技巧
（1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；
（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
【跟踪训练】
如图所示的是平行六面体ABCD-A1B1C1D1，则
（1）＋＋＝ ；
（2）－＋＝ .
题型三 空间向量的数乘运算
【例3】 （2024·南京质检）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.
（1）化简：－－＝ ；
（2）用，，表示，则＝ .
通性通法
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
【跟踪训练】
1.如图，在四面体ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，则（＋）－（＋）＝（ ）
A. B.C. D.
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点P在A1C上，且＝.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝（ ）
A. B.1 C. D.
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋＝（ ）
A. B.
C. D.
2.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.若｜a｜＜｜b｜，则a＜b B.若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C.对于空间内任意一个向量a，存在λ∈R，使得λa＝0 D.在四边形ABCD中，－＝
3.（2024·郑州月考）已知空间向量a，b，c，化简（a＋2b－3c）＋5（a－b＋c）－3（a－2b＋c）＝ .
第1课时 空间向量及其线性运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.大小 方向 2.大小 模 3.（1）有向线段 （2） ｜a｜ ｜｜ 4.0 1
相等 相反 相同 相等
知识点二
＋ －
想一想
1.提示：是向量.
2.提示：不能.λa＝0 λ＝0或a＝0.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）√
2.C －＋＝＋－＝－＝0，故选C.
3.CD 易知｜｜＝｜｜，但与方向相反，故A不符合题意；｜｜＝｜｜，但与方向不同，故B不符合题意；｜｜＝｜｜，且与方向相同，故C符合题意；｜｜＝｜｜，且与方向相同，故D符合题意.故选C、D.
【典型例题·精研析】
【例1】 BC A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选B、C.
跟踪训练
解：（1）与向量是相等向量（除它自身之外）的有，，，共3个.
（2）向量的相反向量为，，，.
【例2】 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝.
同理易得＝，＝，＝，
所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图.
母题探究
解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，
所以＝，－＝＝，
所以＋－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝，如图.
跟踪训练
（1） （2） 解析：（1）＋＋＝＋＝.
（2）－＋＝－＋＝＋＝.
【例3】 （1） （2）＋＋ 解析：（1）－－＝－＝－＝.
（2）＝＋＝＋＝（＋）＋＝＋＋.
跟踪训练
1.C 连接BM，BN，如图所示.因为M，N分别是AD，CD的中点，所以（＋）－（＋）＝－＝.故选C.
2.C 如图，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋（＋）＝＋＋，所以x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝.故选C.
随堂检测
1.D 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋＝（＋）＋＝＋＝.故选D.
2.CD 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意一个向量a，存在实数λ＝0，使得0·a＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确.
3.a＋b－c 解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b－c.
4 / 4(共62张PPT)
1.1.1
空间向量及其线性运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解
空间向量的概念 数学抽象、
直观想象
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的
过程 数学抽象、
直观想象
3.掌握空间向量的线性运算及其运算律，体会数学运
算在研究几何问题中的作用 逻辑推理、
数学运算
第1课时
空间向量及其线性运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
章前图展示的是一个滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，
飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法表示这些
力吗？
【问题】 （1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示
出来？
（2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？
知识点一 空间向量的有关概念
1. 定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量.
2. 长度：空间向量的 叫做空间向量的长度或 .
3. 表示法：
大小
方向
大小
模
4. 几个特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为 的向量 0
单位向量 模为 的向量
相反向量 与向量 a 长度 而方向
的向量叫做 a 的相反向量 － a
0
1
相等
相反
特殊向量 定义 表示法
相等向量 方向 且模 的向量
共线向 量或平 行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合（规定：零向量
与任意向量平行）
提醒 单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，
单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，
而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
相同
相等
知识点二 空间向量的线性运算
加法、减法 数乘
几何 形式
代数 形式
＋
－
加法、减法 数乘
运算律 交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； 结合律： a ＋（ b ＋ c ）＝
（ a ＋ b ）＋ c 结合律：λ（μ a ）＝（λμ）
a ；
分配律：（λ＋μ） a ＝λ a ＋μ
a ，λ（ a ＋ b ）＝λ a ＋λ b
【想一想】
1. 空间向量线性运算的结果还是向量吗？
提示：是向量.
2. 由数乘λ a ＝0，可否得出λ＝0？
提示：不能.λ a ＝0 λ＝0或 a ＝0.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）零向量与任意向量平行. （ √ ）
（2）向量 的长度与向量 的长度相等. （ √ ）
（3）若 a ＝－ b ，则｜ a ｜＝｜ b ｜. （ √ ）
（4）5（3 a －2 b ）＋4（2 b －3 a ）＝3 a －2 b . （ √ ）
√
√
√
√
2. 化简 － ＋ 所得的结果是（ ）
C. 0
解析： － ＋ ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故
选C.
3. （多选）如图，在正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，下列向量相等的
是（ ）
解析： 易知｜ ｜＝｜ ｜，但 方向相反，故A
不符合题意；｜ ｜＝｜ ｜，但 方向不同，故B不符
合题意；｜ ｜＝｜ ｜，且 方向相同，故C符合题
意；｜ ｜＝｜ ｜，且 方向相同，故D符合题意.
故选C、D.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量的概念辨析
【例1】 （多选）下列命题为真命题的是（ ）
A. 若空间向量 a ， b 满足｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＝ b
C. 若空间向量 m ， n ， p 满足 m ＝ n ， n ＝ p ，则 m ＝ p
D. 空间中任意两个单位向量必相等
解析： A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅
模要相等，而且还要方向相同，而A中向量 a 与 b 的方向不一定相同；
B为真命题， ＝ ；C为
真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位
向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选B、C.
通性通法
空间向量的概念辨析
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相
关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模
相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反.
【跟踪训练】
（2024·烟台月考）如图所示，以长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中：
（1）试写出与 是相等向量的所有向量；
解： 与向量 ，共3个.
（2）试写出 的相反向量.
解：向量 .
题型二 空间向量的加法、减法运算
【例2】 在正六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，化简 － ＋
＋ ＋ ，并在图中标出化简结果的向量.
解：在正六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，四边形
AA1 F1 F 是平行四边形，所以 ＝ .
同理易得 ＝ ＝ ＝ ，
所以 － ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋
＋ ＝ ，如图.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，化简 ＋ － ＋ ，并在图
中标出化简结果的向量.
解：根据六棱柱的性质知四边形 BB1 C1 C ， DD1 E1 E 都
是平行四边形，
所以 ＝ ，－ ＝ ＝ ，
所以 ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ，如图.
通性通法
空间向量加法、减法运算的两个技巧
（1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法
运算的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；
（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、
减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用
空间向量的自由平移获得运算结果.
【跟踪训练】
如图所示的是平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1，则
（1） ＋ ＋ ＝ ；
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） － ＋ ＝ .
解析： － ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＝ .
题型三 空间向量的数乘运算
【例3】 （2024·南京质检）如图所示，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1
中， O 为 AC 的中点.
（1）化简： － － ＝ ；
解析：（1） － － ＝ － ＝ － ＝ .
（2）用 ， ， 表示 ，则 ＝ .
＋ ＋
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ .
通性通法
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角
形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
【跟踪训练】
1. 如图，在四面体 ABCD 中， M ， N 分别是 AD ， CD 的中点，则
（ ＋ ）－ （ ＋ ）＝（ ）
解析： 连接 BM ， BN ，如图所示.因为 M ， N
分别是 AD ， CD 的中点，所以 ＋ ）－
＋ ）＝ － ＝ .故选C.
2. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 P 在 A1 C 上，且 ＝ .
若 ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＋ y ＋ z ＝（ ）
B. 1
解析： 如图， ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ － ）＝ ＋
＋ ）＝ ＋ ＋ ，所以 x ＝ ， y
＝ ， z ＝ ，所以 x ＋ y ＋ z ＝ .故选C.
1. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， ＋ ＋ ＝（ ）
解析： 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， ＋ ＋ ＝（
＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .故选D.
2. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若｜ a ｜＜｜ b ｜，则 a ＜ b
B. 若 a ， b 为相反向量，则 a ＋ b ＝0
C. 对于空间内任意一个向量 a ，存在λ∈R，使得λ a ＝0
解析： 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；
相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意一个向量 a ，存在实数λ
＝0，使得0· a ＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确.
3. （2024·郑州月考）已知空间向量 a ， b ， c ，化简 （ a ＋2 b －3
c ）＋5 －3（ a －2 b ＋ c ）＝ a ＋ b － c .
解析：原式＝ a ＋ b － c ＋ a － b ＋ c －3 a ＋6 b －3 c ＝ a ＋
b － c .
a ＋ b － c
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 空间中任意四个点 A ， B ， C ， D ，则 ＋ － ＝（ ）
解析： ＋ － ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 下列命题中为真命题的是（ ）
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面
C. 空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 对于选项A，只有平行四边形才满足；对于选项B，
其终点构成一个球面；对于选项C，空间非零向量能用空间中的
一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；对于选项D，
在空间中向量 a 与向量 b 不相等，有可能它们的模相等，但方向
不同，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 在平行六面体 ABCD -A'B'C'D'中，与向量 的模相等的向量有
（ ）
A. 7个 B. 3个
C. 5个 D. 6个
解析： ｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜
＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. （2024·开封月考）如图，在空间四边形 ABCD 中，设 E ， F 分别是
BC ， CD 的中点，则 ＋ （ － ）＝（ ）
解析： 因为 － ＝ － ）＝ ＝
＋ － ）＝ ＋ ＝ .故选C.
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5. 如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 为 A1 C1的中点，若 ＝ a ，
＝ c ， ＝ b ，则 ＝（ ）
解析： 因为 M 是 A1 C1的中点，所以 ＝ ＋ － ＝
－ ＋ ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＋
）＝ － ＋ ＝－ a ＋ b ＋ c .故选A.
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6. （多选）（2024·洛阳质检）如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，
下列各式中运算的结果为 的是（ ）
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解析： 对于选项A，（ － ）－ ＝ － ＝
；对于选项B，（ ＋ ）－ ＝ ＋ ＝ ；
对于选项C，（ － ）＋ ＝ ＋ ＝ ；对于选项
D，（ － ）－ ＝（ － ）－ ＝ ＋
＝ ，故选A、B、C.
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7. 如图所示，在三棱柱 ABC -A'B'C'中， 与 是 向量，
与 是 向量.（用相等、相反填空）
解析：由相等向量与相反向量的定义知：
是相反向量.
相等
相反
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8. （2024·杭州月考）已知空间中任意四个点 A ， B ， C ， D ，则
＋ － ＝ .
解析：法一 ＋ － ＝（ ＋ ）－ ＝ － ＝
.
法二 ＋ － ＝ ＋（ － ）＝ ＋ ＝ .
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9. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， ＝ ，若 ＝ x ＋ y
（ ＋ ），则 x ＝ ， y ＝ .
解析：因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋
），所以 x ＝1， y ＝ .
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10. 如图所示，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 是 BB1的中点，化简下列
各式：
（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ；
解： ∵ ＝ ＝ ，
∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ ＝ － ＝ － ＝ .
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（3） ＋ － .
解： ＝ ＝2 ＋
＝ ＋ ＝ ，
∴ ＋ － ＝ － ＝0.
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11. （2024·泉州月考）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平
行四边形，点 E 为棱 PC 的中点，若 ＝ x ＋2 y ＋3 z ，
则 x ＋ y ＋ z ＝（ ）
A. 1
D. 2
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解析： 因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＋（ － ），所以2 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＋ ，所以 x ＝ ，2 y ＝ ，3 z ＝ ，解得 x ＝ ， y ＝ ， z
＝ ，所以 x ＋ y ＋ z ＝ ＋ ＋ ＝ .
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12. （多选）已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的中心为 O ，则下列结论中
正确的有（ ）
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解析： ∵ O 为正方体的中心，∴ ＝－ ＝－
＋ ＝－（ ＋ ＋ ＝－
（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝－（ ＋ ＋
＋ ），∴A、 C 正确；∵ － ＝ － ＝
，∴ － － 是两个相等的向量，∴B不正
确；∵ － ＝ － ＝ ＝－ ，∴ －
＝－（ － ），∴D正确.
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13. 在空间四边形 ABCD 中，连接 AC ， BD . 若△ BCD 是正三角形，且
E 为其中心，则 ＋ － － ＝ .
解析：如图，取 BC 的中点 F ，连接 DF ，则 ＝
＋ － － ＝ ＋ －
＋ ＝ ＋ ＋ ＝0.
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14. （2024·广州月考）如图，已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1.
（1）化简 ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝ .
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（2）若 ＋ x ＋ ＋ ＋ ＝0，则 x 可以是图中有向线
段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）
解：因为 ＝ ＝ .
所以 ＋ x ＋ ＋ ＋
＝ ＋ x ＋ ＋ ＋ ＝0.
所以 ＋ x ＋ ＝0，
所以 x ＝ .
又因为 ＝ ＝ ＝ ，
所以 x 可以是 中的任一个.
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15. 光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城
市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳
楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海
楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的
正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为
，则 ＋ ＋ ＝ .
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解析：如图，延长 EA ， FB ， GC ， HD 相交
于一点 O ，则 ＝ ＝ ＝
，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝
＋ ＝ .
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16. （2024·苏州月考）在平面四边形 ABCD 中， E ， F 分 ， 所
成的比为λ，即 ＝ ＝λ，则有 ＝ ＋ .
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（1）拓展到空间，写出空间四边形 ABCD 类似的命题，并加
以证明；
解： 在空间四边形 ABCD 中， E ， F 分 所成的比为
λ，即 ＝ ＝λ，则有 ＝ ＋ .证明如下：
＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
）＋ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＋
＋ ＝ ＋ .
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（2）在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ a ， BC ＝ b ， AA1＝
c ， E ， F 分别为 AB ， A1 C 的中点，利用上述（1）的结论表
示 .
解：由（1）的结论可得 ＝ ＋ ＝ ＋
.
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谢 谢 观 看！
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