第1课时 空间向量基本定理
1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A.a，b共线 B.a，b同向
C.a，b反向 D.a，b共面
2.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.或
3.（2024·聊城质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，＝c，则＝（ ）
A.－a－b－c B.a＋b－c
C.a－b－c D.－a＋b－c
4.（2024·南通月考）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为（ ）
A.，－1，－ B.，1，
C.－，1，－ D.，1，－
5.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（ ）
A.a＋b＋c B.a＋b－c
C.－a＋b＋c D.a－b＋c
6.（多选）已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A.{，，}不能构成空间的一个基底
B.{，，}能构成空间的一个基底
C.{，，}不能构成空间的一个基底
D.{，，}能构成空间的一个基底
7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为 .
8.若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是 .
9.（2024·三门峡月考）已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝ .
10.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中，＝a，＝b，＝c.
（1）用a，b，c表示向量；
（2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示.
11.（2024·舟山质检）正方体ABCD-A'B'C'D'中，O1，O2，O3分别是AC，AB'，AD'的中点，以{，，}为基底时，＝x＋y＋z，则（ ）
A.x＝y＝z＝ B.x＝y＝z＝1
C.x＝y＝z＝ D.x＝y＝z＝2
12.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶CA1＝1∶4，则向量可表示为（ ）
A.a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b－c D.a＋b－c
13.（2024·宁德月考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心.若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝ .
14.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
（1）试用向量a，b，c表示，；
（2）若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
15.（2024·安阳质检）如图，在△OAB中，C是AB的中点，P在线段OC上，且＝2.过点P的直线交线段OA，OB分别于点N，M，且＝m，＝n，其中m，n∈[0，1]，则m＋n的最小值为（ ）
A. B. C.1 D.
16.在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，点G在线段AE上，且AG＝2GE.
（1）试用{，，}表示向量；
（2）若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，求·的值.
第1课时 空间向量基本定理
1.A 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的，故D错.
2.C ∵＝（a－b），∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间的一个基底.
3.D ＝＋＝－c＋＝－c＋（b－a）＝－a＋b－c.故选D.
4.A 由题意得d＝xa＋yb＋zc＝x（e1＋e2＋e3）＋y（e1＋e2－e3）＋z（e1－e2＋e3）＝（x＋y＋z）e1＋（x＋y－z）e2＋（x－y＋z）e3，∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得故选A.
5.C ＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C.
6.AC 由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面.所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C.
7.a－b＋c 解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c.
8.x＝y＝z＝0 解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
9.3a＋3b－5c
解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则＝－＝－＝＋＝（5a＋6b－8c）＋（a－2c）＝3a＋3b－5c.
10.解：（1）＝＋＝－＋＝b－a＋c.
（2）＝＋＝－＋
＝－（＋）＋（＋）
＝－（a＋b＋c＋b）＋（a＋b＋c＋c）
＝（c－b）.
11.B ＝＋＝＋＋＝＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝＋＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，得x＝y＝z＝1.
12.D 因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶CA1＝1∶4，所以＝＋＝－＋＝－＋（－）＝－＋（＋－）＝＋－＝a＋b－c，故选D.
13.－2 解析：如图，由题意可得＝－＝－（＋）＝－－＋＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2.
14.解：（1）如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋＝－（＋）＋（＋）＝（a－c）.
（2）＝（＋）＝（－＋）＝（－c＋a－b－c）＝a－b－c，
所以x＝，y＝－，z＝－1.
15.C ＝（＋），即2＝（＋），＝＋，又点P，M，N共线，∴＋＝1.又m，n∈[0，1]，∴m＋n＝（m＋n）＝（＋1＋1＋）≥×（2＋2）＝1，当且仅当m＝n＝时取等号，故选C.
16.解：（1）因为＝2，所以－＝2（－），所以3＝2＋.
又2＝＋，所以＝＋＋.
（2）由（1）可知，＝＋＋，＝－.
又∠AOC＝∠BOC＝60°，所以·＝·（－）＝－＋＋·－·＝－×22＋×32＋×3×4cos 60°－×2×4cos 60°＝，
即·的值为.
3 / 31.2 空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用 数学抽象、逻辑推理
2.掌握空间向量的正交分解 直观想象
第1课时 空间向量基本定理
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子的《道德经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程.联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维的基底，可以生成空间中的所有向量.
【问题】 当基底确定后，空间向量基本定理中实数组（x，y，z）是否唯一？
知识点一 空间向量基本定理
1.定理
条件 三个 的向量a，b，c和 空间向量p
结论 存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝
2.基底：三个向量a，b，c ，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做 .
提醒 （1）基底中不能有零向量；（2）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.
知识点二 空间向量的正交分解
1.单位正交基底
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.正交分解
把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
【想一想】
单位正交基底中的“单位”和“正交”分别是什么意思？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.（ ）
（2）若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.（ ）
（3）对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组（x，y，z），使0＝xa1＋ya2＋za3.（ ）
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.（2024·绍兴月考）如图，已知四面体ABCD中，＝b，＝c，＝d，M为BC的中点，用基向量b，c，d表示向量＝ .
题型一 空间向量基本定理的理解
【例1】 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否构成空间的一个基底？
通性通法
判断基底的基本思路
（1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底；
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【跟踪训练】
（多选）设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以构成空间一个基底的向量组是（ ）
A.{a，b，x} B.{x，y，z}
C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}
题型二 用基底表示空间向量
【例2】 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
通性通法
用基底表示向量的步骤
【跟踪训练】
1.（2024·台州月考）如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则（ ）
A.＝－a－b＋c B.＝－a－b＋c
C.＝－a＋b＋c D.＝－a－b－c
2.（2024·无锡月考）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ .
1.（多选）下列结论正确的是（ ）
A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底
D.若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
2.（2024·扬州月考）若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与向量m，n构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A.a B.b
C.c D.2a
3.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ .（用a，b，c表示）
4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量.
第1课时 空间向量基本定理
【基础知识·重落实】
知识点一
1.不共面 任意一个 xa＋yb＋zc
2.不共面 基向量
知识点二
1.垂直 1 2.垂直
想一想
提示：“单位”是指三个基向量的长度都是1，“正交”是指三个基向量两两垂直.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.C 由题意知，，不共面，可以构成空间向量的一个基底.
3.b＋c－d 解析：∵M为BC的中点，∴＝（＋）＝[（－）＋（－）]＝[（b－d）＋（c－d）]＝b＋c－d.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立.
∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）
＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数x，y，使＝x＋y成立.
∴，，不共面.
故{，，}能构成空间的一个基底.
跟踪训练
BCD 如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.故选B、C、D.
【例2】 解：＝＋
＝＋（＋）
＝＋＋
＝＋（－）＋
＝＋＋
＝（a＋b＋c）.
连接A'N（图略），
＝＋＝＋（＋）
＝＋（＋）＝a＋b＋c.
母题探究
解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点，
所以＝（＋）＝a＋b.
＝（＋）＝（＋＋）
＝＋＋
＝＋（－）＋
＝＋－＝a＋b－c.
跟踪训练
1.B ＝－＝（＋）－（＋）＝－－＋＝－a－b＋c.故选B.
2. 解析：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为BE＝BB1，DF＝DD1，所以＝＋＋＋＝－－＋＋＝－－＋＋＝－＋＋.因为＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝－1＋1＋＝.
随堂检测
1.ABD 由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误.
2.C 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[（a＋b）＋（a－b）]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[（a＋b）－（a－b）]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故选C.
3.a＋b＋c 解析：＝＋＝＋×（＋）＝＋（－＋－）＝＋＋＝a＋b＋c.
4.解：如图，连接A1M，A1C1，
则＝－
＝＋－（＋）
＝＋（＋）－（＋）
＝－（＋）
＝－a－b＋c.
4 / 4(共60张PPT)
1.2 空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用 数学抽象、
逻辑推理
2.掌握空间向量的正交分解 直观想象
第1课时
空间向量基本定理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子的《道德
经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程.联
系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个二维的基底
可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维
的基底，可以生成空间中的所有向量.
【问题】 当基底确定后，空间向量基本定理中实数组（ x ， y ， z ）
是否唯一？
知识点一 空间向量基本定理
1. 定理
条件 三个 的向量 a ， b ， c 和 空间向
量 p
结论 存在唯一的有序实数组（ x ， y ， z ），使得 p ＝
不共面
任意一个
xa ＋
yb ＋ zc
2. 基底：三个向量 a ， b ， c ，那么{ a ， b ， c }叫做空间
的一个基底， a ， b ， c 都叫做 .
提醒 （1）基底中不能有零向量；（2）空间任意三个不共面的向
量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基
底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.
不共面
基向量
知识点二 空间向量的正交分解
1. 单位正交基底
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长
度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{ i ， j ， k }
表示.
2. 正交分解
把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量
进行正交分解.
垂直
1
垂直
【想一想】
单位正交基底中的“单位”和“正交”分别是什么意思？
提示：“单位”是指三个基向量的长度都是1，“正交”是指三个基
向量两两垂直.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.
（ × ）
（2）若{ a ， b ， c }为空间的一个基底，则 a ， b ， c 全不是零向量.
（ √ ）
（3）对于三个不共面向量 a1， a2， a3，不存在实数组（ x ， y ，
z ），使0＝ xa1＋ ya2＋ za3. （ × ）
×
√
×
2. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，可以构成空间的一个基底的是
（ ）
解析： 由题意知 不共面，可以构成空间向量
的一个基底.
3. （2024·绍兴月考）如图，已知四面体 ABCD 中， ＝ b ， ＝ c ， ＝ d ， M 为 BC 的中点，用基向量 b ， c ， d 表示向量 ＝ .
b ＋ c － d
解析：∵ M 为 BC 的中点，∴ ＝ ＋ ）＝ －
）＋（ － ）]＝ [（ b － d ）＋（ c － d ）]＝ b ＋ c － d .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量基本定理的理解
【例1】 已知{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，且 ＝ e1＋2 e2－
e3， ＝－3 e1＋ e2＋2 e3， ＝ e1＋ e2－ e3，试判断{ ， ，
}能否构成空间的一个基底？
解：假设 共面，由向量共面的充要条件知存在实数 x ，
y ，使 ＝ x ＋ y 成立.
∴ e1＋2 e2－ e3＝ x （－3 e1＋ e2＋2 e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3）
＝（－3 x ＋ y ） e1＋（ x ＋ y ） e2＋（2 x － y ） e3.
∵{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，
∴ e1， e2， e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数 x ， y ，使 ＝ x ＋ y 成立.
∴ 不共面.
故{ }能构成空间的一个基底.
通性通法
判断基底的基本思路
（1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向
量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底；
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体
等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为
基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【跟踪训练】
（多选）设 x ＝ a ＋ b ， y ＝ b ＋ c ， z ＝ c ＋ a ，且{ a ， b ， c }是空间
的一个基底，给出下列向量组，其中可以构成空间一个基底的向量组
是（ ）
A. { a ， b ， x } B. { x ， y ， z }
C. { b ， c ， z } D. { x ， y ， a ＋ b ＋ c }
解析： 如图所示，令 a ＝ ， b ＝ ， c
＝ ，则 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ， a ＋ b ＋
c ＝ .由于 A ， B1， C ， D1四点不共面，可知向
量 x ， y ， z 也不共面，同理 b ， c ， z 和 x ， y ， a
＋ b ＋ c 也不共面.故选B、C、D.
题型二 用基底表示空间向量
【例2】 如图，在三棱柱 ABC - A ' B ' C '中，已知 ＝ a ， ＝ b ，
＝ c ，点 M ， N 分别是 BC '， B ' C '的中点，试用基底{ a ， b ， c }表
示向量 ， .
解： ＝ ＋
＝ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋
＝ ＋ － ）＋
＝ ＋ ＋
＝ （ a ＋ b ＋ c ）.
连接A'N（图略），
＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ）
＝ ＋ ＋ ）＝ a ＋ b ＋ c .
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“ ＝ a ”改为“ ＝ a ”，其他条件不
变，则结果是什么？
解：因为 M 为BC'的中点， N 为B'C'的中点，
所以 ＝ ＋ ）＝ a ＋ b .
＝ ＋ ）＝ ＋ ＋ ）
＝ ＋ ＋
＝ ＋ － ）＋
＝ ＋ － ＝ a ＋ b － c .
通性通法
用基底表示向量的步骤
【跟踪训练】
1. （2024·台州月考）如图，四棱锥 P - OABC 的底面是矩形， PO ⊥底面 OABC . 设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， E 是 PC 的中点，则（ ）
解析： ＝ － ＝ ＋ ）－（ ＋ ）＝－
－ ＋ ＝－ a － b ＋ c .故选B.
2. （2024·无锡月考）如图，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ，
F 分别在棱 B1 B 和 D1 D 上，且 BE ＝ BB1， DF ＝ DD1，若 ＝ x
＋ y ＋ z ，则 x ＋ y ＋ z ＝ .
解析：在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，因为 BE ＝ BB1， DF ＝
DD1，所以 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋
＝－ － ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ .因为
＝ x ＋ y ＋ z ，所以 x ＝－1， y ＝1， z ＝ ，所以 x ＋ y ＋
z ＝－1＋1＋ ＝ .
1. （多选）下列结论正确的是（ ）
A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两
个向量共线
C. 若 a ， b 是两个不共线的向量，且 c ＝λ a ＋μ b （λ，μ∈R且
λμ≠0），则{ a ， b ， c }构成空间的一个基底
解析： 由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足 c
＝λ a ＋μ b ，所以 a ， b ， c 共面，不能构成基底，故错误.
2. （2024·扬州月考）若{ a ， b ， c }是空间的一个基底，且向量 m ＝ a
＋ b ， n ＝ a － b ，则可以与向量 m ， n 构成空间的另一个基底的向
量是（ ）
A. a B. b
C. c D. 2 a
解析： 由题意知， a ， b ， c 不共面，对于选项A， a ＝ [（ a ＋
b ）＋（ a － b ）]＝ m ＋ n ，故 a ， m ， n 共面，排除A；对于选
项B， b ＝ [（ a ＋ b ）－（ a － b ）]＝ m － n ，故 b ， m ， n 共
面，排除B；对于选项D，由选项A得，2 a ＝ m ＋ n ，故2 a ， m ， n
共面，排除D. 故选C.
3. 在四面体 OABC 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， D 为 BC 的中点，
E 为 AD 的中点，则 ＝ .（用 a ， b ， c 表示）
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ × ＋ ）＝ ＋
－ ＋ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a ＋ b ＋ c .
a ＋ b ＋ c
4. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 AC 与 BD 的交点.若
＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，试用基底{ a ， b ， c }表示向量 .
解：如图，连接 A1 M ， A1 C1，
则 ＝ －
＝ ＋ －（ ＋ ）
＝ ＋ ＋ ）－（ ＋ ）
＝ － ＋ ）
＝－ a － b ＋ c .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果向量 a ， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有
（ ）
A. a ， b 共线 B. a ， b 同向
C. a ， b 反向 D. a ， b 共面
解析： 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做
基底，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的，
故D错.
1
2
3
4
5
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2. 已知 O ， A ， B ， C 为空间不共面的四点，且向量 a ＝ ＋ ＋
，向量 b ＝ ＋ － ，则与 a ， b 不能构成空间的一个基
底的是（ ）
解析： ∵ ＝ （ a － b ），∴ 与 a ， b 共面，∴ a ， b ，
不能构成空间的一个基底.
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3. （2024·聊城质检）如图，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AC
与 BD 交于点 M ，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝
（ ）
解析： ＝ ＋ ＝－ c ＋ ＝－ c ＋ （ b － a ）＝
－ a ＋ b － c .故选D.
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4. （2024·南通月考）已知{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，向量 a ＝
e1＋ e2＋ e3， b ＝ e1＋ e2－ e3， c ＝ e1－ e2＋ e3， d ＝ e1＋2 e2＋3 e3，
若 d ＝ xa ＋ yb ＋ zc ，则 x ， y ， z 的值分别为（ ）
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解析： 由题意得 d ＝ xa ＋ yb ＋ zc ＝ x （ e1＋ e2＋ e3）＋ y （ e1＋
e2－ e3）＋ z （ e1－ e2＋ e3）＝（ x ＋ y ＋ z ） e1＋（ x ＋ y － z ） e2＋
（ x － y ＋ z ） e3，∵ d ＝ e1＋2 e2＋3 e3，∴故选A.
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5. 已知空间四边形 OABC 中， M 在 AO 上，满足 ＝ ， N 是 BC 的中
点，且 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，用 a ， b ， c 表示向量 为
（ ）
解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ － ）＝
－ ＋ ＋ ＝－ a ＋ b ＋ c .故选C.
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6. （多选）已知 A ， B ， C ， D ， E 是空间中的五点，且任意三点均
不共线.若{ ， ， }与{ ， ， }均不能构成空间的
一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
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解析： 由题意可得空间五点 A ， B ， C ， D ， E 共面.所以 A ，
B ， C ， D ， E 这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成
空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C.
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7. 如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB ＝2 CD ，点 O 为空间任意
一点，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则向量 用 a ， b ， c 表示
为 .
解析：∵ ＝－2 ，∴ － ＝－2（ － ），∴ b － a
＝－2（ － c ），∴ ＝ a － b ＋ c .
a － b ＋ c
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8. 若{ a ， b ， c }是空间的一个基底，且存在实数 x ， y ， z ，使得 xa
＋ yb ＋ zc ＝0，则 x ， y ， z 满足的条件是 .
解析：若 x ≠0，则 a ＝－ b － c ，即 a 与 b ， c 共面.由{ a ， b ， c }
是空间的一个基底知 a ， b ， c 不共面，故 x ＝0，同理 y ＝ z ＝0.
x ＝ y ＝ z ＝0
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9. （2024·三门峡月考）已知四面体 ABCD 中， ＝ a －2 c ， ＝5
a ＋6 b －8 c ，对角线 AC ， BD 的中点分别为 E ， F ，则 ＝
.
解析：如图所示，取 BC 的中点 G ，连接 EG ，
FG ，则 ＝ － ＝ － ＝ ＋
＝ （5 a ＋6 b －8 c ）＋ （ a －2 c ）＝3 a ＋3
b －5 c .
3 a
＋3 b －5 c
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10. 已知平行六面体 OABC -O'A'B'C'中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c .
（1）用 a ， b ， c 表示向量 ；
解： ＝ ＋ ＝ － ＋
＝ b － a ＋ c .
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（2）设 G ， H 分别是侧面 BB ' C ' C 和 O ' A ' B ' C '的中心，用 a ，
b ， c 表示 .
解： ＝ ＋ ＝－ ＋
＝－ ＋ ）＋ ＋ ）
＝－ （ a ＋ b ＋ c ＋ b ）＋ （ a ＋ b ＋ c ＋ c ）
＝ （ c － b ）.
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11. （2024·舟山质检）正方体 ABCD -A'B'C'D'中， O1， O2， O3分别是
AC ，AB'，AD'的中点，以{ ， ， }为基底时， ＝ x
＋ y ＋ z ，则（ ）
B. x ＝ y ＝ z ＝1
D. x ＝ y ＝ z ＝2
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解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ ）＋ ＋ ）＋ ＋ ）＝ ＋
＋ ＝ ＋ ＋ ＝ x ＋ y ＋ z
，得 x ＝ y ＝ z ＝1.
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12. 如图所示，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， ＝ a ， ＝
b ， ＝ c ，点 M 是 A1 D1的中点，点 N 是 CA1上的点，且 CN ∶
CA1＝1∶4，则向量 可表示为（ ）
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解析： 因为在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 M 是 A1 D1的
中点，点 N 是 CA1上的点，且 CN ∶ CA1＝1∶4，所以 ＝
＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ － ）＝－ ＋
＋ － ）＝ ＋ － ＝ a ＋ b － c ，故
选D.
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13. （2024·宁德月考）在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， O
为矩形 ABCD 外接圆的圆心.若 ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＋ y
－ z ＝ .
解析：如图，由题意可得 ＝ － ＝ － ＋ ）＝－ － ＋ ＝ x ＋ y
＋ z ，则 x ＝－ ， y ＝－ ， z ＝1，故 x ＋ y
－ z ＝－2.
－2
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14. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝
c ， E ， F 分别是 AD1， BD 的中点.
（1）试用向量 a ， b ， c 表示 ， ；
解： 如图， ＝ ＋ ＝－
＋ － ＝ a － b － c ，
＝ ＋ ＝ ＋ ＝－
＋ ）＋ ＋ ）＝ （ a
－ c ）.
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（2）若 ＝ xa ＋ yb ＋ zc ，求实数 x ， y ， z 的值.
解： ＝ ＋ ）＝ （－ ＋ ）
＝ （－ c ＋ a － b － c ）＝ a － b － c ，
所以 x ＝ ， y ＝－ ， z ＝－1.
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15. （2024·安阳质检）如图，在△ OAB 中， C 是 AB 的中点， P 在线段
OC 上，且 ＝2 .过点 P 的直线交线段 OA ， OB 分别于点 N ，
M ，且 ＝ m ， ＝ n ，其中 m ， n ∈[0，1]，则 m ＋ n
的最小值为（ ）
C. 1
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解析： ＝ ＋ ），即2 ＝ （ ＋ ），
＝ ＋ ，又点 P ， M ， N 共线，∴ ＋ ＝1.又
m ， n ∈[0，1]，∴ m ＋ n ＝（ m ＋ n ） ＝ ≥ ×（2＋2 ）＝1，当且仅当 m ＝ n ＝ 时取等号，
故选C.
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16. 在空间四边形 OABC 中， E 是线段 BC 的中点，点 G 在线段 AE 上，
且 AG ＝2 GE .
（1）试用{ ， ， }表示向量 ；
解： 因为 ＝2 － ＝2（
－ ），所以3 ＝2 ＋ .
又2 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ .
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（2）若 OA ＝2， OB ＝3， OC ＝4，∠ AOC ＝∠ BOC ＝60°，求
· 的值.
解：由（1）可知， ＝ ＋ ＋ ＝ － .
又∠ AOC ＝∠ BOC ＝60°，所以 · ＝
·（ － ）＝－ ＋ ＋ · －
· ＝－ ×22＋ ×32＋ ×3×4 cos 60°－ ×2×4 cos 60°
＝ ，即 · .
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谢 谢 观 看！
