2.简谐运动的描述
题组一 简谐运动的振幅、周期和频率
1.（多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法，正确的是（ ）
A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D.做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
2.下列说法正确的是（ ）
A.物体完成一次全振动，通过的位移等于4个振幅
B.物体在个周期内，通过的路程等于1个振幅
C.物体在1个周期内，通过的路程等于4个振幅
D.物体在个周期内，通过的路程等于3个振幅
题组二 简谐运动的位移表达式
3.如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5cos 10πt cm。下列说法正确的是（ ）
A.M、N间距离为5 cm
B.振子的运动周期是0.2 s
C.t＝0时，振子位于O点
D.t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
4.（多选）一质点在竖直方向做简谐运动，取竖直向上为正方向，其运动的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.质点振动的振幅为16 cm
B.质点振动的频率为4 Hz
C.t＝2 s时质点的速度方向向下
D.质点的位移表达式为x＝8sin 0.5πt cm
5.（多选）弹簧振子1和2均做简谐运动，位移随时间的变化规律满足x1＝3asin 10πbt和x2＝9asin（ 10πbt＋），下列说法正确的是（ ）
A.弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同 B.弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同
C.弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是 D.弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是
6.（多选）一做简谐运动的物体的振动图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.物体振动的频率为25 Hz
B.物体振动的振幅为10 cm
C.在6×10－2 s内物体通过的路程是60 cm
D.物体的位移表达式为x＝10sin 5πt cm
题组三 简谐运动的周期性和对称性
7.一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当t＝0时刻，振子经过O点，t1＝0.4 s时，第一次到达M点，t2＝0.5 s时振子第二次到达M点，则弹簧振子的周期可能为（ ）
A.0.6 s B.1.2 s
C.2.0 s D.2.6 s
8.（多选）如图所示，把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球套在光滑的水平杆上，能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小，也可以忽略。系统静止时小球位于O点。现将小球向右移动距离A后由静止释放，小球做周期为T的简谐运动。下列说法正确的是（ ）
A.若某过程中小球的路程为2A，则该过程经历的时间一定为
B.若某过程中小球的路程为A，则该过程经历的时间一定为
C.若某过程中小球的位移大小为A，则该过程经历的时间一定为
D.若某过程中小球的位移大小为2A，则该过程经历的时间至少为
9.（多选）一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是（ ）
A.振子的加速度方向始终指向平衡位置
B.已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相同
C.若t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍
D.振子的速度相等时，弹簧的长度不一定相等
10.（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则（ ）
A.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
11.甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，可知（ ）
A.0～0.5 s内振子甲的速度增大，加速度减小
B.两弹簧振子加速度最大值之比一定为a甲∶a乙＝2∶1
C.振子甲的速度为零时，振子乙的速度最大
D.两弹簧振子的振动周期之比为T甲∶T乙＝1∶2
12.（多选）一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s时刻振子刚好第2次经过x＝0.1 m的位置且速度为零。下列有关该振子的运动问题的说法正确的是（ ）
A.振幅为0.1 m
B.周期为1.2 s
C.1.2 s内的路程是0.6 m
D.t＝0.6 s时刻的位移为0.1 m
13.（多选）一弹簧振子在a、b间做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过1 s第一次到达P点，再经过0.4 s第二次到达P点。则弹簧振子振动的周期可能为（ ）
A.5.6 s B.4.8 s
C.2.4 s D.1.6 s
14.（多选）如图所示是一简谐运动的振动图像，则下列说法正确的是（ ）
A.该简谐运动的振幅为 6 cm，周期为8 s
B.在6～8 s，振子由负方向最大位移处向平衡位置 运动
C.图中的正弦曲线表示振子的运动轨迹
D.该振动图像对应的表达式为x＝3sin t cm
15.如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是（ ）
A.弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B.弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin（ 2πt＋）m
C.图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向都向右
D.弹簧振子在0～2.5 s内的路程为1 m
2.简谐运动的描述
1.BD 振幅是标量，A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，故C错误；做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关，D正确。
2.C 在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在个周期内，通过的路程不一定等于1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程等于4个振幅，C正确；物体在个周期内，通过的路程不一定等于3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于3个振幅，D错误。
3.B 由函数关系式可知，振幅为5 cm，即O、M间的距离是5 cm，M、N间的距离是10 cm，故A错误；由振动方程可知ω＝10π rad/s，故周期T＝＝0.2 s，故B正确；t＝0时，代入表达式可知x＝5 cm，即振子处于最大位移处，故C错误；把t＝0.05 s代入得x＝0，即处于平衡位置，振子的加速度为0，故D错误。
4.CD 由图像可知，质点振动的振幅为8 cm，故A错误；由图像可知，质点振动周期为4 s，频率为 f＝＝0.25 Hz，故B错误；由图像可知，t＝2 s时质点的速度方向向下，故C正确；由于圆频率ω＝＝0.5π rad/s，故质点的位移表达式为x＝8sin 0.5πt cm，D正确。
5.BD 弹簧振子1的振幅为3a，2的振幅为9a，所以两个弹簧振子的振幅不同；1的频率为f1＝＝5b，弹簧振子2的频率为f2＝＝5b，所以两个弹簧振子的频率相同，故A错误，B正确；从表达式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，故C错误，D正确。
6.ABC 由振动图像可知周期是4×1 s，由f＝得f＝25 Hz，故A项正确；位移的最大值等于振幅，A＝10 cm，故B项正确；t＝6×1 s＝1T，所以物体通过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，故C项正确；由ω＝得ω＝50π rad/s，物体的位移表达式为x＝10sin 50πt cm，故D错误。
7.A 若振子按下面图示路线从O点开始向右振动，则振子的振动周期为T1＝4×s＝1.8 s。
若振子按下面图示路线从O点开始向左振动，M1为与M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2＝4×s＝0.6 s。
故B、C、D错误，A正确。
8.AD 根据简谐运动的对称性可知，不论小球从何位置开始运动，只要经过，小球运动的路程一定为2A，故A正确；只有小球的起始位置在最大位移处或平衡位置时，小球的路程为A，经历的时间才一定为，否则该过程经历的时间都不等于，故B错误，若小球的起始位置在最大位移处或平衡位置，某过程中小球的位移大小为A，则该过程所经历的时间为的奇数倍，若小球的起始位置不在最大位移处或平衡位置，某过程中小球的位移大小为A，则该过程所经历的时间不一定为，故C错误；某过程中小球的位移大小为2A，则小球的起始位置一定在最大位移处，该过程所经历的时间为的奇数倍，即至少为，故D正确。
9.ABD 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的速度相等，弹簧的长度不相等，故D正确。
10.AD 若振幅为0.1 m，则t＝＋nT（n＝0，1，2，…）；当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时，T＝ s。故A正确，B错误。
若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s。
②振子振动如图乙中实线所示。
由x＝Asin（ωt＋φ）知t＝0时，－＝Asin φ，φ＝－，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6 s；若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，则周期为2 s。故C错误，D正确。
11.C 在0～0.5 s内振子甲向正方向最大位移处振动，速度减小，加速度增大，故选项A错误；由振动图像可知两振子最大位移之比为x甲∶x乙＝2∶1，由于弹簧的劲度系数可能不同，则甲、乙两弹簧振子加速度的最大值之比不一定等于2∶1，故选项B错误；振子甲在最大位移处时，振子乙在平衡位置，即振子甲的速度为零时，振子乙的速度最大，故选项C正确；由题图可知两弹簧振子的振动周期之比为T甲∶T乙＝2∶1，故选项D错误。
12.AC 由题意可知，t＝1.2 s时刻振子处在正方向最大位移处，则 t＝0时刻在负方向最大位移处，所以振幅为 0.1 m，A正确；由于是第二次到正方向最大位移处，所以1.5T＝1.2 s，可得 T＝0.8 s，B错误；一个周期经过的路程是4个振幅，1.2 s内的路程为6A，即0.6 m，C正确；0.6 s为T，t＝0.6 s时刻振子位于平衡位置，位移为零，D错误。
13.BD 若振子从O点计时开始向右运动，即按图1所示路线振动，根据简谐运动的对称性可知振子从P到b点所用的时间为0.2 s，则振子的振动周期为T＝4×s＝4.8 s。
若振子从O点计时开始向左运动，即按图2路线振动，其中P1与P关于O对称，根据简谐运动的对称性可知，P1到a再回到P1时间也为0.4 s，P到b所用时间与P1到a点时间相同，均为t1＝ s＝0.2 s，O到P1、P1到O与O到P所用时间相同，均为t2＝（1－0.4）s＝0.2 s，可知振子从O到a所用时间为0.4 s，则振子的振动周期T＝4×0.4 s＝1.6 s。
综上所述可知A、C错误，B、D正确。
14.BD 该简谐运动的振幅为3 cm，周期为8 s，A错误；振动图像表示简谐运动的位移x随时间t的变化，不表示运动轨迹，B正确，C错误；由ω＝可知ω＝，D正确。
15.D 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，故A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，周期T＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s。向右为正，t＝0时刻位移为0.1 m表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振动方程为x＝Asin（ωt＋φ0）＝0.1sinm，故B错误；简谐运动的图像中P点对应的速度方向为负，此时刻振子正在向左做减速运动，加速度方向向右，故C错误；因周期T＝1 s，则0～2.5 s内振子振动了2个周期，则振子通过的路程为s＝2×4A＋2A＝1 m，故D正确。
4 / 42.简谐运动的描述
课标要求 素养目标
1.知道全振动、振幅、周期和频率的概念。 2.能用公式和图像描述简谐运动 1.理解振幅、周期和频率，了解相位、初相和相位差的概念。（物理观念） 2.理解简谐运动的位移表达式的意义，并能解答有关问题。（科学思维） 3.培养学生学习和研究简谐运动的描述的兴趣和求知欲。（科学探究）
知识点一 简谐运动的振幅、周期和频率
1.振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的 。
（2）物理意义：表示物体振动 大小的物理量。
（3）符号和单位：符号为A，单位为 。
2.周期和频率
（1）全振动：振动物体从经过某一位置开始到第二次以相同的 通过该位置所经历的过程，叫作一次全振动。
（2）周期
①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。
②单位：单位为 。
（3）频率
①定义：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数。用f表示频率。
②单位：单位是 ，符号是 。
（4）简谐运动的“圆频率”
①定义：ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。即ω＝＝2πf。
②意义：表示简谐运动的快慢。
知识点二 简谐运动的相位及位移表达式
1.简谐运动的位移表达式：x＝Asin（ωt＋φ）或x＝Asin。
2.表达式中各量的意义
（1）x表示振动物体在t时刻的 。
（2）A表示物体做简谐运动的 。
（3）ωt＋φ表示简谐运动的 ，φ是t＝0时的相位，称为 ，或 。
3.相位差
（1）意义：两个具有相同频率的简谐运动的相位差。
（2）表达式：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1＞φ2时，它们的相位差是 Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋φ2）＝φ1－φ2。
【情景思辨】
如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间做简谐运动，D为B、O间某点。
（1）弹簧振子的振幅是指振子的位移。（ ）
（2）振子经历DOCOD的过程是一次全振动。（ ）
（3）振子从平衡位置O出发到又回到平衡位置O的时间为一个周期。（ ）
（4）以向右为正方向，振子向右运动经过平衡位置O开始计时，则位移表达式为x＝Asin ωt，初相φ＝0。（ ）
要点一 简谐运动的振幅、周期和频率
【归纳】
1.全振动的“四个特征”
（1）物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。
（2）时间特征：历时一个周期。
（3）路程特征：振幅的4倍。
（4）相位特征：增加2π。
2.简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与 位移 （1）振幅等于位移的最大值； （2）同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与 路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： （1）t＝T时，s＝4A，（t＝nT时，s＝n·4A）； （2）t＝T时，s＝2A； （3）t＝T时，可能有s＝A、s＞A、s＜A。 注意：只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为s＝A
振幅与 周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关
【典例1】 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图像可知（ ）
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B.质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C.0～3 s内，质点通过的路程为6 cm D.t＝3 s时，质点的振幅为零
尝试解答
1.一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为（ ）
A.4 cm 10 cm B.4 cm 100 cm
C.0 24 cm D.0 100 cm
2.如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是（ ）
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1 s，振幅是10 cm
C.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
要点二 简谐运动的位移表达式
1.相位差的理解
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2（φ1＞φ2）。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
2.位移表达式x＝Asin的理解
（1）表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
（2）从表达式x＝Asin（ωt＋φ）体会简谐运动的周期性。
当Δφ＝（ωt2＋φ）－（ωt1＋φ）＝2nπ时，即Δt＝t2－t1＝＝nT，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。
【典例2】 （多选）物体A做简谐运动的位移xA＝3sinm，物体B做简谐运动的位移xB＝5sinm。以下说法正确的是（ ）
A.物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B.物体A、B的周期相等，为100 s
C.物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D.物体A的相位始终超前物体B的相位
尝试解答
1.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（ ）
A.x＝8×10－3sinm
B.x＝8×10－3sinm
C.x＝8×10－3sinm
D.x＝8×10－3sinm
2.（多选）某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sincm，则（ ）
A.质点的振幅为3 cm
B.质点振动的周期为3 s
C.质点振动的周期为 s
D.t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
要点三 简谐运动的周期性和对称性
1.简谐运动的周期性的理解
（1）若t2－t1＝nT，n＝1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述运动的物理量（x、a、v）均相同。
（2）若t2－t1＝nT＋T，n＝0，1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述运动的物理量（x、a、v）均大小相等，方向相反。
2.简谐运动的对称性的理解
状态量的 对称性 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，则： （1）物体的位移、加速度的大小一定相等，方向一定相反； （2）物体的速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反
时间的 对称性 （1）振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示，tBC＝tCB； （2）振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB'C'
【典例3】 （多选）一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过2 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过1 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点再需要的时间可能是（ ）
A. s B. s
C.7 s D.9 s
尝试解答
1.一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（ ）
A.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的加速度一定相等
D.若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等
2.（多选）一做简谐运动的振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，t＝0时，振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时，x＝0.1 m；t＝4 s时，x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为（ ）
A.0.1 m， s B.0.1 m，2.5 s
C.0.1 m，8 s D.0.2 m， s
1.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点（ ）
A.第1 s末与第3 s末的位移大小相等，方向相反
B.第1 s末与第3 s末的速度相同
C.第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D.第5 s末与第3 s末的相位差为0.5π
2.（多选）如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A.物体的振动周期是2×10－2 s
B.第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C.物体的振动频率为25 Hz
D.物体的振幅是10 cm
3.一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，如图所示。过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（ ）
A.0.5 s B.1.0 s
C.2.0 s D.4.0 s
4.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为 20 cm，周期为6.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是（ ）
A.1 s B.2 s C.3 s D.4 s
2.简谐运动的描述
【基础知识·准落实】
知识点一
1.（1）最大距离 （2）幅度 （3）米 2.（1）速度 （2）②秒 （3）②赫兹 Hz
知识点二
2.（1）位移 （2）振幅 （3）相位 初相位 初相
情景思辨
（1）× （2）× （3）× （4）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 C 由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。
素养训练
1.B 质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间 t＝T＝6T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确。
2.D 振子从B经O到C只完成半次全振动，再回到B才算完成一次全振动，完成一次全振动的时间为一个周期，故T＝2 s，A、B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4倍振幅，故经过两次全振动，振子通过的路程是40 cm，C错误；从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm，D正确。
要点二
知识精研
【典例2】 CD 物体A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；物体A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝－＝，故物体A的相位始终超前物体B的相位，D正确。
素养训练
1.A 由题意可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，可得ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sinm，A正确。
2.ABD 由x＝3sincm可知，A＝3 cm，ω＝ rad/s，则T＝＝3 s，A、B正确，C错误；将 t＝0.75 s代入表达式中可得x＝0，故t＝0.75 s时，质点回到平衡位置，D正确。
要点三
知识精研
【典例3】 BD 若振子开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动路线如图甲所示。可得振动的周期为T＝××4＝ s。振子第三次通过M点需要经过的时间为t＝T－1 s＝ s。
若振子开始运动的方向向右直接向M点运动，运动线路如图乙所示。振动的周期为T＝×4＝10 s。振子第三次通过M点需要经过的时间为t＝T－1 s＝9 s。
素养训练
1.C 如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，选项A错误；图中的a、d两点的位移大小相等，方向相反，Δt＜，选项B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D错误。
2.AD 若振子的振幅为0.1 m， s＝T，则周期最大值为 s，选项A正确，B、C错误；若振子的振幅为0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m 处运动到负向最大位移处再反向运动到 x＝0.1 m 处，再经n个周期时所用时间为 s，则 s＝T，所以周期的最大值为 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故选项D正确。
【教学效果·勤检测】
1.D 根据x＝Asint可求得该质点的振动周期为T＝8 s，
则该质点的振动图像如图所示。图像中图线切线的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A、B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，选项C错误；第3 s末的相位为0.75π，第5 s末的相位为1.25π，故第5 s末与第3 s末的相位差为0.5π，选项D正确。
2.BCD 由题图可知，物体周期为T＝4×10－2 s，A错误；在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置处，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝ Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的振幅为10 cm，D正确。
3.C 根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示。质点从平衡位置O向右运动到B的时间为tOB＝×0.5 s＝0.25 s。质点从B向右到达右方最大位移处（设为D）的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s，所以，质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s，所以T＝2.0 s，C正确。
4.B 把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其振动方程为y＝Acost，代入数据得y＝20cost cm，当y＝10 cm时，可解得t＝，t＝1 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是2t＝2 s，故选B。
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2.简谐运动的描述
课标要求 素养目标
1.知道全振动、
振幅、周期和频
率的概念。 2.能用公式和图
像描述简谐运动 1.理解振幅、周期和频率，了解相位、初相和相位
差的概念。（物理观念）
2.理解简谐运动的位移表达式的意义，并能解答有
关问题。（科学思维）
3.培养学生学习和研究简谐运动的描述的兴趣和求
知欲。（科学探究）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 简谐运动的振幅、周期和频率
1. 振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的 。
（2）物理意义：表示物体振动 大小的物理量。
（3）符号和单位：符号为A，单位为 。
最大距离
幅度
米
（1）全振动：振动物体从经过某一位置开始到第二次以相同
的 通过该位置所经历的过程，叫作一次全振动。
（2）周期
①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，
用T表示。
②单位：单位为 。
速度
秒
2. 周期和频率
（3）频率
①定义：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动
的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数。用f表示
频率。
②单位：单位是 ，符号是 。
赫兹
Hz
（4）简谐运动的“圆频率”
①定义：ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简
谐运动的“圆频率”。即ω＝＝2πf。
②意义：表示简谐运动的快慢。
知识点二 简谐运动的相位及位移表达式
1. 简谐运动的位移表达式：x＝Asin（ωt＋φ）或x＝Asin。
2. 表达式中各量的意义
（1）x表示振动物体在t时刻的 。
（2）A表示物体做简谐运动的 。
（3）ωt＋φ表示简谐运动的 ，φ是t＝0时的相位，称
为 ，或 。
位移
振幅
相位
初相位
初相
3. 相位差
（1）意义：两个具有相同频率的简谐运动的相位差。
（2）表达式：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和
φ2，当φ1＞φ2时，它们的相位差是 Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋
φ2）＝φ1－φ2。
【情景思辨】
如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间做简谐运动，D为
B、O间某点。
（1）弹簧振子的振幅是指振子的位移。 （ × ）
（2）振子经历DOCOD的过程是一次全振动。 （ × ）
（3）振子从平衡位置O出发到又回到平衡位置O的时间为一个周期。
（ × ）
（4）以向右为正方向，振子向右运动经过平衡位置O开始计时，则位
移表达式为x＝Asin ωt，初相φ＝0。 （ √ ）
×
×
×
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 简谐运动的振幅、周期和频率
【归纳】
1. 全振动的“四个特征”
（1）物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始
状态相同。
（2）时间特征：历时一个周期。
（3）路程特征：振幅的4倍。
（4）相位特征：增加2π。
2. 简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与 位移 （1）振幅等于位移的最大值；
（2）同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与 路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应
关系：
（1）t＝T时，s＝4A，（t＝nT时，s＝n·4A）；
（2）t＝T时，s＝2A；
（3）t＝T时，可能有s＝A、s＞A、s＜A。
注意：只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为s＝A
振幅与 周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关
【典例1】 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所
示，由图像可知（ ）
A. 质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B. 质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C. 0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D. t＝3 s时，质点的振幅为零
解析：由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25
Hz，故A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振
幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为T，则质点通
过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距
离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振
幅仍为2 cm，故D错误。
1. 一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点
从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为（ ）
A. 4 cm 10 cm B. 4 cm 100 cm
C. 0 24 cm D. 0 100 cm
解析： 质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间 t＝T＝6T，所以
2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为
4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确。
2. 如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5
cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是（ ）
A. 振子从B经O到C完成一次全振动
B. 振动周期是1 s，振幅是10 cm
C. 经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D. 从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析： 振子从B经O到C只完成半次全振动，再回到B才算完成
一次全振动，完成一次全振动的时间为一个周期，故T＝2 s，A、B
错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4倍振幅，故经过两次
全振动，振子通过的路程是40 cm，C错误；从B开始经过3 s，振子
通过的路程是30 cm，D正确。
要点二 简谐运动的位移表达式
1. 相位差的理解
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2（φ1＞
φ2）。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
2. 位移表达式x＝Asin的理解
（1）表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
（2）从表达式x＝Asin（ωt＋φ）体会简谐运动的周期性。
当Δφ＝（ωt2＋φ）－（ωt1＋φ）＝2nπ时，即Δt＝t2－t1＝
＝nT，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。
【典例2】 （多选）物体A做简谐运动的位移xA＝3sinm，
物体B做简谐运动的位移xB＝5sinm。以下说法正确的是
（ ）
A. 物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B. 物体A、B的周期相等，为100 s
C. 物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D. 物体A的相位始终超前物体B的相位
解析：物体A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；物体A、B的圆频率
ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正
确；Δφ＝－＝，故物体A的相位始终超前物体B的相位，D
正确。
1. 有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时刻具有负方
向的最大加速度，则它的振动方程是（ ）
A. x＝8×10－3sinm
B. x＝8×10－3sinm
C. x＝8×10－3sinm
D. x＝8×10－3sinm
解析： 由题意可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，可得ω
＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝
0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－
3sinm，A正确。
2. （多选）某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝
3sincm，则（ ）
A. 质点的振幅为3 cm
B. 质点振动的周期为3 s
C. 质点振动的周期为 s
D. t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
解析： 由x＝3sincm可知，A＝3 cm，ω＝ rad/s，
则T＝＝3 s，A、B正确，C错误；将 t＝0.75 s代入表达式中可得x
＝0，故t＝0.75 s时，质点回到平衡位置，D正确。
要点三 简谐运动的周期性和对称性
1. 简谐运动的周期性的理解
（1）若t2－t1＝nT，n＝1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体一定
在同一位置，描述运动的物理量（x、a、v）均相同。
（2）若t2－t1＝nT＋T，n＝0，1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动
物体的位置一定关于平衡位置对称，描述运动的物理量（x、
a、v）均大小相等，方向相反。
2. 简谐运动的对称性的理解
状态量
的对称性 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，则：
（1）物体的位移、加速度的大小一定相等，方向一定相
反；
（2）物体的速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反
时间的 对称性 （1）振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示，tBC＝tCB；
（2）振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB'C'
【典例3】 （多选）一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从
O点开始计时，经过2 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过1 s
它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点再需要的时间可能是
（ ）
A. s B. s
C. 7 s D. 9 s
解析：若振子开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动路线如图
甲所示。可得振动的周期为T＝××4＝ s。振子第三次通过M点需要经过的时间为t＝T－1 s＝ s。若振子开始运动的方向向右直接向M点运动，运动线路如图乙所示。振动的周期为T＝×4＝10 s。振子第三次通过M点需要经过的时间为t＝T－1 s＝9 s。
1. 一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（ ）
A. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则
Δt一定等于T的整数倍
B. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则
Δt一定等于的整数倍
C. 若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的加速度一定相等
D. 若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等
解析： 如图所示，图中的a、b、c三
点位移大小相等、方向相同，显然Δt不
等于T的整数倍，选项A错误；图中的a、
d两点的位移大小相等，方向相反，Δt＜，选项B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C正确；相隔的两个时刻，振子的位
移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D错误。
2. （多选）一做简谐运动的振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，t
＝0时，振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时，x＝0.1 m；t＝4 s时，x＝
0.1 m。该振子的振幅和周期可能为（ ）
A. 0.1 m， s B. 0.1 m，2.5 s
C. 0.1 m，8 s D. 0.2 m， s
解析： 若振子的振幅为0.1 m， s＝T，则周期最大值
为 s，选项A正确，B、C错误；若振子的振幅为0.2 m，由简谐运
动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m 处运动到负向最大位移处再
反向运动到 x＝0.1 m 处，再经n个周期时所用时间为 s，则 s＝
T，所以周期的最大值为 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故选项
D正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质
点（ ）
A. 第1 s末与第3 s末的位移大小相等，方向相反
B. 第1 s末与第3 s末的速度相同
C. 第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D. 第5 s末与第3 s末的相位差为0.5π
解析： 根据x＝Asint可求得该质点的振
动周期为T＝8 s，则该质点的振动图像如图
所示。图像中图线切线的斜率为正表示速度
为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A、B错误；第3 s末和第5 s
末的位移方向相反，选项C错误；第3 s末的相位为0.75π，第5 s末的相位为1.25π，故第5 s末与第3 s末的相位差为0.5π，选项D正确。
2. （多选）如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正
确的是（ ）
A. 物体的振动周期是2×10－2 s
B. 第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C. 物体的振动频率为25 Hz
D. 物体的振幅是10 cm
解析： 由题图可知，物体周期为T＝4×10－2 s，A错误；在第
2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到
达平衡位置处，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝
＝ Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的振幅为10 cm，
D正确。
3. 一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B
两点，历时0.5 s，如图所示。过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小
相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（ ）
A. 0.5 s B. 1.0 s
C. 2.0 s D. 4.0 s
解析： 根据题意，由振动的对称性可知：AB的
中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示。质点从平衡位置O向右运动到B的时间为tOB＝×0.5 s＝0.25 s。质点从B向右到达右方最大位移处（设为D）的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s，所以，质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s，所以T＝2.0 s，C正确。
4. 一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。
可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为 20 cm，周期为
6.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲
板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，
游客能舒服登船的时间是（ ）
A. 1 s B. 2 s
C. 3 s D. 4 s
解析： 把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高
点时计时，其振动方程为y＝Acost，代入数据得y＝20cost cm，
当y＝10 cm时，可解得t＝，t＝1 s，故在一个周期内，游客能舒
服登船的时间是2t＝2 s，故选B。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一 简谐运动的振幅、周期和频率
1. （多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法，正确的是
（ ）
A. 振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B. 周期和频率的乘积是一个常数
C. 振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D. 做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
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解析： 振幅是标量，A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝
1，B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本
身决定，故C错误；做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无
关，D正确。
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2. 下列说法正确的是（ ）
A. 物体完成一次全振动，通过的位移等于4个振幅
B. 物体在个周期内，通过的路程等于1个振幅
C. 物体在1个周期内，通过的路程等于4个振幅
D. 物体在个周期内，通过的路程等于3个振幅
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解析： 在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位
移一定为零，A错误；物体在个周期内，通过的路程不一定等于1
个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位
置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于1个振
幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程等于
4个振幅，C正确；物体在个周期内，通过的路程不一定等于3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于3个振幅，D错误。
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题组二 简谐运动的位移表达式
3. 如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O
为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5cos 10πt cm。下列说法正确
的是（ ）
A. M、N间距离为5 cm
B. 振子的运动周期是0.2 s
C. t＝0时，振子位于O点
D. t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
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解析： 由函数关系式可知，振幅为5 cm，即O、M间的距离是5
cm，M、N间的距离是10 cm，故A错误；由振动方程可知ω＝10π
rad/s，故周期T＝＝0.2 s，故B正确；t＝0时，代入表达式可知x＝
5 cm，即振子处于最大位移处，故C错误；把t＝0.05 s代入得x＝0，
即处于平衡位置，振子的加速度为0，故D错误。
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4. （多选）一质点在竖直方向做简谐运动，取竖直向上为正方向，其
运动的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 质点振动的振幅为16 cm
B. 质点振动的频率为4 Hz
C. t＝2 s时质点的速度方向向下
D. 质点的位移表达式为x＝8sin 0.5πt cm
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解析： 由图像可知，质点振动的振幅为8 cm，故A错误；
由图像可知，质点振动周期为4 s，频率为 f＝＝0.25 Hz，故B
错误；由图像可知，t＝2 s时质点的速度方向向下，故C正确；
由于圆频率ω＝＝0.5π rad/s，故质点的位移表达式为x＝8sin
0.5πt cm，D正确。
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5. （多选）弹簧振子1和2均做简谐运动，位移随时间的变化规律满足
x1＝3asin 10πbt和x2＝9asin（ 10πbt＋），下列说法正确的是
（ ）
A. 弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同
B. 弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同
C. 弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是
D. 弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是
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解析： 弹簧振子1的振幅为3a，2的振幅为9a，所以两个弹簧
振子的振幅不同；1的频率为f1＝＝5b，弹簧振子2的频率为f2＝
＝5b，所以两个弹簧振子的频率相同，故A错误，B正确；从表
达式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，故C错误，D
正确。
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6. （多选）一做简谐运动的物体的振动图像如图所示，下列说法正确
的是（ ）
A. 物体振动的频率为25 Hz
B. 物体振动的振幅为10 cm
C. 在6×10－2 s内物体通过的路程是60 cm
D. 物体的位移表达式为x＝10sin 5πt cm
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解析： 由振动图像可知周期是4×1 s，由f＝得f＝25
Hz，故A项正确；位移的最大值等于振幅，A＝10 cm，故B项正
确；t＝6×1 s＝1T，所以物体通过的路程为4A＋2A＝6A＝60
cm，故C项正确；由ω＝得ω＝50π rad/s，物体的位移表达式为x＝
10sin 50πt cm，故D错误。
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题组三 简谐运动的周期性和对称性
7. 一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当t＝0时刻，振子经过O
点，t1＝0.4 s时，第一次到达M点，t2＝0.5 s时振子第二次到达M
点，则弹簧振子的周期可能为（ ）
A. 0.6 s B. 1.2 s
C. 2.0 s D. 2.6 s
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解析： 若振子按下面图示路线从O点开始向右振动，则振子的
振动周期为T1＝4×s＝1.8 s。
若振子按下面图示路线从O点开始向左振动，M1为与M点关于平衡
位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2＝4×s
＝0.6 s。故B、C、D错误，A正确。
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8. （多选）如图所示，把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端，弹簧
的另一端固定，小球套在光滑的水平杆上，能够自由滑动。弹簧的
质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小，也可以忽
略。系统静止时小球位于O点。现将小球向右移动距离A后由静止
释放，小球做周期为T的简谐运动。下列说法正确的是（ ）
A. 若某过程中小球的路程为2A，则该过程经历
的时间一定为
B. 若某过程中小球的路程为A，则该过程经历的时间一定为
C. 若某过程中小球的位移大小为A，则该过程经历的时间一定为
D. 若某过程中小球的位移大小为2A，则该过程经历的时间至少为
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解析： 根据简谐运动的对称性可知，不论小球从何位置开始
运动，只要经过，小球运动的路程一定为2A，故A正确；只有小球的起始位置在最大位移处或平衡位置时，小球的路程为A，经历的时间才一定为，故B错误，若小球的起始位置在最大位移处或平衡位置，某过程中小球的位移大小为A，则该过程所经历的时间为的奇数倍，若小球的起始位置不在
最大位移处或平衡位置，某过程中小球的位移大小为A，则该过程所
经历的时间不一定为，故C错误；某过程中小球的位移大小为2A，则
小球的起始位置一定在最大位移处，该过程所经历的时间为，故D正确。
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9. （多选）一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是（ ）
A. 振子的加速度方向始终指向平衡位置
B. 已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动
的加速度一定相同
C. 若t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的
整数倍
D. 振子的速度相等时，弹簧的长度不一定相等
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解析： 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若
Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位移相同，加速度也相
同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为，
弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子
的速度相等，弹簧的长度不相等，故D正确。
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10. （多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时
振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则（ ）
A. 若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B. 若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
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解析： 若振幅为0.1 m，则t＝＋nT（n＝0，1，2，…）；当
n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时，T＝ s。故A正确，B
错误。
若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，
周期最大为2 s。
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②振子振动如图乙中实线所示。
由x＝Asin（ωt＋φ）知t＝0时，－＝Asin φ，
φ＝－，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6 s；若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，则周期为2 s。故C错误，D正确。
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11. 甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，可知（ ）
A. 0～0.5 s内振子甲的速度增大，加速度减小
B. 两弹簧振子加速度最大值之比一定为a甲∶a乙＝2∶1
C. 振子甲的速度为零时，振子乙的速度最大
D. 两弹簧振子的振动周期之比为T甲∶T乙＝1∶2
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解析： 在0～0.5 s内振子甲向正方向最大位移处振动，速度减
小，加速度增大，故选项A错误；由振动图像可知两振子最大位移
之比为x甲∶x乙＝2∶1，由于弹簧的劲度系数可能不同，则甲、乙
两弹簧振子加速度的最大值之比不一定等于2∶1，故选项B错误；
振子甲在最大位移处时，振子乙在平衡位置，即振子甲的速度为
零时，振子乙的速度最大，故选项C正确；由题图可知两弹簧振子
的振动周期之比为T甲∶T乙＝2∶1，故选项D错误。
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12. （多选）一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝
0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s时刻振子刚好第2次经过x＝
0.1 m的位置且速度为零。下列有关该振子的运动问题的说法正确
的是（ ）
A. 振幅为0.1 m
B. 周期为1.2 s
C. 1.2 s内的路程是0.6 m
D. t＝0.6 s时刻的位移为0.1 m
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解析： 由题意可知，t＝1.2 s时刻振子处在正方向最大位移
处，则 t＝0时刻在负方向最大位移处，所以振幅为 0.1 m，A正
确；由于是第二次到正方向最大位移处，所以1.5T＝1.2 s，可得 T
＝0.8 s，B错误；一个周期经过的路程是4个振幅，1.2 s内的路程
为6A，即0.6 m，C正确；0.6 s为T，t＝0.6 s时刻振子位于平衡位
置，位移为零，D错误。
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13. （多选）一弹簧振子在a、b间做简谐运动，O点为平衡位置，当它
经过O点时开始计时，经过1 s第一次到达P点，再经过0.4 s第二次
到达P点。则弹簧振子振动的周期可能为（ ）
A. 5.6 s B. 4.8 s
C. 2.4 s D. 1.6 s
解析： 若振子从O点计时开始向
右运动，即按图1所示路线振动，根
据简谐运动的对称性可知振子从P到
b点所用的时间为0.2 s，则振子的振动周期为T＝4×s＝4.8 s。
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若振子从O点计时开始向左运动，即按图2路线振动，其中P1与P关于O对称，根据简谐运动的对称性可知，P1到a再回到P1时间也为0.4 s，P到b所用时间与P1到a点时间相同，均为t1＝ s＝0.2 s，O到P1、P1到O与O到P所用时间相同，均为t2＝（1－0.4）s＝0.2 s，可知振子从O到a所用时间为0.4 s，则振子的振动周期T＝4×0.4 s＝1.6 s。综上所述可知A、C错误，B、D正确。
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14. （多选）如图所示是一简谐运动的振动图像，则下列说法正确的
是（ ）
A. 该简谐运动的振幅为 6 cm，周期为8 s
B. 在6～8 s，振子由负方向最大位移处向平衡位置 运动
C. 图中的正弦曲线表示振子的运动轨迹
D. 该振动图像对应的表达式为x＝3sin t cm
解析： 该简谐运动的振幅为3 cm，周期为8 s，A错误；振动
图像表示简谐运动的位移x随时间t的变化，不表示运动轨迹，B正
确，C错误；由ω＝可知ω＝，D正确。
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15. 如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是（ ）
A. 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为
一次全振动
B. 弹簧振子的振动方程为x＝0.1sinm
C. 图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向都向右
D. 弹簧振子在0～2.5 s内的路程为1 m
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解析： 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，
故A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，周期T
＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s。向右为正，t＝0时刻位移为
0.1 m表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振动方程为x＝
Asin（ωt＋φ0）＝0.1sinm，故B错误；简谐运动的图像中
P点对应的速度方向为负，此时刻振子正在向左做减速运动，加速
度方向向右，故C错误；因周期T＝1 s，则0～2.5 s内振子振动了2
个周期，则振子通过的路程为s＝2×4A＋2A＝1 m，故D正确。
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谢谢观看!
