(共81张PPT)
4.单 摆
课标要求 素养目标
1.通过实验，探究影响单摆的因素。 2.知道单摆周期公式。 3.会用单摆测量重力加速度的大小 1.知道什么是单摆，知道单摆的构造、回复力的来源。
知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件。（物理观念）
2.学会通过理论推导，证明摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
理解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。
（科学思维）
3.通过实验，探究影响单摆的周期因素。（科学探究）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 单摆的回复力
1. 单摆
（1）组成：由长度不变的细线和小球组成。
（2）模型条件
①细线的质量和小球相比可以忽略。
②球的 与线的长度相比可以忽略。
直径
2. 单摆的回复力
（1）来源：摆球的重力沿 方向的分力。
（2）特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置
的位移成 ，方向总指向 ，即F＝－
x。
（3）结论：单摆在偏角很小时，回复力满足F＝－kx，做简谐
运动。
圆弧切线
正比
平衡位置
知识点二 单摆的周期
1. 定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
（1）探究方法： 法。
（2）实验结论
①单摆振动的周期与摆球的质量 。
②振幅较小时，周期与振幅 。
③摆长越长，周期 ；摆长越短，周期 。
控制变量
无关
无关
越长
越短
2. 定量探究单摆周期与摆长之间的关系
（1）荷兰物理学家惠更斯进行了详尽的研究，发现单摆做简谐运
动的周期T与摆长l的二次方根成 ，与重力加速度g的
二次方根成 ，而与振幅、摆球质量无关。
（2）单摆周期公式：T＝2π 。
正比
反比
【情景思辨】
如图所示为样式（挂钟、座钟、落地钟）不同的摆钟。
（1）摆钟摆锤的振动可以看成单摆模型。 （ √ ）
√
（2）摆钟摆锤振动的回复力来源于重力和摆杆的弹力的合力。
（ × ）
（3）冬天走时准确的摆钟，到了炎热的夏天摆钟的走时会变慢。
（ √ ）
（4）如果将摆钟从上海移到北京，其走时会变快。 （ √ ）
（5）如果将摆钟带到我国的“天和核心舱”中仍然可以使用。
（ × ）
×
√
√
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 单摆的回复力及其运动特点
【归纳】
1. 单摆的受力分析（如图所示）
（1）单摆受力：受细线拉力和重力作用。
（2）向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的
合力。
（3）回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝
mgsin θ，提供了使摆球振动的回复力。
2. 单摆做简谐运动的推证
如图所示，单摆的回复力F＝mgsin θ，在偏角很小时，sin θ≈，所
以单摆的回复力为F＝－x （式中x表示摆球偏离平衡位置的位
移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），
由此知回复力符合F＝－kx，故单摆做简谐运动。
3. 单摆做简谐运动的规律
（1）单摆做简谐运动的位移—时间（x-t）图像是一条正弦（或余
弦）曲线。
（2）单摆振动过程中各量的变化特点。
位置或过程 位移、回复力、加速度 速度、动能 重力势能
最高点 最大 零 最大
最低点 零 最大 最小
远离平衡 位置运动 越来越大 越来越小 越来越大
衡 位置运动 越来越小 越来越大 越来越小
【典例1】 （多选）如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置
为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的
是（ ）
A. 小球受重力、绳子拉力和回复力
B. 小球所受合外力就是单摆的回复力
C. 小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D. 小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
解析：小球只受两个力：重力、绳子拉力，A错误；单摆的回复力由
重力沿运动方向的分力提供，B错误；单摆在O点时，回复力为0，但
合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，C正确；根据运动的对称
性可知，D正确。
易错警示
单摆振动过程中回复力、向心力与合力的区别与联系
单摆振动中的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；单摆振动过
程中，由于摆球的轨迹是圆弧，故还需要向心力。
（1）在最大位移处时，速度为零，向心力为零，此时合力等于回
复力。
（2）在平衡位置处时，速度不为零，向心力也不为零，此时回复力
为零，合力等于向心力。
（3）在其他位置时，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，绳子
的拉力与重力沿着半径方向的分力的合力提供向心力。
1. （2023·青岛一中月考）图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可
视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将
在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则
在摆动过程中（ ）
A. 摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B. 摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C. 摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D. 摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
解析： 摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆
球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，在最低
点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D
错误。
2. （多选）关于单摆，下列说法中正确的是（ ）
A. 摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B. 摆球受到的回复力总是等于它的合力
C. 摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D. 摆球受到的合力大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比
解析： 单摆受到的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧方
向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为
零，因为小球做圆周运动，还需要向心力，方向指向悬点，即指向
圆心；摆角很小时，摆球的回复力大小跟摆球相对平衡位置的位移
大小成正比，但是摆球受的合力大小跟摆球相对平衡位置的位移大
小不成正比。故选A、D。
要点二 单摆周期公式的理解和应用
1. 对单摆周期公式T＝2π 的理解
（1）T与摆长l和当地的重力加速度g有关。
（2）T与振幅和摆球质量无关，故T又叫单摆的固有周期。
（3）成立条件：摆角很小（摆角小于5°）。
2. 对摆长l和重力加速度g的理解
（1）摆长l：从悬点到摆球重心的长度。
①实际单摆的摆长：l＝l'＋，l'为从悬点到摆球上端的摆线
长度，D为摆球直径。
②等效摆长：图（a）中，甲、乙在垂直纸面方向上小角度摆
动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为 lsin α。其周期 T＝
2π 。
图（b）中，如果乙在垂直纸面方向小角度摆动时，其等效摆
长等于甲摆的摆长；如果乙在纸面内小角度摆动时，等效摆
长等于丙摆的摆长。
（2）重力加速度g
①在地球表面某处，g应为当地的重力加速度。
②在不同的天体表面，g应为对应天体表面的重力加速度，即
g＝，式中R为天体半径，M为天体的质量。
③在匀强电场中时，g应该为等效重力加速度g效，即g效＝
，G效为等效重力，是重力与电场力的合力。
【典例2】 （多选）甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。根据振
动图像可以断定（ ）
A. 若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆
摆长之比是9∶4
B. 甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C. 甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D. 若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲乙两单摆所在
地点的重力加速度之比为9∶4
解析：根据图像可知，单摆振动的周期关系为T甲＝T乙，所以周期之
比为＝＝，B、C正
确；若甲、乙在同一地点，则重力加速度相同，根据周期公式T＝
2π 可得摆长之比为4∶9，A错误；若在不同地点，摆长相同，根据
T＝2π得重力加速度之比为9∶4，D正确。
1. 有一摆钟如图甲所示，其钟摆的结构示意图如图
乙所示，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上
下移动，从而改变等效摆长。已知北京的重力加
速度约为9.801 m/s2，海口的重力加速度约为9.786
m/s2，若将在北京走时准确的摆钟移至海口，则下
列说法正确的是（ ）
A. 在海口的摆钟摆动比北京快，若要调准可将螺母适当向上移动
B. 在海口的摆钟摆动比北京快，若要调准可将螺母适当向下移动
C. 在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准可将螺母适当向上移动
D. 在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准可将螺母适当向下移动
解析： 由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度越小，周期
越大，所以将在北京走时准确的摆钟移至海口时，周期变大，即在
海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准，应该将等效摆长减小，即可
将螺母适当向上移动，故选C。
2. 如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相
距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线
长也是l，下端C点系着一个小球（半径可忽略），下列说法正确的
是（以下皆指摆动角度小于5°，重力加速度为g）（ ）
解析： 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运
动，摆长为l，周期T＝2π
2π，A正确，B、C、D错误。
，
周期T'＝
要点三 “类单摆”模型
1. “类单摆”模型
除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动与单摆的运动规律类
似，该类物体的运动称为“类单摆”模型。
2. 两种典型实例
（1）如图甲所示，为竖直面内的光滑小圆弧（半径
为R），且 R（或对应圆心角∠BOC很小），
当小球在间运动时，小球受重力、轨道支持力
作用，轨道支持力可以等效为单摆中的摆线拉力，
故其运动为“类单摆”运动，等效摆长L效＝R。
甲
（2）如图乙所示，在固定的光滑斜面上，用长度为l的细绳一端固
定于O1点，下端悬挂一小球，使小球在斜面内来回摆动，小
球受到重力、绳的拉力、斜面的支持力作用，其运动为“类
单摆”运动，等效重力为G效＝mgsin θ，等效重力加速度为g效
＝gsin θ。
乙
【典例3】 如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从
A、B、C三点由静止同时释放，其中甲从圆心A出发做自由落体运
动，乙沿弦BD轨道从上端B（与圆心A等高）到达下端D，丙沿圆弧轨
道从C点运动到D（圆弧CD远小于圆的半径），最后甲、乙、丙都到
达竖直面内圆弧的最低点D。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断
正确的是（ ）
A. 甲球最先到达D点，乙球最后到达D点
B. 甲球最先到达D点，丙球最后到达D点
C. 丙球最先到达D点，乙球最后到达D点
D. 甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点
思路点拨 由于“圆弧CD远小于圆的半径”，故“丙沿圆弧轨道从C
点运动到D”做“类单摆”运动，时间t＝。
解析：设圆的半径为r，小球甲从A到D的过程中做自由落体运动，所
用时间t1＝ ，由几何知识知∠ADB＝θ＝45°，弦BD长度为2rcos
θ，小球乙从B到D的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，运动加
速度为gcos θ，所用时间t2＝＝2，丙沿圆弧轨道从C点到D
的运动可以看成类单摆运动，周期T＝2π，时间t3＝＝。故有
t2＞t3＞t1，由此可知乙球最后到达D点，甲球最先到达D点，故A正
确，B、C、D错误。
规律方法
处理类单摆问题的思路
（1）确定等效摆长L效。
（2）确定等效重力加速度g效。
（3）利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解有关问题。
1. 如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙
三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球
离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到
达点O的先后顺序的说法正确的是（ ）
A. 乙先到，然后甲到，丙最后到
B. 丙先到，然后甲、乙同时到
C. 丙先到，然后乙到，甲最后到
D. 甲、乙、丙同时到
解析： 对于甲、乙两球，都做类单摆运动，其运动周期均为T＝
2π，甲、乙两球第一次到达点O时运动了 T，则t1＝t2＝＝
，对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝g，解得t3＝
，故丙先到，然后甲、乙同时到，故选B。
2. 如图所示，处于竖直向下的匀强电场中的摆球，质量为m，半径为
r，带正电荷，用长为l的细线把摆球吊在悬点O处做成单摆，重力
加速度为g，则这个单摆的周期为（ ）
解析： 设电场强度为E，摆球所带电荷量为q，当单摆所处系统
中无竖直向下的匀强电场时，单摆的周期为T＝2π；当单摆处
于竖直向下的匀强电场中时，其等效重力加速度为g等效＝＝
g＋＞g，周期T'＝2π，所以单摆的周期减小，即T'＜T＝
2π，故选项D正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 关于单摆及其振动，以下认识正确的是（ ）
A. 将某个物体用绳子悬挂起来就构成一个单摆
B. 将小球用长度不变的细长轻绳悬挂起来，就构成一个单摆
C. 单摆在任意摆角下，在竖直面内的自由摆动是简谐运动
D. 单摆在人的不断敲击下做摆幅越来越大的运动是简谐运动
解析： 单摆是一个理想化模型，其特点是悬挂小球的细线长度
不可改变，细线的质量与小球的质量相比可忽略，小球的直径与细
线的长度相比也可忽略，故A错误，B正确；单摆只有在摆角很小
的情况下做简谐运动，而在附加敲击力作用的情况下，振动的回复
力不再满足做简谐运动的条件，不是简谐运动，故C、D错误。
2. 摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区（ ）
A. 摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B. 摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C. 周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D. 周期是4 s的单摆的摆长为4 m
解析： 摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝
2π可知，当地的重力加速度g＝＝π2 m/s2。摆长是0.5 m的单
摆的周期T1＝2π＝2π×s≈1.414 s，故A、B错误；周期是1 s
的单摆的摆长l2＝＝ m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长l3
＝＝ m＝4 m，故C错误，D正确。
3. （多选）图示为地球表面上甲、乙单摆的振动图像。以向右的方向
作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，地球上的自由落体加速度
为10 m/s2，月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2。（已知sin
2.3°≈0.04）下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙两个单摆的摆长之比为4∶1
B. 甲摆在月球上做简谐运动的周期为5 s
C. 甲摆振动的最大偏角约为2.3°
D. 从t＝0开始，乙第一次到达右方最大位移时，甲到达平衡位置且向
左运动
解析： 由图像可知，甲、乙单摆的周期之比为 1∶2，根据T
＝2π 可知l＝T2，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为1∶4，选
项A错误； 根据T＝2π ＝ ＝＝，甲摆在月球
上做简谐运动的周期为T甲月＝×2 s＝5 s，选项B正确；甲摆摆长为l
甲＝＝×22 m≈1 m，振幅为A＝4 cm，则振动的最大偏角sin θ≈＝0.04，即θ≈2.3°，选项C正确；从t＝0开始，乙第一次到达右方最大位移时为t＝1 s的时刻，此时甲到达平衡位置且向左运动，选项D正确。
4. 如图所示，房顶上固定一根长2.5 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，
细线下端系了一个小球（可视为质点）。打开窗子，让小球在垂直
于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6 m，不
计空气阻力，g取 10 m/s2，则小球从最左端运动到最右端的时间是
多少？
答案：0.4π s
解析：小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期
T1＝2π ＝π s，摆长为线长减去墙体长时对应的周期T2＝2π
＝0.6π s，故小球从最左端到最右端所用的最短时间为t＝
＝0.4π s。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一 单摆的回复力及其运动特点
1. 如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为
T0，下列说法中正确的是（ ）
A. 单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B. 单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C. 小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
D. 将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T＞T0
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解析： 在最高点时，绳的拉力等于重力的一个分力，此时绳子
的拉力小于重力，在最低点的时候绳的拉力和重力共同提供向心
力，则F－mg＝ma，可得F＝ma＋mg，故A、B错误；小球所受重
力的切向分力提供单摆做简谐运动的回复力，绳的拉力与重力的径
向分力提供向心力，故C错误；月球表面的重力加速度小于地球表
面的重力加速度，根据单摆周期公式T＝2π可知，将该单摆置于
月球表面，其摆动周期为T＞T0，故D正确。
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2. （多选）有一振动的单摆，当摆球通过平衡位置时，关于摆球受到
的回复力、合力及加速度的说法正确的是（ ）
A. 回复力为零
B. 合力不为零，方向指向悬点
C. 合力不为零，方向沿轨迹的切线方向
D. 加速度不为零，方向指向悬点
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解析： 根据题意可知，单摆的回复力不是它的合力，而是重
力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为
零，但合力不为零，因为摆球还有向心加速度，方向指向悬点（圆
心）。故选A、B、D。
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3. （多选）一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正
确的是（ ）
A. t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B. t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C. t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
D. t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
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解析： 由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，
回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2、t4时刻位移为零，说明
摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错
误，D正确；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最
大，故C正确。
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题组二 单摆周期公式的理解和应用
4. 如图所示，摆长为L的单摆，周期为T。如果在悬点O的正下方的B
点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的，使摆球A（半径
远小于L）通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单
摆，则下列说法中正确的是（ ）
A. 单摆在整个振动过程中的周期不变
D. 单摆的整个振动过程中的周期无法确定
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解析： 根据单摆周期公式知，未加钉子时，周期T1＝T＝
2π，碰到钉子后，T'＝2π＝π，所以加了钉子后单摆的
周期为T2＝T＋T'＝π，A、B、D错
误，C正确。
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5. 如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球
A在两摆线所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两摆球
分开各自做简谐运动。以mA、mB分别表示摆球的质量，则（ ）
A. 当mA＞mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B. 当mA＜mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C. 只有当mA＝mB时，下一次碰撞才发生在平衡位置
D. 无论两球的质量关系如何，下一次碰撞一定还发
生在平衡位置
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解析： 根据单摆的周期公式T＝2π
T后回到各自的平衡位置，下一次碰撞一定还发生在平衡位置，D正确。
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6. 图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能
到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振
动图像，由此可知（ ）
A. 单摆振动的频率是0.8 Hz
B. t＝0时摆球位于C点
C. t＝0.2 s时摆球位于平衡
位置O，加速度为零
D. 若当地的重力加速度g＝π2 m/s2，则这个单摆的摆长是0.16 m
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解析： 由振动图像可判断，该单摆的周期为0.8 s，频率为f＝
＝＝1.25 Hz，故A错误；由于规定摆球向右运动为正方向，且B
点为摆球所能到达的左边最远位置，由振动图像可判断，t＝0时摆
球位于B点，故B错误；由振动图像可判断，t＝0.2 s时摆球位于平
衡位置O，但摆球受到的合力不为零，所以加速度不为零，故C错
误；根据单摆的周期公式T＝2π ，可得l＝，把T＝0.8 s，g＝
π2 m/s2，代入计算得l＝0.16 m，故D正确。
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7. （多选）将一单摆向右拉开较小的角度，由静止释放，当摆球运动
到最低点P时，摆线碰到障碍物，摆球继续向左摆动，用频闪照相
机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，摆球从最高点M摆至
左边最高点N时，以下说法正确的是（ ）
A. 摆线碰到障碍物前后的摆长之比为4∶1
B. 摆球经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆
线张力变大
C. 摆球经过最低点时，角速度不变，半径减小，摆
线张力变大
D. M、N两点应在同一高度
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解析： 频闪照片拍摄的时间间隔一定，由题图可知，摆线与
障碍物碰撞前后的周期之比为 2∶1，根据单摆的周期公式T＝2π
得摆长之比为4∶1，故A正确；摆球经过最低点时，线速度不
变，半径变小，根据F－mg＝m知摆线张力变大，根据v＝rω知角
速度增大，故B正确，C错误；根据机械能守恒定律可知，M、N两
点应在同一高度，故D正确。
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8. 假设未来的宇航员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上
面。已知月球表面的重力加速度约为地球表面的 ，现要使该摆钟
在月球上的周期与地球上的周期相同，下列办法可行的是（ ）
A. 将摆球的质量增加为原来的6倍
D. 将摆长增长为原来的6倍
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解析： 已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，根据单摆
的周期公式T＝2π
，单摆的周期与摆球的质量无关，故C正确。
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题组三 “类单摆”模型
9. （多选）如图所示，固定曲面AC是一段半径为4.0 m的光滑圆弧，
圆弧与水平方向相切于A点，AB＝10 cm，现将一小物体先后从斜
面顶端C和斜面圆弧部分中点D处由静止释放，到达斜曲面底端时
速度分别为v1和v2，所需时间为t1和t2，以下说法正确的是（ ）
A. v1 ＞ v2 B. t1 ＞ t2
C. v1 ＜ v2 D. t1＝t2
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解析： 由于圆弧半径远大于AB长，小物体在圆弧上的运动可
等效成单摆，由单摆周期公式可得T＝2π，小物体从C点释放和
从D点释放，到达A点的时间均为，释放位置只影响振幅，不影响
周期，故t1＝t2，B错误，D正确；由动能定理可得mgh＝mv2，从C
点释放小物体竖直位移h较大，重力做功较多，故末速度较大，即v1
＞v2，A正确，C错误。
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10. （多选）将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面
上，其摆角为θ，如图。下列说法正确的是（ ）
A. 摆球做简谐运动的回复力为mgsin θsin α
B. 摆球做简谐运动的回复力为mgsin θ
D. 摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力FT＞mgsin α
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解析： 本题是“类单摆”模型，回复力由重力的下滑分力的
切向分量提供，重力的下滑分力为mgsin α，下滑分力的切线分力
为mgsin αsin θ，故A正确，B错误；等效重力加速度为gsin α，故
周期为 T＝2π，故C错误；摆球在运动过程中，经平衡位置
时，线的拉力和重力沿斜面向下分力的合力提供向心力，故FT－
mgsin α＝m，故FT＞mgsin α，故D正确。
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11. （多选）一条细线下面挂一个小球，让它自由摆动，它的振动图
像如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A. 该单摆的摆长大约为1 m
B. 若将此单摆置于向上匀加速的升降机中，
单摆的周期会大于2 s
C. 若将此单摆置于向下匀加速的升降机中，单摆的
周期会大于2 s
D. 根据图中的数据不能估算出它摆动的最大摆角
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解析： 根据图像可得周期为2 s，振幅A＝4 cm，根据T＝
2π，解得l≈1 m，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正弦值sin
θ＝＝0.04，A正确，D错误；单摆置于向上匀加速的升降机中，
小球处于超重状态，等效重力加速度g0＞g，根据 T＝2π 可知单
摆的周期会小于2 s，B错误；单摆置于向下匀加速的升降机中，小球处于失重状态，等效重力加速度g0＜g，根据T＝2π 可知单摆的周期会大于2 s，C正确。
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12. 一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万
有引力的，在地球上走时正确的摆钟（设摆钟的周期与单摆简谐
运动的周期相同）搬到此行星上，现要使摆钟在该行星与地球上
的周期相同，下列可行的办法是（ ）
A. 将摆球的质量m增加为4m
D. 将摆长l增长为4l
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解析： 根据在星球表面万有引力等于重力可知，物体在某行星
表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，质量不
变，所以该行星的重力加速度g'＝g；根据单摆的周期公式T＝
2π
，单摆的周期与摆球的质量无关，故A、B、D错误，C正确。
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13. （多选）如图所示，有一个摆长为l的单摆，现将摆球A拉离平衡
位置一个很小的角度，然后由静止释放，A摆至平衡位置P时，恰
与静止在P处的B球发生碰撞，碰后A继续向右摆动，B球以速度v
沿光滑水平面向右运动，与右侧的墙壁碰撞后以原速率返回，当B
球重新回到位置P时能与A再次相遇，则位置P与墙壁间的距离d可
能为（ ）
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解析： 摆球A做简谐运动，当其与B球发生碰撞后速度改变，
但是摆动的周期不变。而B球做匀速直线运动，再次相遇的条件为
B球来回所需要的时间为单摆半周期的整数倍。即B球运动时间t＝
n·（n＝1，2，3，…），又t＝，T＝2π ，联立解得d＝
（n＝1，2，3，…），当n＝1时，d＝ ，当n＝2时，d＝πv
，当n＝3时，d＝ …，故B、D正确，A、C错误。
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14. 如图所示，倾角为θ的斜面MN上的B点固定一光滑圆弧槽AB（对
应的圆心角小于10°），其圆心在B点正上方的O点，另外，光滑斜
面OC和OD的下端也在MN上，让可视为质点的小球分别无初速度出发，从A点到达B的时间为tB，从O点到达C的时间为tC，从O点到达D的时间为tD。比较这三段时间，正确的是（ ）
A. tB＞tD＞tC
B. tD＞tC＞tB
C. tB＝tC＝tD
D. tB＞tC＝tD
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解析： 由单摆运动的等时性可知从A点到达B的时间tB＝＝
，由于OD垂直于MN，则点D同样位于以AB为直径所构成的
圆上，分析可知OD与竖直方向夹角为倾角θ，则OD段为l＝Rcos θ
＝（gcos θ），解得tD＝，同理利用等时圆分析可知tC小于
tD，故A正确，B、C、D错误。
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谢谢观看!4.单摆
题组一 单摆的回复力及其运动特点
1.如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法中正确的是（ ）
A.单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B.单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C.小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
D.将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T＞T0
2.（多选）有一振动的单摆，当摆球通过平衡位置时，关于摆球受到的回复力、合力及加速度的说法正确的是（ ）
A.回复力为零
B.合力不为零，方向指向悬点
C.合力不为零，方向沿轨迹的切线方向
D.加速度不为零，方向指向悬点
3.（多选）一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（ ）
A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
题组二 单摆周期公式的理解和应用
4.如图所示，摆长为L的单摆，周期为T。如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的，使摆球A（半径远小于L）通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是（ ）
A.单摆在整个振动过程中的周期不变
B.单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的倍
C.单摆的整个振动过程中的周期将变小为原来的
D.单摆的整个振动过程中的周期无法确定
5.如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球A在两摆线所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两摆球分开各自做简谐运动。以mA、mB分别表示摆球的质量，则（ ）
A.当mA＞mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B.当mA＜mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C.只有当mA＝mB时，下一次碰撞才发生在平衡位置
D.无论两球的质量关系如何，下一次碰撞一定还发生在平衡位置
6.图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知（ ）
A.单摆振动的频率是0.8 Hz
B.t＝0时摆球位于C点
C.t＝0.2 s时摆球位于平衡位置O，加速度为零
D.若当地的重力加速度g＝π2 m/s2，则这个单摆的摆长是0.16 m
7.（多选）将一单摆向右拉开较小的角度，由静止释放，当摆球运动到最低点P时，摆线碰到障碍物，摆球继续向左摆动，用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，摆球从最高点M摆至左边最高点N时，以下说法正确的是（ ）
A.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为4∶1
B.摆球经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大
C.摆球经过最低点时，角速度不变，半径减小，摆线张力变大
D.M、N两点应在同一高度
8.假设未来的宇航员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面。已知月球表面的重力加速度约为地球表面的 ，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上的周期相同，下列办法可行的是（ ）
A.将摆球的质量增加为原来的6倍
B.将摆球的质量减小为原来的 倍
C.将摆长减小为原来的 倍
D.将摆长增长为原来的6倍
题组三 “类单摆”模型
9.（多选）如图所示，固定曲面AC是一段半径为4.0 m的光滑圆弧，圆弧与水平方向相切于A点，AB＝10 cm，现将一小物体先后从斜面顶端C和斜面圆弧部分中点D处由静止释放，到达斜曲面底端时速度分别为v1和v2，所需时间为t1和t2，以下说法正确的是（ ）
A.v1 ＞ v2 B.t1 ＞ t2
C.v1 ＜ v2 D.t1＝t2
10.（多选）将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图。下列说法正确的是（ ）
A.摆球做简谐运动的回复力为mgsin θsin α
B.摆球做简谐运动的回复力为mgsin θ
C.摆球做简谐运动的周期为2π
D.摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力FT＞mgsin α
11.（多选）一条细线下面挂一个小球，让它自由摆动，它的振动图像如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A.该单摆的摆长大约为1 m
B.若将此单摆置于向上匀加速的升降机中，单摆的周期会大于2 s
C.若将此单摆置于向下匀加速的升降机中，单摆的周期会大于2 s
D.根据图中的数据不能估算出它摆动的最大摆角
12.一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，在地球上走时正确的摆钟（设摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同）搬到此行星上，现要使摆钟在该行星与地球上的周期相同，下列可行的办法是（ ）
A.将摆球的质量m增加为4m
B.将摆球的质量m减少为
C.将摆长l减短为
D.将摆长l增长为4l
13.（多选）如图所示，有一个摆长为l的单摆，现将摆球A拉离平衡位置一个很小的角度，然后由静止释放，A摆至平衡位置P时，恰与静止在P处的B球发生碰撞，碰后A继续向右摆动，B球以速度v沿光滑水平面向右运动，与右侧的墙壁碰撞后以原速率返回，当B球重新回到位置P时能与A再次相遇，则位置P与墙壁间的距离d可能为（ ）
A. B.
C. D.πv
14.如图所示，倾角为θ的斜面MN上的B点固定一光滑圆弧槽AB（对应的圆心角小于10°），其圆心在B点正上方的O点，另外，光滑斜面OC和OD的下端也在MN上，让可视为质点的小球分别无初速度出发，从A点到达B的时间为tB，从O点到达C的时间为tC，从O点到达D的时间为tD。比较这三段时间，正确的是（ ）
A.tB＞tD＞tC B.tD＞tC＞tB
C.tB＝tC＝tD D.tB＞tC＝tD
4.单摆
1.D 在最高点时，绳的拉力等于重力的一个分力，此时绳子的拉力小于重力，在最低点的时候绳的拉力和重力共同提供向心力，则F－mg＝ma，可得F＝ma＋mg，故A、B错误；小球所受重力的切向分力提供单摆做简谐运动的回复力，绳的拉力与重力的径向分力提供向心力，故C错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，根据单摆周期公式T＝2π可知，将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T＞T0，故D正确。
2.ABD 根据题意可知，单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为摆球还有向心加速度，方向指向悬点（圆心）。故选A、B、D。
3.CD 由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2、t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误，D正确；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确。
4.C 根据单摆周期公式知，未加钉子时，周期T1＝T＝2π，碰到钉子后，T'＝2π＝π，所以加了钉子后单摆的周期为T2＝T＋T'＝π，所以周期变为原来的，A、B、D错误，C正确。
5.D 根据单摆的周期公式T＝2π，可知两单摆的周期相同，所以相撞后两球分别经过T后回到各自的平衡位置，下一次碰撞一定还发生在平衡位置，D正确。
6.D 由振动图像可判断，该单摆的周期为0.8 s，频率为f＝＝＝1.25 Hz，故A错误；由于规定摆球向右运动为正方向，且B点为摆球所能到达的左边最远位置，由振动图像可判断，t＝0时摆球位于B点，故B错误；由振动图像可判断，t＝0.2 s时摆球位于平衡位置O，但摆球受到的合力不为零，所以加速度不为零，故C错误；根据单摆的周期公式T＝2π ，可得l＝，把T＝0.8 s，g＝π2 m/s2，代入计算得l＝0.16 m，故D正确。
7.ABD 频闪照片拍摄的时间间隔一定，由题图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为 2∶1，根据单摆的周期公式T＝2π 得摆长之比为4∶1，故A正确；摆球经过最低点时，线速度不变，半径变小，根据F－mg＝m知摆线张力变大，根据v＝rω知角速度增大，故B正确，C错误；根据机械能守恒定律可知，M、N两点应在同一高度，故D正确。
8.C 已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，根据单摆的周期公式T＝2π 可知，要使该单摆在月球与在地球上周期相同，必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故C正确。
9.AD 由于圆弧半径远大于AB长，小物体在圆弧上的运动可等效成单摆，由单摆周期公式可得T＝2π，小物体从C点释放和从D点释放，到达A点的时间均为，释放位置只影响振幅，不影响周期，故t1＝t2，B错误，D正确；由动能定理可得mgh＝mv2，从C点释放小物体竖直位移h较大，重力做功较多，故末速度较大，即v1＞v2，A正确，C错误。
10.AD 本题是“类单摆”模型，回复力由重力的下滑分力的切向分量提供，重力的下滑分力为mgsin α，下滑分力的切线分力为mgsin αsin θ，故A正确，B错误；等效重力加速度为gsin α，故周期为 T＝2π，故C错误；摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力和重力沿斜面向下分力的合力提供向心力，故FT－mgsin α＝m，故FT＞mgsin α，故D正确。
11.AC 根据图像可得周期为2 s，振幅A＝4 cm，根据T＝2π，解得l≈1 m，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正弦值sin θ＝＝0.04，A正确，D错误；单摆置于向上匀加速的升降机中，小球处于超重状态，等效重力加速度g0＞g，根据 T＝2π 可知单摆的周期会小于2 s，B错误；单摆置于向下匀加速的升降机中，小球处于失重状态，等效重力加速度g0＜g，根据T＝2π 可知单摆的周期会大于2 s，C正确。
12.C 根据在星球表面万有引力等于重力可知，物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，质量不变，所以该行星的重力加速度g'＝g；根据单摆的周期公式T＝2π可知，要使该单摆在行星与在地球上的周期相同，必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故A、B、D错误，C正确。
13.BD 摆球A做简谐运动，当其与B球发生碰撞后速度改变，但是摆动的周期不变。而B球做匀速直线运动，再次相遇的条件为B球来回所需要的时间为单摆半周期的整数倍。即B球运动时间t＝n·（n＝1，2，3，…），又t＝，T＝2π ，联立解得d＝ （n＝1，2，3，…），当n＝1时，d＝ ，当n＝2时，d＝πv ，当n＝3时，d＝ …，故B、D正确，A、C错误。
14.A 由单摆运动的等时性可知从A点到达B的时间tB＝＝，由于OD垂直于MN，则点D同样位于以AB为直径所构成的圆上，分析可知OD与竖直方向夹角为倾角θ，则OD段为l＝Rcos θ＝（gcos θ），解得tD＝，同理利用等时圆分析可知tC小于tD，故A正确，B、C、D错误。
4 / 44.单摆
课标要求 素养目标
1.通过实验，探究影响单摆的因素。 2.知道单摆周期公式。 3.会用单摆测量重力加速度的大小 1.知道什么是单摆，知道单摆的构造、回复力的来源。 知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件。（物理观念） 2.学会通过理论推导，证明摆角很小时单摆的振动是简谐运动。 理解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。（科学思维） 3.通过实验，探究影响单摆的周期因素。（科学探究）
知识点一 单摆的回复力
1.单摆
（1）组成：由长度不变的细线和小球组成。
（2）模型条件
①细线的质量和小球相比可以忽略。
②球的 与线的长度相比可以忽略。
2.单摆的回复力
（1）来源：摆球的重力沿 方向的分力。
（2）特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总指向 ，即F＝－x。
（3）结论：单摆在偏角很小时，回复力满足F＝－kx，做简谐运动。
知识点二 单摆的周期
1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
（1）探究方法： 法。
（2）实验结论
①单摆振动的周期与摆球的质量 。
②振幅较小时，周期与振幅 。
③摆长越长，周期 ；摆长越短，周期 。
2.定量探究单摆周期与摆长之间的关系
（1）荷兰物理学家惠更斯进行了详尽的研究，发现单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成 ，与重力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量无关。
（2）单摆周期公式：T＝2π 。
【情景思辨】
如图所示为样式（挂钟、座钟、落地钟）不同的摆钟。
（1）摆钟摆锤的振动可以看成单摆模型。（ ）
（2）摆钟摆锤振动的回复力来源于重力和摆杆的弹力的合力。（ ）
（3）冬天走时准确的摆钟，到了炎热的夏天摆钟的走时会变慢。（ ）
（4）如果将摆钟从上海移到北京，其走时会变快。（ ）
（5）如果将摆钟带到我国的“天和核心舱”中仍然可以使用。（ ）
要点一 单摆的回复力及其运动特点
【归纳】
1.单摆的受力分析（如图所示）
（1）单摆受力：受细线拉力和重力作用。
（2）向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。
（3）回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ，提供了使摆球振动的回复力。
2.单摆做简谐运动的推证
如图所示，单摆的回复力F＝mgsin θ，在偏角很小时，sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝－x （式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），由此知回复力符合F＝－kx，故单摆做简谐运动。
3.单摆做简谐运动的规律
（1）单摆做简谐运动的位移—时间（x-t）图像是一条正弦（或余弦）曲线。
（2）单摆振动过程中各量的变化特点。
位置或过程 位移、回复力、加速度 速度、动能 重力势能
最高点 最大 零 最大
最低点 零 最大 最小
远离平衡位置运动 越来越大 越来越小 越来越大
衡位置运动 越来越小 越来越大 越来越小
【典例1】 （多选）如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是（ ）
A.小球受重力、绳子拉力和回复力
B.小球所受合外力就是单摆的回复力
C.小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D.小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
尝试解答
易错警示
单摆振动过程中回复力、向心力与合力的区别与联系
单摆振动中的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；单摆振动过程中，由于摆球的轨迹是圆弧，故还需要向心力。
（1）在最大位移处时，速度为零，向心力为零，此时合力等于回复力。
（2）在平衡位置处时，速度不为零，向心力也不为零，此时回复力为零，合力等于向心力。
（3）在其他位置时，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，绳子的拉力与重力沿着半径方向的分力的合力提供向心力。
1.（2023·青岛一中月考）图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（ ）
A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
2.（多选）关于单摆，下列说法中正确的是（ ）
A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B.摆球受到的回复力总是等于它的合力
C.摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D.摆球受到的合力大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比
要点二 单摆周期公式的理解和应用
1.对单摆周期公式T＝2π 的理解
（1）T与摆长l和当地的重力加速度g有关。
（2）T与振幅和摆球质量无关，故T又叫单摆的固有周期。
（3）成立条件：摆角很小（摆角小于5°）。
2.对摆长l和重力加速度g的理解
（1）摆长l：从悬点到摆球重心的长度。
①实际单摆的摆长：l＝l'＋，l'为从悬点到摆球上端的摆线长度，D为摆球直径。
②等效摆长：图（a）中，甲、乙在垂直纸面方向上小角度摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为 lsin α。其周期 T＝2π 。
图（b）中，如果乙在垂直纸面方向小角度摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；如果乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
（2）重力加速度g
①在地球表面某处，g应为当地的重力加速度。
②在不同的天体表面，g应为对应天体表面的重力加速度，即g＝，式中R为天体半径，M为天体的质量。
③在匀强电场中时，g应该为等效重力加速度g效，即g效＝，G效为等效重力，是重力与电场力的合力。
【典例2】 （多选）甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。根据振动图像可以断定（ ）
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
尝试解答
1.有一摆钟如图甲所示，其钟摆的结构示意图如图乙所示，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动，从而改变等效摆长。已知北京的重力加速度约为9.801 m/s2，海口的重力加速度约为9.786 m/s2，若将在北京走时准确的摆钟移至海口，则下列说法正确的是（ ）
A.在海口的摆钟摆动比北京快，若要调准可将螺母适当向上移动
B.在海口的摆钟摆动比北京快，若要调准可将螺母适当向下移动
C.在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准可将螺母适当向上移动
D.在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准可将螺母适当向下移动
2.如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球（半径可忽略），下列说法正确的是（以下皆指摆动角度小于5°，重力加速度为g）（ ）
A.让小球在纸面内振动，周期T＝2π
B.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π
C.让小球在纸面内振动，周期T＝2π
D.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π
要点三 “类单摆”模型
1.“类单摆”模型
除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动与单摆的运动规律类似，该类物体的运动称为“类单摆”模型。
2.两种典型实例
（1）如图甲所示，为竖直面内的光滑小圆弧（半径为R），且 R（或对应圆心角∠BOC很小），当小球在间运动时，小球受重力、轨道支持力作用，轨道支持力可以等效为单摆中的摆线拉力，故其运动为“类单摆”运动，等效摆长L效＝R。
（2）如图乙所示，在固定的光滑斜面上，用长度为l的细绳一端固定于O1点，下端悬挂一小球，使小球在斜面内来回摆动，小球受到重力、绳的拉力、斜面的支持力作用，其运动为“类单摆”运动，等效重力为G效＝mgsin θ，等效重力加速度为g效＝gsin θ。
甲 乙
【典例3】 如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，其中甲从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦BD轨道从上端B（与圆心A等高）到达下端D，丙沿圆弧轨道从C点运动到D（圆弧CD远小于圆的半径），最后甲、乙、丙都到达竖直面内圆弧的最低点D。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（ ）
A.甲球最先到达D点，乙球最后到达D点
B.甲球最先到达D点，丙球最后到达D点
C.丙球最先到达D点，乙球最后到达D点
D.甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点
思路点拨 由于“圆弧CD远小于圆的半径”，故“丙沿圆弧轨道从C点运动到D”做“类单摆”运动，时间t＝。
尝试解答
规律方法
处理类单摆问题的思路
（1）确定等效摆长L效。
（2）确定等效重力加速度g效。
（3）利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解有关问题。
1.如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是（ ）
A.乙先到，然后甲到，丙最后到
B.丙先到，然后甲、乙同时到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到
D.甲、乙、丙同时到
2.如图所示，处于竖直向下的匀强电场中的摆球，质量为m，半径为r，带正电荷，用长为l的细线把摆球吊在悬点O处做成单摆，重力加速度为g，则这个单摆的周期为（ ）
A.T＝2π B.T＝2π
C.大于T＝2π D.小于T＝2π
1.关于单摆及其振动，以下认识正确的是（ ）
A.将某个物体用绳子悬挂起来就构成一个单摆
B.将小球用长度不变的细长轻绳悬挂起来，就构成一个单摆
C.单摆在任意摆角下，在竖直面内的自由摆动是简谐运动
D.单摆在人的不断敲击下做摆幅越来越大的运动是简谐运动
2.摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区（ ）
A.摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B.摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C.周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D.周期是4 s的单摆的摆长为4 m
3.（多选）图示为地球表面上甲、乙单摆的振动图像。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，地球上的自由落体加速度为10 m/s2，月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2。（已知sin 2.3°≈0.04）下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙两个单摆的摆长之比为4∶1
B.甲摆在月球上做简谐运动的周期为5 s
C.甲摆振动的最大偏角约为2.3°
D.从t＝0开始，乙第一次到达右方最大位移时，甲到达平衡位置且向左运动
4.如图所示，房顶上固定一根长2.5 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球（可视为质点）。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6 m，不计空气阻力，g取 10 m/s2，则小球从最左端运动到最右端的时间是多少？
4.单摆
【基础知识·准落实】
知识点一
1.（2）②直径 2.（1）圆弧切线 （2）正比 平衡位置
知识点二
1.（1）控制变量 （2）①无关 ②无关 ③越长 越短
2.（1）正比 反比
情景思辨
（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 CD 小球只受两个力：重力、绳子拉力，A错误；单摆的回复力由重力沿运动方向的分力提供，B错误；单摆在O点时，回复力为0，但合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，C正确；根据运动的对称性可知，D正确。
素养训练
1.C 摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。
2.AD 单摆受到的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球做圆周运动，还需要向心力，方向指向悬点，即指向圆心；摆角很小时，摆球的回复力大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，但是摆球受的合力大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比。故选A、D。
要点二
知识精研
【典例2】 BCD 根据图像可知，单摆振动的周期关系为T甲＝T乙，所以周期之比为＝，频率为周期的倒数，所以频率之比为＝，B、C正确；若甲、乙在同一地点，则重力加速度相同，根据周期公式T＝2π 可得摆长之比为4∶9，A错误；若在不同地点，摆长相同，根据T＝2π得重力加速度之比为9∶4，D正确。
素养训练
1.C 由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度越小，周期越大，所以将在北京走时准确的摆钟移至海口时，周期变大，即在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准，应该将等效摆长减小，即可将螺母适当向上移动，故选C。
2.A 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T'＝2π，A正确，B、C、D错误。
要点三
知识精研
【典例3】 A 设圆的半径为r，小球甲从A到D的过程中做自由落体运动，所用时间t1＝ ，由几何知识知∠ADB＝θ＝45°，弦BD长度为2rcos θ，小球乙从B到D的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，运动加速度为gcos θ，所用时间t2＝＝2，丙沿圆弧轨道从C点到D的运动可以看成类单摆运动，周期T＝2π，时间t3＝＝。故有t2＞t3＞t1，由此可知乙球最后到达D点，甲球最先到达D点，故A正确，B、C、D错误。
素养训练
1.B 对于甲、乙两球，都做类单摆运动，其运动周期均为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O时运动了 T，则t1＝t2＝＝，对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝g，解得t3＝，故丙先到，然后甲、乙同时到，故选B。
2.D 设电场强度为E，摆球所带电荷量为q，当单摆所处系统中无竖直向下的匀强电场时，单摆的周期为T＝2π；当单摆处于竖直向下的匀强电场中时，其等效重力加速度为g等效＝＝g＋＞g，周期T'＝2π，所以单摆的周期减小，即T'＜T＝2π，故选项D正确。
【教学效果·勤检测】
1.B 单摆是一个理想化模型，其特点是悬挂小球的细线长度不可改变，细线的质量与小球的质量相比可忽略，小球的直径与细线的长度相比也可忽略，故A错误，B正确；单摆只有在摆角很小的情况下做简谐运动，而在附加敲击力作用的情况下，振动的回复力不再满足做简谐运动的条件，不是简谐运动，故C、D错误。
2.D 摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝2π可知，当地的重力加速度g＝＝π2 m/s2。摆长是0.5 m的单摆的周期T1＝2π＝2π×s≈1.414 s，故A、B错误；周期是1 s的单摆的摆长l2＝＝ m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长l3＝＝ m＝4 m，故C错误，D正确。
3.BCD 由图像可知，甲、乙单摆的周期之比为 1∶2，根据T＝2π 可知l＝T2，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为1∶4，选项A错误； 根据T＝2π 可知＝ ＝＝，甲摆在月球上做简谐运动的周期为T甲月＝×2 s＝5 s，选项B正确；甲摆摆长为l甲＝＝×22 m≈1 m，振幅为A＝4 cm，则振动的最大偏角sin θ≈＝0.04，即θ≈2.3°，选项C正确；从t＝0开始，乙第一次到达右方最大位移时为t＝1 s的时刻，此时甲到达平衡位置且向左运动，选项D正确。
4.0.4π s
解析：小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期T1＝2π ＝π s，摆长为线长减去墙体长时对应的周期T2＝2π ＝0.6π s，故小球从最左端到最右端所用的最短时间为t＝＝0.4π s。
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