7.2 万有引力定律 学案、评案（含答案）

章节名称： 7.2 万有引力定律
一、学习目标
1.必备知识 理解太阳与行星间引力的存在，掌握万有引力定律的内容及其表达式。根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，掌握万有引力表达式的适用条件及应用。
2.关键能力 能够运用开普勒定律分析行星运动的实际问题，培养逻辑推理和空间想象能力，对行星运动进行合理预测。
3.核心素养 培养对自然现象的好奇心和探索精神，对科学保持敬畏之心，认识到科学家在探索宇宙过程中的艰辛与付出，树立正确的价值观。
二、预习引导【以教定学】
1、主干知识：
第一课时 一、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互 吸引 ，引力的方向在它们的 连线 上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 正比 ，与它们之间距离r的二次方成 反比 。
2.表达式：F ＝ G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。
3.万有引力定律的适用条件
（1）万有引力定律公式适用于 质点 之间的引力大小的计算。
（2）对于实际物体间的相互作用，当两个物体间的距离 远远大于 物体本身的大小（物体可视为质点）时也适用。
（3）两个质量分布 均匀 的球体间的引力大小可用万有引力定律公式求解，公式中的r为两 球心 之间的距离。
4.万有引力定律的特性
（1）普遍性：万有引力存在于宇宙中 任何 有质量的物体之间。
（2）相互性：两个物体间相互作用的引力是一对 作用力 和 反作用 力，符合力的相互作用。
（3）宏观性：天体间万有引力较大，它是支配天体运动的原因。地面物体间、微观粒子间的万有引力微小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计。
（4）特殊性：两个物体间的万有引力只与它们本身的 质量 有关，与它们之间的 距离 有关，与所在空间的性质无关。
二、引力常量
1.引力常量的测定
英国物理学家卡文迪什在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值，
通常取 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
2.引力常量测定的意义
(1)卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了 万有引力 的存在及万有引力定律的正确性。
(2)引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。
第二课时 三、用万有引力定律解释相关现象
1. 万有引力与重力：重力源于地球对物体的万有引力，是万有引力在地球表面附近的一种表现。
（考虑自转：重力是引力分力。赤道？两极？其它位置？；不考虑自转，重力即引力。）
2. 黄金代换：（表面重力近似等于万有引力）
3. 地球重力加速度 及其变化（忽略地球自转）
地球表面；距离地球表面高度为h处，；
地球内部距地球表面为h＇，，
星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G.
物体在赤道上完全失重的条件
物体所受的万有引力恰好全部用来提供向心力，
临界条件（地球半径R＝6400km）
地球不因自转而瓦解的最小密度
可得：
地球不因自转而瓦解的最小密度值。而地球的平均密度
，足以保证地球处于稳定状态。
2、重点难点：理解万有引力定律。（重点）应用万有引力定律。（难点）
3、问题求解：各行星都围绕太阳运行，说明太阳与行星之间引力是使行星如此运动的主要原因。引力的大小和方向能确定吗？
三、过程督导【以学定评】
（一）学习小组必须讨论的3个问题
1.情境性问题 行星绕太阳运动的原因 ——行星与太阳的引力
讨论结果：太阳与行星间的引力
例1 (多选)下列说法正确的是( )
在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式
这个关系式实际上是牛顿第二定律,是可以在实验室中得到验证的
在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式,
这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式,它是由速度的定义得来的
在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式 ,
这个关系式是开普勒第三定律,是可以在实验室中得到验证的
在探究太阳与行星间的引力规律时使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的
教师评价：太阳的质量远大于各行星的质量，因此一般只考虑太阳与行星间的引力，不计各行星间的引力。
2.情境性问题 万有引力定律
讨论结果：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。即。
例2 设想把质量为m的物体(可视为质点)放到地球的中心，地球质量为M、半径为R。则物体与地球间的万有引力是(　 )
A. 零 B. 无穷大 C. D. 无法确定
例3 有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点．先从M中挖去一半径为的球体，如图所示，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为(　　)
A．G B．G
C．G D．G
例4在以加速度a=5 m/s2加速竖直上升的火箭中，有一个质量为5 kg的物体放在其工作平台上。当火箭上升到某一高度时,工作平台受到的压力大小为27 N，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度g取10 m/s2，则此时火箭离地面的高度为( 　)
A. 2R B. 3R C. 4R D. 5R
教师评价：万有引力定律揭示了地面上物体运动的规律和天体上物体的运动遵从同一规律，让人们认识到天体上物体的运动规律也是可以认识的,解放了人们的思想,给人们探索自然的奥秘建立了极大信心, 对后来的物理学、天文学的发展具有深远的影响。
3.情境性问题 引力常量
例5 物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一.1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量.直到1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量.关于这段历史，下列说法错误的是( )
A. 卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B. 万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C. 这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D. 引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
讨论结果：
教师评价：引力常量的普适性成为万有引力定律正确的见证，使万有引力定律有了真正实用的价值，可据此测定地球表面物体重力加速度、测地球质量等。
情境性问题 用万有引力定律解释相关现象
例6假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（ ）
A． B． C． D．g0－g
【答案】A 根据重力和万有引力的关系，在两极有在赤道有则在与赤道平面的夹角为60°的质点的向心加速度为解得故选A。
例7某星球“一天”的时间是，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小，假设该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来.这时星球的“一天”是多少小时
【答案】：在赤道 ，在两极 ，
物体在赤道自动飘起来 ，又，，
讨论结果： 重力源于万有引力（是引力分力）；黄金代换：；
重力加速度 及其变化：地球表面，地球上高h处
地球内部深h＇ ；
万有引力恰好全部用来提供向心力，物体完全失重，天体密度为不因自转而解体的最小密度。
学习过程中必须掌握的要点（知识、能力或素养）
1、万有引力定律
2、引力常量
3、用万有引力定律解释相关现象
（三）总结思维导图
（四）学生存在的疑问
1. 2.
四、课后训导【以学定评】
1. 牛顿在研究太阳与行星间引力的过程中，对行星的运动情况和受力情况，进行了一些假设和推理，并且用到了以下几个公式或规律：、 、。那么，以下所述的假设、推理、结论不正确的是（　　）
A．牛顿把行星绕太阳的的运动轨迹看做圆
B．牛顿认为：太阳对行星的引力提供行星做圆周运动所需的向心力
C．在A、B的基础上，结合、 、，能够得出结论，其中m为太阳的质量
D．得出了之后，再结合牛顿第三定律，可得出
2. 已知地球半径为R，将物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为(　 )
A. R B. 2R C.R D. (-1)R
3. 有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m0的质点。现从m中挖去半径为0.5R的球体，如图所示，则剩余部分对m0的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
4. 设宇宙中有一自转角速度为ω、半径为R、质量分布均匀的小行星。在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块，在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g1；在赤道处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g2，则下列关系式正确的是 (　)
A. g2=g1 B. F=mg1 C. F=mω2R D. F=mω2R
5. 如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度成正比，即，k的单位为，可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为时，反射光线扭转角度为）（ ）
A． B． C． D．
6. 地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是(　　)
A． B．
C． D．
7. 理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在x轴上各位置受到的重力大小用F表示，则如图所示的四个F随x的变化关系图正确的是（　　）
B．C．D．
8. (多选） 2021年6月27日，我国航天局发布天问一号火星探测任务着陆和巡视探测系列实拍影像。设火星两极处的重力加速度为g1，赤道处的重力加速度为g2，火星半径为R。下列说法正确的是(　 )
A. 火星的自转角速度大小为
B. 在火星赤道上的物体的线速度大小为
C. 若仅火星的自转周期减小,则赤道上的物体受到的重力将减小
D. 若仅火星的自转角速度减小,则两极处的重力加速度将增大
9. （多选）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到的距离为x，则（　　）
A．列车在隧道中A点的合力大小为mg
B．列车在P点的重力加速度小于g
C．列车在P点的加速度
D．列车在P点的加速度
10. 如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。
(1)若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小；
(2)若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。
1.【答案】C 为了研究的简便，牛顿把行星绕太阳的的运动轨迹看做匀速圆周运动；太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力能够得出结论其中m为行星的质量；得出了之后，再结合牛顿第三定律，可得出即，D正确。
2.【答案】D 地面上有,高度为h处有,因为 ,所以h= (-1)R,故D正确
3.【答案】C 由可得，未挖去之前，球体和质点间的引力为挖去部分球体和质点间的引力为由及可得则有则剩余部分对的万有引力为。
4.【答案】B 极点有=mg1，在赤道有=mg2+mω2R，由上述两个式子解得g1≠g2；极点处物块有F=mg1；由之前的分析可知=F，有F=mg2，则F=F+mω2R，解得F=mω2R。
5.【答案】D 所施加的力为万有引力，即根据平面镜反射定律及几何关系可知，石英丝N发生扭转的角度根据得到故选D。
6.【答案】D 如果将该球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg；由万有引力定律，有：(1－k)mg＝G，解得：V＝ 。
7.【答案】A 【详解】设地球的密度为ρ，当x≥R时，地球可被看成球心处的质点，物体所受的重力为当x≤R时，可将地球“分割”为两部分，一部分是厚度为（R-x）的球壳，一部分是半径为x的球体，由题目信息可知，重力为故选A。
8.【答案】 ABC　在两极处有=mg1，在赤道有=mg2+mω2R，可得g1=g2+ω2R，解得ω= ；根据v=ωR可得，在火星赤道上的物体的线速度大小v=；若仅火星的自转周期减小，则角速度变大，向心力增大，则赤道上的物体受到的重力将减小；若仅火星的自转角速度减小，两极处的转动半径为零，所需向心力为零，则两极处的重力加速度不变。
9.【答案】BD A．列车在隧道中A点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示则有，，解得A错误；B．由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，则在P点有由于质量均匀分布，则有解得B正确；CD．令，根据上述，则有，解得C错误，D正确。故选BD。
10.【答案】 (1) (2)
【详解】（1）物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力。未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力，方向沿指向解得（2）如图，假设物体N运动到了P、连线上的Q点设、Q距离为x，未挖去前，大球对物体N引力小球对物体N引力大球剩余部分的引力所以物体N的加速度物体N从P到达，有解得