相似三角形的性质讲义

相似三角形的性质
一、知识点讲解
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线比等于相似比。
相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
二、典例分析
（一）相似三角形对应线段的比
例1
如图，△ABC∽△A＇B＇C＇，相似比为k，AD、A＇D＇分别是边BC、B＇C＇上的中线，求证：。
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变式练习：
1、已知△ABC∽△A＇B＇C＇,AD和
( http: / / www.21cnjy.com )A＇D＇分别是△ABC和△A＇B＇C＇的中心，若BC=10cm，B＇C＇=6cm，AD=7cm，则A＇D＇=（
）
A、12cm
B、cm
C、cm
D、cm
2、如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（
）
A、AB =BC·BD
B、AB =AC·BD
C、AB·AD=BD·BC
D、AB·AD=AD·CD
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3、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在
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）
A、
B、
C、
D、
4、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，E为AC的中点，F为BC的中点，∠DCB=30°,求DE：DF的值。
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（二）相似三角形对对应周长与面积的比
例2
如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF。（1）求证：△ABC∽△DEF；（2）计算这两个三角形的周长比；（3）根据上面的计算结果，你有何猜想？
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变式练习：
1、若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF为（
）
A、2：3
B、4：9
C、
D、3：2
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
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第2题
第3题
第4题
第5题
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且，则△ADE的周长与△ABC的周长之比为
。
4、（易错）如图，在△ABC中，，AB=9，BC=6，DE∥AB，求△DCE的面积与四边形ABED的面积比。
5、（易错）如图，在梯形A
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（三）相似三角形判定与性质的综合运用
例3
已知：如图所示,PN∥BC，AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D.
(1)当，S△ABC=18cm2时,S△APN=
；
(2)若，求的值；
(3)若BC=15cm，AD=10cm，且PN=ED=x
cm，求x的值。
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反馈练习
基础夯实
1、已知△ABC∽△DEF，它们的周长比为1：2，则它们的相似比为（
）
A、
B、1：2
C、1：4
D、1：8
2、如图，电灯P在横杆AB的正上方，A
( http: / / www.21cnjy.com )B在灯光的影子长为CD，AB∥CD，AB=2cm，CD=4cm，点P到CD的距离是5cm,则点P到AB的距离是（
）
A、3m
B、
C、
D、
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第2题
第3题
第4题
第5题
3、如图，在□ABCD中，点E在边DC上，DE：CE=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（
）
A、3：4
B、9：16
C、9：1
D、3：1
4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（
）
A、2：3
B、2：5
C、4：9
D、：
5、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（
）
A、1：
B、1：2
C、1：3
D、1：4
6、已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为9，△DEF的面积为1，则△ABC与△DEF的周长比为
。
7、如图，已知DE∥BC，AD=6cm，BD=8cm，AC=12cm，则S△ADE：S四边形DBCE=
。
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第7题
第8题
第9题
8、如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则
。
9、如图，在在□ABCD中，点E在
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。
能力提升
10、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（
）A、
B、
C、
D、
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第10题
第11题
第12题
11、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为（
）A、
B、15
C、
D、
12、如图，△ABC中，点E、P在边AB上，
( http: / / www.21cnjy.com )且AE=BP，过点E、P作BC的平等线，分别交AC点F、Q，△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3。
（1）求证：EF+PQ=BC；
（2）若S1+S3=S2,求的值；
（3）若S3-S1=S2，直接写出的值。
13、如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC
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　；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=　
　（用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC
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拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想++的值，并说明理由．
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