23.3.4相似三角形的应用讲义
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相似三角形的应用
题型一：运用相似三角形的性质求物体的高度
例1如图是小玲设计用手电筒来测量某古城墙
( http: / / www.21cnjy.com )高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是
米。
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变式练习：
1、小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练
( http: / / www.21cnjy.com )，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛P、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A’，若OA=0.2米，OB=40米，AA’=0.0015米，则小明射击到的点B’偏离目标点B的长度BB’为（
）
A、3米
B、0.3米
C、0.03米
D、0.2米
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第1题
第2题
2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为
．
3、如图，路边有两根电线杆AB、CD,分别在高为3m的A处和高为6m的C处用铁丝将两杆固定，求铁线AD与铁线BC的交点M离地面的高度MH。
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题型二：运用相似三角形的性质求距离
例2
如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了
( http: / / www.21cnjy.com )两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米，AN=1.8千米，AB=54米，BC=45米，AC=30米，求M、N两点之间的直线距离。
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变式练习：
1、如图，已知零件的外径为
( http: / / www.21cnjy.com )25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=CD）测量零件的内孔直径AB。若OC：OA=1：2,量得CD=10mm，则零件的厚度x=
mm。
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2、如图，A、B两点间有一湖泊，无法直
( http: / / www.21cnjy.com )接测量AB的长，小明想了一个办法，他在湖泊外选择可以到达点A的点C，，并量得CA=60米，然后又在AC上取一点D，量得CD=24米，再过点D作DE∥AB交BC于点E，此时要求AB的长，还需要一个条件，这个条件是什么？如果需要的条件是线段的长，那就请用a米表示；如果需要的条件是角的度数，那就用α表示，求此时AB的长，（用a或α表示）
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3、如图，为了测量有障碍物相隔的A
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4、（易错）如图，A，B是河边上的
( http: / / www.21cnjy.com )两根水泥电线杆，C，D是河对岸不远处的两根木质电话线杆，且电线、电话线及河两边都是平行的。O是A、B对岸河边上一点，且O与A、C在同一直线上，与B、D也在同一直线上，已知AB=35m，CD=20m，OD=20m，根据所给的已知条件是否一定能求出河的大约宽度？
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题型三：运用相似三角形的性质证明比例式
例3
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C。
求证：（1）∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）AB =AE·AC
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变式练习：
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，且∠D=∠BAC。求证：AC =AD·BC。
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反馈练习
基础夯实
1、某一时记得，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长为5m，则该旗杆的高度是（
）
A、1.25m
B、10m
C、20m
D、8m
2、如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的
( http: / / www.21cnjy.com )图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（
）
A、12m
B、18m
C、24m
D、30m
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第2题
第3题
第4题
第5题
3、如图，为了测量一池塘
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）
A、25m
B、30m
C、36m
D、40m
4、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，若标杆BE的高为1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则楼高CD为
m
5、如图，小明在A时测得某树的影长为2m，在B时又测得该树的影长8m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为
m。
6、一块材料的形状是锐角三角形ABC，
( http: / / www.21cnjy.com )边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图所示，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的连长。
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能力提升
7、如图，在△ABC中，AB=BC，∠
( http: / / www.21cnjy.com )ABC=90°，BM是AC边中线，点D、E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：（1）∠DBM=∠CDE；（2）S△BDE）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
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第7题
第8题
第9题
8、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆
( http: / / www.21cnjy.com )的高度，如图，他在某一时刻直立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，别一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为
米。
9、某市公共自行车的建设速度、单日租骑量
( http: / / www.21cnjy.com )等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩在截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥GH，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是
cm。
10、晚饭后，小聪和小军在社区广场散
( http: / / www.21cnjy.com )步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
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11、如图，一段街道的两边缘所在直线分
( http: / / www.21cnjy.com )别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮。
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM。
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思维拓展
12、某兴趣小组开展课外活动．
( http: / / www.21cnjy.com )如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（1）求小明原来的速度．
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题型一：运用相似三角形的性质求物体的高度
例1如图是小玲设计用手电筒来测量某古城墙
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米。
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变式练习：
1、小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练
( http: / / www.21cnjy.com )，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛P、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A’，若OA=0.2米，OB=40米，AA’=0.0015米，则小明射击到的点B’偏离目标点B的长度BB’为（
）
A、3米
B、0.3米
C、0.03米
D、0.2米
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第1题
第2题
2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为
．
3、如图，路边有两根电线杆AB、CD,分别在高为3m的A处和高为6m的C处用铁丝将两杆固定，求铁线AD与铁线BC的交点M离地面的高度MH。
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题型二：运用相似三角形的性质求距离
例2
如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了
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变式练习：
1、如图，已知零件的外径为
( http: / / www.21cnjy.com )25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=CD）测量零件的内孔直径AB。若OC：OA=1：2,量得CD=10mm，则零件的厚度x=
mm。
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2、如图，A、B两点间有一湖泊，无法直
( http: / / www.21cnjy.com )接测量AB的长，小明想了一个办法，他在湖泊外选择可以到达点A的点C，，并量得CA=60米，然后又在AC上取一点D，量得CD=24米，再过点D作DE∥AB交BC于点E，此时要求AB的长，还需要一个条件，这个条件是什么？如果需要的条件是线段的长，那就请用a米表示；如果需要的条件是角的度数，那就用α表示，求此时AB的长，（用a或α表示）
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3、如图，为了测量有障碍物相隔的A
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4、（易错）如图，A，B是河边上的
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题型三：运用相似三角形的性质证明比例式
例3
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C。
求证：（1）∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）AB =AE·AC
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1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，且∠D=∠BAC。求证：AC =AD·BC。
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基础夯实
1、某一时记得，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长为5m，则该旗杆的高度是（
）
A、1.25m
B、10m
C、20m
D、8m
2、如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的
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）
A、12m
B、18m
C、24m
D、30m
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第3题
第4题
第5题
3、如图，为了测量一池塘
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）
A、25m
B、30m
C、36m
D、40m
4、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，若标杆BE的高为1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则楼高CD为
m
5、如图，小明在A时测得某树的影长为2m，在B时又测得该树的影长8m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为
m。
6、一块材料的形状是锐角三角形ABC，
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（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的连长。
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能力提升
7、如图，在△ABC中，AB=BC，∠
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A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
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第7题
第8题
第9题
8、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆
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米。
9、某市公共自行车的建设速度、单日租骑量
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cm。
10、晚饭后，小聪和小军在社区广场散
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( http: / / www.21cnjy.com )别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮。
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM。
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思维拓展
12、某兴趣小组开展课外活动．
( http: / / www.21cnjy.com )如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（1）求小明原来的速度．
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