《第三章勾股定理单元测试·基础卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D A B C C A B
1．B
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可．
解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边，
由勾股定理得：，
代入已知条件，，
得：，
因此，的值为6，
故选：B．
2．C
本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形，在中，根据，求出的长、的长，在中，由得到，于是得到结论．
解：过A作于D，
在中，，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
3．D
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．利用勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、，故不是直角三角形，故错误；
B、，故不是直角三角形，故错误；
C、，故不是直角三角形，故错误；
D、，故是直角三角形，故正确．
故选：D．
4．D
本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．
解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、1，，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
5．A
本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，进而利用三角形的面积解答即可求解，正确识图是解题的关键．
解：由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6．B
本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解．
∵四边形是长方形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，
则．
故选B．
7．C
本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若、、满足的三个正整数，称为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．C
利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握定义，以及三角形内角和定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
解：∵，，，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，
故A不符合题意；
∵，
∴，
不符合勾股定理的逆定理，
无法判定直角，
故B不符合题意；
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故C符合题意；
∵，，，
∴，
∴，
∴最大角为，
∴不是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
9．A
本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可．
解：在中，，
，
由题意得，
，
点表示的数是，
点表示的数是，
故选：A．
10．B
本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积等知识，运用等面积法求出DE的长是解题的关键．
根据题意利用等腰三角形的性质可知是的垂直平分线，利用勾股定理求出的长，再利用等积法求出的长，再利用进行计算即可．
解：，，
是的垂直平分线，是的角平分线，
，
是的角平分线，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
故选：B．
11．B
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
解：∵，
∴为直角三角形，．
故答案为：
12．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高的长即可．
解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在直角三角形中，，
∴．
故答案为：．
13．10
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理即可得到结论．
解：如图，由题意得，
，
故．
故答案为：10．
14．3
本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．
解∶∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，，
∴，即，
解得，
故答案为：3．
15．
本题考查勾股定理，将正方体展开，利用勾股定理进行求解即可．
解：由图②，根据勾股定理得：，
答：小虫爬行的最短路线的长；
故答案为：．
16．
本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可．
解：如图所示：根据题意可知米，米，
根据勾股定理得．
所以树折断前有（米）．
故答案为：．
17．(1)16
(2)．
本题考查了翻折变换，勾股定理．
（1）直接利用勾股定理即可求解；
（2）由折叠的性质可得，利用面积法求解即可．
（1）解：∵，，，∴，
故答案为：16；
（2）解：∵将沿折叠，
∴，
设，
则，
即，
解得，即．
18．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由勾股定理得，故即为所求；
（2）由勾股定理得，且上的高为3，故即为所求．
（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如上图，即为所求．
19．在该空地上种植草皮大约需要元
本题考查勾股定理的应用，关键是直角三角形性质和勾股定理逆定理．
利用直角三角形性质求出和，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可求解．
解：∵，，，∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，∴，
∴，
∴种植草皮所需金额为：（元）．
答：在该空地上种植草皮大约需要元．
20．(1)铺设这条鹅卵石路的最低花费为元
(2)整块空地上种植草皮共需投入元
本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
（1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可．
（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵铺设成本为，
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为（元）．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴整块空地的面积为：，
∵种植草皮的费用是元，
∴整块空地上种植草皮共需投入（元）．
21．(1)这架云梯的底端离墙面有20米；
(2)梯子的底端向右滑动了4米．
此题考查了勾股定理的应用，
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）首先求出（米），然后根据勾股定理求出（米），进而求解即可．
（1）解：∵米，米，，
∴（米），
∴这架云梯的底端离墙面有20米；
（2）解：∵梯子的顶端下滑了8米，
∴米，
∴（米），
∵梯子长度不变
∴米，
∴（米），
∴（米）．
∴梯子的底端向右滑动了4米．
22．(1)见解析
(2)．
本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识．
（1）由折叠的性质可知，因为证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知．在中运用勾股定理求出即可．
（1）证明：∵，沿折叠，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由勾股定理得，，
由折叠的性质知，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：．
23．站应建在离站处
设，则，在中，，在中，，根据列方程解方程即可．
解：水厂应建在离点处，即，理由如下：
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
故水厂应建在离点处，即．
本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
24．(1)
(2)
本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出的长，再加上即可；
（2）勾股定理求出此时的长，即可得出结果．
（1）解：由题意，得，．
∴在中，，
∴．
答：此时风筝的铅直高度为．
（2）解：∵风筝沿方向下降，
∴．
在中，∵，
，
∴．
答：他应该收线．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第三章 勾股定理单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（ ）
A．2 B．6 C．20 D．36
2．在中，，，若，则长度为（ ）
A．2 B． C． D．
3．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，13
4．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A． B． C．3，5，7 D．5，12，13
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10
8．根据下列条件，能判断是直角三角形的是（ ）
A． ，， B．
C． ，， D．，
9．如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点在边上，交于点，垂足为，则的长为（ ）
A．8 B． C．7 D．6
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则
12．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 ．
13．如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为 ．
14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ．
15．如图①所示，正方体的棱长为10，正方体的顶点A处有一只小虫，它沿着正方体的表面爬行到点B处，如图②是正方体的部分侧面展开图，求小虫爬行的最短路线的长是 ．
16．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，，，，沿折叠，使点C落在边上的点E处．
(1)_____
(2)求线段的长．
18．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形顶点上．
(1)在方格纸中画出以为底的等腰，且点F在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出面积为7.5的等腰，且点E在小正方形的顶点上．
19．如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数）
20．为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，．
(1)若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；最低花费为多少元？
(2)如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
21．如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米．
(1)这架云梯的底端离墙面有多远？
(2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？
22．如图，在中，，沿折叠，使得点C落在斜边上的点E处．
(1)求证：；
(2)已知，求线段的长度．
23．如图，河岸上、两点相距，、为两村庄，，，垂足分别为、，已知，，现要在河岸上建一水厂向，两村输送自来水，当水厂E建在距A点多少千米处时，水厂到两村的距离相等？并证明你的结论．
24．小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为．
(1)求此时风筝的铅直高度．
(2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？(共7张PPT)
苏科版2024八年级上册
第三章 勾股定理单元测试·基础卷
试卷分析
一、试题难度
整体难度：容易
难度 题数
容易 7
较易 15
适中 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 用勾股定理解三角形
2 0.85 含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
3 0.94 判断三边能否构成直角三角形
4 0.94 勾股树（数）问题
5 0.85 与三角形的高有关的计算问题；勾股定理与网格问题
6 0.85 勾股定理与折叠问题
7 0.85 勾股树（数）问题
8 0.85 三角形内角和定理的应用；判断三边能否构成直角三角形
9 0.85 实数与数轴；勾股定理与无理数
10 0.65 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；角平分线的性质定理
三、知识点分布
二、填空题
11 0.94 判断三边能否构成直角三角形
12 0.94 利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
13 0.94 用勾股定理解三角形
14 0.85 勾股定理与折叠问题
15 0.85 求最短路径(勾股定理的应用)
16 0.85 求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 勾股定理与折叠问题
18 0.85 格点图中画等腰三角形；勾股定理与网格问题；等腰三角形的定义
19 0.94 含30度角的直角三角形；勾股定理逆定理的实际应用；用勾股定理解三角形
20 0.85 用勾股定理解三角形；勾股定理逆定理的实际应用
21 0.85 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
22 0.85 相似三角形的判定综合；勾股定理与折叠问题
23 0.65 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
24 0.85 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)；求旗杆高度(勾股定理的应用)
